《两点间的距离》教案

《两点间的距离》教案

教学目标

1、知识与技能：

理解两点间距离公式的推导方法，并能运用两点间距离公式解决实际问题. 2、过程与方法：

初步领会运用坐标法证明简单的平面几何问题的思想，掌握运用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤，加强运用坐标法解决平面几何问题的能力.

启发学生运用数形结合思想方法分析解决问题，培养学生直观想象能力及数形结合意识.

3、情感态度与价值观：

体验距离公式的推导过程，体会数形结合的优越性，进一步感受数形结合的魅力. 教学重难点

教学难点：

1、平面内两点间距离公式.

2、如何建立适当的坐标系.

教学难点：

如何根据具体情况建立适当的坐标系来解决问题.

教学过程

一、创设情境

复习数轴上两点间的距离求法：

数轴上两点Ａ、Ｂ分别表示数a 、b ，则∣AB ∣=∣a -b ∣

已知平面上的点C (3、4)，则C 到原点的距离是∣OC ∣=2243

同学们能否用以前所学的知识解决以下问题：

平面上两点P 1 (x 1，y 1)，P 2 (x 2，y 2)，求|P 1P 2|？

(板书课题：3.3.2两点间距离公式)

二、探索新知

过P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为N 1 (0，y )，M 2 (x 2，0)直线P 1N 1与P 2M 2相交于点Q .

在直角△ABC 中，|P 1P 2|2 = |P 1Q |2 + |QP 2|2，为了计算其长度，过点P 1向x 轴作垂线，

垂足为M 1 (x 1，0)过点P 2向y 轴作垂线，垂足为N 2 (0，y 2)，于是有|P 1Q |2= |M 2M 1|2=|x 2–

x 1|2，|QP 2|2=|N 1N 2|2=|y 2–y 1|2.

由此得到两点间的距离公式

12P P (在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到.)

三、应用举例

例1 已知点A (–1，2)，(2B 在x 轴上求一点p ，使|P A | = |PB |，并求|P A |的值. 解：设所求点P (x ，0)，于是有

x 2+2x +5=x 2–4x +11

解得x =1

∴所求点P (1，0)且

PA ==教师讲解思路，学生上台板书.

教师提问：还有其它的解法，由学生思考，再讨论提出

解法二：由已知得，线段AB 的中点为(1

2M ，直线AB 的斜率为k =

线段AB 的垂直平分线的方程是21

22y x +⎛⎫=

=- ⎪⎝

⎭ 在上述式子中，令y =0，解得x =1.

所以所求点P 的坐标为(1，0).因此

PA ==通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.

证明：如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，有A

(0，0).设B (a ，0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质的点C 的坐标为(a +b ，c )，因为|AB |2=

a 2，|CD |2=a 2，

|AD |2=b 2+c 2

|BC |2=b 2 +c 2

|AC |2=(a +b )2+c 2，

|BD |2=(b –a )2+c 2

所以，|AB |2+|CD |2+|AD |2+|BC |2=2(a 2+b 2+c 2)

|AC |2+|BD |2=2(a 2+b 2+c 2)

所以，|AB |2+|CD |2+|AD |2+|BC |2=|AC |2+|BD |2 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

此题让学生讨论解决，再由学生归纳出解决上述问题的基本步骤：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.

第二步：进行有关代数运算.

第三步：把代数结果“翻译”成几何关系.

思考：同学们是否还有其它的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题.

(让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤.)

四、课时小结

主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性.

五、课后作业

习题3.3A组6、7、8；Ｂ组4、7