【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)

第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和
第1课时 等比数列前n 项和的示解
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )
A ．63
B ．64
C ．127
D ．128
2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )
A ．3n －1
B ．3(3n －1) C.9n －14
D.3（9n －1）4
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A ．190
B ．191
C ．192
D ．193
4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )
A ．－6(1－3－10) B.1
9
(1－3－10) C ．3(1－3－10)
D ．3(1＋3－10)
5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1
3(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )
A ．－15
B ．－5
C ．5 D.15
二、填空题
6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．
8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．
三、解答题
9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．
10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等差数列；
(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
B级能力提升
1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()
A．(2n－1)2 B.1
3(2
n－1)2
C．4n－1 D.1
3(4
n－1)
2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．
3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记b n＝n＋1
4a n(n∈N
*)，求数列{b
n
}的前n项和T n.
第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和
第1课时 等比数列前n 项和的示解
（参考答案）
一、选择题
1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )
A ．63
B ．64
C ．127
D ．128
解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）
1－q ＝
1－27
1－2＝127. 答案：C
2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )
A ．3n －1
B ．3(3n －1) C.9n －14
D.3（9n －1）4
解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9
＝3（9n －1）
4.
答案：D
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A ．190
B ．191
C ．192
D ．193
解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝1
2，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－
1
2＝
381，解得a 1＝192.
答案：C
4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，则{a n }的前10项和等于( )
A ．－6(1－3－10) B.1
9
(1－3－10) C ．3(1－3－10)
D ．3(1＋3－10)
解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3
≠0，
所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－1
3为公比的等比数列．
因为a 2＝－4
3
，所以a 1＝4，
所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪
⎫－13＝3(1－3－10)．
答案：C
5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1
3(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )
A ．－15
B ．－5
C ．5 D.15
解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1
a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋
a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335
＝－log 335＝－5.
答案：B 二、填空题
6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.
答案：240
7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．
解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋
|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－24
1－2
＝15.
答案：15
8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．
解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，
再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，
所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.
答案：1 121 三、解答题
9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，
d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .
(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a n 2n －1的前
n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2
n －1，故S 1＝1，S n
2＝
a 12＋a 24＋…＋a n
2
n . 所以，当n ＞1时，S n
2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12
n －1－a n 2n ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
4＋…＋12n －1－2－n 2n ＝
1－⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，
所以S n ＝
n
2
n －1，
综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a n 2n －1的前
n 项和S n ＝
n
2n －1
.
10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等差数列；
(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n
n
＋1， 即
a n ＋1n ＋1－a n
n
＝1， 所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是以a 1
1＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)解：由(1)得a n
n ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。

S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，① 3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.② ①—②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1
＝3·（1－3n ）1－3
－n ·3n ＋1＝
（1－2n ）·3n ＋1－3
2
.
所以S n ＝（2n －1）·3n ＋
1＋3
4
.
B 级 能力提升
1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n 等
于( )
A ．(2n －1)2
B.1
3
(2n －1)2
C ．4n －1
D.1
3
(4n －1) 解析：a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，即S n ＝2n －1，则S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，则
a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1，a 2n ＝4
n －1
，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13
(4n －1)． 答案：D
2．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．
解析：由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2， 即
a n ＋2
a n ＋1
＝－2. 答案：－2
3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b ＞0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．
(1)求r 的值；
(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋1
4a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ， 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1·(b －1)， 由于b ＞0且b ≠1，
所以a ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列， 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2
a 1＝
b ，
即b （b －1）b ＋r ＝b ，
解得r ＝－1.
(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，所以b n ＝n ＋14·2n －1＝n ＋1
2n ＋1
. T n ＝222＋323＋4
24＋ …＋n ＋12
n ＋1，
12T n ＝223＋－324＋…＋n
2n ＋1＋n ＋12
n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋1
2n ＋1－n ＋12n ＋2＝
34－1
2n ＋1－n ＋12
n ＋2， 所以T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.。