人教版八年级数学上册七年级第十一章第五讲：多边形的内角和(教师版)
人教版数学八年级上册1多边形的内角和课件
n ·- ·3
分割出三 角形的个 3 数- 2 1
多边形内角 和
180º
=
4 - 2 2
360º
=
5 - 2 3
540º
=
6 - 24
720º
= ·
·
··
··
·n ·- （ n ·- ·
2
2 ）·180º
归纳总结
通过上述过程，你能说说多边形的内角和与边数的 关系吗？
从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角 线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2）个 三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形的内 角和等于（n -2）×180°．
（
）A
A.600° B.720° C.900°
D.1080°
2.若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数
（
）
A.增加C B.减少
C.不变
D.不能确定
综合应用
3.已知，在四边形ABCD中，∠A:∠B＝5:7，∠B与 ∠A的差等于∠C，∠D与∠C的差是80度，求四边形ABCD
四个内角的度数.
解：设∠A=5x°，∠D=y°，则∠B=7x°，∠C=2x°，由
类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边 形的外角和是360°，六边形的外角和是360°．
知识点3 n 边形的外角和
问题4 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小于
3 的任意整数）的外角和吗？
因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它 们的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于 n · 180°，所以， n 边形的外角和为：
n · 180°-（n -2）· 180°= 360°．
新人教版八年级上册第十一章《多边形的内角和》教案
小组代表展示探究成果
13’50”-18’25”
展示多种证明方法
展示多种证明方法
学生代表展示
利用白板软件的智能识别图形绘制辅助线，将四边形分割为三角形，直观展示证明过程，同时教师小结，指出其中蕴含的转化的数学思想方法，并通过提问四种方法的共同点将放出去的课堂收回来。进而引导探究多边形的内角和
探究多变形的内角和
25’31”-28’35”
巩固内角和公式
强调内角和公式，并进行基础练习
独立思考，并回答问题
利用白板软件的文字智能识别功能，输入相关问题并加入动画，按教学要求先后显示
例题1
28’36”-31’40”
能够通过内角和求边数
典例解析
学生代表板书
利用白板的画笔工具，进行课堂生成，展示学生的不同做题思路
例题2
31’41”-37’50”
通过亲自参与量角器度量，拼接周角等，学生能够感受到实验证明中存在的误差，但从实验证明过渡到几何证明，这对学生有一定的难度，需要老师的引导及学生间的合作
人教版初中数学八年级上册第十一章 多边形的内角和
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（ ）
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等.
（）
2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边 数是 10 ．
课堂检测
11.3 多边形及其内角和/
3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转 24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样 走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是 ___1_5_0___米．
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，
并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内
角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则 （n–2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8–2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
课堂检测
11.3 多边形及其内角和/
4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ B ）
A. 360°
B. 540 °
C. 720 °
D. 900 °
课堂检测
11.3 多边形及其内角和/
能力提升题
一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的 多边形的内角和.
解：设多边形的边数为n，则有180° × （n–2）=1800°，解得 n=12. ∴原多边形边数为12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
1A
B
5
2 C3
E 4
D
结论：五边形的外角和等于360°.
人教版数学八年级上册1多边形内角和课件
11.3.2 多边形内角和
复习
概念: 多边形、边、角、对角线
多
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组
边 成的封闭图形叫做多边形
形
如果一个多边形由n条线段组成，那么 这个多边形就叫做n边形
性n 边质形: 内有角n和个 顶 点 ， n 条 边 ， n 个 内 角
n边形内角和是多少度？
D
E
C
D
E
C
O
A
BA
B
六边形内角和是多少度？
E F
D
六边形从一个顶点
出发引出对角线，它
们将六边形分成 3个
C 三角形，所以边六形
的内角和为720 °。
A
B
n边形内角和是多少度？
n边形内角和
(n-2)·180°
多边形内角和是变化的，和多边形的边 数有关，与多边形的形状、大小和边的长短 无关；多边形的边数确定，多边形的的内角 和就确定。
知识运用
例1：填空: (1)十二边形的内角和为 1800° 。 (2)已知一个多边形的内角和为1080 °，则它的 边数为 8 。
知识运用
例2：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角
有什么关系?
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.求∠B和∠D的关系。
解：∵四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°
B
4 3
C
∠1+ ∠B+ ∠3+∠2+ ∠D+ ∠4=360 °
即 四边形ABCD的内角和是360°
四边形的内角和是360°
A
D
O
人教版八年级数学上册：11.3.2多边形及其内角和(教案)
四、教学流程
（一）导入边形及其内角和》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多边形内角和的情况？”比如，在设计一个多边形的花园或地板图案时，我们可能需要知道所有内角的总和。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索多边形内角和的奥秘。
3.通过实际操作，让学生掌握如何利用内角和计算公式解决多边形相关问题。
4.案例分析，结合实际生活中的多边形问题，运用所学知识进行解答。
本节课将结合教材内容，注重培养学生的实际操作能力和解决问题的能力，使学生在掌握多边形内角和知识的基础上，能够灵活运用到实际生活中。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观，通过多边形的认识，提高学生对平面图形的理解和运用能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调多边形的定义和内角和的计算公式这两个重点。对于难点部分，如内角和公式的推导，我会通过分割多边形为三角形的例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与多边形内角和相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个多边形，并测量计算其内角和。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“多边形内角和在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
新人教版八年级数学上册第11章三角形11.3多边形及其内角和《11.3.2 多边形的内角和》优质课件
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
如图，从多边形的一 个顶点A 出发，沿多边形 的各边走过各顶点，再回 到点A，然后转向出发的 方向．
A
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
在行程中转过的各个
角的和，就是多边形的外
180°× 3 = 540 °． B
E D
C
动手操作，探究新知
如图，从六边形的一个顶点出发，可以作___3__条 对角线，它们将六边形分为___4__个三角形，六边形的 内角和等于180°×__4__=___7_2_0__°．
F A
E
B
D
C
归纳总结，获得新知
思考 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发： （1）十边形的内角和为 1 440 度． （2）已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数
为___8___．
动脑思考，例题解析
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一
组对角有什么关系？
C
解：如图，四边形ABCD 中，
D
∠A +∠C =180°．
∵ ∠A +∠B +∠C +∠D
应是整数，因此不存在这样的多边形．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样得到“多边形外角和等于360°”这
一结论的？
布置作业
教科书习题11.3第6题．
问题4 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小 于3 的任意整数）的外角和吗？
因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角， 它们的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于 n ·180°，所以， n 边形的外角和为：
人教版八年级上册1多边形内角和课件
7.3.2 多边形的内角和
（3）八边形的内角和等于 1080 度. （4）一个多边形的内角和等于1260° ，
这个多边形是 九 边形. （5）一个多边形的每一个内角都等于135°，
则这个多边形是 正八 边形. （6）如果多边形的内角和等于外角和，
那么这个多边形是 四 边形。
11.3.2 多边形的内角和
多边形概念
• 在平面内,由一些线段首 尾顺次相接组成的图形 叫多边形.
•如果多边形由n条线段组 成，那么这个多边形叫做 n边形． •如:三角形、四边形、五 边形等等.
• 多边形的内角:多边形相
邻两边组成的角叫做它的内 角.
• 多边形的外角:多边形的 B
边与它的邻边的延长线组成 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角叫做多边形的外角.
A
B C
E
1 2
5 4O
3
D
7.3.2 多边形的内角和
A
B
23
C1
4
O
E D
E A
D
B A
B
23
1
4
C
O
E D
C A
B C
1 2
5 4O
E
3
D
7.3.2 多边形的内角和
小练习：
1. 判断题： （1）当多边形的边数增加时，它的外角和也随着增加 .
（2）正六边形的每个外角都等于60度 . 2. 填空题： （1）正九边形的每一个外角都等于 40 度. （2）一个多边形的每一个外角都等于30°，
（1）多边形的内角和随着边数的增加
而 增 加 ，边数增加一条时， 它的内角和增加 180 度 .
（2）七边形的内角和等于 900 度（. 7－2）×180
人教版八年级数学上册第十一章 多边形的内角和
根据题意，得3x＋x＝180，解得x＝45.
360°÷45°＝8.
故这个多边形的边数为8.
1.本节课我们学习了哪些知识？
（多边形的内角和与外角和）
2.我们是如何研究多边形的有关问题的？
（把多边形转化为三角形，将未知转化为已知
10
例5：一个正n边形的每一个外角都是36°，则n是_____.
【题型三】内角和与外角和的综合应用
例 6 ： 若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边
1260°
形的内角和等于_________.
例7：一个多边形的每个外角都相等，且它的内角与相邻外角的度
数之比为3∶1，求这个多边形的边数.
例2：如果一个多边形的内角和的 比一个四边形的内角和多
12
90°，那么这个多边形的边数是______.
例3：如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的
9
对角线的条数是______.
【题型二】多边形的外角和
例 4 ： 如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多
40°
边形的外角的度数为______.
3.五边形、六边形......n边形的外角和是多少？
（都是 360°）
知识点1：多边形的内角和（重难点）
1.公式：n边形的内角和为（n-2）×180° （n≥3）.
2.应用：
（1）已知多边形的边数，求其内角和.
（2）已知多边形的内角和，求其边数.
注：(1)多边形内角和的问题，实质就是通过添加辅助
以n边形的内角和加上外角的和为180°×n，外角和就等于180°×n（n-2）×180°=360°.
《多边形的内角和》名师教案(人教版八年级上册数学)
第十一章三角形11.3.2 多边形的内角和〔王中炜〕一、教学目的〔一〕学习目的1.能将多边形转化成三角形，探究多边形的内角和公式.体会转化思想，培养逻辑推理才能.并会应用公式进展相关计算.2.探究多边形外角和，并会应用它进展有关计算.〔二〕学习重点多边形的内角和公式与多边形的外角和.〔三〕学习难点多边形内角和公式的探究与证明过程．二、教学设计〔一〕课前设计1.预习任务〔1〕三角形有三个内角，三个外角，同一顶点处的内、外角两角之和为180°.三角形的内角和等于180°.〔2〕长方形内角和为360°，正方形内角和为360°，用量角器量任意四边形的四个内角的度数之和为360°.〔3〕n边形的内角和等于 (n－2)×180°.〔4〕n边形外角和等于360°.2.预习自测〔1〕十边形的内角和为()．A．1260°B．1440°C．1620°D．1800°【知识点】多边形内角和公式【解题过程】180°×(10－2)＝1440°【答案】B〔2〕四边形的外角和是〔〕A．90°B．180°C．270°D．360°【知识点】多边形外角和为360°【思路点拨】学生通过预习得出四边形外角和为360°【答案】B〔3〕一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有()．A．6条B．9条C．8条D．7条【知识点】多边形内角和公式和多边形对角线条数公式【解题过程】一个多边形的内角和为720°，即180°×(n－2)＝720°，解得n＝6，所以该多边形是六边形，六边形有6×(6－3)2＝9条对角线.【答案】B〔4〕一个多边形的边数增加1，它的内角和增加()．A．90°B．120°C．180°D．360°【知识点】多边形内角和公式【解题过程】{180°×[(n+1)－2]}－{180°×(n－2)}＝180°【答案】C(二)课堂设计1.知识回忆〔1〕一个n 边形从一个顶点可以引(n－3) 条对角线，把n边形分成(n－2) 个三角形.一个n边形一共有n(n－3)2条对角线.〔2〕各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.〔3〕三角形内角和为180°，长方形和正方形内角和为360°.【设计意图】直接提出问题，唤醒学生已有的知识，把学生引到本节课思维的最近开展区，为新课学习提供知识铺垫.2.问题探究探究一多边形内角和公式●活动①从一个顶点连对角线，将多边形转化成三角形，从而推导出多边形内角和公式.师问：同学们，前面我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角度数，知道四边形的内角和为360°.如今你能利用三角形的内角和定理证明任意四边形的内角和为360°吗？老师引导学生添加辅助线，将多边形转化成三角形.学生小组交流，动手理论，完成以下填空题.如图，从四边形的一个顶点出发可以引条对角线，它们将四边形分成个三角形，四边形的内角和等于.【解题过程】可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.【答案】1；2；360°类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗?观察下面的图形，填空:从五边形一个顶点出发可以引2对角线，它们将五边形分成3三角形，五边形的内角和等于540°；从六边形一个顶点出发可以引3对角线，它们将六边形分成4三角形，六边形的内角和等于720°；从n边形一个顶点出发.，可以引〔n-3〕对角线，它们将n边形分成〔n-2〕三角形，n边形的内角和等于〔n-2〕×180°.让学生通过合作探究的方式完成以上填空题，让学生通过图形的观察和对数据的分析，类比归纳出多边形的内角和计算公式.总结板书：n边形的内角和等于(n-2)·180°〔n≥3〕.【设计意图】引导学生通过连对角线将多边形转化成三角形，从而得出多边形内角和公式，让学生感受转化思想对新知生成的重要性.同时掌握多边形内角和与三角形内角和的内在联络.●活动②多边形内角和公式的其它证明方法从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成假设干个三角形来求.如今以五边形为例，你还有其它的分法吗?分法一如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，那么得五个三角形.∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.分法二如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，那么可以得到(5-1)个三角形.∴五边形的内角和为〔5-1〕×180°-180°=〔5-2〕×180°.假如把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)×180°. 【设计意图】这节课通过研究发现由多边形的一个顶点引对角线后原多边形被分成(n－2 )三角形，由此可得多边形的内角和公式为：(n-2 )180，这里充分表达由特殊到一般的推理特点；假如在多边形内任取一点与各个顶点相连得到n个三角形，但是这里多算了一个周角，因此可得到公式为：180n-360；假如在多边形的边上取一点与各个顶点相连得到n-1个三角形，但是这里多算了一个平角，因此可得到公式为：180〔n-1〕－180，化简后都可统一成(n－2 )180.让学生感受多种方法将多边形进展分割，根本思路都是将多边形转化成三角形.从而得出多边形内角和公式的不同证明方法，培养学生的逻辑推理才能.活动③例1 假如一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求∠B与∠D的关系.【知识点】多边形内角和公式【解题过程】解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°，∠A+∠C=180°，∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°.【答案】假如四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.例1 变式假如一个四边形的一组邻角互补，那么另一组邻角有什么关系？【设计意图】通过这些例题和练习的设计，目的就是让学生尝试学以致用，进步学生运用新知解决问题的才能.探究二多边形外角和活动①小王家有一个六边形的花坛，小王绕花坛各顶点走了一圈，回到起点A，并面对他出发时的方向，问他的身体旋转了多少度？师问：如图，小王在6个顶点处旋转产生的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的什么角？∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值是多少？在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，即六边形外角和等于多少度？学生考虑作答，老师作适当点拨．【设计意图】类比三角形内外角之间的关系，引导学生观察出六边形的一个外角同与它相邻的内角互补的关系.用六个平角减去六边形内角和即可得到六边形外角和．【解题过程】解:∵∠1+∠BAF=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，∠5+∠DEF=180°，∠6+∠EFA=180°，∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DE F+∠6+∠EFA= 6×180°.又∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=6×180°-4×180°=360°.从而得出六边形的外角和为360°.●活动②n边形外角和.老师引导学生利用问题1中六边形外角和等于360°的活动经历，通过观察、猜测、考虑，类比推理得出结论：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和．老师板书：n边形的外角和等于360°.并强调n边形的外角和是一个定值，与边数无关.●活动③例2 一个正多边形，一个内角与所有外角之和为480°，求这个内角的度数及多边形的边数.【知识点】多边形内角和公式与外角和【数学思想】数学计算【解题过程】解∵一个内角与所有外角之和为480°，多边形外角和为360°∴480°-360°=120°∵正多边形的每个内角都相等∴(n-2)×180°=120° n解得n = 6答：这个内角为120°，该多边形的边数为6.【思路点拨】因为正多边形的每个内角都相等，每个外角就相等.此题先用480°减去外角和360°得到一个内角为120°.再根据内角和公式建立方程，〔n-2〕×180=120 n，解得n = 6.【答案】120°，n = 6.【设计意图】通过此题的训练，让学生学会用多边形内角和公式及外角和进展相应计算，进步对公式的理解，同时感悟到内角和与外角和之间的联络.增强学生利用新知解决实际问题的信心与才能.3. 课堂总结⑴知识梳理〔1〕n边形的内角和等于(n一2)·180°〔n≥3〕〔2〕n边形的外角和等于360°重难点打破〔1〕通过将多边形转化成三角形的方法，用三角形内角和知识推导出多边形内角和公式与多边形的外角和.体会转化思想在新知推导过程中的重要作用.从而降低门槛，打破重难点.〔2〕强调内角和与外角和的联络.在正多边形的前提下，可用内角求外角，从而得到多边形的边数.〔三〕课后作业根底型自主打破1.五边形的内角和等于______度.【知识点】多边形内角和等于(n一2) ×180°【解题过程】解：(5一2) ×180°=540°【思路点拨】将n=5代入公式【答案】5402.假如一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形是_____边形.【知识点】多边形内角和等于(n一2) ×180°【解题过程】解：(n一2) ×180°=900°解得：n =7【思路点拨】根据多边形内角和公式建立方程【答案】七3.正十五边形的每一个内角等于_______度.【知识点】多边形内角和等于(n−2) ×180°，多边形外角和等于360°【解题过程】解法一：〔15-2〕×180°÷15=156°解法二：180°-〔360°÷15〕=156°【思路点拨】解法一是根据多边形内角和公式求出内角和，再除以边数得出一个内角的度数；解法二是用外角和360°除以边数得出一个外角的度数，再根据同一顶点处的一个内角与一个外角互补的关系，用180°减去一个外角得出一个内角的度数.强调：以上做法前提是正多边形.【答案】1564.一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个多边形边数是______.【知识点】多边形外角和等于360°【解题过程】360°÷30°=12【思路点拨】只有正多边形的每个内角相等，所以每个外角就相等.才可以用外角和来除以一个外角的度数得到边数.不是正多边形此方法不可用.【答案】125.一个正多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形边数是______.【知识点】多边形内角和等于(n-2) ×180°【解题过程】解：(n-2) ×180°=144°n ，n=10【思路点拨】根据多边形内角和公式建立方程.【答案】106.从一个多边形的一个顶点出发，一共做了10条对角线，那么这个多边形的内角和为_____度.【知识点】多边形一个顶点可引(n一3)条对角线，多边形内角和等于(n−2) ×180 【解题过程】解：∵n-3=10 ∴n=13∴(13-2) ×180°=1980°【思路点拨】先用对角线公式求出边数，再将边数代入内角和公式得出答案.【答案】1980才能型师生共研7.在多边形的内角中，锐角的个数不能多于_____个.【知识点】多边形内角和与多边形外角和【解题过程】解：因为多边形的外角和为360°，假如外角中有4个钝角，其和就会超出360°.所以外角中最多有3个钝角，从而得出内角中最多有3个锐角.【思路点拨】充分利用同一顶点的两个内、外角互补的关系，通过分析外角中钝角的个数倒推内角中锐角的个数.【答案】38.n边形的边数增加一倍.，它的内角和增加( )A.180°B. 180°nC.(n-2) ×180°D. 360°【知识点】多边形内角和【解题过程】(2n−2) ×180°− (n−2) ×180°=360°n−360°−180°n+360°=180°n【思路点拨】利用多边形内角和公式列式计算【答案】B探究型多维打破9. 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数和该外角的度数.【知识点】多边形内角和与多边形外角和【解题过程】解：设多边形的边数为n，这个外角为x，那么0°<x<180°，依题意有：(n－2) ×180°+x =1350°∴n=1350180x+2=9+90 180x∵n为正整数，∴90－x必为180的倍数.又∵0°＜x＜180°.，∴90°－x = 0.，x = 90°.∴n = 9【思路点拨】多边形的内角和是180的倍数，将1350除以180商7余90，边数为7+2=9，余数90就是那一个外角的度数.【答案】多边形的边数是9，该外角是90度.10.一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是多少？A. 16B. 14C.15，16或17．D. 14或15【知识点】多边形的内角和【解题过程】解：设新多边形的边数为n，那么〔n-2〕×180°=2520°，解得n=16，①假设截去一个角后边数增加1，那么原多边形边数为15，②假设截去一个角后边数不变，那么原多边形边数为16，③假设截去一个角后边数减少1，那么原多边形边数为17，所以多边形的边数可以为15，16或17．【思路点拨】∠A被截去.如图1，当直线L与AB、AE边交于M、N两点时，新多边形的边数比原多边形的边数增加1.如图2，当直线L与AB边交于M，同时过E点，新多边形的边数与原多边形的边数一样；如图3，当直线L过B、E点时，新多边形的边数比原多边形的边数少1；图3所以将原多边形的边数求出，再加1或减1就可以得出三种情况的答案.培养学生严密的逻辑推理才能.【答案】C自助餐:1.以下角度中，不能成为多边形内角和的是( )A. 900°B.720°C. 600°D.1080°【知识点】多边形的内角和【思路点拨】根据多边形内角和为〔n-2〕×180°可得多边形内角和是180的倍数. 【答案】C2.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是〔〕A.四边形B.十边形C.六边形D.八边形【知识点】多边形内角和与多边形外角和【解题过程】解：〔n-2〕×180°=360°×4，∴n-2=8，∴n=10【思路点拨】内角和是间接通过外角和的4倍告知的，用内角和公式建立方程即可.【答案】B3.一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，那么此正多边形是正______边形.【知识点】多边形内角和与多边形外角和【解题过程】解：设每个外角的度数为x，那么与它相邻的内角的度数为〔3x+20〕.根据题意，得x+〔3x+20〕=180°4x=160°x=40°360°÷ 40=9【思路点拨】根据同一顶点处的两个内、外角互补的关系建立方程，求出一个外角的度数.再用外角和360除以40得到边数.【答案】九4.一个多边形的最大外角为85°，其他外角依次减少10°，那么此多边形是______边形.【知识点】多边形外角和【解题过程】解:由题意可得∵85°+75°+65°+55°+45°+35°=360°∴该多边形为六边形【思路点拨】从85倒推下去得出相应的其它外角，当它们的和刚好是360时，有多少个加数就有多少条边【答案】六5.假如多边形恰有四个内角是钝角，那么多边形的边数共有几种可能？其中最多是几边形？最少是几边形？【知识点】多边形内角和与多边形外角和第 11 页 【解题过程】因为多边形的外角和为360度.，所以最多只能有3个内角是锐角.加之的四个内角，最多有7个内角，即最多是七边形；反之四个内角是钝角，其与之互补的4个外角为锐角，其和必然小于360，所以最少还应有1个内角.所以最少是五边形.【思路点拨】任何一个多边形最多有3个内角是锐角.【答案】所以多边形的边数有3种可能.最多是七边形，最少是五边形.6.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的值.【知识点】多边形内角和【解题过程】解：如图，连接CF .∵∠COF=∠DOE∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=〔5-2〕×180°=540° 【思路点拨】解题关键是把该图形与凸多边形联络起来，从而利用多边形内角和定理来解决，因此可考虑连接辅助线.【答案】540° OGEDCB A。
多边形的内角和课件人教版八年级数学上册
B.540 ° C.720 ° D.900 °
能力提升： 一个多边形所有内角与一个外角的和是
2380°，则这个多边形的边数为_1_5_. 解析：设这个多边形的边数为x(x为正整数)，则这个多边
形的内角和为（x-2）×180°，由题意可得： 2380-180<（x-2）×180°<2380, 解得：4.22<x 因为x为正整数，所以x=15，即这个多边形的边数为13.
感谢同学的外角和的3倍，它 是几边形？
解：设它是n边形，则 (n-2).180°=3×360° 解得：n=8 答：它是8边形
例4：一个正多边形的每个内角比相邻外 角大36°求这个多边形的边数。
解：设一个外角为x°， 则内角为（x＋36）° 根据题意得： x+x+36＝180 x＝72 360÷72＝5
你们的收获
内角和 计算公
式
多边形 的内角
和
外角和
（n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关。
正多 边形
内角=
(n 2)n180，外角=
360 n
小结：
我们通过把多边形划分为若干个三 角形，用三角形内角和去求多边形内角 和，从而得到多边形的内角和公式为 （ｎ－２）× 180°。这种化未知为已 知的转化方法，必须在学习中逐渐掌握。 由于多边形外角和为360°，与边数无 关，所以常把多边形内角和的问题转化 为外角和来处理。
n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
结论:
得到定理：
n边形的内角和等于(n－2)·180.
说明： (1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形 的大小、形状无关； (2)强调凸多边形的内角的范围：0<<180.
初中数学人教版八年级上册《1多边形的内角和》课件
解得n=3. 所以它是三角形.
（2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则它是几边形？
解：因为多边形的外角和是360°，所以这个多边形的内角和为 720°.
内角和为（n-2）×180°，则（n-2）× 180° = 720°， 解得n=6. 所以它是六边形.
角和，六边形的外角和等于多少？
解答提示： 1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？ 2、六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？ 3、上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？
E4
D
5
3
F C
6
2
A1 B
例题解析
1、六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？
任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
人教版 八年级数学上
11.3.2
多边形的内 角和
1、什么是多边形？ 2、什么是多边形的对角线？多边形的对角线具有什么性质？ 3、什么是正多边形？ 4、由三角形内角和定理可以得到哪些推论？ 5、三角形外角具有什么性质？
1、了解并掌握多边形内角和与外角和公式. 2、理解多边形内角和与外角和公式的推导过程. 3、灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
多边形的 内角和
内角和计算公式 外角和 正多边形
（n-2）×180°（n为≥3 的整数）
多边形的外角和等于 360°（与边数无关）
内角=
(n
-
2)
180
,外角=
n
360 n
在一个多边形中，一个与内角相邻的外角，与其他各内角的和为600°. （1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数； （2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数； 如果不存在，请说明理由.
人教版八年级数学上册11.3多边形的内角和
作业： P25 习题11.3 9题选做。
4、5题
A
B
(3)五边形的内角和是多少
度？
你来探索六边形的内角和，你一定行！
A
F
B
被分得三角形个数 4
E
C
六边形的内角和 4×180°
D
这种探索方法你掌握了吗？请完成下表
多边形的
边数
3 4 5 6 7…
n
分成的三
角形个数 1
2
3
4 5…
多边形的 内角和
180°
180°
×2
180°
×3
180°
×4
180°
（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，
那么这个四边形中最大角的度数是
。
（5）一个1五44边°形的三个内角是直角，另两个内角
（6）都六是角n螺°母，的则面n=是六1边35形°，它的内角。都相等，则
这个六边形的每个内角是
。
（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互1补பைடு நூலகம்0，°那么∠B
与∠D有什么关系呢？为什么？
初中数学课件
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§11.3多边形的内角和
学习目标：
1、学会如何探究多边形的内角和公式. 2、会运用多边形内角和公式解题.
A B
C
（1）四边形ABCD的内角 D 和是多少？
（2）你是怎样求的？
(1)从顶点A可以画几条
D
对角线？分别是哪几条？
E
(2)这样五边形被分成了
C 几个三角形？
答：这个多边形是12边形。
例题：已知两个多边形的内角和为 1440°，且两多边形的边数之比为
1︰3，求它们的边数分别是多少？
人教版数学八年级上册：多边形的内角和教学课件
A.12 B.9 C. 8 D.7
3.如果一个多边形的每一个外角等 于30°,则这个多边形的边数是 __1_2__
学习了本节课你有 哪些 收获？
今 1、课本P24页习题 天 11.3第2、3题； 的 作 2、P28页复习题11第 业 2、3题
课后思考
1、小明在计算某个多边形的内角和时，由于
粗心他漏掉一个内角，求得的内角和1680° ，
你能否求得正确结果呢？
2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。 将一个多边形截去一个角后(没有过顶点）得到 多边形的内角和将会（ ）
A、不变
B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定
• （2）他每跑完一圈，身体转过的角 度之和是多少？
• （3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？
1A
B
5
2
E
E' A'
θ
α Oδ
B'
βγ
C'
C 3
4 D
结论：
1， 2， 3， 4， D' 5的和等于
360ْ
多边形的外角和
如果广场的形状是六边形、八 边形，那么还有类似的结论吗？
人教版数学八年级上册：多边形的内 角和教 学课件
探索过程一掠:
三角形 A
B
1800
人教版数学八年级上册：多边形的内 角和教 学课件
四边形
A D
B
CB
C
2× 180°
= 3600
五边形 A
E
C
人教版初中数学课标版八年级上册第十一章113多边形的内角和课件共14张
=360°
D
B C
A
●
D
O
3×180°-180° =360°
练习
1、七边形的内角和是 900°． 2、过一个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分 成五个三角形，则这是 七 边形． 3、多边形的内角和随着边数的增加而 增加,边数增加一条 时它的内角和增加 180°。 4、求十二边形的内角和。 5、一个多边形的内角和等于 2700度，求这个多边形
四边形ABCD 的内角和
＝△ABC 的内角和﹢△ACD 的内角和 =180 °+180 °=360 °
选择同一种方法分别求出任意五边形、六边 形内角和等于多少度？
D
A
B
C E
F
C
B A
E
D
同理：从五边形从一个顶点出发，可以做_2____
对角线，它们将五边形分成_____3 个三角形，
所以五边形的内角和为_3_×__1_80°。
2
2 ×180°
3
3 ×180°
4
4 ×180°
5
5 ×180°
……Βιβλιοθήκη n-2(n－2) ·180°
总结：n边形内角和公式
n边形内角和 =(n－2) ·180°
A
G
F
B
E
D C
探究四边形内角和还有哪些方法？ A
B C
B C
A
o
A
B C
●
O
D D
4×180°-360° 3×180°-180°
=360°
同理：从六边形从一个顶点出发，可以做_3____ 对角线，它们将六边形分成____4_ 个三角形，
所以六边形的内角和为_4_×_1_8_0°。
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多边形的内角和人教八上初中数学试卷11-8一、学习目标能记住多边形的内角和、外角和的概念；能通过不同方法推导多边形的内角和与外角和公式，进一步体会数学化归思想；能熟练运用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算．二、知识回顾1．三角形三个内角的和等于多少度？三角形三个内角的和等于180°2．n边形从一个顶点出发的对角线有n-3条，它们将n边形分成n-2 个三角形.3．你知道长方形和正方形的内角和是多少吗？其他四边形的内角和是多少？360°．三、新知讲解1．多边形的内角和公式n边形的内角和等于(n-2)·180°．2．多边形的外角和任意多边形的外角和等于360°．四、典例探究2．多边形的外角和【例2】（2015•茂名模拟）若一个正多边形的每一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．12总结：正n边形的每个外角都相等，所以每个外角的度数等于360°/n．【例3】（2014•无锡模拟）如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．，9总结：根据题目蕴含的等量关系，利用内角和公式和外角和的不变性，列出方程即可求出边数．练3．（2015•广东模拟）一个n边形的每一个外角都是60°，则这个n边形的内角和是______．练4．（2014春•镇江校级期末）一个多边形的所有内角与外角的总和为2160°，这个多边形是几边形？A．540°B．360°C．300°D．240°5．（2014秋•赣州期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）A．15或17 B．16或15 C．15 D．16或15或17二、填空题6．（2015春•荆门月考）若四边形四个内角的比是3：3：5：7，则它的最大角是度．7．（2015春•东台市月考）一个n边形，除了一个内角外，其余（n﹣1）个内角和为2770°，则这个内角是度．8．（2014秋•新洲区期中）苏敏从A点出发，每走20米就向左转15°，按此规定，她要走米，才能回到原来位置A点处．9．（2014春•丹阳市校级期中）一个多边形的每个外角都等于36°，则它是边形，它的内角和是．三、解答题10．（2013秋•随州校级月考）如图所示，请你根据图中信息求出x的值．11．（2013秋•象山区校级期中）已知一个n边形的每一个内角都等于150°．（1）求n；（2）求这个n边形的内角和；（3）从这个n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？12．（2014春•镇江校级期末）一个多边形的所有内角与外角的总和为2160°，这个多边形是几边形？13．（2014秋•旬阳县期中）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．典例探究答案：【例1】（2015•惠山区一模）如果一个多边形的内角和等于1260°，那么这个多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10分析：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：根据题意，得（n﹣2）•180°=1260°，解得n=9，故选C．点评：本题考查了多边形的内角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．练1．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是．解析：设原来多边形的边数为n，那么边数增加1倍后，多边形的边数变为2n，内角和为（2n-2）·180°．根据多边形内角和定理，可列出关于边数n的方程，即（2n-2）·180°=2160°，解得n=7．所以原多边形的边数为7．练2．（2013春•邢台期末）已知：如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，求图形中∠AED的值．分析：先根据平行线的性质求得∠B的值，再根据多边形内角和定理即可求得∠AED的值．解答：解：∵AB∥CD，∴∠B=180°﹣∠C=120°，∵五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴在五边形ABCDE中，∠AED=540°﹣150°﹣120°﹣60°﹣160°=50°．点评：考查了平行线的性质，多边形内角和定理，注意对基础知识的熟练掌握及综合运用．【例2】（2015•茂名模拟）若一个正多边形的每一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．12分析：根据正多边形的每一个外角都相等，可知多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．解答：解：这个正多边形的边数为360°÷30°=12，故选D．点评：本题考查了多边形外角和，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．【例3】（2014•无锡模拟）如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9分析：n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．解答：解：设多边形的边数为n，依题意，得（n﹣2）•180°=3×360°，解得n=8，故选：C．点评：此题根据多边形的内角和计算公式，利用内外角和的关系列出关于边数的方程，使问题得解.．练3．（2015•广东模拟）一个n边形的每一个外角都是60°，则这个n边形的内角和是．分析：根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．解答：解：多边形的边数是：360÷60=6，则多边形的内角和是：（6﹣2）×180=720°．故答案为：720°．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．练4．（2014春•镇江校级期末）一个多边形的所有内角与外角的总和为2160°，这个多边形是几边形？分析：依题意，多边形的内角与外角和为2160°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．解答：解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°+360°=2160°，n﹣2=10，n=12．故答案为：十二边形．点评：考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．课后小测答案：一、选择题1．（2015春•建湖县校级月考）一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是（）A．八边形B．十边形C．十二边形D．十四边形解：∵一个多边形的每个内角都是144°，∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）=36°，∴这个多边形的边数360°÷36°=10．故选B．2．（2015春•新沂市校级月考）下列各度数不是多边形的内角和的是（）A．1800°B．540°C．1700°D．10800°解：不是180的整数倍的选项只有C中的1700°．故选C．3．（2014•义乌市三模）正n边形的一个内角比一个外角大100°，则n为（）A．7 B．8 C．9 D．10解：设内角为x°，则外角为（x﹣100）°，根据题意得：x+x﹣100=180，解得：x=140，所以外角为40°，∴360°÷40°=9，故选C．4．（2014•将乐县质检）如图，∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．540°B．360°C．300°D．240°解：由题意得，∠5=180°﹣∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣∠5=300°．故选：C．5．（2014秋•赣州期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）A．15或17 B．16或15 C．15 D．16或15或17解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得（n﹣2）•180°=2520°，解得：n=16，则多边形的边数是15，16，17．故选D．二、填空题6．（2015春•荆门月考）若四边形四个内角的比是3：3：5：7，则它的最大角是度．解：设四边形四个内角分别是3x，3x，5x，7x，则3x+3x+5x+7x=360，解得x=20°．则它的最大角是7×20=140°．7．（2015春•东台市月考）一个n边形，除了一个内角外，其余（n﹣1）个内角和为2770°，则这个内角是度．解：设这个内角度数为x，边数为n，则（n﹣2）×180°﹣x=2770°，180°•n=3130°+x，∵n为正整数，∴n=18．∴这个内角度数为180°×（18﹣2）﹣2770°=110°．故答案为110°．8．（2014秋•新洲区期中）苏敏从A点出发，每走20米就向左转15°，按此规定，她要走米，才能回到原来位置A点处．解：行走路线对应的多边形的边数是：=24，则经过的总路程是：24×20=480（米）．故答案是：480．9．（2014春•丹阳市校级期中）一个多边形的每个外角都等于36°，则它是边形，它的内角和是．解：（1）360°÷36°=10．（2）（10﹣2）•180°=1440°．故答案为：10，1440°．三、解答题10．（2013秋•随州校级月考）如图所示，请你根据图中信息求出x的值．解：由题意可得：90°+（2x+25）°+（3x﹣15）°+2x°+x°=（5﹣2）×180°，解得：x=55．——————————唐玲制作仅供学习交流——————————11．（2013秋•象山区校级期中）已知一个n边形的每一个内角都等于150°．（1）求n；（2）求这个n边形的内角和；（3）从这个n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？解：（1）∵每一个内角都等于150°，∴每一个外角都等于180°﹣150°=30°，∴边数n=360°÷30°=12；（2）内角和：12×150°=1800°；（3）从一个顶点出发可做对角线的条数：12﹣3=9，．12．（2014春•镇江校级期末）一个多边形的所有内角与外角的总和为2160°，这个多边形是几边形？解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，（n﹣2）•180°+360°=2160°，n﹣2=10，n=12．故答案为：十二边形．13．（2014秋•旬阳县期中）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．解：设新多边形是n边形，则180（n﹣2）=2520解得：n=16．则原多边形的边数是：16﹣1=15．答：原多边形的边数是15．唐玲。