数学分析试题库--证明题--答案

数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库（1-22章）

五．证明题

1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：

（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；

（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =

证由（1）可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =，用反证法.若B A inf sup π，设

B y A x A B ∈∈?=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y .

2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明：

（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf =

证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界，则S 也是无上界数集，于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立.若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S = （ⅰ）S x ∈?，无论A x ∈或B x ∈，有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε??∈->>于是,0S x ∈

0sup .x A >

同理可证（2）. 3. 按N -ε定义证明

3

52325lim 22=--+∞→n n n n 证 3

5

23252

2---+n n n )

23(34

32-+=

n n

≤

2234n n

（n>4） n

32=，取?

+=4,132max εN ，当n>N 时，

3

5

23252

2---+n n n <ε. 注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式

n

n G 32

)(=

仍是无穷小数列. 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞

→lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列.

答a a n n ≠∞

→lim 的正面陈述：0ε?>0，+∈?N N ，n '?≥N ，使得

|a a n -'|≥0ε

数列{n a }发散?R a ∈?，a a n n ≠∞

→lim .

（1）a n a n ?=.2，0ε?=

41

，+∈?N N ，只要取

+='N a n ,21max ，便可使|

|2a n -'≥||2

a n -'≥||212

a a -??? ?

+≥41，于是{2n }为发散数列.

（2）n n a )1(-=. 若a=1，0ε?=1，取n '为任何奇数时，有

2|1|=-'n a >0ε.若a=-1，0ε?=1，取n '为任何偶数时，有2|)1(|=--'n a >0ε. 若a ≠±1，0ε?=|}1||,1min{|2

1

-+a a ，对任何n ∈+N ，有|a a n -|≥0ε. 故|n )1(-|为发散数列.

5.用δε-方法验证：

3)

23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 解（1）消去分式分子、分母中当1→x 时的零化因子（x-1）：

)

2(2)2)(1()1)(2()23(2)(22-+=---+=+--+=x x x x x x x x x x x x x x f .

（2）把)3()(--x f 化为1)(-?x x ?，其中)(x ?为x 的分式：

|1||

2||

23|)2(2533)2(23)(22---=-+-=+-+=+x x x x x x x x x x x x f ，其中x

x x x 223)(2

--=

. （3）确定10=x 的邻域0<|x-1|<η，并估计)(x ?在此邻域内的上界：取2

1

=η，当0<|x-1|<

2

1

时，可得 23-x ≤2

51|1|3<

+-x ，

4

3

|)1(1||2|22>--=-x x x ，

于是 3

104

32

5|

2||

23|2=<

--x x x . （4）要使|1||2||23||3)(|2

---=

+x x x x x f ≤ε<-|1|310x ，只要取ε10

3

|1|<-x .于是应取 ?

=103,

21min εδ，当0<|x-1|<δ时，ε<--|)3()(|x f . 6 用M -ε方法验证：

2

1

1lim

2-

=-+-∞

→x

x x x . 解

)1(21211222x x x x x x x

-+++=

---+22)1(21x x -+=

注意到当∞→n 时，上式可以充分小，但是直接解不等式

ε<-+2

2

)

1(21x x ，

希望由此得到x<-M ，整个过程相当繁复，现用放大法简化求M 的过程.因为由

ε<=-?≤

-+2

22

281

)2(121)1(21x x x x ，便可求得ε

81

2>x ，考虑到-∞→x 所需要的是ε81-?M ，当

x<-M 时，

ε

---+2112x x x

.

7 设a x x x =→)(lim 0

，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a

t =→证明

A x f x x =→))((lim 0

. （1）

解由A t f a

t =→)(lim ，);(,0,00ηηεx U t ?∈?>?>?时，

ε<-A t f )(.

又因为a x x x =→)(lim 0

，故对上述0,0>?>δη（不妨取1δδ<），当);(0δx U x ?∈时，η?<-a x )(.由此可得：,0,0>?>?δε当);(0δx U x ?∈时

ε?<-A x f ))((，

即

A x f x x =→))((lim 0

.

注称（1）为复合求极限法，（1）不仅对0x x →型的极限成立，