微分的几何意义和定义
导数与微分的总结
导数与微分的总结导数和微分是微积分学中的两个重要概念，也是研究函数变化的基础工具。
本文将从定义、性质、应用等方面对导数和微分进行总结。
一、导数的定义和性质导数是函数在某一点上的变化率，用极限表示形式可以定义为：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当x→x0时，存在有限数L，使得lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) = Lx→x0这个极限L称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|_(x=x0)。
导数具有以下性质：1. 导数的存在性：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，则f(x)在x0处可导当且仅当上述极限存在。
2. 导数的几何意义：导数表示了函数在某一点的切线斜率。
当函数在某一点可导时，这条切线的斜率就是导数的值。
3. 导函数：若函数f(x)在定义域内的每一点都可导，那么对应的导数函数就是f'(x)，称为原函数f(x)的导函数。
4. 导数的四则运算：导数具有加法、减法、乘法、除法的运算法则，即d(u + v)/dx = du/dx + dv/dx，d(u - v)/dx = du/dx -dv/dx，d(uv)/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)，d(u/v)/dx = (v(du/dx) -u(dv/dx))/v²。
二、微分的定义和性质微分是描述函数变化的一种近似方法，它比导数更加具体。
对于函数f(x)，在点x0处进行微分可以表示为：df(x) = f'(x0)dx其中，df(x)称为微分，dx称为自变量的增量。
微分具有以下性质：1. 微分的近似性：微分是函数f(x)在点x0处的变化的近似值，当dx趋近于0时，微分趋近于函数的实际变化值。
2. 微分的几何意义：微分可以理解为函数在某一点上的线性逼近，它是函数值在该点的变化量。
3. 微分与导数的关系：对于可导函数，微分与导数的关系可以表示为df(x) = f'(x0)dx。
微分的实际意义范文
微分的实际意义范文微分是微积分的一个重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。
它是数学中一个非常有用且广泛应用的工具，不仅在数学领域中发挥着重要的作用，还在物理学、工程学和经济学等实际领域中得到广泛应用。
1. 几何意义：微分可以用来描述曲线的切线。
对于一个函数f(x)，在其中一点x上的微分df表示函数曲线在该点的切线斜率。
通过求得函数在其中一点x上的微分，可以得到这条曲线在该点上的斜率，从而有助于我们对曲线的形状和特征有更深入的理解。
2. 物理意义：在物理学中，微分被广泛地用于描述物理量的变化率。
例如，对于一个物体在时间t上的位移s(t)，其速度v(t)定义为位移对时间的微分，即v(t) = ds(t)/dt。
通过对速度再次求微分得到物体在时间t上的加速度a(t)，即a(t) = dv(t)/dt。
微分使我们能够通过数学方法描述物体运动的变化规律，从而在物理实验和理论研究中提供了重要的工具。
3.经济意义：微分在经济学中起着重要的作用。
在经济学中，常常需要描述一些变量对另一个变量的变化率，例如价格对数量的变化率。
通过微分，可以得到这个变化率的具体值，并进一步用于经济学模型的分析和预测。
微分可以被应用于一些经济学中的基本概念，如边际效应和弹性。
例如，边际效应是指在一些单位变化时，对应的效应的变化量。
微分可以帮助经济学家更好地理解边际效应，并用于帮助做出经济政策和决策。
4.工程意义：在工程学中，微分被广泛应用于解决实际问题。
例如，在工程设计中，需要对一些工艺参数进行优化。
通过对函数进行微分，可以求得函数的最大值或最小值，从而找到工艺参数的最优解。
微分还可以用于研究系统的稳定性，例如通过求解微分方程，可以分析控制系统的动态行为，并对系统进行优化和改进。
总的来说，微分的实际意义体现在它在几何、物理、经济和工程等领域中的广泛应用。
微分作为一种描述函数变化率的工具，不仅可以帮助我们更好地理解数学和自然现象，还可以为解决实际问题提供有力的数学方法和工具。
第二章第3节-函数的微分
故 在点 可导, 且
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
Hale Waihona Puke d y 3 x x.2 0
(1)
( 2)
2 当x 很小时, y dy 3 x0 x.
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
dy f ( x) 导数也叫作微商 dx
例1.
求 y x 2 在 x 1, x 0.01 时的微分。
x 1 x 0.01
解: d y
2 x x
x 1
0.02
x 0.01
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2 处的微分。
dx 3 x 2 dx 3x 2 x ( x dx ) 解: dy ( x )
1 x2 dx ; (16) d (arccot x) dx 2 . (15) d (arctan x) 1 x2 1 x
2.四则运算微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分法则 均可导 , 则
(C 为常数)
(10)d (cot x) csc 2 xdx ;
综述微分和泰勒展开公式的关系
微分和泰勒展开公式是数学分析中两个重要的概念和工具，它们在数学推导和物理问题求解中起着至关重要的作用。
本文将综述微分和泰勒展开公式的关系，旨在深入探讨它们之间的内在通联和应用。
一、微分的基本概念1.微分的定义和性质2.微分在函数求导和近似计算中的应用3.微分的几何意义和物理意义二、泰勒展开公式的基本原理1.泰勒展开公式的定义和表达形式2.泰勒展开公式在函数逼近和级数求和中的应用3.泰勒展开公式的推导和证明方法三、微分和泰勒展开公式的关系1.微分与泰勒展开公式的通联和区别2.微分在泰勒展开公式中的角色和作用3.泰勒展开公式的导出过程中涉及微分的应用四、微分和泰勒展开公式在数学分析中的应用1.微分和泰勒展开公式在函数极值和凹凸性判定中的应用2.微分和泰勒展开公式在函数逼近和近似计算中的应用3.微分和泰勒展开公式在泛函分析和微分方程求解中的应用五、微分和泰勒展开公式在物理问题中的应用1.微分和泰勒展开公式在力学和动力学中的应用2.微分和泰勒展开公式在电磁学和热力学中的应用3.微分和泰勒展开公式在量子力学和相对论中的应用六、结论微分和泰勒展开公式作为数学分析中的重要概念和工具，不仅在理论研究中发挥着重要作用，也在物理问题求解中具有广泛的应用前景。
深入理解微分和泰勒展开公式的关系，对于加深对数学分析和物理学知识的理解和应用具有重要意义。
通过以上关于微分和泰勒展开公式的综述，我们可以更全面深入地了解它们的内在通联和应用，希望本文能对相关领域的研究者和学习者有所启发和帮助。
七、微分的基本概念微分是微积分学中的一个基本概念，它源自导数的概念。
在数学上，微分可以解释为函数的局部线性逼近，可以用来求函数的变化率、切线方程、极值点等等。
微分的定义和性质是我们理解微分和泰勒展开公式的基础。
微分的定义是指当自变量的增量趋于0时，函数增量与自变量增量之比的极限，即：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}微分的一些基本性质包括线性性、乘积法则、商法则等，这些性质对于微分求导以及在泰勒展开中的应用都起着重要的作用。
《应用高等数学》微分的定义及微分的几何意义
《应用高等数学》微分的定义及微分的几何意义微分的定义：微分是微积分中的一个重要概念，是研究函数变化率和函数的局部特性的工具。
微分的定义可以通过极限的方式来描述。
对于函数f(x)，如果存在一个实数a和一个实数k，使得当x无限接近a时，函数f(x)的增量Δy和自变量增量Δx之比无限接近于k，即k = lim(Δy/Δx) = lim(f(x) - f(a))/(x - a)，其中lim表示极限。
微分的几何意义：微分在几何上有着重要的意义，它可以用来描述函数的局部特性和刻画曲线的形状。
微分可视为函数曲线在其中一点处的切线斜率。
具体来说，微分的几何意义主要包括以下几个方面：1.切线的斜率：假设有一个函数曲线y=f(x)，在其中一点P处的切线斜率就是函数在该点的导数f'(x)，也称为函数的微分。
微分告诉我们，函数曲线在该点附近的变化速度，即函数值的增减率。
2.切线与曲线的切点：微分还可以确定函数曲线与其切线的切点位置。
给定一个曲线f(x)和一个点P，通过微分求解，可以得到切线与曲线的切点坐标。
3.泰勒展开：微分的另一个重要应用是构造泰勒展开式。
泰勒展开式可以将一个函数在其中一点展开为一个无穷级数，通过微分的概念，可以推导出泰勒展开式的表达式，并且可以利用泰勒展开式来逼近函数的近似值。
4.极值点：微分还可以帮助我们确定函数的极值点。
当函数在其中一点处的微分为零时，说明函数在该点处取得了极值。
通过对微分进行求解，可以求得函数的极值点。
总之，微分在几何上是一种刻画函数曲线局部特性的工具。
它不仅可以帮助我们理解函数的变化规律和刻画曲线的形状，还可以用于求解切线的斜率、切点的位置、构造泰勒展开式以及寻找极值点等问题。
微分是微积分中的重要概念，对于深入理解函数和曲线的性质具有重要意义。
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则
dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
微分和积分的区别!
微分几何意义
微分几何意义
微分的几何意义就是：直角三角形的高（dy）等于正切值（斜率导数
即f'（x））乘以该三角形的底边（dx）。
把这些微分即微小的dy累积
起来就得到三角形的高或着说得到了函数值的本身即y=f（x）。
微分是函数改变量的线性主要部分。
微积分的基本概念之一。
学微分的方法
1、听讲：应抓住听课中的主要矛盾和问题，在听讲时尽可能与老师
的讲解同步思考，必要时做好笔记。
每堂课结束以后应深思一下进行归纳，做到一课一得。
3、探究：要学会思考，在问题解决之后再探求一些新的方法，学会
从不同角度去思考问题，甚至改变条件或结论去发现新问题，经过一段学习，应当将自己的思路整理一下，以形成自己的思维规律。
4、作业：要先复习后作业，先思考再动笔，作业要认真、书写要规范，只有这样脚踏实地才能学好数学。
总之，在学习数学的过程中，要认
识到数学的重要性，充分发挥自己的主观能动性，从小的细节注意起，养
成良好的数学学习习惯，进而培养思考问题、分析问题和解决问题的能力，最终把微积分学好。
第五节 函数的微分
N
T
P
M x
Q
O
x0 x0 x
x
第五节 函数的微分
三、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式
导数公式
微分公式
(x ) x1
d(x ) x1dx
(sin x) cosx
d(sin x) cosxdx
(cosx) sin x
d(cosx) sin xdx
(tan x) sec2 x
解
cos(x2 1) 2xdx
dy2x
co1s(x2 1 ex2
d(11)dex
x.2
)
1 1 ex2
e x2 d( x2 )
1 1 ex2
ex2
2xdx
第五节 函数的微分
四、微分在近似计算中的应用
设函数 y = f (x) 在 x0 处可导，且 f (x0) 0， 则当 | x | 很小时有近似公式
于是有微分公式 dy f (u) g(x) dx . du g(x) dx dy f (u)du .
微分形式不变性
第第五五节节 函函数数的的微微分分
例3 y = sin(x2 + 1)，求 dy .
解
第五节 函数的微分
例4 dyy clno(s1(x2 e1xx)22d)(,x2求1d) y .
关于x的线性函数
关于x的高阶无穷小
第五节 函数的微分
那么，对于任意函数 y = f (x)，是否也有
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x) .
关于x的线性函数
关于x的高阶无穷小
本节将研究这一问题.
第五节 函数的微分
2. 定义
定义 设函数y = f (x)在某区间内有定义, x0 及 x0+x
微积分—微分
数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x )在点x0可微,
y A x o( x ),
y o( x ) A , x x
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
令y x, dy dx ( x)x x.
dy f ( x)dx.
dy dy f ( x )dx. f ( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫 " 微商".
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
由定义知:
dy A x y A x o (x)
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
( 2) y dy o( x )是比x高阶无穷小 ; ( 3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x )在点x0 可导,
y lim f ( x 0 ), x 0 x
li m y A
从而 y f ( x0 ) x ( x ), f ( x0 ) x o( x ),
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx
微分与导数的基本概念及其几何意义
微分与导数的基本概念及其几何意义微分与导数是微积分的基础概念，它们在数学和物理等领域中具有重要的应用。
本文将详细讨论微分与导数的基本概念，以及它们的几何意义。
1.微分的基本概念微分是函数微分学的重要概念之一，它表示函数在某一点附近的线性逼近。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，在x点处，如果存在一个常数k，使得当x趋近于x点时，有以下逼近关系成立：f(x + △x) ≈ f(x) + k△x其中，△x表示x的变化量。
如果k存在且唯一，那么称k为函数f(x)在x点处的微分，记作df(x)。
微分df(x)表示函数f(x)在x点处的变化量。
2.导数的基本概念导数是函数微分学中的另一个基本概念，它表示函数在某一点处的变化率。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，在x点处，如果以下极限存在：lim┬(△x→0)〖(f(x+△x)-f(x))/△x= f'(x)〗那么，该极限值f'(x)称为函数f(x)在x点处的导数，也可以记作dy/dx。
导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
3.微分与导数的关系微分和导数是紧密相关的概念，它们之间有以下关系：df(x) = f'(x)dx这个关系式表明，微分和导数是一一对应的关系。
微分df(x)是函数f(x)在x点处的变化量，而导数f'(x)是函数f(x)在x点处的变化率。
微分和导数互为逆运算。
4.微分与导数的几何意义微分和导数的几何意义可以通过函数图像来解释。
(1) 微分的几何意义微分可解释为函数图像在某一点处的切线斜率。
任意函数的导数可以从该函数的微分中获取。
微分df(x)可以表示函数f(x)在x点附近的线性逼近，那么df(x)的斜率即为f(x)在x点处的导数。
(2) 导数的几何意义导数可解释为函数图像上各点处的切线斜率。
函数曲线在某一点处的切线斜率就是该点处的导数值。
导数描述了函数在各点处的瞬时变化率。
通过几何意义，我们可以直观地理解微分和导数的含义。
第三节微分理解微分的概念了解微分的几何意义掌握微分形式不变性和微分的运算法则会求函数的微分了解
第三节微分理解微分的概念了解微分的几何意义掌握微分形式不变性和微分的运算法则会求函数的微分了解微分是微积分的核心概念之一，是研究函数局部变化的工具。
本节将从理解微分的概念、了解微分的几何意义以及掌握微分形式不变性和微分的运算法则来探讨微分的性质，并展示如何求解函数的微分。
一、微分的概念微分是函数的局部变化率，表示函数在其中一点附近的变化情况。
在函数f(x)中，若f(x)在x0点处可导，则f(x)在x0处的微分为df=f'(x0)dx。
其中dx表示自变量x的微小增量，f'(x0)表示函数f(x)在x0点处的导数。
二、微分的几何意义微分的几何意义是切线的斜率。
对于函数f(x)，若f(x)在x0点处可导，则其切线的斜率就是该点处的导数f'(x0)。
因此，微分可以用来刻画函数的局部变化情况。
三、微分形式不变性微分形式不变性指的是在函数变量的代换下，微分不会改变。
比如函数y=f(x)，若x=g(t)，则dy=f'(x)dx=f'(g(t))g'(t)dt。
这说明无论是用哪个自变量求微分，结果都是一样的。
四、微分的运算法则1.和差法则：（f±g）'(x)=f'(x)±g'(x)2.常数倍法则：(af)'(x)=af'(x)，其中a为常数3.乘法法则：(f×g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)4.除法法则：(f/g)'(x)=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)，其中g(x)≠0五、求函数的微分1.对于多项式函数：若f(x)=a⋅x^n，其中a和n都是常数，则f'(x)=na⋅x^(n-1)。
2.对于指数函数：若f(x)=a^x，其中a是常数，则f'(x)=ln(a)⋅a^x。
3.对于对数函数：若f(x)=log_a(x)，其中a是常数，则f'(x)=1/（x⋅ln(a)）。
微分及意义
第六节 微分及其应用一、微分的定义与几何意义讨论当自变量有微小变化时，函数大体上的变化情况。
引例： 边长为x 的正方形铁片，其面积函数为2x y =，假定它在0x 受热而膨胀，边长增加x ∆，这时面积的增加量为2020202)(x x x x x x y ∆+∆=-∆+=∆ 从上式可以看出，y ∆分成两部分，第一部分x x ∆02是x ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分是比x ∆高阶的无穷小。
由此可见，如果边长改变很微小，即x ∆很小时，面积的改变量可用第一部分来代替，此时误差也很小（误差仅为2x ∆）。
1、定义 设函数)(x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆可表示为)(x o x A y ∆+∆=∆其中A 是不依赖x ∆的常数，那么称函数)(x f y =在点0x 点可微的，而x A ∆叫做函数)(x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即x A dy ∆=注：(1) 微分dy 依赖于函数)(x f ，点0x 及自变量的改变量x ∆；(2) 微分dy 是x ∆的线性函数 可以证明：证明 （1）可微一定可导若)(x f y =在x 点可微，则)0)((→∆∆+∆=∆x x o x A yx x o A x y ∆∆+=∆∆∴)(等式两边取0→∆x 时的极限，有： A x x o A x y x x =∆∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00即极限xy x ∆∆→∆0lim 存在且等于A ，0x x ∆而由导数定义，此极限就是：)('x fA x f =∴)('，可微一定可导（2）可导一定可微若)(x f y =在x 点可导，则)('lim0x f xyx =∆∆→∆)()('x x f xy∆+=∆∆∴α，其中0)(lim 0=∆→∆x x αx x x x f y ∆∆+∆=∆∴)()('α 这里x x ∆∆)(α是一个关于x ∆的高阶无穷小量，可将)0)(()(→∆∆∆∆x x o x x 记作α)()('x o x x f y ∆+∆=∆∴由微分定义，可知)(x f y =在x 点可微，且x x f dy ∆=)('综上所述，对一元函数而言，函数的可微性与可导性是等价的，且有x x f dy ∆=)('。
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
微分
例5 解
设 y=e
− ax
sin bx , 求dy .
dy = e − ax ⋅ cos bxd( bx ) + sin bx ⋅ e − ax d( − ax )
= e −ax ⋅ cos bx ⋅ bdx + sin bx ⋅ e − ax ⋅ ( − a )dx = e −ax (b cos bx − a sin bx )dx .
例1 求函数 y = x 3 当 x = = 3 x 2 ∆x .
∴ dy x = 2
∆x = 0.02
= 3 x 2 ∆x
x=2 ∆x = 0.02
= 0.24.
通常把自变量 x的增量 ∆x称为自变量的微分 , 记作 dx , 即dx = ∆x .
d(sec x ) = sec x tan xdx d(csc x ) = − csc x cot xdx
d(a x ) = a x ln adx 1 d(log a x ) = dx x ln a 1 d(arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d(arctan x ) = dx 2 1+ x
2 ∴ ∆y ≈ 3 x 0 ⋅ ∆x .
既容易计算又是较好的近似值
问题: 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2. 定义
设函数 y = f ( x )在某区间内有定义, x0及 x0 + ∆x在这区间内, 如果 ∆ y = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = A ⋅ ∆ x + o( ∆ x ) 成立(其中A是与∆x无关的常数), 则称函数 y = f ( x )在点 x0可微 , 并且称A ⋅ ∆x为函数 y = f ( x )在点 x0 相应于自变量增量 ∆x的微分, 记作 dy
高等数学 第2章 第七节 函数的微分
2
3、问题：函数可微的条件是什么？
A?
设函数 y f ( x) 在点 x0 可微, 则有(1)成立，即 y Ax o(x)
等式两端除以
x ,得
y A o(x) .
x
x
于是, 当 x 0时, 由上式就得到
f x0
ex e x ,
微分公式
d x x 1dx ,
dsin x cos xdx, dcos x sin xdx,
dtan x sec2 xdx, dcot x csc2 xdx, dsecx secx tan xdx, dcsc x csc x cot xdx,
d a x a x ln adx,
d ex e xdx, 8
loga
x
1 x lna
,
ln 1 ,
x
arcsin x 1 ,
1 x2
arccos x 1 ,
1 x2
arctan x 1 ,
1 x2
arc cot x 1 .
1 x2
2.函数的和、差、积、商的微分法则
d log a
x
1 x ln a
dx,
dln x 1 dx,
cos x e13x 3dx e13x sin xdx
e13x (3cos x sin x)dx.
例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
(1)d(__) xdx;(2)d(__) costdt
解: (1)因为 d ( x 2 ) 2 xdx.
可见，xdx 1 d x2 2
1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行 到dy、dx 。
微分 变分
微分变分一、微分的概念及应用1.1 微分的定义微分是微积分的一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的局部变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的微分可以表示为：其中dx表示x的无穷小增量，df(x)表示函数f(x)在x处的无穷小增量。
1.2 微分的几何意义微分可以理解为函数在某一点的切线斜率。
对于函数f(x)，它在点x处的微分df(x)可以表示为切线的斜率。
当x的增量无限趋近于0时，切线斜率趋近于函数在该点的导数。
1.3 微分的应用微分在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，微分可以用来描述物体的运动状态；在工程学中，微分可以用来描述电路中的电流和电压关系；在经济学中，微分可以用来描述市场供需关系等。
二、变分的概念及原理2.1 变分的定义变分是数学中的一个分支，它研究函数的极值问题。
对于给定的函数，变分问题要求找到使得某一泛函取极值的函数。
2.2 变分的原理变分原理是变分方法的基础，它可以用来求解各种极值问题。
变分原理的核心思想是将函数的变分问题转化为求解微分方程的问题。
通过对函数进行变分，得到泛函的变分表达式，然后通过求解变分表达式的极值条件，得到原始函数的解。
三、微分与变分的关系3.1 微分与变分的联系微分和变分都是研究函数的性质和变化规律的数学方法。
微分主要研究函数在某一点的局部变化率，而变分则研究函数的整体性质和极值问题。
微分和变分在数学分析中有着密切的联系和相互依赖关系。
3.2 微分与变分的应用微分和变分在物理学、力学、光学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，微分可以用来描述物体的运动状态，而变分可以用来求解物体的最优运动路径；在力学中，微分可以用来描述物体的受力情况，而变分可以用来求解力学系统的最优控制问题。
四、微分方程与变分问题4.1 微分方程的概念微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
它是微分学的重要研究对象，广泛应用于自然科学和工程技术中。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
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微分的几何意义和定义
微分是数学中的一个重要概念，其几何意义和定义是理解微分的关键。
微分的几何意义是刻画曲线、曲面等几何图形的某一点的局部性质。
在微分中，重要的概念是切线、法线和切平面。
以曲线为例，设函数 y=f(x) 在点 P 处有切线，该切线与 x 轴的交点为 A，则有：
$f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta y\approx f'(x)\Delta x$
其中，$y=f(x)$ 是曲线上的一点，$\Delta x$ 为极小增量，$\Delta y$ 是相应的函数值增量，$f'(x)$ 是函数$f(x)$ 在点 $x$ 处的导数。
上述式子表示函数在 $x$ 点处的微小变化对应于函数在 $x$ 点处的切线根据
$x$ 增量 $\Delta x$ 产生的变化。
这个切线是定性地描述函数在 $x$ 点的局部性质的基础。
当 $\Delta x$ 趋近于 0 时，切线趋近于与曲线相切的状态。
2.微分的定义
微分是函数的导数和自变量的微小变化量之积。
设 $y=f(x)$，在点 $x$ 处微分$dy$ 定义为：
$dy=f'(x)dx$
对于一元函数$f(x)$，微分的定义可以推广到多元函数 $z=f(x,y)$ 上。
在二元函数$z=f(x,y)$ 中，在点 $(x_0,y_0)$ 处，有：
$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$
其中，$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 分别表示 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，$dx$ 和 $dy$ 分别表示自变量 $x$ 和 $y$ 的极小增量。
微分 $dz$ 可以视为函数在 $(x_0,y_0)$ 点处的平面的局部性质，即该点的切平面。
总的来说，微分是函数在某一点的局部性质的刻画。
微分的几何意义是切线、法线和切平面。
它们是描述函数在某一点的局部性质的基础，对于理解微分的概念和应用具有重要的作用。