分数裂项求和方法总结
小学数学分数裂项
分数裂差考试要求（1） 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和（2） 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222hhn n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
分数裂项
分数裂项（一）“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法。
常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- （2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+（3）裂差型裂项的三大关键特征：1，分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
2，分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”3，分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简。
三、常用公式：（1） 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=； （2） ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； （3） 2123421n n ++++++++=；（4） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；（5） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；（6） 等差数列：求和=(首项+末项)×项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 末项=首项+（项数-1）×公差（8）123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆）711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆）（9）101ab abab ⨯=10101ab ababab ⨯=。
裂项求和法的知识点总结
裂项求和法的知识点总结一、裂项求和法的基本思想裂项求和法的基本思想是将原来的级数拆分成若干个部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
这种方法在求解级数时非常有效，可以将复杂的级数变成简单的级数来求解。
二、裂项求和法的常用技巧裂项求和法的常用技巧包括：拆项、分组求和、 Telescoping 等。
1. 拆项：拆项是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中的每一项拆分成两个或多个部分，然后再进行求和。
拆项的目的是为了将原级数转化为一个更易求解的级数。
拆项的具体操作可以根据级数的特点来灵活运用。
2. 分组求和：分组求和是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数分成若干个相互独立的部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
分组求和的具体操作可以根据级数的特点和要求来选择合适的分组方法。
3. Telescoping：Telescoping 是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中相邻的两项进行变形，从而使得这些项之间的差分项能够互相抵消，最终得到一个简单的级数。
Telescoping 的具体操作包括变形、抵消、整理等。
三、裂项求和法的应用范围裂项求和法在数学中有着广泛的应用范围，包括但不限于如下几个方面：1. 求解收敛级数：裂项求和法可以帮助我们求解各种类型的收敛级数，包括数值级数、幂级数、级数和等。
通过拆项、分组求和、 Telescoping 等技巧，可以将复杂的级数转化为简单的级数来求解。
2. 求解发散级数：裂项求和法也可以帮助我们对发散级数进行求解。
虽然发散级数本身没有定义和，但是通过一些技巧，可以使其在某种意义下有意义，从而得到发散级数的和。
3. 实际应用：裂项求和法在实际应用中也有着广泛的应用。
例如在物理、工程、经济等领域，经常需要求解各种级数，裂项求和法可以帮助我们快速、准确地求解这些级数，为实际问题的解决提供有力的支持。
四、裂项求和法的注意事项在使用裂项求和法时需要注意以下几个方面：1. 根据级数的特点选择合适的技巧：在使用裂项求和法时，需要根据级数的特点和要求来选择合适的技巧。
分数裂项法总结.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
分数裂项六种题型
分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。
2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。
二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。
2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。
三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。
以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。
2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。
四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。
其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。
以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。
解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。
五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。
以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。
解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。
分数裂项的知识点总结
分数裂项的知识点总结一、分数裂项的定义在数学中，分数裂项指的是将一个分数表达成若干个较小的分数之和的形式。
通俗来讲，就是把一个分数分解成几个更小的分数相加的形式。
分数裂项有两种常见的形式，一种是分母为线性函数的形式，另一种是分母为二次函数的形式。
1. 分母为线性函数的分数裂项当分数的分母为线性函数的形式时，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行因式分解，得到一些线性因式和重数为1的线性因式。
然后，将这些线性因式和重数为1的线性因式分别拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{(x-1)(x-2)}$，我们可以进行部分分式分解，得到$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
2. 分母为二次函数的分数裂项当分数的分母为二次函数的形式时，我们可以使用平方配方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行平方配，得到一些平方项。
然后，将这些平方项拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以进行平方配，得到$\frac{1}{x^2-1} =\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
二、常见的分数裂项技巧在分数裂项的过程中，我们常常会遇到一些特殊的情况，这时需要灵活运用一些分数裂项的技巧来处理。
下面列举一些常见的分数裂项技巧：1. 使用齐次化简：当分母中含有根式或者复杂的二次函数时，我们可以使用齐次化简的方法，将其化为一般的二次函数，便于进行分数裂项。
2. 对待定系数进行适当取值：在进行部分分式分解时，我们可以通过适当取值来简化未知数的计算，例如取特殊值或者代入简单的方程组。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和1 1分析：因为------ -------n n 1n 1 n n(n 1)n(n 1)（n为自然数）n（n 1）所以有裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 1【例1】10 11111 12的和。
59 601 110 60丄12（二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。
（n,k均为自然数）n（n k）因为1(1所以【例2】n(nk)] n(n k)n(n k)")1计算5 7 9 11 11 13 13 151勺1(1 9 2'91 1、，1 1 )(丄(丄丄)2 11 131 1)(丄(1 1)2 5 7111-[( )( )( ,、 ,、2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 152[515]丄15（三）用裂项法求—「型分数求和n（n k）分析：k- 型（n,k均为自然数）n（n k）1 1 _ n k n kn n k n(n k) n(n k) n(n k)所以k _ 11n(n k) n n k亠2 2 2 2【例3】求2的和1 3 3 5 5 7 97 99（四）用裂项法求仝型分数求和n(n k)(n 2k)分析：2k 均为自然数）分析：n（n k)(n (n,k2k)2k 1 1n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)【例4】计算：-4 4 4 4 1 1 1 1(1 3)( ) (-3 5 5 1 1999899(1 1 ) ( 1 1 )(93 9595 97)(95 9797 99)1 1 1 、 “ 1 1 、“ 11 、、[( )()... ...(-)]3 1 2 32 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20丄[1 1]3 1 2 3 18 19 201139 20520(五)用裂项法求1型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：1（n,k 均为自然数）n(n k)( n 2k)(n 3k)1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (n(n k)( n 2k)1(n k)(n 2k)(n3k)【例5】1 1 计算：1234 2 3 4 5117 18 19 203k11n(n k)( n 2k)(n3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算：-3 3 3分析:(n,k 均为自然数)1 (1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)111 3 97 99 32009603(六)用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k)(1 1 ) ( 1 1 )(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)1 11 2 3 18 19 2011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )(17 18 19 18 19 20)。
六年级分数 裂项法
六年级分数 裂项法知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。
分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。
法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。
对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。
公式：（1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=- （2）等差数列求和公式：()n a a a a a a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3）分数的拆分公式：①)1(1+n n ＝n 1－11+n②)(1d n n +＝d 1×（n 1－d n +1）例1.计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋100991⨯例2.计算：110×11 ＋111×12 ＋……＋159×60例3.计算：12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142例4.计算：110×11 ＋111×12 ＋……＋119×20例5.计算12×3 ＋13×4 ＋……＋16×7 ＋17×8例6.计算：1＋12 ＋16 ＋112 ＋120例7.计算：16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142 ＋156 ＋172例8.计算：31＋151＋351＋631＋991＋1431例9.计算：11111144771010131316++++⨯⨯⨯⨯⨯例10.计算：22222315356399++++例11.计算：1111118244880120168+++++例12.计算：11＋21＋22＋21＋31＋32＋33＋32＋31＋……＋1001＋1002＋……＋100100＋10099＋……＋1001例13.计算：1＋211+＋3211++＋43211+++＋……＋20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－220051）×（1－220041）×（1－220031）×……×（1－221）例1. 计算:20042003200312005⨯例2. 计算:（751×911×116）÷（113×76×95）例3. 计算:989＋9899＋98999＋……＋43421K K 99989999个例4. 计算:（1＋21）×（1＋41）×（1＋61）×（1＋81）×（1－31）×（1－51）×（1－71）×（1－91）例5. 计算:200421－131＋200221－331＋200021－531＋……＋421－200131＋221－200331例6. 计算:（971＋97971＋9797971＋979797971）÷（861＋86861＋8686861＋868686861）例7. 计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211= .例8. 计算:222345567566345567+⨯⨯+= .例9. 计算:322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .例10. 计算:4513612812111511016131+++++++= .例11. 计算:()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291= .例12. 计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211= 能力训练：1、分数化成最简分数：1812＝ 2718＝ 204＝ 6513＝ 328＝ 82＝2、小数化成最简分数：0.75＝ 4.8＝ 1.25＝ 0.36＝ 3.2＝ 5.4＝3、计算：1) 5132÷132＋7143÷143＋9154÷1542)156 ＋172 ＋190 ＋11103)18 ＋124 ＋148 ＋180 ＋11204)212005⨯＋322005⨯＋432005⨯＋ (200520042005)5)212＋772＋1652＋……＋16772＋202126) 21＋65＋1211＋2019＋……＋1101097) 1＋216 ＋3112 ＋4120 ＋5130 ＋6142 ＋7156 ＋8172 ＋9190 8) 21＋43＋87＋1615＋3231＋6463＋128127＋256255＋512511 9) 5431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7651⨯⨯＋8761⨯⨯＋9871⨯⨯＋10981⨯⨯。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a bb a ab a ba 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1 (541)431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n nn n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n nn n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， 特殊数列求和公式平方差公式 ))((22b a b a b a -+=- 完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
六年级分数 裂项法
分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。
分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。
法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。
对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助。
公式：（1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=-（2）等差数列求和公式：()n a a a a a a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3）分数的拆分公式：①)1(1+n n ＝n 1－11+n②)(1d n n +＝d 1×（n 1－dn +1）计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋ (100991)计算：110×11 ＋111×12 ＋……＋159×60计算：12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142计算：110×11 ＋111×12 ＋……＋119×20计算12×3 ＋13×4 ＋……＋16×7 ＋17×8计算：1＋12 ＋16 ＋112 ＋120计算：16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142 ＋156 ＋172 计算：31＋151＋351＋631＋991＋1431 计算：11111144771*********++++⨯⨯⨯⨯⨯计算：22222315356399++++计算：1111118244880120168+++++计算：11＋21＋22＋21＋31＋32＋33＋32＋31＋……＋1001＋1002＋……＋100100＋10099＋……＋1001 计算：1＋211+＋3211++＋43211+++＋……＋20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－220051）×（1－220041）×（1－220031）×……×（1－221）计算:20042003200312005⨯计算:（751×911×116）÷（113×76×95）计算:989＋9899＋98999＋……＋43421K K 99989999个计算:（1＋21）×（1＋41）×（1＋61）×（1＋81）×（1－31）×（1－51）×（1－71）×（1－91）计算:200421－131＋200221－331＋200021－531＋……＋421－200131＋221－200331 计算:（971＋97971＋9797971＋979797971）÷（861＋86861＋8686861＋868686861）计算:⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211= . 计算:222345567566345567+⨯⨯+= .计算:322131433141544151655161766171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .计算:4513612812111511016131+++++++= .计算:()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++293112831133112311311312913029132912291291= .计算:217665544332217665544332212⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-76655443327665544332211=能力训练：1、分数化成最简分数：1812＝ 2718＝ 204＝ 6513＝ 328＝ 82＝2、小数化成最简分数：＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3、计算：5132÷132＋7143÷143＋9154÷154156 ＋172 ＋190 ＋111018 ＋124 ＋148 ＋180 ＋1120212005⨯＋322005⨯＋432005⨯＋ (200520042005)212＋772＋1652＋……＋16772＋2021221＋65＋1211＋2019＋……＋1101091＋216 ＋3112 ＋4120 ＋5130 ＋6142 ＋7156 ＋8172 ＋919021＋43＋87＋1615＋3231＋6463＋128127＋256255＋5125115431⨯⨯＋6541⨯⨯＋7651⨯⨯＋8761⨯⨯＋9871⨯⨯＋10981⨯⨯。
分数裂项法总结
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
两个相邻数裂项解析
1 1 23 6
1 1 1 23 6
1 1 78 56
11 1 7 8 56
111111 344556677889
1111111 2 6 12 20 30 42 56
1＋ 1＋ 1＋ L＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n(n1) n n1
5 6 30
求 1和 1 ： 11111 1 22 33 44 55 66 77 8
解 1 ： （ 1 1 ) 1 原 （ 1 1 ) 式 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 ) 21 323 5 211 1 2 3 11 35
1 （ 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 335 11 13 13 15
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
1 1 2
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一） 用裂项法求1(1)n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ （二） 用裂项法求1()n n k +型分数求和 分析：1()n n k +型。
（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++（三） 用裂项法求()k n n k +型分数求和 分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数）11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k-+（四） 用裂项法求2()(2)k n n k n k ++型分数求和 分析：2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++（五） 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3)k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）311()(2)(3)()(2)()(2)(3)k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++记忆方法：1.看分数分子是否为1；2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一；3.不是1时不用再乘；4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
分数裂项法总结.知识讲解
若干个分数连加，如果每个分数的 分母，都是两个相邻自然数相乘， 且分子是1时，就可以利用裂项法 式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
1111111 2 6 12 20 30 42 56
1＋ 1＋ 1＋ L＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
裂项相消法公式求和公式
裂项相消法公式求和公式在数学中，求和公式是一个非常基础的概念，它用于将一系列的数值相加，得到它们的总和。
裂项相消法是求和公式的一种常见方法，在这种方法中，我们通过将相邻的项相减，以消去一些项，从而简化求和公式。
本文将详细介绍裂项相消法的公式和使用方法。
裂项相消法公式裂项相消法公式是一个非常重要的求和公式，它可以用来求解一些较为复杂的求和问题。
这个公式的具体形式如下：$$\sum_{i=1}^{n}a_i=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{n-i+1})-\sum_{i=1}^n(a_i-a_{n-i+1})\right]$$这个公式看起来比较复杂，但实际上它非常简单。
其中，$\sum_{i=1}^{n}a_i$表示从1到n的所有$a_i$的和，而$\sum_{i=1}^{n}(a_i+a_{n-i+1})$和$\sum_{i=1}^{n}(a_i-a_{n-i+1})$分别表示将$a_i$和$a_{n-i+1}$相加和相减后的总和。
根据裂项相消法的原理，这两个总和相减后，可以得到原始的$a_i$的和。
使用裂项相消法求和使用裂项相消法求和的具体方法非常简单，只需要按照公式进行计算即可。
以下是一个具体的例子：$$\sum_{i=1}^{5}i^3$$我们可以使用裂项相消法来计算这个求和式。
首先，我们可以将这个求和式写成两个总和的形式：$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{5}i^3&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i =1}^{5}(i^3+(6-i)^3)-\sum_{i=1}^{5}(i^3-(6-i)^3)\right]\\&=\frac{1}{2}\left[\sum_{i=1}^{5}(i^3+(6-i)^3)-\sum_{i=1}^{5}(2i^3-3i^2\times6+3i\times36-2\times6^3)\right]\end{aligned}$$然后，我们可以使用简单的代数运算来计算这两个总和：$$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{5}(i^3+(6-i)^3)=2\times\sum_{i=1}^{5}(i^3+108-18i^2)\\=&2\times(\sum_{i=1}^{5}i^3+540-18\sum_{i=1}^{5}i^2)\\=&2\times(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 +540-18\times(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2))\\=&2\times(1+8+27+6 4+125+540-18\times55)\\=&2\times(775)=1550\end{aligned}$$$$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^{5}(2i^3-3i^2\times6+3i\times36-2\times6^3)=2\times\sum_{i=1}^{5}(2i^3-18i^2+108i-216)\\=&2\times(2\times1^3-18\times1^2+108\times1-216+2\times2^3-18\times2^2+108\times2-216+2\times3^3-18\times3^2+108\times3-216\\&+2\times4^3-18\times4^2+108\times4-216+2\times5^3-18\times5^2+108\times5-216)\\=&2\times(-740)=-1480\end{aligned}$$然后，我们将这两个总和相减并除以2，即可得到答案：$$\frac{1550-(-1480)}{2}=1515$$因此，$\sum_{i=1}^{5}i^3=1515$。
专题3：分数的裂项求和
题目
1/3+1/15+1/35+1/63
解析
这道题同样是分数的裂项求和基础练习题，可以通过将每个 分数拆分成两个分数之差的形式，然后进行求和。具体来说， 可以将1/3拆分为1-1/3，将1/15拆分为1/3-1/5，以此类推， 最后得到结果为5/9。
总结
这道题同样考察了分数的裂项求和基础方法，需要掌握如 何将分数拆分成两个分数之差的形式。
分数裂项的局限性
虽然分数裂项求和是一种有效的解题方法，但它并不是万能的。有些分数无法通过简单的裂项求和得到解决，需要采用其他 方法。
在使用分数裂项求和方法时，需要注意其适用范围和局限性，避免在不适合的情况下使用该方法导致错误的结果。
05
分数的裂项求和的练习题 及解析
分数的裂项求和基础练习题
题目
将分数$frac{1}{3}$分别与$a$、$b$和$c$相乘，得到$frac{1}{3}a$、$frac{1}{3}b$和 $frac{1}{3}c$。
$frac{1}{2}timesfrac{1}…
将分数$frac{1}{2}$和$frac{1}{3}$相乘，得到$frac{1}{6}$，再将$frac{1}{6}$分别与 $a$和$b$相乘，得到$frac{1}{6}a$和$frac{1}{6}b$。
VS
可以通过化简或计算验证来确认分数 裂项的正确性，例如，将裂项后的分 数进行加减运算，看是否能够得到原 分数的值。
分数裂项的适用范围
分数裂项求和适用于一些具有特定形式的分 数，如形如1/n(n+d)或1/(n1^2)(n2^2)等 。
对于一些复杂的分数形式，可能需要通过观 察、归纳或演绎等方法来确定其裂项形式。
例如，在排序算法、图算法等领域中，分数裂项可以帮助优化算法性能，提高程 序的执行效率。同时，在处理大数据时，分数裂项也可以帮助减少内存占用和计 算时间。
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分数裂项求和方法总结
一、简单分数裂项法：
1.若分数的分母为n，则可将该分数表示为n等分之和，即如下形式：
\(\frac{a}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{ 1}{n}\)
这种情况下，裂项个数为分母的值。
2.若分数的分母为n，且分子a能被n整除，则可以将该分数表示为
n等分之和，裂项个数为分子的值，即如下形式：
\(\frac{a}{n}=\frac{a}{n}+\frac{a}{n}+...+\frac{a}{n}\)
二、特殊分数裂项法：
1.若分母为n(n≥2)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：
\(\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}\)
若此时n=2，则该分数可表示为：
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\)
2.若分母为n(n≥3)，分子为1，则可用连续的n-1个分数之和表示，如：
\(\frac{1}{n}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}\)
若此时n=3，则该分数可表示为：
\(\frac{1}{3}=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\)
三、通用分数裂项法：
1.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b，则
可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：\(\frac{a}{b}=\frac{a+b}{b}+\frac{-b}{b}\)
如将 \(\frac{7}{3}\) 进行裂项，可得：
\(\frac{7}{3}=\frac{7+3}{3}+\frac{-
3}{3}=\frac{10}{3}+\frac{-1}{3}\)
2.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是一个较小的整数b的平方，则可以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之和，如：
\(\frac{a}{b^2}=\frac{a}{b^2}+\frac{a}{b^2}+...+\frac{a}{b^2
}\)
裂项的个数为分子的值。
3.若分数的分子是一个较大的整数a，分母是两个正整数之差，则可
以通过转换分母的形式，将该分数表示为分解后的两个分数之差，如：\(\frac{a}{，m-n，}=\frac{a}{，m-n，}\cdot\frac{m+n}{m+n}-
\frac{a}{m+n}\)
分数裂项求和可以应用于简化分数运算、分数化简等场合，有效地提
高了计算的效率和准确性。
通过对分数裂项法的总结，我们可以更好地理
解和掌握分数运算的基本原理和方法。
但是，对于复杂的分数求和运算，
需要根据具体情况选择合适的分数裂项法，并结合化简、通分、约分等技
巧来求解。
同时，需要注意运算过程的准确性和严谨性，避免在分数裂项的过程中出现错误。