分式的意义及性质

分式的意义及性质

目标认知

学习目标

1．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。

2．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。

重点

分式的意义及其基本性质。

难点

分式的变号法则。

知识要点梳理

要点一：分式的概念

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，

B叫做分母。

要点诠释：

（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。

如可以表示(a－b)÷(a+b)；

（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。

（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有

意义；

（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上

是分式。

要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件

1、分式有意义的条件是分式的分母不为0；

2、分式无意义的条件是分式的分母为零；

3、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。

要点诠释：

（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。

（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不

为0，则分式是有意义的。

（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。

（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式中隐含着，即

这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。

要点三：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：

(其中)。

要点诠释：

（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必

须满足2x+1≠0。

（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。

（3）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发

生变化。例如：，在变形后，字母x的取值范围变大了。

知识点四：分式的变号法则

一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

要点诠释：

（1）改变符号时应该是分子、分母整体的符号，而不是分子、分母中某一项的符号；

（2）一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何一个或三个，得到的分式成为原分式的

相反数。

要点五：分式的约分

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

要点诠释：

（1）约分的依据是分式的基本性质；

（2）约分的方法是：先把分子、分母分解因式（分子、分母是多项式时），然后约去它们的公因式；

（3）找公因式的方法：先分解因式，系数取最大公约数，字母（或字母因式）取相同字母（或字母因式）的最低次幂；

（4）约分要彻底，使分子、分母没有公因式，分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。

要点六：分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

要点诠释：

（1）通分的依据是分式的基本性质；

（2）通分的关键是寻求几个分式的最简公分母：

①最简公分母：几个分式进行通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母；

②寻求最简公分母应注意以下几点：

(ⅰ)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的；

(ⅱ)如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

(ⅲ)如果分母是多项式，一般应先分解因式。

（3）通分的方法是：先求各分式的最简公分母，然后以每个分式的分母去除这个最简公分母，用所得

的商去乘分式的分子、分母。

要点七：整式和分式

1、有理式的概念：整式和分式统称为有理式。

2、有理式的分类：

3、整式和分式的区别：

分式的本质特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中含有分母，那么分母就不能含有字母，只能是不为零的具体数。

规律方法指导

１．关于分式强调两点：在中，第一，B中含有字母；第二，B不能为零。

２．分母的值是零，分式没有意义。

３．分子为零且分母不等于零时，分式的值等于零。

４．约分根据的是分式的基本性质，对一个分式进行约分是对分式进行恒等变形的一个手段，约分前后的分式值是不变的，约分的关键是确立分式的分子与分母的公因式。

５．约分要彻底，使分子、分母没有公因式。

６．分式的通分也是对一个分式进行恒等变形的手段，通分前后的分式值是不变的，通分的关键是确立几个分式的最简公分母，一般地，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

经典例题透析

类型一：分式的定义