抽象代数基础丘维声答案

抽象代数基础丘维声答案

【篇一：index】

t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律

[文章摘要]

通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想

的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和

理想。

[关键字]

模n剩余类环循环群子环主理想

[正文]

模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。

一，定义：

在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一

个关系r，

arb，当而且只当n|a-b的时候

这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。这显然是一个等价关系。这

个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用

a?b(n)

来表示（读成a同余b模n）。

这个等价关系决定了a的一个分类。这样得来的类叫做模n的剩余类。

二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的

符号来表示。我们用[a]来表示a所在的剩余类。规定：

[a]+[b]=[a+b];

[0]+[a]=[a];

[-a]+[a]=[0];

根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。叫做

模n剩余类加群。这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生

成元，[0]是其单位元。

三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：

[a][b]=[ab]；

根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。叫

做模n剩余类环。四，关于理想的定义：

环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：

(i) a,b?a?a-b?a；

(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；

所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；

(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；

由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一

个方法。思路：

第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；

第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找

出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。

例题:找出模12的剩余类环的所有理想。

具体步骤：

第一步：

模12剩余类环所有元素的集合：

z12={[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}

找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，所以用生成元表示： ([0])={[0]};

([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}=

z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])={[0],[6]};

第二步：

考虑对乘法的封闭性，求其子环：

([0])={[0]};

([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}=

z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])={[0],[6]};

第三步：

根据理想的定义，对以上的子环，求其理想：

([0])= ([12])={[0]};

([1])=([11])= {[0],[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10] ,[11]}= z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])=([6])={[0],[6]};

解答完毕。

通过观察以上的例子我们发现以下特点：

(i) 模12剩余类环的所有对加法构成的子群，等于所有子环，等于所有理想; (ii) 所有的子群（对加法）是循环群，所有的理想是主理想；

(iii) 第一列的所有生成元都是12的因子；

(iv) 第二列的所有生成元可表示为[12-pm],其中pm为12所有的因子.

于是我们有以下结论：

模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群，所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。

特别地，当n是素数时，只有零理想和单位理想。

命题1 模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群；

这是显然的，因为模n剩余类环本身对加法构成循环群，而循环群的子群是循环群。得证。

命题2 模n剩余类环的所有理想是主理想；

对上面的所有循环子群（对加法），?（[i]），

根据理想的定义，?[a]? zn;[b],[c]?（[i]）;有:

1o [b]-[c]=[b-c]?（[i]）;

2o [a][b]=[ab]= [a]?[a]???[a]?（[i]）,同理：[b][a]?

（[i]）； ???????

b

所以（[i]）做为一个理想，显然（[i]）是个主理想，记为a。

由命题二的证明过程我们得知：所有循环子群（对加法）加上乘法都是模n剩余类环的主理想。

命题3 模n剩余类环的所有循环子群可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。

设：n的所有因子为p1,p2,p3,…,pm,…;pm为n的因子。