【高三数学试题精选】2018年高三数学二模理科试卷(东城区附答案)
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理D③()f n (1)f n + ④()f n (2)f n 2()f n ≤其中正确结论的序号为 ．（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)（本小题13分） 已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； (Ⅱ)求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值． (16)（本小题13分）从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示．(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率；(II ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(Ill ）试判断这100名学生数学成绩的方差a 与语文成绩的方差b 的大小．（只需写出结论）(17)（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿 PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为 PB 中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥AB;(II ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．(18)（本小题13分） 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0ab ）的离心率为32，且过点A(2,0).（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II ）设M,N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线 AM ，AN 斜率之积等于14-，试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．(19)（本小题14分） 已知函数()(1)xf x e a x =-+.若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值；(Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (Ⅲ）求证：当a 0a =时，曲线()y f x = (x>0)总在曲线2ln y x =+的上方． (20)（本小题13分）在nXn(n ≥2)个实数组成的n 行n 列的数表中，,i ja 表示第i 行第j 列的数，记12(1)i i i in r a a a i n =+++≤≤．12(1)j j j nj c a a a j n =+++≤≤若,i j a ∈｛-1,0,1}((1,)i j n ≤≤)，且r 1,r 2,…,r n ,c 1,c 2,..,c n ，两两不等，则称此表为“n 阶H 表”，记H={ r 1,r 2,…,r n ,c 1,c 2,..,c n }.(I ）请写出一个“2阶H 表”;(II ）对任意一个“n 阶H 表”，若整数[,]n n λ∈-，且nH λ∉，求证：λ为偶数；(Ⅲ）求证：不存在“5阶H 表”.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.【答案】B【解析】由题易知，{|31}.A B x x =-<<-故选B2.【答案】B 【解析】(1)1111(1)(1i)222i i i i z i i i +-====-+--+,所以z 在复平面上对应的点为11(,)22-，在第二象限,故选B3.【答案】D【解析】,,a b a b >∴-<-由x y e =在R 上单调递增可知,,0,a b a b e e e e ----<∴-<故选D4.【答案】A【解析】由正切函数定义可知: 44 5tan335yxθ===，4tan()tan3πθθ+==，故选A5.【答案】C【解析】在抛物线中, 24.y x=焦点(1,0),F准线1.x=-|||||| 1.PF PH PM==+P点到y轴的距离为2.|| 2.PM∴=即||||||1 3.PF PH PM==+=故选C6.【答案】C【解析】法一：224210A A-=种法二：1122222210A A A A⨯⨯+=种.故选C7.【答案】D【解析】充分条件的反例，当14a=-，1d=时，114S a==-，2127S a a =+=-，充分不成立.必要条件的反例，例n S n =，11n n n S S a --==，0d =，必要不成立. 故选D.8.【答案】D【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题，5位“学习能手”则最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多1道.故选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.【答案】3π【解析】2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,3B π∴=10.【答案】1【解析】即求2220x y x +-=圆心到直线1y =的距离，()2211x y ∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.11.【答案】6【解析】可行域如右图所示：设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值，所以6z =.12.【答案】23+12 【解析】该几何体如图所示：可知2AB AC BC ===,ABC 为等边三角形, 所以12332ABCS =⨯⨯=,所以四边形11ACC A 的面积为 11224ACC A S=⨯=,所以11232312ABCACC A S SS=+=+表.13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯一） 【解析】设(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =,则3⋅a b =，3⋅a c =，所以⋅⋅a b =a c 但≠b c ，所以若⋅⋅a b =a c ，则b =c 为假命题。
2018届北京市东城区普通高中示范校高三3月联考综合练
东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）2018.3一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{40}A x x =->，1{2}4x B x =<，则A B = （ ）A ．{}2x x > B. {}2x x <- C. {}22或x x x <-> D. 12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭2．已知复数2(1)(2)z a a i =-+-(a R ∈),则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件3．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程（ ）A ．3sin 2=ρθ B. 3cos 2=ρθ C. 3sin 2=ρθ D.3cos 2=ρθ 4．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）A.96B. 120C.144D. 3005．已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ） [ZA ． B. C. D.7．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n a n ，若{}n a 是递减数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫58，1 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58 8．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点 B. ()f x 在(0,1)上恰有两个零点C. ()f x 在(1,0)-上恰有一个零点D. ()f x 在(1,0)-上恰有两个零点二.填空题（每题5分,共6小题）9．已知随机变量X 的分布列如下，则EX 的值等于10．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围是 .11.如图，是圆O 的切线，切点为A ，D 点在圆内，DB 与圆相交于C ，若3BC DC ==，2=OD ，6AB =，则圆O的半径为 .12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，若120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，则AD的最小值是 .13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）14．已知直线:1(R)l y ax a a =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=．其中直线l 的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.(本小题满分13分) 已知函数,2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在(]84 72,之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]09 80, 之间的概率．17. (本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥； （2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分) 设ax x x x f 22131)(23++-=（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区 间上的最大值.19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点P到点)1,0(F的距离与点P到x轴的距离的差等于1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线,l l，设1l与轨迹C相交于点12,A B，2l与轨迹C相交于点,D E，求 的最小值．20．(本小题满分14分) 已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ． (1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ；(3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列．东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）参考答案2018.3一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知函数2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=其中 R x ∈,0>ω. （1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.解：（1）)cos 1(21cos 23sin 21cos 23sin )(x x x x x x f ωωωωω+-⋅-⋅+⋅+⋅= =1)6sin(21cos sin 3--=--πωωωx x x …………………………………5分所以函数)(x f 的值域为[]1,3- …………………………………………………7分（2）由2221πωπ=⋅得2=ω …………………………………………………9分所以1)62sin(2)(--=πx x f由πππππk x k 226222+≤-≤+-………………………………………11分得ππππk x k +≤≤+-36所以函数)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 3,6)(Z k ∈. ………13分16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在(]8472,之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]0980,之间的概率．解：(1) 77.5；………………………………………3分(2) 所求为：直线72⨯，=x之间的直方图的面积40x与直线84=因此，6(=..⨯.+⨯ (7)+⨯)⨯0403.194400450355分答：这40名学生的成绩在(]8472,之间的有20人．（答19人也算对）……………8分(3) 设这5人中恰有2人的成绩在(]0980,之间为事件A，因为3.05)02.004.0(=⨯+ ……………………………………10分所以308701071033225.)(=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P ……………………………………12分答：这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间的概率为0．3087． ………13分17. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，FG 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥； （2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明： 底面ABCD 为矩形 CD AD ⊥∴ ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ ,PD AD ⊥∴D PD CD = PDC AD 平面⊥∴ABCDPC 平面⊂PC AD ⊥∴ …………………………………4分（2）证明：取H BP 中点，连接CH GH , 中点分别为DC AP F G ,,GH ∴=//AB 21,FC =//AB 21 GH ∴=//FC GFCH 四边形∴是平行四边形，FG ∴//CH ，BCP CH 平面⊂，BCP FG 平面⊄FG∴//BCP 平面 ……………………………………8分(3) ABCD PD 平面⊥ ，以D 为坐标原点，以DP DC DA ,,所在的直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，假设在线段AD 上存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 设),,(00m R ，)3,0,0(),0,1,2(),0,1,0(P B C )0,0,2(= )3,1,2(-= )0,1,2(m RB -= )3,0,(m RP -= 设平面BCP 的法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n ， ⎩⎨⎧=-+=032021111z y x x ， 令 31=y ),,(1301=n设平面BPR 的法向量为),,(2222z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n RB ⎩⎨⎧=+-=+-030)2(2222z m x y x m 令12=x ),,(3212m m n -= 021=⋅n n 0323=+-∴m m )( ，解得 23=m ∴线段AD 上存在点R ，且当21=AR 时，使得平面⊥BPR 平面PCB . ……………13分18.设ax x x x f 22131)(23++-=（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.解答 （1）a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-= ……………………………2分)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间∴存在),32(+∞的子区间),(n m ，使得),(n m x ∈时0>)('x f)('x f 在),(+∞32上单调递减032>∴)('f ，即0292)32('>+=a f 解得91->a∴当91->a 时，)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间 ………………………………6分（2）令0=)('x f 20<<a∴28111a x +-=；28112ax ++= ∴)(x f 在),(),,(+∞-∞21x x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增20<<a 4121<<<∴x x∴)(x f 在),(21x 上单调递增，在),(42x 上单调递减 …………………………………8分 所以)(x f 的最大值为)(2x f0622714<+-=-a f f )()( ，31634084-=-=∴a f )( ………………………10分解得212==x a , 310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为 ……………………13分19．已知平面内一动点P 到点)1,0(F 的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1． （I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB ∙的最小值．解析：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，由题意得1)1(22=--+y y x ……………2分化简得y y x 222+=当0≥y 时y x 42=；当0<y 时0=x 所以动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=和0=x （0<y ） ………………………5分（2）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为 1+=kx y ． 由 044x 4122=-⎩⎨⎧-=+=kx y x kx y 得 设1122(,),(,),A x y B x y 则4,42121-==+x x k x x ，1,2421221=+=+y y k y y (7)分因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设),(),,(4433y x E y x D ，则同理可得4,44343-=-=+x x k x x ，1,2443243=+=+y y ky y (8)分)1)(1()1)(1()()(2143+++++=+=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=∙y y y y FB FD FB AF EF FD EF AF1)(1)(21214343+++++++=y y y y y y y y …………………………………11分16248)1(484482222=⨯+≥++=++=k k k k ……………………………13分当且仅当221k k=即1k =±时，AD EB ∙ 取最小值16． …………………………14分20．已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ．(1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ；(3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列． 解： (1)由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． …………………………………………4分(2){}n a a a A ,,, 21=具有性质P ，所以n n a a +与n n a a -中至少有一个属于A由n a a a <<<≤ 210，有n n n a a a >+，故A a a n n ∉+A a a n n ∈-=∴0，故01=a n a a a a <<<<= 3210n k n a a a >+∴，故),,,(n k A a a k n 32=∉+由A 具有性质P 知，),,,(n k A a a k n 32=∈-又121a a a a a a a a n n n n n n -<-<<-<-- ，1a a a n n =-∴，21a a a n n =--，…，12-=-n n a a a ，n n a a a =-1从而n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++=-+-++-+-- 21121)()()()(故n n na a a a =+++)( 212n n a n a a a 221=+++∴ ……………………8分 (3)由(2)可知，),,,(n i a a a n i n i 211==+-+),,,(82189 ==+∴-i a a a i i …………………………① 由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A 由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A 3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴ 638a a a =-∴077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =- 即),,,(72178 ==+-i a a a i i …………………………② 由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i ),,,(821178 =-=-∴-i a a a a i i 故821a a a ,,, 构成等差数列． …………………………………13分。
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理-(27660)
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{}31A x x =-,{}12B x x x =-或，则A B =(A) {}32x x - (B) {}31x x --(C) {}11x x - (D) {}11x x -(2）复数1i z i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限(3)已知,a b R ∈，且a b ，则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b -(C) 110a b - (D) 0a be e ---(4)在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则tan()θπ+的值为(A)43(B)34(C)43-(D) 34-(5)设抛物线24y x=上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有(A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种(7)设{}na是公差为d的等差数列，n S为其前n项和，则“d>0”是“{}nS为递增数列”的(A）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件(C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为(A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【高三数学试题精选】2018届高三数学(理)4月一模试题(北京市东城区附答案)
2018届高三数学（理）4月一模试题（北京市东城区附答案）
5 c 北京市东城区2018学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（理科）
本试卷共页,共分考试时长分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效考试结束后,将试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
1【答案】
【解析】由题易知，故选
2【答案】
【解析】 ,所以在复平面上对应的点为，在第二象限,故选
3【答案】
【解析】由在上单调递增可知,
故选
4【答案】
【解析】由正切函数定义可知，，
故选
5【答案】
【解析】在抛物线中, 焦点准线点到轴的距离为即故选
6【答案】c
【解析】法一种
法二种故选c
7【答案】D
【解析】充分条的反例，当，时，，，充分不成立。
2018北京市东城区高三综合练习{二}数 学(理)
2018北京市东城区高三综合练习{二}数学（理）本试卷共 4 页，共 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分{选择题共 40 分)一、选择题共 8小题，每小题5分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的-项。
(1)若集合 A= {xl-1<x<2} ，B= {xlx<-2 或 x>l} ，则 AUB=A.{xlx<一2 或 x>l}B.{xlx<-2 或 x> 一 1}C.{xl-2<x<2}D.{xI1<x<2}(2)复数(1 +i)(2一i)=A.3+iB.1+iC.3-ID.1-i（3）在（x+）5的展开式&x3中的系数10,则实数 a 等于A.-1B.C.1D.2（4）已知双曲线 C: -=1 的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆+y²=1有相等的焦距，则 C 的方程为（A）- y²（B）-=1（C）x²-=1（D）-=1(5)设 a ，b 是非零向量，则是"a//b"的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件(6)某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了 100 个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为叫m1，m2 ;标准差分别为 S1 ,S2则下面正确的是则下面正确的是(A)m1>m2，S1>S2(C)m1<m2，S1<S2(B)m1>m2，S1<S2(D)m1 <m2，S1 >S2(7) 己知函数 f(x) =log2 x ，g(x) =2x+α，若存在x1,x2∈，使得f(x1) = g(X2) ，则 a的取值范围是A.B.（-∞，-50+∞）C.(- 5，0)D.（-∞，-5）（0，+∞）(8)A，B，C，D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的Ⅰ型、Ⅱ型零件数，则下列说法错误的是A.四个工人中，D 的日生产零件总数最大B.A，B 日生产零件总数之和小于 C ，D 日生产零件总数之和C.A，B 日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和(D)A，B，C，D 日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分。
2018年北京市高考理科数学二模测试题 (1)
2018年北京市高考理科数学二模测试题(数学理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝A. ∅B.｛x |0＜x ＜3｝C.｛x |1＜x ＜3｝D.｛x |2＜x ＜3｝ 2. 不等式112x <的解集是 A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．),2()0,(+∞-∞3．设P 为ABC ∆所在平面内一点，且025=--，则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为A ．15 B ．25 C ．14 D ．53 4 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35C D ．05. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线020084=-+y x 垂直，则直线l 的方程为A ．430x y --=B ．034=+-y x C.020084=--y x D ．020084=+-y x 6．已知正整数a ，b 满足430a b +=，使得11a b+取最小值时，则实数对(,)a b 是( ) A ．(5，10) B ．(6，6) C ．(10，5) D ．(7，2)7．cos 20cos10tan 702cos 40sin 20︒⋅︒︒︒-︒︒=( )A ．12B ．2C ．2D ．28．某部队为了了解战士课外阅读情况，随机调查了50名战士，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数 据．结果用右面的条形图表示，根据条形图可得这50 名战士这一天平均每人的课外阅读时间为( ) A ．0.6h B ．0.9h C ．1.0h D ．1.5h9．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A ．13125 B ．16125 C ．18125 D ．1912510．计算⎰的结果是( ) A ．4π B ．2π C ．π D ．2π11l 与椭圆22221x y a b+=，（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A．2 B ．12 C．3 D ．1312．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为( )A ．43πB ．2πC ．83πD ．103π 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分。
届北京东城区高三数学模拟试卷及答案
届北京东城区高三数学模拟试卷及答案2018届北京东城区高三数学模拟试卷及答案高考数学复习必不可少的是数学模拟试卷，我们在复习阶段需要通过多做数学模拟试卷来提升巩固基础知识点，以下是店铺为你整理的2018届北京东城区高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届北京东城区高三数学模拟试卷题目一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2.若复数满足 ( 为虚数单位)，则复数的虚部为 ( )A.1B.C.D.3. 指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为 ( )A.单调递增B.单调递减C.在上递增，在上递减 D .在上递减，在上递增4.已知命题p: ;命题q：，则下列命题中的真命题是 ( )A. B. C. D.5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为( )A.( ，0)B.(0， )C.( ， )D.( ， )6.设，则 ( )A. B. C. D.7.已知函数的图像对称，则函数的图像的一条对称轴是( )A. B. C. D.8. 函数的部分图象大致为 ( )9.函数的单调增区间与值域相同，则实数的取值为 ( )A. B. C. D.10.在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成的一个“类”，记作，即，其中 .给出如下五个结论：① ; ② ;③ ;④ ;⑤“整数属于同一“类””的充要条件是“ ”。
其中，正确结论的个数是 ( )A.5B.4C.3D.211.已知是定义在上的偶函数，对于 ,都有 ,当时，，若在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是 ( )A.7B.8C.10D.1212.奇函数定义域是，，当 >0时，总有>2 成立，则不等式 >0的解集为A. B.C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.函数在点处切线的斜率为 .14.由抛物线，直线 =0， =2及轴围成的图形面积为 .15. 点是边上的一点，则的长为_____.16.已知函数则关于的不等式的解集为 .三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)设、，，。
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{}31A x x =-,{}12B x xx=-或，则AB =(A) {}32x x - (B) {}31x x --(C) {}11x x - (D) {}11x x -(2）复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知,a b R ∈，且a b，则下列不等式一定成立的是 (A) 22ab - (B) cos cos 0a b-(C) 110a b-(D) 0abee ---题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为(A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(9)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a 2+c 2=b 2+ac ，则B= .(10)在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为 .(11)若x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x+y 的最大值为 .(12)某几何体的三视图如 图所示，则该几何体的表面积为(13）设平面向量a ,b ,c 为非零向量．能够说明“若a ・b =a ・c ，则 b =c ”是假命题的一组向量a ,b ,c 的坐标依次为 .(14）单位圆的内接正n(n ≥3)边形的面积记为()f n ，则f(3)= ; 下面是关于()f n 的描述：①2()sin2n f n nπ= ②()f n 的最大值为π③()f n (1)f n + ④()f n (2)f n 2()f n ≤其中正确结论的序号为 ．（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分。
高三数学-2018东城区二模理 精品
北京市东城区2018年高三年级综合练习（二）参考公式:三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin φθφθφθ-+=+ 2sin2cos2sin sin φθφθφθ-+=-2cos 2cos 2cos cos φθφθφθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos φθφθφθ-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧其中c c 、'分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．台体的体积公式： h S S S S V )''(31++=台体其中S S 、'分别表示上、下底面积，h 表示高．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数||||,1),,(2121z z ai z R b a bi a z <+-=∈+=若，则实数b 适合的条件是 (A)b<-1或b>1 (B)-1<b<1 (C)b>1 (D)b>0(2)命题甲:212,2,)21(x xx -成等比数列命题乙：lgx ，lg(x+1)，lg(x+3)成等差数列 则甲是乙的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （3）、某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3km （不含3km ），以后每1km 价为1．6元(不足1km ，按1km 计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数象大致为(4)、P(x ，y)是曲线⎩⎨⎧=+-=ay a x sin ,cos 1上任意一点，则22)4()2(++-y x 的最大值是(A)36 (B)6 (C)26 (D)25(5)、某银行耽蓄卡的密码是一位4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字(如2816)的方法设计密码，当积为一位数时，十位上的数字选0．千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有(A)90个 (B)99个 (C)100个 (D)112个 (6)集合S={0，1，2，3，4，5，}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x-1∉A ，且x+1∉A ，（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个 （7）、在数列}{n a 中，11=a ，当n ≥2时，111-+-=n n n a a a ，且已知此数列有极限，则nn a ∞→lim 等于（A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）1 （8）、在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c 的值为（A ）1 （B（D ）4(9) 与双曲线116y 9x 22=-有共同的渐近线，且经过点()32,3-的双曲线方程为 A ．19y 44x 22=- B ．19x 44y 22=- C ．14x 9y 422=- D ．14y 9x 422=- (10) 已知平面，直线m 、l ，点A ，有下面四个命题：①必为异面直线；②若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；③若；④若。
届北京市东城区高三第二学期综合练习数学理
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{}31A x x =-,{}12B x xx=-或，则A B =(A) {}32x x- (B) {}31x x -- (C) {}11x x -(D){}11x x-(2）复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知,a b R ∈，且a b ，则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b -(C)110a b- (D) 0a be e ---(4)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则 tan()θπ+的值为(A)43 (B) 34(C) 43- (D) 34-(5)设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有 (A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种(7)设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“d>0”是“{}n S 为递增数列”的 (A ）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件 (C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 (A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018届北京市东城区普通校高三联考(零模)理科数学试题及答案
为 m ；过三棱柱任意两个顶点的直线 (15 条) 中，其中能构成异面直线有 n 对，
则 m，n的取值分别为
A. 15 ，45 B. 10, 30 C. 12, 36 D. 12 , 48
第二部分
二、填空题：本大题共 6 小题 , 每小题 5 分，共 30 分 , 把答案填在题中横线
上。
9. 在 (2 x2 1 ) 5 的二项展开式中， x 的系数为
15．（本题满分 13 分）
已知 sin(
4 ),
5
0, .
2
( Ⅰ ) 求 sin 2 （Ⅱ）求函数
cos2 的值；
2 f ( x) 5 cos sin 2x
6
1 cos2x 的单调递增区间 .
2
16. （本题满分 13 分）
一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为
1,2,3,4,5,6 .
北京市东城区普通校 2018 届高三联考（零模） 数学（理科）
本试卷共 150 分，考试用长 120 分钟。 第一部分
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四 个选项中 , 只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 A x y ln 1 x , 集合 B y y x2 , 则 A B
则
z 的取值范围是
。
x0
12．已知圆 C:
x y
cos , （
1 sin
为参数）与直线 l : r (cos q + sinq) = 2 ， 则直线 l 截
圆 C 所得的弦长为
。
13. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，
依次为主视图，侧视图，俯视图，则此几何体的表面积为
2018年高三最新 北京市东城区2018年高三年级数学(理工
北京市东城区2018年高三年级综合练习(一)高 三 数 学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式 sin θ+sin φ=22φθ+cos2φθ- S 台侧=21(c ′+ c)lsin θ-sin φ=2cos2φθ+sin2φθ- 其中c ′,c 分别表示上,下底面周长, l 表示斜高或母线长cos θ+cos φ=2cos 2φθ+cos 2φθ- 台体的体积公式：cos θ-cos φ=-2sin 2φθ+sin 2φθ- V 台体=31(S ′+ s s'+S)h其中S ′,S 分别表示上、下底面积，h 表示高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)“lgx>lgy”是“x >y ”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m；③l ∥m：⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β，其中正确的两个命题的序号是 (A)①与② (B)③与④ (C)②与④ (D)①与③(3)不等式组{2124-x a x a>-<,有解，则实数α的取值范围是(A)(-1，3) (B)(-3，1)(C)(-∞，-1)∪(3，+∞) (D)(-∞，-3)∪(1，+∞) (4)已知函数f (x )=31-x ，设它的反函数为)y =f -1(x )，当y ≥0时，y =f -1(x )的图象是(5)极坐标方程0)( 2sin2cos ≥=ρθθρ表示的曲线是(A)一条射线和一个圆 (B)两条射线 (C)一条直线和一个圆 (D)一个圆(6)某饭店有n 间客房，客房的定价将影响住房率，每天客房的定价与每天的住房率的关系如下表：要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为(A)90元 (B)80元 (C)70元 (D)60元(7)已知函数f (x)=x+x 3，x 1，x 2，x 3∈R，x 1+x 2<0，x 2+x 3<0，x 3+x 1<0，那么f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)的值(A)一定大于0 (B)一定小于0 (C)等于0 (D)正负都有可能(8)过圆x 2+y 2=5内点P(25，23)有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列{a n }，如果过P 点的圆的最短的弦长为a ，，最长的弦长为a n 。
北京东城区2018-2019届高三第二次统练数学试卷及答案(理科)
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}A B x x x =--=--≤，则AB =R(A){2}- (B) {01}， (C) {2,1,2}-- (D) {1,0,1,2}- （2）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 2（3）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为 (A)1m n +=(B) 1m n +=-(C) 1mn = (D)1mn =-（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ）， 则此构件的体积为（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ） 332000mm （D ）330000mm （5）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) 41 (D)35（7）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于(A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， V 和K 满足一个线性关系：00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 (A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大 (C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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，
，
．
的分布列为
．………………………………………13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明因为
所以，
又因为，且，
所以平面，
因为平面，
所以．
（Ⅱ）因为△是等边三角形，
，，
不防设，则，
又因为，分别为，的中点，
由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．
则有，，，，，．
所以，．
2018年高三数学二模理科试卷（东城区附答案）
5 c北京市东城区2018学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B（2）c（3）A（4）D
（5）D（6）B（7）D（8）c
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10）（11）
则存在无数个正整数，使得对任意的，有．
设为其中最小的正整数．
若为奇数，设（），
则．
与已知矛盾．
若为偶数，设（），
则，
而
从而．
而，与为其中最小的正整数矛盾．
综上，不存在正整数，使得对任意的，有．
（Ⅲ）若为有理数，即为无限循环小数，
则存在正整数，，对任意的，且，有．
与（Ⅱ）同理，设为其中最小的正整数．
若为奇数，设（），
+
令，则．
当时，，
当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在处取得极大值即最大值，最大值为．
所以当，即时，的图象与轴恰有两个交点，
方程有两个实根，
当时，的图象与轴恰有一个交点，
方程有一个实根，
当时，的图象与轴无交点，
方程无实根．……14分
（19）（共13分）
解(Ⅰ)因为，，
所以．
因为原点到直线的距离，
（12）（13）（14）①③
注两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解（Ⅰ）因为
．
所以的最小正周期．
（Ⅱ）因为，
所以．
所以的取值范围是．………………………………13分
（16）（共13分）
解（Ⅰ）设该年级共人，由题意得，所以．
则．
当时，有．
与已知矛盾．
若为偶数，设（），
当时，有，
而
从而．
而，与为其中最小的正整数矛盾．
故不是有理数．……………………………………………………13分
5 c
设平面的法向量为．
则
即
令，则．
所以．
又平面的一个法向量为．
所以．
所以二面角的余弦值为．………………………………14分
（18）（共14分）
解(Ⅰ)，定义域为，
则．
因为，由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
(Ⅱ)由题意，以为切点的最小值为．
(Ⅲ)由题意，方程化简得
解得，．
故所求椭圆的方程为．
(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为，
所以
解得，．
所以．
因为点在椭圆上，
所以．
因为，所以．
所以的取值范围为．
(Ⅲ)由题意
消去，整理得
．
可知．
设，，的中点是，
则，．
所以．
所以．
即．
又因为，
所以．所以．………………………………13分
（20）（共13分）
解（Ⅰ）；
．
（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，有．