6.2.3 向量的数乘运算 (精讲)(原卷版)

6.2.3向量的数乘运算 (精讲）目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1: 几何图形中用已知向量表示未知向量题型2：向量共线的判定题型3：利用向量共线证明线线平行题型4：利用向量共线定理判断三点共线题型5：利用向量共线定理求参数三、高考（模拟）题体验一、必备知识分层透析知识点1：向量的数乘 与向量a 的积是一个向量a λ.它的长度与方向规定如下： |||||a a λλ=0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当a λ的方向与a 的方向相反；当0时，0a λ=.）向量数乘的几何意义a λ：①从代数角度看，是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量．a λ的条件是0a =0．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0)λ>或相反方向上伸长了λ倍；当时，意味着表示向量a 的有向线段在原方向(010)λ<<上缩短了λ倍．实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如a λ+，a λ-都无意义． 实数与向量的积满足下面的运算律：设是实数，a 、b 是向量，则：)a a μλμ=()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ=++ ：向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量a ,b ,以及任意实数λ,1μ,2μ,1212)a b a b μλμλμ±=±.：向量共线定理）内容：向量b 与非零向量a 共线，则存在唯一一个实数，b a λ=. ）向量共线定理的注意问题：①定理的运用过程中要特别注意0a ≠．特别地，若0a b ==，实数λ仍存在，但不唯一．②定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数λ沟通了两个向量b 与a 的关系．③定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数题型．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方形满足2CF FB =，那么EF =1123AB AD - 1132AB AD +1223AB AD -1142AB AD + 2．（2022春·黑龙江哈尔滨·在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，为BC 的中点，则MN 等于（ ）1144a b +B ．1122a b -+．12a b +D ．3344a b -+．（多选）（2022·高一单元测试）在等边三角形ABC 中，,2,BD DC EC AE AD →→→→==交于点F ,则下列结论中正确的是（ ）1()2AB AC →→=+2133BC BA →→→=+12AF AD →→=D ．13BC →高一假期作业）如图所示，在ABC 中，点则DE =（ ）1136BA BC - 1163BA BC - 5163BA BC -5163BA BC +．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在ABC 中，设AB a =，AC b =，又2AD DC =，=BE ED ，则AE =（ ．1123a b +B ．1133a b +1126a b +D 2133a b +3．（2022秋·广西百色·高一统考期末）在OAB 中，P 为AB 上的一点，且2BP PA =，OP xOA yOB =+，则（ ）A ．23x =，13y =B ．13x =，23y =C ．34x =，14y = D ．x =例题1．（2022春·甘肃定西·高二统考开学考试）对于非零向量a 、b ，“0a b +=”是“//a b ”的（ ．充分不必要条件．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022·河南·校联考三模）已知a 、b 、c 均为非零向量，且2a b =，3b c =-，则（ ） ．a 与c 垂直．b 与c 同向C ．a 与c 反向．a 与b 反向同类题型演练高一课时练习）已知12a e e =+，1222b e e =--，求证：a 与b 共线．：利用向量共线证明线线平行典型例题例题1．（2022·高一课时练习）已知在四边形中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形在ABC 中，已知11,33AM AB AN AC ==.用平面向量证明题型4：利用向量共线定理判断三点共线典型例题例题1．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则（ ）A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线例题2．（2022春·江西南昌·高二统考期末）已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A ．、、ABC B ．B CD 、、 C ．A B D 、、 D ．A C D 、、例题3．（2022秋·江苏扬州·高一统考期中）已知a ，b 为不共线的向量，且5AB a b =+，28BC a b =-+，42CD a b =+则（ ）A ．,,ABC 共线B ．,,A B D 共线C ．,,A CD 共线D ．,,B C D 共线同类题型演练1．（2022·高一课时练习）已知()1221123,,2AB e e CB e e CD e e =+=-=+，则下列结论中成立的是（ ）A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，D ，C 三点共线D ．D ，B ，C 三点共线2．（2022·高一课时练习）已知5,28,210AB a b BC a b BD a b =+=-+=+，则共线的三点为（ ） A ．,,B C DB ．,,A B CC ．,,A C DD ．,,A B D题型5：利用向量共线定理求参数典型例题·全国·高三专题练习）已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则．22例题2．（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）已知1e ，2e 是平面内的一组基底，1232OA e e =+，124OB e ke =+，1254OC e e -=，若A 三点共线，则实数A ．1- B ．0 C ．1 例题3．（2022·上海·高二专题练习）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke BC e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，的值为__________例题4．（2022秋·江西宜春·高一奉新县第一中学校考阶段练习）设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()2b a --共线，则λ＝_______同类题型演练．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+，()21b d a λ=+-，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为（ ） ．1 B ．12-．1或12-D ．1-或2-．（2022·高一单元测试）已知a ，b 是不共线的向量，,32OA a b OB a b λμ=+=-，23OC a b =+,λμ满足（ 5μ=+ ．135μλ=-3．（2022秋·陕西咸阳高一统考期中）已知向量a 与b 不共线，且()1AB a mb m =+≠，AC na b =+．若A 、，n 满足的条件为 ) A ．1m n +=1mn =D ．1mn =-4．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）设,a b 是两个不共线的向量，若向量2ka b +与8a kb +的方向相同，则________.5．（2022春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知向量a 与b 不共线，且3a b λ-与2a b λ-共线，则λ=___________．．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量2ka b +与8a kb +的方向相反，则k ＝________.1．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在ABC 中，点2AM MB =，若3CM CA CB λμ=+，则μA ．3 B C ．．（2022·河南·校联考模拟预测）已知ABC 的边在ABC 所在平面内，且2BD BE BA →→→=-，若AB →=，则C ．D ．23．（2022·云南昆明统考模拟预测）梯形ABCD 中，2AB DC =，设AB m =，AD n =，则AC BD +=（ ）A ．122m n -+B ．122m n -C ．2m n -2m n -+4．（2022·四川绵阳·统考一模）为ABC 所在平面内两点，AD DC =，2CB BE =，则DE =（ ）．32AB AC -+B ．32AB AC -．32AB AC -D ．32AB AC -+．（2022·湖南·校联考模拟预测）设E 、F 分别为ABC 三边则23(DA EB FC ++= ．12AD 32AD12AC 32AC ．（2022·河南·校联考二模）正方形，F 分别是CD ，的中点，那么EF = ．1122AB AD + 1122AB AD - 1122AB AD + 1122AB AD - 2022·内蒙古兴安盟·乌兰浩特一中校考模拟预测）在△ABC 中，AD AD 的中点，则EB =3144AB AC - 1344AB AC - 3144+AB AC1344+AB AC。