椭圆的定义及简单几何性质

椭 圆

一、知识精析与点拨 （一）椭圆的定义

1、第一定义：平面上，与两个定点F 1、F 2距离之和为常数（大于| F 1F 2|）的点的轨迹称为椭圆。两个定点F 1、F 2

称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。

2、第二定义：平面上到一个定点F （c ，0）的距离与到一定直线L ：x= a 2c 的距离之比为常数e ＝c

a （0

点的轨迹称为椭圆。定点F 叫做椭圆的焦点，定直线L 叫做椭圆对应于焦点F 的准线。

（三）椭圆参数的几何意义，如下图所示：

（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=c

a 2

2，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；

（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；

（四）点、直线与椭圆的位置关系

1、点P （x 0，y 0）和椭圆22a x ＋22

b

y =1（a >b >0）的关系

（1）点P 在椭圆内（含焦点）⇔220a x ＋220b y <1； （2）点P 在椭圆上⇔220a x ＋220

b

y =1；

（3）点P 在椭圆外⇔220a x ＋220

b

y >1（其中a >b >0）

2、直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有：

（1）△>0⇔直线与椭圆相交于两点；

①设AB 为椭圆22a x ＋22

b

y =1的弦，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦中点M （x 0，y 0），

则弦长|AB|=2

12212)()(y y x x -+-=|x 2－x 1|²1＋k AB 2

=|y 2－y 1|²

1＋ 1k AB

2 (k AB ≠0)；

(其中k AB =121

2x x y y --=－0202y a x b ；|x 2－x 1|=212124)(x x x x -+;|y 2－y 1|=212124)(y y y y -+)

直线AB 的方程为y －y 0=－0202y a x b (x －x 0) ；线段AB 的垂直平分线方程为y －y 0=0

20

2x b y a (x －x 0)；

②焦点弦：AB 为椭圆22a x ＋22

b

y =1的焦点弦的长|AB|左=e （x 1＋x 2）＋2a （或|AB|右=2a －e （x 1＋x 2），

通径长为2b 2

a

（其中a >b >0）

（2）△=0⇔直线与椭圆相切；

①设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22

b y =1上的点，则以M 为切点的切线方程为20a x x ＋20b y y =1；

②设M （x 0，y 0）为椭圆22a x ＋22

b

y =1外的点，则过M 引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为

20a x x ＋2

0b y

y =1（其中a >b >0） ③椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c +=。

④设切线的斜率为K ，则椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的切线方程为2

22k a b kx y +±=

（3）△<0⇔直线与椭圆相离；

直线与椭圆相离时，椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点

椭圆的第一定义与基本性质的练习题

1.椭圆2x 2+3y 2=6的焦距是

A.2

B.2(3－2)

C.25

D.2(3+2)

2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是

A.R >0

B.0

C.0

D.2

3.方程x 2sin α+y 2cos α=1（0<α<

2

π

）表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是：（ ） A 、（0，4π） B 、]4,0(π C 、（,4π2π） D 、[,4π2

π

]

4．已知椭圆1252

22=+y a

x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）

（A ）10 （B ）20 （C ）241 （D ） 414

5.椭圆13

122

2=+y x 的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是：

A 、43±

B 、23±

C 、22

± D 、4

3± 6.已知P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠PF 1F 2=90°,∠PF 2F 1=30°,则椭圆的离心率是__________.

7.已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 上一点，若021=⋅PF PF 21

tan 21=∠F PF ，则椭圆的离

心率为 （ ）

（A ）

21 （B ）3

2

（C ）31 （D ）35

8.椭圆

19

252

2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） （A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8

9.AB 为过椭圆2a x +2

b y =1中心的弦，F (

c ,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是

A.b 2

B.ab

C.ac

D.bc 10.椭圆152

2=+m

y x 的离心率为

510，则实数m 的值为 。 11. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆左顶点A ，上顶点B ，左焦点F 1到直线AB 的距离为

7

7

|OB|，则椭圆的离心率为 。

12.若椭圆的两个焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长为20，那么该椭圆的方程为__________.

14.与椭圆22

143

x y +=具有相同的离心率且过点（2，_____ 15.椭圆92x + 4

2

y =1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________.