一元二次函数求根公式法

一元二次方程式的求根公式

一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的一元二次方程式，求解这种方程的根一直是数学学习中的重点和难点。

幸运的是，数学家们在几个世纪前就已经找到了一元二次方程的求根公式，这个公式被广泛地应用于解决各种实际问题和数学推导中。

一元二次方程的求根公式，也称为根的判别式，是一种能够根据方程系数直接求出方程根的公式。

它的应用在实际生活中非常广泛，例如在物理学和工程学中，用于计算物体的运动轨迹或者建筑结构的稳定性。

而在数学研究中，一元二次方程的求根公式更是作为代数方程的基石，为高阶方程的求解提供了重要的思路。

为了更好地理解一元二次方程的求根公式，我们首先来简单了解一下一元二次方程。

一元二次方程一般写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c 分别为方程的系数。

那么，方程的根就是能够使得方程成立的未知数的值，也就是x的值。

而一元二次方程的求根公式就是用来求出这些根的具体数值。

这个公式可以分为求判别式和求根两个部分。

首先求判别式，通过计算Δ=b²-4ac来判断方程的根的情况。

如果Δ大于0，则方程有两个不相等的实根；如果Δ等于0，则方程有两个相等的实根；如果Δ小于0，则方程没有实根。

判别式不仅是用来判断方程根的情况，更重要的是它为我们之后的计算提供了信息。

接着是求根的部分，根据判别式的结果，我们可以直接套用求根公式来求出方程的根。

如果Δ大于0，方程的两个根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ等于0，方程的两个根为x1=x2=-b/2a；如果Δ小于0，方程没有实根，但可以求出两个虚根。

通过这样的求根过程，我们可以直观地得出方程的根，并且可以根据判别式的结果对根的情况有一个清晰的认识。

在日常生活和学习中，一元二次方程的求根公式为我们解决各种问题提供了便利。

无论是物理问题中的抛物线运动，还是工程问题中的结构稳定性，都可以通过一元二次方程的求根公式得到精确的解答。

在数学的学习中，理解和掌握一元二次方程的求根公式，不仅有助于我们进一步学习高阶方程和代数方程的解法，更能够帮助我们提高数学建模和分析问题的能力。

一元二次方程求根方法

一元二次方程求根方法一元二次方程是高中数学中的重要内容，求解一元二次方程的根是我们学习的基础。

本文将介绍一元二次方程的概念、求解方法以及求根的具体步骤。

一、一元二次方程的概念一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 分别为已知系数（且a ≠ 0），x 为未知数。

这个方程的解即为方程的根。

二、求解一元二次方程的方法求解一元二次方程的方法有多种，常用的有因式分解法、配方法和求根公式法。

1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程的根。

具体步骤如下：Step 1：将方程写成 (px + q)(rx + s) = 0 的形式，其中 p、q、r、s 为常数。

Step 2：得到两个一次方程 px + q = 0 和 rx + s = 0。

Step 3：分别求解这两个一次方程，得到 x 的值。

2. 配方法当一元二次方程无法通过因式分解时，我们可以通过配方法求解方程的根。

具体步骤如下：Step 1：将方程中二次项的系数变为 1，即将方程写成 x^2 + bx + c = 0 的形式。

Step 2：在方程两边同时加上一个适当的常数 d，使得方程可以进行配方。

Step 3：根据配方公式 (x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2，将方程转化为一个完全平方的形式。

Step 4：利用完全平方公式将方程进行化简，并求解得到 x 的值。

3. 求根公式法一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

具体步骤如下：Step 1：将方程写成标准形式 ax^2 + bx + c = 0。

Step 2：根据求根公式，将 a、b、c 的值代入公式中，计算得到 x 的值。

三、一元二次方程求根步骤示例以方程 2x^2 - 5x - 3 = 0 为例，演示一元二次方程求根的具体步骤。

Step 1：将方程写成标准形式，即 2x^2 - 5x - 3 = 0。

一元二次方程定义

一元二次方程定义一元二次方程是一种形如 $ax^2+bx+c=0$ 的代数式，其中 $a,b,c$ 都是实数且 $a \e 0$。

在数学中，一元二次方程是一类基本的二次函数，它在数学上的应用广泛，尤其在物理学、工程学、计算机科学等领域中，有着重要的作用。

一元二次方程的参数$a,b,c$ 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

在解一元二次方程时，我们的主要任务就是求解方程的根。

通常来说，有三种常见的解法，即因式分解法、求根公式法和配方法。

不过，这三种方法并不一定适用于所有的一元二次方程。

在接下来中，我们将具体介绍这三种解法以及它们的应用场景。

1. 因式分解法因式分解法是最为直观的解法之一。

对于形如 $ax^2+bx+c=0$ 的一元二次方程，如果其二次项系数 $a$ 不为零并且其方程左边的多项式是可因式分解的，那么我们就可以使用因式分解法来解方程。

具体步骤如下：（1）观察方程左边的多项式，尝试将其因式分解为两个一次多项式的乘积，即 $ax^2+bx+c=(mx+p)(nx+q)$。

（2）将因式分解后的乘积式展开并合并同类项，得到一个新的二次方程，即 $mnx^2+(mq+np)x+pq=0$。

（3）将新的二次方程与原方程进行比较，即可得到各个系数的关系，从而求出方程的根。

需要注意的是，因式分解法并不适用于所有的一元二次方程。

具体来说，它只适用于一元二次方程的方程左边的多项式可以被分解为两个一次多项式的乘积的情况。

如果方程左边的多项式是一个完全平方式，则我们可以直接使用求根公式法来求解。

2. 求根公式法求根公式法是解一元二次方程时最为常见的一种方法。

它基于一种著名的求根公式，即 $x=\\frac{-b\\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

这个公式也被称为一元二次方程的通项公式。

在使用求根公式法时，我们需要依次求出二次项系数 $a$、一次项系数$b$ 和常数项 $c$ 的值，并将其代入求根公式中即可求解方程的根。

2.1 一元二次方程(求根公式法)

-2 16 x= • 得 -6 1 • 所以 x1 ，x 2 1 3
-b b2 - 4ac x= 2a
9
• （2）原方程可化为 x2+2x-8=0
-b b - 4ac • 将 a=1,b=2,c=-8代入 x = 2a -2 36 • 得， x = 2
2
• 所以
x1 2，x2 4
10
• 总结： • 1、求根公式与根的判别业： • 1、教材 P23 第3、4、题（作业本上） • 2、练习册做到P19
11
感谢您的关注
12
• 对于 x2+mx ，在 x2+mx 后面加一次项的系数m的一半的平方，
为了保持相等再减去一次项的系数m的一半的平方。
• 2、ax2+bx, (即二次项系数不是1的)
• 对于ax2+bx，先提取a，即先化二次项系数为1，再配方。注意保持式子相等
3
• 3、平方根的定义和平方根的表示： • 定义：如果x2=a,那么x叫做a的平方根； • 表示： • 当a˃0时，a的平方根有两个，且互为相反数，记作（正的根）、 a （负的根）； a • 当a=0时，因为 02=0 ，所以0的平方根为0，有

2a
4a2
• 这就是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式
•
（2）当b2-4ac=0时，解方程,得
x1 = x 2 = -
• 为原方程两个相等的根；(1)中的公式仍成立。
b 2a
• （3）当b2-4ac˃0时，原方程无实数根。
7
• 例1 用求根公式法解方程 5x2+2x-3=0
-b b2 - 4ac • 解：将a=5,b=2,c=-3代入 x = 2a -2 64 • 得 x= 10

一元二次方程求根公式推导过程是什么

一元二次方程求根公式推导过程是什么想要了解一元二次方程的小伙伴赶紧来看看吧！下面由作者为你精心准备了“一元二次方程求根公式推导过程是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！一元二次方程求根公式推导过程是什么一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax +bx+c（一元二次方程的基本形式）推导根公式的详细过程如下：1、ax +bx+c=0（a≠0，表示平方），等式两边都除以a，得x +bx+c=0；2、移项得x +bx=－c，方程两边都加上一次项系数b的一半的平方，即方程两边都加上b ；3、配方得x +bx+b =b －c，即（x+b）=（b -4ac）；4、开根后得x+b=±[√（b -4ac）]（√表示根号），最终可得x=[-b±√（b -4ac）]。

一元二次方程怎么解？第一种：直接开平方法——这种方法要求等式的左边为一个完全平方式，右边为一个非负的常数，即形如X2=a（a≥0）或者（mX2+n）=a（a≥0），这种形式的方程可直接通过开方后经过简单计算即可得到结果。

第二种：配方法——配方法一共有6个步骤。

第一步，将二次项系数化为1，即化为X²+bX+c=0的形式；第二步，将常数项移到方程右边；第三步，方程两边都加上一次项系数一半的平方；第四步，等式左边写成完全平方形式，右边合并同类项；第五步，等式两边同时开方；第六步，确定方程的解。

第三种：公式法——使用公式法时首先需要将等式化为标准形式，即为aX²+bX+c=0的形式。

方程的解可直接套用公式得出X=[-b±（b²-4ac）]，将标准形式中的a、b、c 代入即可。

第四种：因式分解法——因式分解法一共有四步。

第一步，将方程右边化为0；第二步，将方程左边进行同类项合并；第三步，将方程左边写成两个一次式的乘积；第四步，通过一次方程写出方程的两个解。

解一元二次方程的步骤分为审题、列方程、解方程，检验，答。

一元二次函数解法

一元二次函数解法
一元二次函数解法是解决二次函数的根的方法。

一元二次函数的形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为已知数，x为未知数，y为函数值。

为了求出该函数的根，我们可以采用以下解法：
1.配方法：当a不为0时，可以采用配方法将一元二次函数化为完全平方形式，再利用求根公式求出函数的根。

2.因式分解法：当函数的系数a、b、c均为整数时，可以采用因式分解法将函数化简，再利用零点定理求出函数的根。

3.求根公式法：当函数无法化简时，可以直接利用求根公式求出函数的根。

求根公式为：x1,2=(-b±√b-4ac)/2a。

4.图像法：当函数的系数a、b、c无法确定时，可以采用图像法观察函数的图像，根据图像的性质推断函数的根。

以上是一元二次函数的几种解法，具体应用时需要根据实际情况选择合适的方法。

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一元二次方程三种解法

一元二次方程三种解法
一元二次方程是高中数学中比较重要的一个概念，它的解法也有很多种。

在本文中，将介绍三种解一元二次方程的方法。

第一种方法是配方法。

这种方法是将一元二次方程进行配方，将其化为完全平方形式，然后再进行求解。

例如，对于方程 x^2+4x+4=0，我们可以将其配方，得到 (x+2)^2=0，进而解得 x=-2。

第二种方法是公式法。

这种方法是利用一元二次方程的求根公式，直接求得方程的解。

对于方程 ax^2+bx+c=0，求根公式可以表示为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

例如，对于方程 x^2-2x-3=0，我们可以
利用求根公式，得到 x=3 或 x=-1。

第三种方法是图像法。

这种方法是通过一元二次函数的图像来判断方程的解。

当一元二次函数的图像与 x 轴交于两个点时，方程有
两个实数解；当一元二次函数的图像与 x 轴交于一个点时，方程有
一个实数解；当一元二次函数的图像与 x 轴没有交点时，方程无解。

例如，对于方程 x^2-4x+3=0，我们可以画出其函数图像，发现其与 x 轴交于两个点，因此方程有两个实数解。

以上就是三种解一元二次方程的方法，它们各自有其适用的场合，需要根据实际情况选择合适的方法。

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一元二次方程4种解法

一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。

一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。

在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。

二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。

只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。

三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。

首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。

然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。

四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。

一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。

通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。

22.2.2 一元二次方程求根公式法

方程有两个相等的实数根
③、△＜0 ④、△≥0
方程没有实数根方程有实数根
例题讲解
不解方程，判别方程的根的情况.
解：4 y 2 4 y 1 0 a 4, b 4, c 1 (4) 2 4 4 1 0
4 y 1 4 y
2
所以，方程有两个相等的实数根。
3 x 2
2x
解： a 2，b 1，c 1. 1
b 4ac 1 4 2 1 9 0,
2 2
x
确定a、b 、c的值时要注意符号．
1 9 2 ２
1 3 , 4
1 x1 1, x2 . 2
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例题讲解
解下列方程：
2x 1 2 x 1 0; x 2 1.5 3x; 2 1 0; 2 3 x 2 0. 4 4x 2
小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c ２.再求出
b 4ac
2
３.最后代入公式
当当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时，有两个实数根时，方程无实数解
4 2 6 x 0 4x
解：
a 4, b 6, c 0.
b 4ac 6 4 4 0 36.
2 2
x
6 36 2 4
66 , 8
3 x1 0, x2 . 2
5 x
解：化为一般式
2
4 x 8 4 x 11 x2 3 0 .

c++一元二次方程求根公式

c++一元二次方程求根公式C++是一种编程语言，可以用来解决各种数学问题，包括一元二次方程的求根。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

求一元二次方程的根可以使用求根公式，也称为二次方程的根公式。

根据求根公式，一元二次方程的根可以分为两种情况，实根和虚根。

1. 实根：当一元二次方程的判别式D = b^2 4ac大于等于0时，方程有两个不相等的实根。

此时，可以使用以下公式求根：x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)。

x2 = (-b sqrt(D)) / (2a)。

其中，sqrt表示平方根的函数。

2. 虚根：当一元二次方程的判别式D小于0时，方程没有实根，但可以求得两个虚根。

此时，可以使用以下公式求根：实部，x1 = -b / (2a)。

虚部，x2 = sqrt(-D) / (2a)。

其中，sqrt表示平方根的函数，虚部用i表示。

在C++中，可以使用数学库cmath中的sqrt函数来计算平方根。

以下是一个用C++编写的求解一元二次方程根的示例代码：cpp.#include <iostream>。

#include <cmath>。

int main() {。

double a, b, c;std::cout << "请输入一元二次方程的系数a、b、c，"<< std::endl;std::cin >> a >> b >> c;double D = b b 4 a c;if (D > 0) {。

double x1 = (-b + sqrt(D)) / (2 a);double x2 = (-b sqrt(D)) / (2 a);std::cout << "方程有两个不相等的实根，" << x1 << " 和 " << x2 << std::endl;} else if (D == 0) {。

一元二次方程求根公式

主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

一元二次函数求根公式推导过程

一元二次函数求根公式推导过程一元二次函数，这可是咱们数学学习中的一个重要“角色”。

那今天咱们就来好好聊聊一元二次函数求根公式的推导过程。

还记得我上高中的时候，有一次数学课，老师在黑板上写下了一个一元二次方程：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们要来揭开它的求根秘密！”咱们先假设这个方程有两个根，分别是 x₁和 x₂。

根据韦达定理，x₁ + x₂ = -b/a ，x₁ · x₂ = c/a 。

那咱们怎么从这一步步推导出求根公式呢？咱们先把方程 ax² + bx + c = 0 移项，变成 ax² + bx = -c 。

然后方程两边同时除以 a ，得到 x² + (b/a)x = -c/a 。

这时候，咱们要给左边凑个完全平方。

在 x² + (b/a)x 里加上 (b/2a)²，同时为了等式平衡，在右边也要加上 (b/2a)²。

于是，左边就变成了 (x + b/2a)²，右边变成了 (b² - 4ac)/4a²。

接下来，开平方，得到x + b/2a = ±√(b² - 4ac)/2a 。

最后，移项，就得出了求根公式 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 。

当时我在课堂上，跟着老师的节奏，一步一步推导，心里那个激动啊！感觉就像在黑暗中摸索，突然找到了光明的出口。

咱们再回过头来仔细瞅瞅这个求根公式。

这里面的 a、b、c 可都有着重要的作用。

比如说，判别式Δ = b² - 4ac ，它能告诉咱们方程根的情况。

当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

在实际解题的时候，这个求根公式可太好用啦！就拿一个简单的例子来说，比如方程 x² - 5x + 6 = 0 ，这里 a = 1 ，b = -5 ，c = 6 ，判别式Δ = (-5)² - 4×1×6 = 1 ，因为Δ > 0 ，所以方程有两个不相等的实数根。

一元二次函数顶点式求根

一元二次函数顶点式求根
一元二次函数的顶点式是y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为顶点的
坐标，a为抛物线的开口方向和大小。

要求一元二次函数的根，即
求解函数y=a(x-h)^2+k=0的解。

首先，我们可以将顶点式展开得到y=ax^2-2ahx+ah^2+k=0。

然后，我们可以使用求根公式或者配方法来求解方程。

如果使用求根
公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a, b, c分别为
ax^2+bx+c=0中的系数。

如果使用配方法，我们可以将方程写成完
全平方的形式，即a(x-p)^2+q=0，然后通过解方程a(x-p)^2=-q来
求解x的值。

另外，我们还可以利用顶点的坐标(h, k)来求解函数的根。

由
于顶点在抛物线的对称轴上，因此对称轴上的点到顶点的距离与对
称轴上的另一点到顶点的距离相等。

利用这个性质，我们可以得到
对称轴上的另一点的坐标，然后通过解方程y=0来求解函数的根。

综上所述，求解一元二次函数顶点式的根可以通过求根公式、
配方法或者利用顶点的坐标来实现。

不同的方法适用于不同的情况，选择合适的方法可以更快地求解函数的根。

一元二次方程——求根公式法

⼀元⼆次⽅程——求根公式法⼀元⼆次⽅程（4）知识回顾：（⼀）⼀元⼆次⽅程的⼀般形式是．（⼆）配⽅规律：形如x 2＋b x + ＝(x + )2，：（三）（三）求根公式是（四）⼀元⼆次⽅程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式为：其中当b 2－4ac ＝0时，⽅程有实数根；当时，⽅程有实数根。

当b 2－4ac ＞0时，⽅程的两根有实数根；当b 2－4ac ＜0时，⽅程实数根；。

巩固练习： 1. 解⽅程：x 2+3x+1=0 （x+5）（x ﹣1）=9． 2x 22．若⽅程3x 2+bx+1=0⽆解，则b 应满⾜的条件是________．3．已知⽅程x 2+px+q=0有两个相等的实数，则p 与q 的关系是________．4．不解⽅程，判定2x 2-3=4x 的根的情况是______（?填“⼆个不等实根”或“⼆个相等实根或没有实根”）．5．已知b≠0，不解⽅程，试判定关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2-（2a+b ）x+（a+ab-2b 2）?=0的根的情况是________．6.若关于x 的⼀元⼆次⽅程2(2)210a x ax a --++=有实数解，求a 的取值。

7.试证明:不论m 为何值,⽅程已知关于x 的⽅程x 2＋mx ＋m －2＝0.总有两个不相等的实数根.新知探究：1．分解因式：（1）x2-4x=_________；（2）x-2-x（x-2）=________ （3）m2-9=________；（4）（x+1）2-16=________ 2．⽅程（2x+1）（x-5）=0的解是_________ 3．⽅程2x（x-2）=3（x-2）的解是___________4．⽅程（x-1）（x-2）=0的两根为x1·x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于_______5．已知y=x2+x-6，当x=________时，y的值为0；当x=________时，y的值等于24．6．⽅程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________． 7．若（2x+3y）2+3（2x+3y）-4=0，则2x+3y的值为_________．8．⽅程x（x+1）（x-2）=0的根是（） A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，29．若关于x的⼀元⼆次⽅程的根分别为-5，7，则该⽅程可以为（）A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=010．已知⽅程4x2-3x=0，下列说法正确的是（）A．只有⼀个根x=34B．只有⼀个根x=0 C．有两个根x1=0，x2=34D．有两个根x1=0，x2=-3411．解⽅程2（5x-1）2=3（5x-1）的最适当的⽅法是（）A．直接开平⽅法 B．配⽅法 C．公式法 D．分解因式法12．⽅程（x+4）（x-5）=1的根为（） A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对3．若实数x，y满⾜（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2 或﹣1 D．﹣2或﹣14．已知x2﹣5xy﹣6y2=0（y≠0且x≠0），则的值为（）A．6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．﹣1或65．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（）A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．以上全不正确6．已知关于x的⽅程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，则⼆次三项式x2﹣px+q可分解为（）A．（x+3）（x﹣4）B．（x﹣3）（x+4）C．（x+3）（x+4）D．（x﹣3）（x﹣4）13．⽤因式分解法解下列⽅程．（1）①x2﹣2x=99 （2）（y-5）(y+7）=0 ④（x+5）（x﹣1）=7．②（2x﹣3）2=3（2x﹣3）（3）x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）③x2﹣6x+9=017．⽤适当⽅法解下列⽅程：①（x+2）2﹣9=0 x2-2x-2=0 ③x2+3x+1=0 ④5x（x+2）=4x+8．②x2+8x=﹣16（4）（x-1）2-2（x2-1）=0能⼒提升14．（x2+y2-1）2=4，则x2+y2=_______． 15．⽅程x2=│x│的根是__________．16．⽅程2x（x-3）=7（3-x）的根是（） A．x=3 B．x=72C．x1=3，x2=72D．x1=3，x2=-7217．实数a、b满⾜（a+b）2+a+b-2=0，则（a+b）2的值为（）A．4 B．1 C．-2或1 D．4或118．阅读下题的解答过程，请判断是否有错，?若有错误请你在其右边写出正确的解答．已知：m是关于x的⽅程mx-2x+m=0的⼀个根，求m的值．解：把x=m代⼊原⽅程，?化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1，∴m=1，把m=1代⼊原⽅程检验可知：m=1符合题意．?答：m 的值是1．19．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b=4ab ，例如2※6=4 ×2 ×6=48（1）求3※5的值；（2）求x ※x+2※x-2※4=0中x 的值；、（3）若⽆论x 是什么数，总有a ※x=x ，求a 的值．聚焦中考20．（南宁）⽅程20x x -=的解为．21．（内江）⽅程x （x+1）=3（x+1）的解的情况是（）A ．x=-1 B.x=3 C.3,121=-=x x D.以上答案都不对22．（兰州）在实数范围内定义⼀种运算“＊”，其规则为22b a b a -=＊，根据这个规则，⽅程05)2(=+＊x 的解为。

一元二次方程求根公式推导

一元二次方程求根公式推导一元二次方程求根公式推导：1.介绍一元二次方程指的是常数都为某个实数的二次函数，可以用$ax^2 +bx + c = 0$的形式表达，其中的$a,\ b,\ c$均为实数，但是$a$不能为零。

求解一元二次方程在数学中是十分重要的，它可以用一元二次方程求根公式进行求解。

2.一元二次方程的公式一元二次方程有两个解，可以用下面的公式求解：$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$$其中，$a,\ b,\ c$分别为二次项系数，一次项系数和常数项，$\pm$表示有两个解，$\sqrt{b^2-4ac}$表示二次式的判别式。

3.判别式的性质$$b^2-4ac=0$$如果判别式$b^2-4ac$等于零，则一元二次方程有一个重根，它的解为： $$x=-\frac{b}{2a}$$如果判别式$b^2-4ac$大于零，则一元二次方程有两个不同实数解，它们的解可以用上面的公式求出。

如果判别式$b^2-4ac$小于零，则一元二次方程没有实数解。

4.推导过程已知：一元二次方程可以表示为：$ax^2 + bx + c = 0$。

要求：求出它的解$x$把方程两边同时乘以$2a$得：$2ax^2 + 2bx + 2c = 0$再把方程两边同时同中间项抵消，就有：$2ax^2 - 2bx + 2c = 0$，可以看到这个方程是一元二次方程 ax² + (2c-2b)x + 2c = 0，可以发现X= $-\frac{2c-2b}{2a}$，把它代入到原方程，有：$a(2c-2b)^2 + b(2c-2b) + c = 0$，化简得：$4ac^2-4abc+b^2 = 0$，而$b^2-4ac=0$就是我们需要的判别式，而上述的解$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$就是我们的一元二次方程的求根公式。

5.总结回顾一元二次方程求根公式的推导：我们分别通过把两边乘以2a，以及把中间项抵消来把原方程化简，得出$b^2-4ac=0$即一元二次方程的判别式，依据这个解法，就可以求得一元二次方程的求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$。