(整理)第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理(16K)
弹性力学的基本方程和变分原理
σ xx
( x,
y, z) +
∂σ xx
( x,
∂x
y, z)
dx +
∂
2σ
xx ( x,
2∂x2
y,
z
)
(
dx
)2
+
略去二阶以上微量，有
σ
xx
(x
+
dx,
y
)
=
σ
xx
(x,
y)
+Leabharlann ∂σxx (x,∂x
y
)
dx
故弹性体 V 域内任一点沿坐标轴 x, y, z 方向的平衡方程为
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
(0.1.5)
其中 [A]是微分算子
∂
∂x
0
0
∂ ∂y
0
∂
∂z
[A]
=
0
∂ ∂y
0
∂∂ ∂x ∂z
0
0
0
∂ ∂z
0
∂ ∂y
∂
∂x
(0.1.6)
{F} 是体积力向量，{F} = Fx Fy Fz T
2. 几何方程——应变-位移关系 设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为 APB，而变形后为 A’P’B’，P 点变形到 P’点的
PA′ − PP′ − PA PA
=
P= A + AA′ − PP′ − PA
dx +
u
+
∂u ∂x
dx
−u
− dx
=
∂u
PA
dx
∂x
(2)定义 y 方向的相对伸长量为
弹性力学5PPT课件
叠加原理的适用范围
适用于线弹性范围内的小变形问题，对于非线性问题或大变形问题，叠加原理不再适用。
叠加原理的应用举例
利用叠加原理求解复杂载荷下的梁的弯曲问题，可以将复杂载荷分解为几个简单载荷， 分别求出每个简单载荷下的弯曲变形，然后叠加得到最终结果。
03
平面问题求解方法
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
两者区别
平面应力问题中，垂直于 板面的应力分量可忽略不 计；而平面应变问题中， 该应力分量不可忽略。
功的互等定理与卡氏定理的应用举例
利用功的互等定理可以求解某些复杂结构的位移和应力问题；利用卡氏 定理可以求解某些特殊载荷作用下的应力问题。
虚功原理与最小势能原理
虚功原理的基本内容
在弹性力学中，外力在虚位移上所做的功等于内力在虚应变上所做的功。这里的虚位移和虚应变是指满足几何约束和平衡 条件的任意微小的位移和应变。
复变函数的引入
利用复变函数的性质，可将平面 弹性力学问题中的偏微分方程转 化为复变函数的解析函数问题。
保角变换
通过保角变换，可将复杂形状的 平面区域映射为简单形状的区域， 从而简化问题的求解。
边界条件的处理
在复变函数法中，边界条件的处 理是关键步骤之一，需要根据具 体问题选择合适的处理方法。
差分法和有限元法在平面问题中的应用
边界条件处理
阐述有限元法中边界条件的处理方法， 如固定边界、自由边界、对称边界等。
第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理
第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。
本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。
在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。
§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。
由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。
（1）力的平衡方程0,=+σi j ij F （在V 内） （5-1） 式中i F 表示体力，j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数（以下相同）。
（2）应变位移关系式（几何关系）)(21,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-2） （3）应力应变关系式（物理关系）kl ijkl ij a ε=σ （5-3）kl ijkl ij b σ=ε （5-3’）式中ijkl a 为弹性模量系数，ijkl b 为劲度系数，ijkl a 和ijkl b 都具有对称性。
（4）在弹性体的边界上，表面S 可划分为两部分：外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即u S S S +=σ （5-4）在力的边界σS 上，i j ij T n =σ （5-5）式中i T 为已知边界力，j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。
弹性力学-05(变分法)
微分提法解法（1）平衡微分方程,=+j i ij X σ（2）几何方程)(21,,i j j i ij u u +=ε（3）物理方程[]ij kk ij ij Eδμσσμε−+=)1(1（4）边界条件ji ij X n =σii u u =定解问题求解方法（1）按位移求解（平衡微分方程（2）按应力求解（（（（（求解联立的微分方程组求解特点：（解析解微小单元平衡变形材料性质§5-4 弹性体的形变势能和外力势能变分提法解法基本思想：所有可能的解求解线性方程组整个弹性系统能量关系变分方程在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题能量法（a ）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。
（b ）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。
（c ）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。
——位移法——力法有限单元法边界元法离散元法数值解法求解方法数值解法基本思想：导数差分求解线性方程组实质：变量离散变分方程区域离散单元可能解求解大型的线性方程组有限单元法边界单元法离散单元法1. 形变势能的一般表达式Px单向拉伸：1形变势能（）U 11l l A P Δ11比能三向应力状态：σσyσzyzτzy τyxτxyτxz τzx τ三向应力状态：σσyσzyzτzy τyxτxyτxz τzx τ次序无关形变比能y y x x εσεσ111++yz yz zx zx τγτγ++1形变势能：2. 形变势能的应变分量表示)(12x y y E μεεμσ+−=)(12y x x E μεεμσ+−=xy xyE γμτ)1(2+=22212122(1)2xy x y xy E U μεεμεεγμ−⎡⎤=+++⎢⎥−⎣⎦2x y x y εεμεε+++⎢111表明：3. 形变势能的位移分量表示222121()()2()2(1)2E u v u v u v U x y x y x y μμμ⎡⎤∂∂∂∂−∂∂=++++⎢⎥−∂∂∂∂∂∂⎣⎦()()2(μ++++⎢外力的虚功：;,,Z Y X ZY X ,,Xu Yv +Xu Yv +由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的外力势能为：§11-2 位移变分方程1. 泛函与变分的概念（1）泛函的概念xF泛函P1)(xMEIB l x泛函形变势能泛函（2）变分与变分法自变量的增量函数增量微分问题P1)(xMEIBlx)(xy)(xy yδP1)(xMEIB lx ) (xy)(xy yδ自变函数的增量泛函的增量变分问题变分的运算变分与微分运算：)(x f =⎟)(x f =⎟)(x f =⎟⎟变分运算与微分运算互相交换变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换复合函数的变分：y δ+复合函数的变分：y δ+⎢++⎥⎢′+y y y y δδδδ极大值极小值2. 位移变分方程形变势能位移变分qP应力边界S σ满足：平衡方程、几何真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：wv u δδδ,,满足两个条件：（（wv u δδδ,,满足两个条件：（（qP应力边界S σw位移的变分虚位移由于位移的变分，引起的外力功的变分和外力势能的变分为：X u Y δδ+X u Y δδ+微小的为约束所允许（2）考察弹性体的能量变化从而引起形变势能的变分为：()()()y xy u v u δδεδδγδ==+，，由于位移的变分，引起的应变的变分为：设：位移变分方程Lagrange 变分方程WU δδ=X u Y δδ+它表明：在实际平衡状态发生位移的变分时，物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。
弹性力学简明教程第五章
y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑴ 应力边界条件用 Φ表示
取出坐标 的正方向作为边界线s 的正 dy 向（图中为顺时针向），当移动ds 时， 为正，而dx 为负，所以外法线的方向余弦 为
dy l cos α , ds dx m sin α . ds
第五章 用差分法和变分法解平面问题
y
10
T0 , 2h
所以得
2h( q y ) 2
T1 0 T0
.
(e)
这时，边界点2的 T2 是未知的，对2点 须列出式（d）的方程。此方程涉及到 T1 0 值，可将式（e）代入。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
例2
稳定温度场问题的 40 差分解。设图中的矩 形域为6m×4m ，取 32 网格间距为h=2m，布 置网格如图，各边界 点的已知温度值如图 24 所示，试求内结点a， b的稳定温度值。
边界条件
将上式和式(d)代入式(b)，得
d y 2Φ d x 2Φ ( ) ( ) fx, 2 d s y d s xy
d x 2Φ d y 2Φ ( ) ( ) fy. 2 d s x d s xy
即
d Φ ( ) f x , d s y
d Φ ( ) fy. d s x
第五章 用差分法和变分法解平面问题 抛物线差分公式
从上两式解出o点的导数公式，
f 1 ( )0 ( f1 f 3 ), x 2h 2 f 1 ( 2 )0 2 ( f1 f 3 2 f 0 ). x h
(b)
式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出 高阶导数公式。
第一节 第二节
弹性力学-05(差分法与变分法)
（5-10）
—— 应力函数差分方程 x 12 4 0 5 1 9 A 13
弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。 如：节点13、14等。
（c ）
y
h
将其代入式（b），有：
2 2 f h f f 3 f 0 h x 2 x 2 0
0 2 2 f h f f1 f 0 h 2 x 0 2 x 0
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：
0 x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4
4
y h
优点： 收敛性好、程序设计简单、 非线性适应好。 代表性软件：FLAC
f f f 1 3 2h x 0
y h
x h
3 0 1
缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。 （2）等效积分法 控制微分方程 边值条件 建立等效的 积分方程 假设未知函数 整个区域内
定值条件 精确解 （均质、边界条件简单）
近似解 （1）有限差分法 （数值解） （2）等效积分法（包括变分法） （3）有限单元法 （4）边界单元法 …… f1 f 3 （1）有限差分法（FDM） f 代替 2h x 0 要点：差分 微分； x h 3 0 1
弹性力学主要内容及参考书目《弹性力学》
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
弹性力学有限元第五章 变分法解平面问题
用V表示外力的势能(以u,v=0的自然状态下的势能为0)，它等于外 力在实际位移上所做的功冠以负号，则：
d U V 0
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
d U V 0
U+V是形变势能和外力势能的总和，可以看出，在给定的外力作 用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。 最小势能原理
积分可得形变势能。 平面应变问题作弹性常数的替换。
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
设有平面问题中的任一单位厚度的弹性体，在外力作用下平衡。
u,v为其实际位移分量，假设这些位移分量发生了位移变分(虚位 移)d u, d v，成为：u u d u v v d v
考察其能量方面的变化。
b a a
增量的主要部分定义为泛函的变分，则
f f 代入d f，则 d I d y d y dx a y y
b
d I d f dx
b a
显然，存在关系式： d
b
a
f dx d f dx
a
b
只要积分的上下限不变，变分的运算和定积分运算可以交换次序
U1 U1 U1 dxdy f xd u f yd v dxdy f xd u f yd v ds e x de x e y de y g xy dg xy
虚功方程：方程右边各项称为应力在虚应变上的虚功。 如果在虚位移发生之前，弹性体是出于平衡状态，那么在虚位移过程 中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。
b
第五章 变分法解平面问题
§5-1 变分法简介
(整理)弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
弹性力学05变分原理及其应用
U 0
xy
y
U 0
y
yz
U 0
yz
z
U 0
z
xzLeabharlann U 0xz线弹性问题的变形能
U0
1 2
( x x
y y
z z
xy
xy
yz
yz
xz
xz )
U0
1 2
ij
ij
注意：变形能为 U U0d
V
弹性体体积 ，表面积为S。
位移给定表面Su 面力给定表面S
位移边界 面力边界
S =Su+ S
虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在
对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。
2、功的互等定理
Fb1iui2d Fs1iui2dS
Fb2iui1d Fsi2ui1dS
V
S
V
S
作用于弹性体的第一种状态外力，包括体力 和面力，在第二种状态对应的位移上所做的 功等于第二种状态的外力在第一种状态对应 的位移上所做的功。
u u0 Amum
m
v v0 Bmvm
m
w w0 Cm wm
m
其中u0,v0,w0 为设定的函数，在边界上的值等于 边界上的已知位移；um,vm,wm为边界值等于零的
设定函数，Am，Bm，Cm为待定的系数，位移的
变分由它们的变分来实现。
δu umδAm
m
δv vm δBm
m
δw wmδCm
m
应变能的变分为
δU
U
(
Am
δAm
U Bm
δBm
U Cm
δCm )
外力势能的变分为
δV
弹性力学的变分原理 ppt课件
ilil
σ u il,iul ilul,i il,iul ilil σu σ :ε
V f udv σ udv
V
V
σ f udv σ :εdv σ :εdv
理
理
§11-3 广义虚功原理
一、真实位移、真实应力和真实应变
即几何连续条件
即平衡条件 它们构成弹性力学问题的解。
二、容许位移、容许应变
比较
只对应于一个连续的位移场，但不一定 对应于一个平衡的应力状态，即与 对应的 应力不一定满足平衡条件；而真实位移必对 应一个平衡的应力状态。
容许位移和应变不一定是真实的位移和应 变。但反之，真实的位移和应变必然是容许 的。
一般情况下，泛函具有如下形式：
二、函数的微分 与变分
1、自变量的微分dx 2、函数的微分-因变量增量 3、函数的变分-与微分对应，仍为函数
注意到：
与(*)式比较，可见： 即：
结论：导数的变分等于变分的导数，或变分
记号与求导记号可以互换。
三、泛函的变分
一般情况下，泛函可写为：
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增 量可以写成
1 2
ij
ui, j
ui, j
1 2
ijui, j
ijui, j
1 2
ijui, j ijui, j
iju j,i
1 2
ij
ui, j
u j,i
ijij
V f udv t uds f udv n σ uds
弹簧
准静态加载
弹性力学弹性力学的变分原理
静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法 扭转问题最小余能近似解 有限元原理与变分原理 有限元原理的基本概念 有限元整体分析 第十一章 弹性力学的变分原理几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利-里茨 (Rayleigh-Ritz) 法 伽辽金(『anQpKUH )法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析一、内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题， 只能采用半逆解方法得到个别问题解答。
一般问题的求解是十分困难的， 甚至是 不可能的。
因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。
变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基 本方程的定解问题， 转换为求解泛函的极值或者驻值问题， 这样就将基本方程由 偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。
变分原理不仅是弹性力学近似解 法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。
本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理， 并且应用变分原理求解弹 性力学问题。
最后，将介绍有限元方法的基本概念。
本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习 附录3或者查阅参考资料。
知识点、重点1几何可能的位移和静力可能的应力；2、弹性体的虚功原理；3、最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理的基本概念。
§11.1弹性变形体的功能原理学习思路：本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力「：，和几何可能的位移’概念；静力可能的应力和几何可能的位移；可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。
理论力学中的弹性力学与变形分析
理论力学中的弹性力学与变形分析弹性力学是理论力学的重要分支之一，研究物体在受到外力作用后所发生的变形和应力分布规律。
变形分析是弹性力学中的基本概念，它涉及物体的改变形状和尺寸的过程。
本文将对理论力学中的弹性力学和变形分析进行探讨。
一、弹性力学的基本原理弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡方程和边界条件等。
胡克定律是描述物体线弹性变形的基本理论，即应力与应变之间的线性关系。
胡克定律可以用数学公式表示为：σ = Eε其中σ为物体的应力，E为弹性模量，ε为物体的应变。
平衡方程是弹性力学的基础，它描述了物体在受到外力作用后的平衡状态。
平衡方程可以分为静力学平衡方程和动力学平衡方程。
静力学平衡方程主要包括力的平衡和力矩的平衡两个方面，而动力学平衡方程考虑了物体在外力作用下的加速度和惯性力。
边界条件是指物体表面处的应力和位移与相邻物体或环境的相互作用关系。
边界条件的确定对于解决弹性力学问题非常重要，它涉及到物体与物体之间的相互作用以及物体与外界环境的相互作用。
二、变形分析的基本概念变形分析是弹性力学研究中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用后所发生的形状和尺寸的变化。
变形分析主要包括线弹性变形和刚体位移两个方面。
线弹性变形是指当物体受到轴向力作用时，在垂直于该力的方向上发生的形变。
根据胡克定律，线弹性变形与物体的应变成正比。
刚体位移是指物体在受到力作用后整体平移或旋转的位移。
刚体位移描述了物体的整体运动状况，也是变形分析的重要内容。
变形分析也可以通过应变能和势能方法进行求解。
应变能方法是基于物体内部的应变能储存，通过最小化系统总应变能来求解物体的位移和应力分布。
势能方法则是基于物体内部的势能储存，通过最小化总势能来求解物体的位移和应力分布。
这两种方法在弹性力学的应用中被广泛使用。
三、弹性力学与工程应用弹性力学在工程领域有着广泛的应用。
它被用于解决各种与结构和材料有关的问题，如桥梁、建筑、航空航天和机械工程等。
第五章弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理(16K)
第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。
薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。
薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。
1850年，G .R.Kirchhoff 除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。
这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。
当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§5.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。
变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。
由Kirchhoff 假设，可以得到x w zz y x u ∂∂-=),,(，yw z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （5-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （5-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （5-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。
弹性力学—第五章—变分法
增量
称为函数
的变分。
函数的变分
y
δu 是函数 u的 变分。 δu
u* u
A
x1
u( x1 ) 0
B
x2
x
u( x2 ) 0
z
d d * u u (u ) [u * u ] u dx dx
泛函及其变分计算
泛函：如果对于某一类函数 中的每一个函数 ,变量 J 有一个值和它对应，则变量 J 称为依赖于函数的泛函， 简单的说，泛函就是函数的函数。记为：
泛函及其变分计算
泛函 I 在曲线 上达到极大值或极小值的必要条件为：
例如对于：
其达到极值必须有：
泛函及其变分计算
设函数 通过A，B两点，且具有边界条件： 试写出泛函 的极值条件。
0
泛函及其变分计算
简例，试求连接平面内给定两点之间的曲线长度最短 时的曲线函数。
弹性体的形变势能
弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量， 如形变势能，外力势能等。因此弹性力学中的变分法又 称为能量法。 弹性体的形变势能密度为： 对平面问题： 弹性体的形变势能为：
弹性体的形变势能
弹性体的形变势能
由上式可知，弹性体的形变势能大于等于零，试证 明之。
弹性体的外力势能
外力所做的功称为外力功：
体力
面力作用面
面力
由于外力做了功，因此消耗了外力势能，则弹性体的外力 势能为：
位移变分方程
现在我们来考察，由于弹性体发生了虚位移 和 引起的外力功，外力势能和形变势能的改变： ，所
得到 x
即便多取几个未知数 Am ， Bm ，所得解答也为上式，且该解 答就是此类问题的精确解，因为它能满足平衡微分方程及应 力边界条件。
弹性力学 第5章(6,7节)
(c)
对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边 界条件（当 f x 或 f y 0处积分为0），
例题
且其中的 u1 ， v1 应代入相应的边界方程。将 式(a)代入 U ，计算式(c)的左边项。 共建立两个方程，求出A1 和B1 ，得位 移解答： 1
u E 1 v (q2 q1 ) y. E (q1 μq2 ) x,
2E 1 8 b 8 8 { [ B1 A1 ]} qa. 2 1 2 3a 15 3
例题
当取 0.2 ，且a b 时，上两式方程简化 39 为 A1 B1 0, 35
1 6 qa A1 B1 . 5 5 E
由此解出 位移分量的解答是 2 qa x xy u 1.3125 (1 2 ) 2 , E a a 2 qa x v 1.4625 (1 2 ). E a
(f)
x xy y u A1u1 A1 (1 2 ) (1 ), a ab b 2 2 x y x y y v v0 B1v1 η(1 2 ) B1 (1 2 ) (1 ). a b a b b
2
(g)
例题
位移(g)已满足对称性条件(f)和全部边 界条件(e)。 因 s su ,sσ 0, 全部为位移边界条件且均 已满足，∴从§5－5 式(u)可见，也可应用 伽辽金变分法。
例题
假设只取u，v中一项，即
2 x x xy v B1v1 B1 (1 2 ). u A1u1 A1 (1 2 ) , a a ab 将u和v代入形变势能公式（平面应力问
2
题），得：
2 2 4 E y x x U1 { A12 2 2 (1 6 2 9 4 ) 2(1 ) a b a a 2 2 4 2 2 x x 1 2 x x x 2 x [4 B1 4 4 A1B1 3 (1 2 ) A1 2 2 (1 2 2 4 )]}. 2 a ab a ab a a
第五章：弹性变形体基本知识
3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分 对留下部分的作用力 4）平：建立留下部分的平衡条件，确定未知的 内力
3．应力 为了引入应力的概念，参照图1-5，首先围绕K点取 微小面积，有分布内力的合力，应力定义为
ΔP p ΔA
应力是一个矢量 平均应力——某个范围内，单位面积上的内 力的平均集度 K点的应力——当面积趋于零时，平均应力 的大小和方向都将趋于一定极限，得到 P dP p lim dA A0 A
物理和理论力学：运动的一般规律（质点、刚体）
质 刚
不变）
点：只有质量，没有大小 体：有质量，有大小，但没有变形（相对位置
变形体：有质量，有大小，有变形（相对位置变化） 变形：物体内部各质点之间的相对位置变化、尺 寸和 形状的改变 质点 —— 刚体 —— 变形体，人类的认识深化
对构件的三项基本要求 具有足够的强度 构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。 例如储 气罐不应爆破。 具有足够的刚度
F kx 或 x F / k
它只揭示了变形同外力成正比，至于金属丝的 粗细 和 长短 、何种材料 的影响，一概不知道 其实，不难想象：变形同外力成正比时，还应当同 金属丝的 长短 l 成正比、粗细 (面积 A）成反比
x Fl / A
引入比例常数1/E，得到
x Fl /(EA)
很幸运，实验表明：E 只同材料有关，称为杨氏模 量，因为英国物理学家 Thomas Young（1773-1829）于 1807年提出“弹性模量”的概念，其实瑞士科学家欧拉 （Leohard Euler，1707-1783）1727年早于他80年提出 把上式整理一下，得到
单向应力状态的本构关系（Constitutive
relations of uniaxial stress phase ) 在弹性范围内，有变形 x 与外力 F 成正比的弹性定律
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。
自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。
有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。
有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。
变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。
本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。
在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。
§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。
由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。
（1）力的平衡方程0,=+σi j ij F （在V 内） （5-1） 式中i F 表示体力，j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数（以下相同）。
（2）应变位移关系式（几何关系）)(21,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-2） （3）应力应变关系式（物理关系） kl ijkl ij a ε=σ （5-3）kl ijkl ij b σ=ε （5-3’）式中ijkl a 为弹性模量系数，ijkl b 为劲度系数，ijkl a 和ijkl b 都具有对称性。
（4）在弹性体的边界上，表面S 可划分为两部分：外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即u S S S +=σ （5-4）在力的边界σS 上，i j ij T n =σ （5-5） 式中i T 为已知边界力，j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。
在位移边界u S 上，i i u u = （5-6） 式中i u 为已知边界位移。
（5-5）式和（5-6）式统称为“边界条件”。
上述的诸方程共有15个，即3个平衡方程，6个应变位移关系方程，6个物理关系方程。
而未知变量也共计15个：6个应力分量ij σ，6个应变分量ij ε和3个位移分量i u 。
因此该问题是可以求解的。
小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）A 和余应变能泛函（余应变能密度）B 可表示为kl ij ijkl ij a A εε=ε21)( （5-9） kl ij ijkl ij b B σσ=σ21)( （5-10） 不难看出，)(ij A ε和)(ij B σ有以下关系，)()(ij ij ij ij B A σ+ε=σε （5-11）并且容易证明ij ij ij B σ∂σ∂=ε)( （5-12） ij ij ij A ε∂ε∂=σ)( （5-13） （一）虚功原理与总位能原理这里用ij εδ和i u δ分别表示应变变分和位移变分，在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。
则由虚功原理可写出虚功方程为0dS δdV δd δV i =--εσ⎰⎰⎰σS i i i V ij ij u T u F V （5-14）(5-14)式成立是有条件的，要求ij εδ和i u δ在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满足给定位移边界条件，即)δδ(21δ,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-15a ） 0δ=i u （在u S 上） （5-15b ）虚功原理表明，如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态，则对于为位移边界条件所容许的任意虚位移，（5-14）式成立。
反过来，如果（5-14）式对于为位移边界条件所容许的任意虚位移成立，则弹性体处于平衡状态。
值得提出的是，不管材料的应力应变关系是线性还是非线性，虚功原理都成立。
如果用下面泛函表示弹性体的总位能P ∏，⎰⎰σ--ε=∏S i i V i i ij S u T V u F A d d ])([p （5-16） 对（5-16）式取驻值，即一阶变分等于零，⎰⎰σ=--εσ=∏S i i V i i ij ij S u T V u F 0d δd ]δδ[δP （5-17） 将（5-14）式与（5-17）式比较，显然，（5-17）式就是（5-14）式。
所以，可以把总位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式。
由于⎰⎰⎰σ=+σ=εσV j i ij i j j i V ij V ij ij V u V u u V d δd )δδ(21d δ,,, （5-18） 利用格林公式，上式等号右边积分可变换为 ⎰⎰⎰σ-σ=σV i j ij S i j ij V j i ij V u S u n V u d δd δd δ,, 并引用（5-15b ）式，则（5-17）式可化为 0d δ)(d δ)(,=σ-++σ⎰⎰σS i j ij i Vi i j ij S u n T V u F 因为i u δ为独立量，则由总位能驻值条件可导出：平衡方程（5-1）即0,=+σi j ij F （在V 内）及力的边界条件（5-5）即i j ij T n =σ（在σS 上）。
（5-16）式表达了弹性体的最小位能原理：在满足应变位移关系（5-2）和位移边界条件（5-6）的所有容许的i u 中，实际的i u 使弹性体的总位能取最小值。
（二）余虚功原理与总余能原理余虚功原理中，可取ij σδ表示弹性体内的应力变分，即虚应力。
另外，i T δ表示弹性体指定位移边界上的表面边界力的变分。
与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为0d δd δ=-σε⎰⎰uS i i V ij ij S u T V （5-19） 余虚功原理是在满足平衡方程（5-1）式及力的边界条件（5-5）式的条件下成立，即满足（5-1）式和（5-5）式的变分形式的条件为0δ,=σj ij （在V 内） （5-20）0δ=i T （在σS 上） （5-21）现在定义下面的泛函为弹性体的总余能c ∏⎰⎰-σ=∏uS i i V ij S u T V B d d )(c （5-22） 现在对（5-22）式取驻值，即0δc =∏，则有0d δd )(δδc =-σ=∏⎰⎰uS i i V ij S T u V B (5-23) 利用格林公式，上式中的体积分项可化为⎰⎰⎰⎰⎰σ-σ=σ=σε=σVj ij i S ij j i V ij j i ij V ij V ij V u S n u V u V V B d δd δd δd δd )(δ,, 考虑到（5-21）式后，（5-23）式可写成0d δd δ)(,=σ-σ-⎰⎰V j ij i S j ij i i V u S n u u u (5-24) 再考虑到ij σδ应满足（5-20）式，且ij σδ为独立量，则由c ∏的驻值条件可以导出位移边界uS 上的协调条件为0=-i i u u （5-25）（5-22）式表达了弹性体的最小余能原理：在满足平衡方程（5-1）和力的边界条件（5-5）的所有容许的应力ij σ中，实际的应力ij σ使弹性体的总余能取最小值。
上面所讨论的变分原理，所提出的泛函是受一定条件约束的，如最小位能原理的泛函 P ∏应满足的条件是（5-2）式和（5-6）式，而最小余能原理的泛函c ∏应满足的条件是（5-1）式和（5-5）式。
这种变分原理称为不完全变分原理，或称为带约束条件的变分原理。
§5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理§5.2.1 完全广义变分原理现在，让我们利用拉格朗日乘子法，导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。
在§5.1节的讨论中，不论是总位能原理或总余能原理，其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的。
如果我们利用拉格朗日乘子法，将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去，则问题的性质就发生了变化，即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。
于是形成了下面的完全广义变分原理。
（1） 基于总位能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理现在，让我们将总位能原理的初始满足条件即应变位移关系式（5-2）和位移边界条件（5-6），分别乘以定义在体积V 内的和位移边界u S 上的拉格朗日乘子ij λ和j μ，并与总位能泛函p ∏相加组成新的泛函Gp ∏，Gp ,,1[()]d [()]d 2ij i i ij ij i j j i VV A Fu V u u V ελε∏=-+-+-⎰⎰ ⎰⎰-μ+σuS i i i S i i S u u S u T d )(d （5-26） 式中经受变分的独立量是ij ε，i u ，ij λ及i μ，而不需要附加任何条件。
对这些独立量进行变分，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ-μ-+μ+-+λ-λ+-ε+ελ+ε∂∂=∏S i i S i i i i i V i i V i j j i ij V ij i j j i ij V ij ij ij S u T S u u u V u F V u u V u u V A u d δd ]δ)(δ[d δd )δδ(21d δ)](21[d δ)(δ,,,,Gp 引用（5-18）式及格林公式，上式第三个积分可化为⎰⎰⎰⎰λ-λ=λ=+λS V i j ij i j ij V j i ij Vi j j i ij V u S u n V u V u u d δd δd δd )δδ(21,,,, 将上式代入Gp δ∏式中，得⎰⎰⎰σ+λ-μ-+λ-μ+-λ+λ+-ε+ελ+σ=∏S i i j ij S i i i i j ij i V i i j ij ij i j j i ij ij ij ij S u T n S u u u n V u F u u u d δ)(d ]δ)(δ)[(d ]}δ)(δ)(21[δ){(δ,,,Gp由0δGp =∏可以导出以下各式ij ij σ-=λ，)(21,,i j j i ij u u +=ε，0,=-λi j ij F （在V 内） （5-27a,b,c ） j ij i n λμ=，i i u u = (在u S 上) （5-27d,e ） 0=+λi j ij T n （在σS 上） （5-27f ） 显然，（5-27c ）式表示平衡方程，（5-27b ）式表示应变与位移的关系式，将（5-27a ）式代入（5-27d ）式中，则得j ij i n σ-=μ，将（5-27a ）式带入（5-27f ）式得j ij n T σ=，表示力边界上的给定条件。