柯西不等式的分式形式及其应用
柯西不等式的应用及推广
。
由此证明了 且得等号成立的条件为：
.这等价于连比式 [8]。
3.2 判别式法
当 或 时，不等式显然成立
令 ，当 中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数 ，展开得： 故 的判别式
移项得 ，得证。
3.3 数学归纳法
) 当n=1时，有 ，不等式成立。
当n=2时，
因为 ，故有
当且仅当 ，即 时等号成立。
ii）假设n=k时不等式成立，即
当且仅当 时等号成立。
那么当n=k+1时，
当且仅当 , , 时等号成立，
即 时等号成立。
于是n=k+1时不等式成立。
由 ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
3.4 基本不等式法
运用基本不等式 。
记 , , , 。
则柯西不等式就等价于 ，也等价于 。
，当且仅当 ，即 时等号成立；
，当且仅当 ，即 时等号成立；
……
，当且仅当 ，即 时等号成立。
把以上 个式子相加得
。
当且仅当 时等号成立，则等价命题成立。
故柯西不等式成立。
3.5 运用推广不等式
若 为正数， 为非负数， ，实数 ，则
（当且仅当 时等号成立）。
在以上推广不等式中取 。
有 。
化简得， 。
当 为零或几个为零（ 处于对称位置），不等式显然成立。
2 柯西不等式的诠释
柯西是18世纪法国、巴黎著名的数学家，他的一生获得了多项重要的成果。本文介绍的柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。
第一章 培优点1 柯西不等式与权方和不等式-2025年新高考一轮复习讲义
B.－6
C.3
D.4
123456
∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
∴x42＋y32＝1， ∴x42＋y32(16＋9)≥(2x＋ 3y)2， 即－5≤2x＋ 3y≤5，
当且仅当 3 3x＝8y，
即x＝－85， y＝－3 5 3
时，左边取等号，
123456
当x＝85， y＝3 5 3
时，右边取等号，
即x＝4 1111，
y＝3
11 11
或x＝－4 1111，
y＝－3
11 11
时等号成立，
于是 2x＋y 的最大值为 11，最小值为－ 11.
思维升华
掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的 次序、改变结构、添项等方法.
跟踪训练1 设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为__4___5___.
∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，
∴a·b＝x－2y.
由柯西不等式的向量形式可得
[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，
即5×16≥(x－2y)2，
∴－4 5≤x－2y≤4 5，
(*)
当且仅当b＝ka，
即x＝4 5 5， y＝－8 5 5
时，(*)式中右边等号成立，
或x＝－4 5 5， y＝8 5 5
123456
6.若 a>1，b>1，则b－a21＋a－b21的最小值为____8____.
b－a2 1＋a－b2 1≥a＋a＋b－b22， 令 a＋b－2＝t，则a＋a＋b－b22＝t＋t22＝t＋4t ＋4≥8， 当且仅当b－a 1＝a－b 1， 即 a＝b＝2 时取等号，
a＋b－2＝2， 所以b－a2 1＋a－b2 1的最小值为 8.
高中数学一般形式的柯西不等式
典例精讲 例3 已知x 2 y 3z 1 ， 求x 2 y 2 z 2的最小值.
2 2 2 2 2 2 2
证明 : ( x y z )(1 2 3 ) ( x 2 y 3 z ) 1， x2 y2 z2 1 . 14 y z x 3 1 1 当且仅当 ，即x ， y ， z 时， 1 2 3 14 7 14 2 2 2 1 x y z 取最小值 . 14
应用举例
例1 浙江(2010 卷03)
2 2 2 a b c (1)设正实数a，，， b c 满足abc 1， 求 a 2b b 2c c 2a 的最小值.
例2 若a ， b ，为正实数 c . 求证： a b c 3 . bc ca ab 2
a 1 b 1 c 1 bc ca ab a b c b c a c a b (a b c ) 1 1 1 bc ca ab bc ca ab 1 ( b c ) ( c a ) ( a b ) 1 1 1 2 bc ca ab 1 (1 1 1)2 9 . 2 2 a b c 3. bc ca ab 2 证明：
2 n
1 an ) 2 .
an ) ，
2
a ) (a1 a2
2 2 an )2 a1 a2
1 (a1 a2 n
2 an .
变式练习
变式1 ： 已知a 、 b、 c、 d 0， ， 且a b c d 1. 求证： a b c d 1. 4
2 2 2 2
(a b c d ) .
2
即4(16 e ) (8 e ) ， 即64 4e 64 16e e
浅谈柯西不等式中的“巧配凑、活分拆”
＋１ ＋１ ＋ｙ ｚ＋ ＇ １ ＋ 一 ３ ｘ ｙ＋ ｙ ｚ＋ ＋５ ≤
标 ， 构 建 柯 西 不 等 式 警 ０ ｒ ｌ 十 ≠ ｚ Ｖ ｌ ＋ 十 ｖ ｚ ｌ ＋ ｒ 十 ≥ ３ １ ＋ ｘ ｙ ＋ ｌ 道路 。
＋ 懈 ＋ １ ＋ 艘 ÷
］ ＿
０ ｎ ｂ七 ｂ ｃ
（ １ ） 求 ３ ｘ ｙ＋ ｙ ｚ＋ 的 最 大值 ；
（ ２ ） ＋ ＋ ≥
、
＋
雨
＿
０ ∞ ｂ ｃ
－ ＋ －
Ｆ
ｃ
ｎ ＋ ｂ ＋ ｆ ２ ａ ｂ＋ ＋ ｎ ｃ
分析 ： 因为此题设计为连环题 ， 第（ ２ ） 小 题 要 用 到第 （ １ ） 小 题 的
问 题 的 关 键 之 一 是 配 凑 柯 西 不 等 式 的 使 用 条 件 。 下 面 尝 试 变 形
隧 ＋ ＋ Ｃ ４ 一
丽ａ ２ ＋丽 ５ ２
＋￣ ／ ＝
＋
为和的平方 ， 以及 式 子 的结 构 特 征 巧 妙 地 对 式 子 进 行 配 凑 ， 并 进 行 合 适 的分 拆 组 合 ， 会 使 问题 的解 决 如拨 云见 天 ， 看 到 光 明 。下
学｛ 罘 哥 ｛ 辅导
浅 谈 柯 西 箦 式 【 ｌ 】 帕“ 巧配凑 、 活分拆’ ’
＠ 罗仁 幸
摘要 ： 本文通过分析柯西不等式的特征 ， 例说柯 西不等 式的
灵 活运 用 。
例 ２若 正 实 数 ｎ ， ｂ ， ｃ满 足 ｎ ｂ ｃ
１ ， 求
＋
＋
关键词 ： 柯西不等式 、 巧 配凑 、 活分拆。 柯 西不 等式 的一 般 形 式 为 ａ ｉ ＋ａ ； ＋ …ａ ： ｂ ｊ ＋ ｂ ｊ ＋ …ｂ ： ≥ ａ １ ｂ １ ＋ ａ ２ ｂ ２ ＋ …ａ ｂ ， 其中口 ， ｂ ｆ ∈ Ｒ， ｉ 一１ ， ２ ， ３ ， … ；当且 仅 当ｎ 一 ｉ 一１ ， ２ ， …， ， ２ 时， 不 等 式 取 等 号 。 不 等 式 涉及 两 组 数 ｎ 。 ， ｎ ， …Ⅱ ； ｂ ， ｂ ２ ， …ｂ 。涉 及 三 个 括 号 及 运 算 。 在 一 些 题 目 中， 是不是用柯西不等式 可解 ， 其 中 的 一 部 分 题 目往 往 很 隐 迷 ， “ 神龙” 见尾不见首 ， 使 一 些 同 学 不 知 从 何 下 手 。 若 我 们 抓 住 特 点： 三个括号 内容 分别 为 ａ ； ＋ ａ ； ＋ … ＋ ａ ： 、 ｂ ｝ ＋ ｂ ； ＋ … ＋
柯西不等式的形式、证明及其应用
柯西不等式的形式、证明及其应用摘要：柯西不等式是高等数学中的重要内容，这一不等式的应用范围非常广泛，能够很多比较复杂的问题迎刃而解，掌握柯西不等式的证明及其应用，是对数学专业研究生阶段学习的一项重要要求，本文根据现有的研究资料，详细论述了柯西不等式的形式及其证明，并就柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程组等问题中的应用阐述了自己的意见。
关键词：柯西（cauchy）不等式；证明；应用一、柯西不等式及其证明。
1.柯西不等式定理柯西不等式定理：设ai，bi∈r（i=1，2，3…，n），则∑ni=1a2i ∑ni=1b2i≥∑ni=1aibi2，当且仅当ai=λbi，即a1b1=a2b2=……anbn=λ等号成立。
这一不等式也就是所谓的为柯西不等式。
在学习和掌握这一不等式的过程中应该注意三个问题”第一，由于“∑ni = 1ai 2 = 0，∑ni = 1bi 2 = 0，∑ni=1aibi=0”情况之一出现时，不等式是单个然不成立的，因此，在下面的讨论中需要先假设∑ni = 1ai 2≠0，∑ni = 1bi 2≠0，∑ni=1aibi≠0都成立。
第二，柯西不等式取等号的条件常常写成比例形式a1b1=a2b2=……anbn，并约定：分母为0时，相应的分子也为0。
“等号成立”是柯西不等式应用的一个重要组成部分。
第三，柯西不等式在应用过程中相对于其它不等式的一个优势是，对任意的两组实数都成立，也就是说在应用的过程中对于任意两组数a1，a2，……an，b1，b2，……bn，其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。
2.柯西不等式证明柯西不等式的证明过程相对来说比较复杂，在证明的过程中有不同的证明方法，常见的证明方法主要有三种，具体的证明及过程如下：证明1：构造二次函数（1）当时n=1，右式=（a1b1），左式=a1 2b1 2，显然，左式=右式。
微专题10 柯西不等式及其应用
2021届
高考第一轮复习
选考模块
微专题10 柯西不等式及其应用
柯西不等式在中学阶段,虽然只是选讲内容,但在高考中经常出现,应引起教师 教学的重视.柯西不等式不仅应用于证明代数不等式,它在实数大小比较、解方程、 确定参数的取值范围、求最值及几何不等式的证明等方面都有广泛的应用.
运用柯西不等式的过程中,要求我们要以敏锐的思维,细致的观察,构造出适合 柯西不等式的两组数,以便可以使用柯西不等式.这是学生拓宽知识,打开思维的钥 匙,是解决一系列问题的法宝.
3
当且仅当 x=43-������,y=13-������,z=2���3���-2时等号成立.
因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 的最小值为(2+3������)2.
由题设知(2+������
3
)2≥13,解得
a≤-3
或
a≥-1.
2.利用柯西不等式求某些函数的最值 【例 2】已知 2x+3y+4z=10,求 u=x2+y2+z2 的最小值.
【解析】(1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2
=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]
柯西不等式的推广及其应用
柯西不等式的推广及其应用1 柯西不等式的定义 定义1[1](1)P 如果1212,,,,,,n n a a a b b b 为两组实数，则21122()n n a b a b a b +++ ≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++并且仅当1221133111n n n n a b a b a b a b a b a b ---=-==-时，等式成立．2 柯西不等式的证明证法一 (利用均值不等式)[2](12)P P -A=21ni i a =∑，B=21ni i b =∑，C=1ni i i a b =∑，只需证明A ≥2C B由均值不等式有222111122C C a b a b B B +≥， 222222222C C a b a b B B+≥22222n n n n C C a b a b B B+≥n 个式子相加得222C CA B C B B+≥，即2C A B≥．当且仅当(1,2,,)i i a kb i n ==，等号成立．证法二 （比值证明法）[2](12)P P -要证222111()n n ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑只需证明2ni i a b ⎛⎫⎪∑1≤ （2.1）2ni ia b⎛⎫⎪∑=21ni=⎛⎫⎪⎝2222211112ni in nii ii ia ba b===⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎪≤+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑=21(11)2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1(2.1)式得证，故结论成立．证法三（差值法）[2](12)P P-222111()n n ni i i ii i ia b a b===-∑∑∑221111n n n ni j i j j ii j i ja b a b a b=====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j ii j i j i ja b a b a b a b=======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n ni j i j j i j ii ja b a b a b a b===-+∑∑2111()2n ni j j ii ja b a b===-∑∑≥．当且仅当i j j ia b a b=，即(1,2,)jii jaai nb b==时等式成立．证法四（利用Cauchy-schwarz不等式）[2](12)P P-在nR里，对任意两个向量1212(,,,),(,,,)n nx x x y y yξη==,ξη1122n nx y x y x y+++，因而n R对于上述定义的内积来说作成一个欧氏空间，则有不等式2,,,ηξηη≤令1212(,,),(,,)n na a ab b bξη==从而就有222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当ξ与η线性相关时等式成立．即(1,2,,)i i a kb i n ==等号成立．3 柯西不等式的几种变形变形一[3](1)P设,0(1,2,,)i i a R b i n ∈>=，则22111n i ni i ni iii a a b b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当i i b a λ=时取等号．变形二[3](1)P设,i i a b ，同号且不为零（1,2,,i n =），则2111ni n i i ni ii ii a a b a b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当12n b b b ===时取等号．变形三[3](1)P对任意数12,(1,2,,)i i a a R i n ∈=，有不等式2221212111n n n i i i i i i i a a a a ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑成立，当且仅当12(1,2,)i i a a i n λ==时等号成立．变形四[3](1)P对任意1212,,,;,,,n n a a a R b b b R ∈∈，则有112222111nnn i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑．变形五[4](2)P对于任意两个正实数组i a ，(1,2,,)i b i n =，有不等式1122111()()nn ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成立，当且仅当i a 与i b 成比例时等号成立．4 柯西不等式的推广推广一[4](2)P设对于由任意正实数构成的m 个数组，12,,(1,2,,)i i mi a a a i n =，有不等式1112121111()()nnnnmmii mi i i mi i i i i aa a a a a ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑ (4.1)成立，当且仅当1i a :2i a ::mi a =1i b :2i b ::mi b 时等号成立．证明 根据算术－几何平均不等式，有下述几个不等式成立1112112111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11112112111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑； 2122212111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑12122212111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫ ⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑；1212111nnmnnnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11212111mn n mn n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑． 将上述n 个不等式相加，整理后即得(4.1)式． 当上述n 个不等式等号成立时，(4.1)式等号才成立． 当且仅当各组数对应成比例时，(4.1)式等号成立．推广二[5](2)P 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的Hölder 不等式设110,0(1,2,,),0,0,1,i i a b i n p q p q>>=>>+=则 11111nnnpqpq i i ii i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 当且仅当p qi i a b λ=时等号成立．证明 令11npp i i a M =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11nqq i i b N =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑则有11,nnppq q ii i i aM b N ====∑∑．由于函数()ln (0)f x x x =>为凹函数 因此有1111ln ln ln ,(1,2,,)p qp q i i i i a b a b i n p M q N p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．从而有11ln ln p q i ii i a b a b MN p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11p qi i i i a b a b MN p M q N ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2,,)i n =所以11111p qnn n i i i i i i i a b a b MNp M q N ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =1111nnp qiii i Pqab p Mq N ==+∑∑=11p q+ =1．即1ni i i a b MN =≤∑当且仅当p i a 与qi b 成比例时等号成立．推广三[4](3)P已知,(1,2,,,1,2,,)ji j a R i n j m α+∈==，且11mj j α==∑则有12121mni i mi i a a a ααα=⋅⋅⋅∑1212111mn n n i i mi i i i a a a ααα===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑． 证明 对m 用数学归纳法 1） 当2m =时，命题成立． 2） 假设当m k =时，命题成立． 则当1m k =+时，因111k jj α+==∑，记12k j j s α+==∑，则11s α+=注意()23111k sααα++++=，有112121,1k ni i k i i a a a ααα++=⋅⋅⋅∑121121,1k sns si i k ii a a a ααα++=⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 121121,111sk n nns si i k ii i i a a a αα++===⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 121121,111k snn n s si i k i i i i a a a ααα++===⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 121121,111k n n n i i k i i i i a a a ααα++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑综上所述命题得证．5 柯西不等式的应用应用柯西不等式解一般题目的关键是将原问题变形使之适合柯西不等式的形式，而能否成功运 用柯西不等式的关键在于可否根据问题自身固有的特点对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数据演12,,,n a a a ；12,,,n b b b 的角色．例1 已知,x y R +∈，且44sin cos 1x y x y αα+=+，证明88333sin cos 1()x yx y αα+=+ 证明 由柯西不等式可得4422sin cos ()()1x y x y αα⎫++≥= 即44sin cos 1x y x yαα+≥+且当且仅当2α=时等号成立，即22sin cos x yαα= （5.1） 由已知44sin cos 1x y x yαα+=+ （5.2） 由（5.1）和（5.2）式解得22sin ,cos x yx y x yαα==++ 所以有8833sin cos x yαα+443311()()x y x x y y x y =+++ 31()x y =+． 例2 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，证明2223333x y z x y z ++++≥．证明 利用柯西不等式2222()x y z ++3131312222222()x x y y z z =++()333222222()()()x y z x y z ⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦=3332()()x y z x y z ++++(1x y z ++=)，又因为222x y z xy yz zx ++≥++在此不等式两边同乘以2， 再加上222x y z ++得2222()3()x y z x y z ++≤++，因为2222333()()x y z x y z ++≤++⨯2223()x y z ++故2223333x y z x y z ++++≥．例3 求函数11sin cos (,0,,(0,)2n ny a b a b n N πααα=+>∈∈的最大值．解 由[6](2)12121122()()()()n n n n n n n P n n n n a a a b b b a b a b a b +≤+++可得112(sin cos )nnna b αα+111111112212121212121(sin cos )n n n n nn n n naaabbbαα------=+（21n -）个 （21n -）个2221222121()(sin cos )n nn n n abαα---≤++=22212121()n nn n n ab---+所以11222121212sin cos ()n n n n n n n na b abαα---+≤+当且仅当11112121:sin :cos n n n na bαα--=，即21arc ()n n a tg bα-=时等号成立．所以222121212max ()n n n n n ny ab---=+．例4 已知2221,,,x y z x y z ++=是实数，求证：112xy yz zx -≤++≤． 证明 因为22()(111)x y z x y z ++=⨯+⨯+⨯所以由柯西不等式2222222()(111)()3x y z x y z ++≤++++=又由于22220()2()12()3x y z x y z xy yz zx xy yz zx ≤++=+++++=+++≤所以012()3xy yz zx ≤+++≤即112xy yz zx -≤++≤．例5 求证三角形三边上正方形的面积之和不小于该三角形面积的222a b c ++≥，其中,,,a b c 为三角形三边的长，∆为三角形的面积．证明 由三角形面积公式可得2()()()s s a s b s c ∆=---其中2a b cs ++=，于是 216()()()()a b c b c a c a b a b c ∆=+++-+-+-2222224442()b c c a a b a b c =++---由柯西不等式，有22222224444444442()()()()b c c a a b b c a c a b a b c ++≤++++=++即222222444b c c a a b a b c ++≤++当且仅当222222b c a c a b==，即a b c ==时等号成立．于是4442222224()4()a b c b c c a a b ++≥++变形为444222222222a b c b c c a a b +++++2222224443(222)b c c a a b a b c ≥++---即22222()316a b c ++≥⨯∆所以222a b c ++≥，当且仅当a b c ==时等式成立．例6 设P 为ABC ∆内的一点，M ，N ，H ，分别为P 到各边所引垂线的垂足，求所有BC CA AB PM PN PH++为最小值的点P ． AB MC图1解 如图1，设ABC ∆的面积为S ，则S 111222BC PM CA PN AB PH =⨯+⨯+⨯（5.3） 由柯西不等式可知222222⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦2≥ (5.4) 将（5.3）代入（5.4）得2()2BC CA AB BC CA AB PM PN PH S++++≥== 时等号成立， 即PM PN PH ==又S 和()AB BC CA ++分别是ABC ∆的面积和周长，故为定值， 即P 为ABC ∆内心时BC CA ABPM PN PH++为最小值．参考文献：[1] 鞠建恩．柯西不等式在初等数学中的应用[J]．南平师专学报，2002，02[2] 赵朋军．柯西不等式的多种证法推广及其应用[J]．商洛师范专科学校学报，2004，03 [3] 王晓凤．对柯西不等式探讨[J]．通化师范学院学报，2006，03 [4] 黄 毅．柯西不等式的一个变形及其推广[J]．数学教学通讯，2003，1 [5] 林银河．关于Minkowshi 不等式的讨论[J]．丽水师范专科学校学报，2003，10 [6] 徐幼明．柯西不等式的推广及其应用[J]．数学通讯，1996，12[7] T ．Damm ．A unified version of Cauchy-Schwarz and Wielandt inequality [J] ．School of Information and Mathematics ，2007，1111。
柯西不等式及其应用
柯西不等式及其应用柯西不等式是初等数学中的一种重要的不等式，它可以用于求解向量、积分等问题。
柯西不等式的形式如下：对于任意的实数a1、a2、......、an 和b1、b2、......、bn，有(a1^2 + a2^2 + ...... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ...... + bn^2) ≥(a1b1 + a2b2 + ...... + anbn)^2其中，等号成立的条件是两个向量之间存在线性关系，即存在实数k1、k2、......、kn，使得b1 = k1a1、b2 = k2a2、......、bn = knan。
柯西不等式可以用于求解向量内积、求解二次函数的最小值等问题。
例如，对于两个向量A = (a1, a2, ......, an) 和B = (b1, b2, ......, bn)，它们的内积可以表示为：A·B = a1b1 + a2b2 + ...... + anbn根据柯西不等式，有：A·B ≤√(a1^2 + a2^2 + ...... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ...... + bn^2)这个不等式告诉我们，两个向量的内积不会大于它们的长度之积，当且仅当它们之间存在线性关系时取到最大值。
另外，柯西不等式还可以用于求解积分不等式。
例如，对于两个非负可积函数f(x) 和g(x)，它们的积分可以表示为：∫f(x)g(x)dx根据柯西不等式，有：(∫f(x)g(x)dx)^2 ≤(∫f(x)^2dx)(∫g(x)^2dx)这个不等式可以用于证明一些数学定理，如证明二维傅里叶级数的正交性。
总之，柯西不等式是一种十分重要的数学工具，它在向量、积分、函数等方面有着广泛的应用。
掌握柯西不等式可以帮助我们更好地理解数学问题，提高数学解题的效率。
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式;例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。
不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。
快速导航1内容柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
2 证法柯西不等式的一般证法有以下几种：■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai *bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
■②用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．3 应用柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
柯西不等式的证明及应用论文
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一三届）题目：柯西不等式的证明及应用院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：学号指导教师：南京师范大学泰州学院教务处制摘要：本文对柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式进行了诠释，详细介绍了柯西不等式的几种典型证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，并通过列举一系列范例揭示柯西不等式在不等式证明、等式证明、求最值、解析几何、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用。
说明了柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，在数学的各个分支都可以见到它的应用。
灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果，充分体现柯西不等式的重要性及较强的应用性。
关键词：柯西不等式；证明；应用Abstract:In this paper, Cauchy inequality and its corollary, deformation, diffusion and integral form are explained in detail. What’s more, several typical Cauchy inequality proofs, such as the distribution method, discriminant method, mathematical induction, the use of the basic and promotional inequality, using the second type and vector inner product are introduced. Furthermore, the paper reveals the application of Cauchy inequality in inequalities, equality proof, for the most value, analytic geometry, the scope of demand parameters, solving equations, the solution function and geometry through a series of examples. Cauchy inequality is a very important mathematics inequality. Within its harmonious symmetrical structure, it is widely used in elementary mathematics, higher mathematics and almost every branches of mathematics. When using it flexibly, most of the difficult problems can be solved, or even users can receive a surprise move, a multiplier effect. All these fully reflect the importance of Cauchy inequality and the strong capability of application.Keywords: Cauchy inequality; proof; application目录1绪论 (3)1.1 研究意义 (3)1.2 国内外研究现状 (3)1.3 本文解决的主要问题 (4)2柯西不等式的诠释 (5)2.1 柯西不等式 (5)2.2 柯西不等式的推论 (5)2.3 柯西不等式的变形 (6)2.4 柯西不等式的推广 (7)2.5 柯西不等式的积分形式 (8)3柯西不等式的证明 (9)3.1 配方法 (9)3.2 判别式法 (9)3.3 数学归纳法 (10)3.4 运用基本不等式 (11)3.5 运用推广不等式 (12)3.6 利用二次型 (12)3.7 利用向量内积 (13)4柯西不等式的应用 (14)4.1 在证明不等式方面的应用 (14)4.2 在证明等式方面的应用 (16)4.3 在求最值方面的应用 (18)4.4 在解析几何方面的应用 (19)4.5 在求参数范围问题中的应用 (22)4.6 在解方程问题中的应用 (22)4.7 在解函数问题中的应用 (23)4.8 在几何上的应用 (23)结论 (26)谢辞 (27)参考文献 (28)1 绪论在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用。
柯西不等式的证明及在解决分式最值问题中的应用
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文 章 编 号 ：０ ６～ ７ ５ （ ０ ６ ０ １０ ３ ３ ２ ０ ） ３— ０ ６ （ ２ 一 ０ ０２２ ） ３
柯西不等式 的证 明及在解决分式最值 问题 中的应用
王 宝 红
（ 东 省 深 圳 市 育 才 中 学 ， 东 深 圳 ５ ８６ ） 广 广 １ ０ ７
一
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当且 仅 当存在 不全 为零 的数 和 ， ａ 使 ａ 一 （ ｉ
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柯西 不 等 式 的证 明 有 很 多方 法 ， 里 仅介 绍 这
典 型 的几 种 。
柯西不等式专题课件高三数学一轮复习
方法总结 1．高幂因式在柯西不等式里位于不等号较大的一侧，所以低幂部分有 最大值．这里的高幂、低幂是相对的，比如二次相对于一次是高幂，而 一次相对于根式也算高幂． 2．低幂因式在柯西不等式里位于不等号较小的一侧，所以高幂部分有 最小值．
跟踪训练
6．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大值是 ____1_2_____．
[证明] 构造二次函数 f(x)＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋…＋(anx＋bn)2
＝(a21＋a22＋…＋a2n)x2＋2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(b21＋b22＋…＋b2n)， 由构造知 f(x)≥0 恒成立， 又∵a21＋a22＋…＋a2n≥0， ∴Δ＝4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≤0， 即(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)， 当且仅当 aix＋bi＝0(i＝1，2…n)即ab11＝ab22＝…＝abnn时等号成立．
题型三 一般形式的柯西不等式及证明 柯西不等式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋a23＋…＋a2n)·(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， 当且仅当 bi＝0(i＝1，2，3，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1， 2，3，…，n)时，等号成立． 例3 利用函数知识证明柯西不等式．
[证明] 由柯西不等式得 a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(解析版)
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录01 方法技巧与总结02 题型归纳与总结题型一：柯西不等式之直接套公式型题型二：柯西不等式之根式下有正负型题型三：柯西不等式之高次定求低次型题型四：柯西不等式之低次定求高次型题型五：柯西不等式之整式与分式型题型六：柯西不等式之多变量型题型七：柯西不等式之三角函数型题型八：Aczel不等式题型九：权方和不等式之整式与分式综合型题型十：权方和不等式之三角函数型题型十一：权方和不等式之杂合型03 过关测试1.柯西不等式(Cauchy不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a,b,c,d∈R，都有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)．(2)n元柯西不等式：(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2，取等条件：a i=λb i或b i=λa i(i=1,2,⋯,n)．2.Aczel不等式(反柯西不等式)设a1,a2,⋯,a n；b1,b2,⋯,b n均为实数，a21-a22-⋯-a2n>0或b21-b22-⋯-b2n>0，则有(a21-a22-⋯-a2n)(b21-b22 -⋯-b2n)≤(a1b1-a2b2-⋯-a n b n)2．当且仅当a k，b k 成比例时取等．3.权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．题型一：柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B .题型二：柯西不等式之根式下有正负型1(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2 ≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2 =25，当且仅当34-3x =13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为2 5.故选：A .2柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .3(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2 ⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为2 6.故选：C .题型三：柯西不等式之高次定求低次型1设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A 【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2=a 2+2a 21-a 2=a 2-122+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .2(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A3已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c -2=d-2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D题型四：柯西不等式之低次定求高次型1若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2+2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当ac =3,bd =2,⇒a :b :c :d =3:2:1:1a +c b +d =43,时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .2已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP=xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B3已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32 b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 22当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3时取等,所以12+22 2+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五：柯西不等式之整式与分式型1(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a(2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.2已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b +13c =a +2b +3c 1a +12b+13c ≥a a +2b 2b +3c 3c2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.3已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b +11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c (1-a +1-b +1-c )≥1+1+12所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六：柯西不等式之多变量型1已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z 的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .2已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .3已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b -1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b -1c =3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七：柯西不等式之三角函数型1函数3+23cos θ+cos 2θ+5-23cos θ+cos 2θ+4sin 2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cos θ+10-(3cos +1)2=3cos θ+13+10-(3cos θ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cos θ+1)23cos θ+1=3⇒cos θ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D .2(2024·浙江·一模)若sin x +cos y +sin x +y =2，则sin x 的最小值是()A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x +cos y +sin x cos y +cos x sin y =2整理得2-sin x =sin x +1 cos y +cos x sin y ，由柯西不等式得sin x +1 cos y +cos x sin y ≤1+sin x2+cos 2x ⋅cos 2y +sin 2y =2+2sin x ，当sin x +1 sin y =cos y cos x 时取等号，所以2-sin x 2≤2+2sin x ，即sin 2x -6sin x +2≤0，解得3-7≤sin x ≤1，所以sin x 的最小值为3-7.故选：C ．3函数y =2cos x +31-cos2x 的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y =2cos x +31-cos2x =2cos x +32sin 2x ≤cos 2x +sin 2x 22+(32)2=22当且仅当cos x sin 2x=232，即tan x =±322时，函数有最大值22.故选：A .题型八：Aczel 不等式1f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45-(x -4) =4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．2为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+2 2x 2+1 -2x 2+2≤1，则-12x 2+1-42x 2+2≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九：权方和不等式之整式与分式综合型1已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12 的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B3已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.题型十：权方和不等式之三角函数型1已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：272已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：553(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1n b m n≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x 取得最小值时，x 的值为()A.π12B.π6C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x =332sin 2x12+132cos 2x12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．题型十一：权方和不等式之杂合型1已知x ,y >0,1x +22y =1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x+22y =1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：332已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：603求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2121-12+2+3x -x 2121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.1(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13 的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D2已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B3(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122D.p 14+q144【答案】B【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4pf sin x+sin 2x+4qf cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2xq f cos x=cos 2x，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .4由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D5已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B6已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B7实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .8已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .9若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .10函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .11若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+12 2+12=4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .12函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -52+6-x 2 12+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B13已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A14函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin2x +cos 2x =3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A15(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .16已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9 C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C17(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .18(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：619若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y 15+1，整理得x +y 5x +y ≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 520已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.21(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 222在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B=2tan B tan C=3tan C tan A⇒tan A:tan B:tan C=2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2623函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.24(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.25已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：826已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1) 12x +y +1y +1-32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。
高考备考指南文科数学第13章第4讲不等式的证明
件．
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第十三章 选考部分
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【跟踪训练】
3．(2018 年银川模拟)已知 x，y，z 是正实数，且 x＋2y＋3z＝1.
(1)求1x＋1y＋1z的最小值；
(2)求证：x2＋y2＋z2≥114.
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【
解
析
】
(1)
由
柯
西
不
等
式
，
得
1 x
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【解析】(1)证明：因为( 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋
2＋3z＋3)＝27，所以 3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3≤3 3.
当且仅当 x＝23，y＝13，z＝0 时取等号．
(2)因为 6＝x＋2y＋3z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋9，所以 x2＋y2＋z2≥178，当且仅当 x
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又 a，b 均为正数，所以 a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy＝－ab(x2＋y2－2xy)＝－ab(x －y)2≤0，当且仅当 x＝y 时等号成立．所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
第十三章 选考部分
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(2)a＋1a2＋b＋1b2＝4＋a2＋b2＋a12＋b12＝4＋a2＋b2＋a＋a2b2＋a＋b2b2＝4＋a2 ＋b2＋1＋2ab＋ba22＋ab22＋2ba＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2ba＋ab＋ba22＋ab22≥4＋a＋2 b2＋2＋ 4＋2＝225，当且仅当 a＝b 时等号成立．
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柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用作者：余胜利来源：《中学理科园地》2011年第02期柯西不等式是高中教材4-5《不等式选讲》中的一个重要不等式。
它是证明不等式，求解极（最）值问题的一个重要工具。
由于此不等式在以前教材（大纲教材）未曾出现，仅在高中数学竞赛中要求。
因此，对此不等式的理解及其应用，大多数教师都感到较陌生，教学要点把握不准。
本文主要从柯西不等式的证明、变式与应用这三个方面做些探讨，供教师们教学参考。
祈请同行斧正。
一、柯西不等式的证明柯西不等式：ai bi2≤ai2bi2 (ai，bi∈R，i=1，2…n)，等号成立当且仅当ai=0（i=1，2…n)或bi=kai（i=1，2…n，其中k为常数）时成立.教材中柯西不等式的证明采用构造二次函数证明,以下再给出几种证明，以便对此不等式实质有更深刻的认识。
证法一：配方法ai2bi2 =ai2bi2+（ai2bj2+aj2bi2）=ai2bi2+2（aiajbibj）+（ai2bj2+aj2bi2-2aiajbibj）=aibi2+（aibj-ajbi）2≥aibi2其中等号当且仅当==…=时成立（当bi=0时，认为ai=0,1≤i≤n）.证法二：数学归纳法（1）当n=1时，左式=（a1b1）2 ，右式=（a1b1）2，显然，左式=右式。
当n=2时，右式=（a12+a22）（b12+b22）=（a1b1）2 +（a2b2）2 +a22b12+a12b22≥（a1b1）2 +（a2b2）2 +2a1a2b1b22=（a1b1+a2b2）2=左式当且仅当即a2b1=a1b2即=时等号成立。
故n=1,2时，不等式成立。
（2）假设n=k（k∈N,k≥2）时，不等式成立，即（a1b1+a2b2+…+akbk）2≤（a12+a22+…+akk）（b12+b22+…+bkk）且bi=kai，k为常数， i=1，2…n或a1=a2=…=ak=0时等号成立.设A=a12+a22+…+ak2，B=b12+b22+…+bk2，C=a1b1+a2b2+…+akbk则（A+a2k+1）（B+b2k+1）=AB+Ab2k+1+Ba2k+1+a2k+1b2k+1≥AB+2ak+1bk+1+a2k+1b2k+1≥C2+a2k+1b2k+1+2Cak+1+bk+1=(C+ak+1bk+1)2=（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2,即（a12+a22+…+ak2+a2k+1）（b12+b22+…+bk2+b2k+1）≥（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2,并且bi=kai ,k为常数， i=1，2，…n或a1=a2=…ak=0时等号成立。
谈谈柯西不等式的应用技巧
思路探寻思路探寻所以()2a+3b+2æèöø1a+1+2b≥()2+62=8+43，所以1a+1+2b≥3，当且仅当a+1b=时，1a+1+2b的最小值为2+3，故A选项正确；对于B，由柯西不等式可得()a2+b2()22+32≥(2a+3b)2，所以a2+b2≥413，当且仅当3a=2b时，a2+b2的最小值413，故B选项正确；对于C，由柯西不等式得2a+1+3b+2≤()12+12éëêùûú()2a+12+()3b+22=10，当且仅当2a=3b+1时，2a+1+3b+2的最大值为10，故C选项正确；对于D，由柯西不等式可得，éëêùûú()2a+12+()3b+62⋅éëêêùûúúæèçöø÷2a2a+12+æèçöø÷3b3b+62≥æèçöø÷2a+1∙2a2a+1+3b+6∙3b3b+62，所以()2a+3b+7æèçöø÷4a22a+1+3b2b+2≥()2a+3b2，即4a22a+1+3b2b+2≥49，当且仅当b=4a时，4a22a+1+3b2b+2的最小值为49，故D选项错误.因此本题的答案为ABC.本题四个选项中的代数式均较为复杂，且均含有双变量，需运用二维柯西不等式来求解，分别通过分离常数、凑系数、开方、平方等方式，配凑出两式的和与积，进而运用二维柯西不等式求得最值.例5.求函数f()θ=sinθ2+cosθ的最值.解：令sinθ2+cosθ=t，则sinθ-t cosθ=2t，由柯西不等式可得：()sinθ-t cosθ2≤()sin2θ+cos2θ()1+t2，所以4t2≤1+t2，解得≤t≤，所以函数f()θ=sinθ2+cosθ的最大值为，最小值为.我们先令sinθ2+cosθ=t，即可将分式化为整式，要求得t的最值，就需将变量θ消去，于是联想到同角三角函数的平方关系式sin2θ+cos2θ=1，便构造出1+t2，进而运用二维柯西不等式，得到关于t的一元二次不等式，通过解不等式得出t的范围，即为该函数的值域.例6.已知x,y,z满足x+y+z=1，求x2+4y2+9z2的最小值.解：由柯西不等式可得：éëêùûú12+æèöø122+æèöø132∙[x2+()2y2+()3z2]≥()x+y+z2，即4936∙()x2+4y2+9z2≥1，所以x2+4y2+9z2≥3649，当且仅当x=4y=9z时取等号，所以x2+4y2+9z2的最小值为3649.本题中涉及了三个变量，于是结合式子x+y+z=1和x2+4y2+9z2的特点，联想到三维柯西不等式，通过构造因式12+æèöø122+æèöø132，来配凑出三维柯西不等式()a21+a22+a23()b21+b22+b23≥()a1b1+a2b2+a3b32中的式子，进而运用三维柯西不等式解题.例7.已知直线l:ax-by+2=0(a>0,b>0)经过点(-1,2)，求当2a+1b取得最小值时直线l的斜率.解：由题设可知，-a-2b+2=0，即a+2b=2，由柯西不等式可得éëêùûú()a2+()2b2⋅éëêêùûúú2+2≥æèça∙+2b∙2，所以()a+2bæèöø2a+1b≥8，2a+1b≥4，当且仅当a=2b时，2a+1b取得最小值，此时直线l的斜率k=ab=2.对于本题，我们需先根据已知条件求得a+2b=2；然后将式子2a+1b变形为2+2，将其与式子()a2+()2b2中的对应项相乘得到定值，即可运用二维柯西不等式求得2a+1b的最小值；最后根据柯西不等式取等号的条件和直线的斜率公式可得出l的斜率.二、用柯西不等式解方程利用柯西不等式解方程或者解方程组，主要是利用柯西不等式取等号的条件来求得方程或者方程组的解.44思路探寻例8.已知sinα-3cosα=10，求tanα的值.解：由柯西不等式可得()sinα-3cosα2≤()sin2α+cos2α[]12+()-32≤10，即sinα-3cosα≤10，当且仅当-3sinα=cosα，即tanα=-13时等号成立.本题是一道三角方程问题.在解方程时，需利用二维柯西不等式取等号的条件和同角三角函数的商式关系式求得tanα的值.例9.若p，q，m，r，s，t为实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则p+q+mr+s+t=______.解：由柯西不等式可得：()p2+q2+m2()r2+s2+t2≥()pr+qs+mt2，当且仅当pr=qs=m t时取等号，令pr=k，则p+q+mr+s+t=k，将p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6，可得k()r2+s2+t2=6，解得k=23，所以p+q+mr+s+t=23.本题是解方程问题，利用了三维柯西不等式取等号的条件建立方程组，最终通过恒等变换求得p+q+mr+s+t的值.三、利用柯西不等式证明不等式柯西不等式是证明不等式的重要工具.在证明不等式时，首先要明确已知关系式和目标式的结构特征，用柯西不等式来搭建“桥梁”，使已知关系式和目标式建立联系；再合理配凑两式的和或积，运用柯西不等式证明不等式.例10.已知a>0，b>0，a2+b2=8，（1）求证：a+b≤4；（2）≥2.证明：（1）由柯西不等式可得()a+b2≤()12+12()a2+b2，所以()a+b2≤16，所以a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立；（2）由柯西不等式可得：()a2+b2æèçöø÷1a2+32b2≥æèöøa∙1a+b∙3b2，所以8æèçöø÷1a2+9b2≥16≥2，当且仅当3a b=b a，即a=2，b=6时等号成立.第（1）问的目标式为a+b≤4，需根据二维柯西不等式将其与已知条件a2+b2=8关联，配凑出12+12，使其与a2+b2=8相乘，得出()a+b2≤(12+12)⋅()a2+b2.第（2）问的目标式为≥2，需将该式左边的两式分别与a2、b2相乘，得到常数，即可运用柯西不等式求得1a2+9b2的最小值.例11.已知a，b，c都为正实数，且a+b+c=3，证明：2a+1+2b+1+2c+1≤33.证明：由柯西不等式可得，()2a+1+2b+1+2c+12≤()12+12+12[]()2a+1+()2b+1+()2c+1，所以()2a+1+2b+1+2c+12≤3×9，所以2a+1+2b+1+2c+1≤33，当且仅当12a+1=12b+1=12c+1，即a=b=c=1时等号成立.解答本题主要运用了三维柯西不等式，需先结合已知关系和目标式的结构特点，配凑出12+12+12、()2a+1+()2b+1+()2c+1；再运用三维柯西不等式证明结论.例12.已知a，b，c都是正数，且a+b+c=1.求证：a2b+b2c+c2a≥1.证明：因为a，b，c都是正数，由柯西不等式可得，()a+b+cæèçöø÷a2b+b2c+c2a=éëêùûú()a2+()b2+()c2⋅éëêêùûúúæèçöø÷ca2+æèçöø÷ab2+æèçöø÷bc2≥æèçöø÷a∙ca+b∙ab+c∙bc2=()c+a+b2=1，所以a2b+b2c+c2a≥1，当且仅当a=b=c=13时取等号.先将a2b+b2c+c2a中的单项式改变位置，可化为c2a+a2b+b2c；再将其与因式()a+b+c相乘，即可运用三维柯西不等式证明不等式成立.当遇到此类问题时，为了便于运用柯西不等式，需要重新排列各个单项式的位置，以便得到定值.总之，在运用柯西不等式解题时，要注意将代数式进行合理的变形，常用的变形技巧有拆常数项、添项、补项、更换单项式的位置、开方、平方、凑分母、凑分子等，使两个多项式中的对应项的积为定值，或几个单项式的和为定值，为运用柯西不等式创造条件.（作者单位：福建省厦门市杏南中学）45。
柯西不等式在高考中的运用1
柯西不等式在高考中的运用柯西不等式：(1) 二维形式()()()22222bd ac d c b a +≥++公式变形：()()2222d c b abd ac ++≤+，等号成立条件：当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛==d b c a bc ad 即时。
（2） 一般形式()()()()n i R b a b b b a a a b a b a ba i i nn n n 2,1,,,222212222122211=∈++++++≤+++等号成立条件：nn b a b a b a === 2211，或()n i b a i i ,2,1,=中有一为零。
（3）柯西不等式的三角形式设d c b a ,,,都是实数，则()()222222d b c a d c b a -+-≥+++.从题型上来分，柯西不等式可用于不等证明问题和最值问题两大类。
其中不等证明问题可细分为 分式和不等式证明问题、整式和不等式证明问题；最值问题又可进一步细分为多元变量代数式的最值问题和一元变量的最值问题。
1、求最值问题（1）求多元变量代数式的最值求多元变量代数式的最小值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的左边；当求多元变量代数式的最大值时，可考虑多元变量代数式放置在柯西不等式的右边。
例6（2012高考浙江卷文科第9题）若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ）。
A.524 B.528C.5D.6 解：由xy y x 53=+，得.513=+yx（*） 由柯西不等式，得()()2491343+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y x y x （* *）即()25435≥+y x ，所以543≥+y x ，且.54321,1=+==y x y x 时， 所以y x 43+的最小值是5，故选C.例7 （2014年高考陕西卷理科第15题）设R n m b a ∈,,,且5,522=+=+nd ma b a ，则22n m +的最小值为 。
柯西不等式
柯西不等式柯西不等式及其应用摘要：本文先对柯西不等式基本形式、推论、变式、推广及积分形式作了介绍、归纳，然后通过举一系列范例揭示了柯西不等式及其推论、变式在不等式、等式、数列、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用.说明了柯西不等式的重要性及较强的应用性，灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解.关键词：柯西不等式；闵可夫斯基不等式；赫尔德不等式；施瓦兹不等式applicationofcauchyinequality********abstract:thispaperintroducesandsummarizesthecauchyinequalityfromitsbasicform,c orollary,deformation,spreading,andintegralform.andthenrevealstheirapplicationi ninequality,scope,sequence,equationofparameter,equation,functionbyseriesexampl es.itillustratestheimportanceofthecauchyinequalityandapplicability.wecaneasily solvesomedifficultproblemswithcauchyinequality.keywords:cauchyinequality;minko wskiinequality;holderinequality;schwarzinequality柯西不等式就是数学中一个非常关键的不等式，它结构等距人与自然，具备较强的应用性，颇受人们的钟爱.在中考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出来现了与之有关的题目，灵活巧妙地运用柯西不等式，则往往可使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.但在解题过程中，很多时候不能直接应用柯西不等式，需要适当地构造使用它的条件，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的.本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变式、推广和积分形式，并通过列举一些高考题、竞赛题讲述了它在多方面的应用.2柯西不等式各种形式详述2.1柯西不等式的基本形式[1]柯西不等式：未知ai,bi r i1,2,,n，则aibi ai bi,当且仅当i1i1i1n i1,2,,n时等号设立.b1b2bn2.2柯西不等式的推断柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，下面归纳出它常见的几个推论.2.2.1推论1[2]n n1设a1,a2,,an就是正实数，则ai i1i1aia1a2an.2.2.2推断2[2]n，等号成立当且仅当设a1,a2,,an就是实数，则n ai ai，等号设立当且仅当a1a2an.i1i12.2.3推断3[3]已知ai i1,2,,n是正数，xi r i1,2,,n且ai1，则ax ax iiii.i1i1 2.2.4推断4[3]xi n已知ai i1,2,,n是正数，xi r i1,2,,n且ai1，则xi.i1i1ai i12.3柯西不等式的变式[4]柯西不等式存有多种变式，下面只了解一些常用的变形形式.2.3.1变式一n ai nai i1n i1biai,bi同号且均不为零，当且仅当b1b2bn时等号成立，在柯西不等式中令ai 2.3.2变式二,bi aibi即得.bia i2naiana1a2i1在柯西a r,b r,时等号成立iin b1b2bni1bi b i不等式中令ai i,bi bi即为得.2.3.3变式三ab ii n2aibi i1n i1，在柯,bi r,当且仅当b1b2bn时等号设立西不等式中令ai ai,bi aibi即得.2.3.4变式四aibiai bi i1i1，在,bi r,当且仅当ai与bi成比例时等号设立柯西不等式中令ai ai,bi bi即得.2.3.5变式五ana1a222，a,b r,时等号设立ai bi aibi ii b1b2bni1i1i1n将柯西不等式两边开平方根即得.2.4柯西不等式的推广[4]由柯西不等式极易求出闵可夫斯基不等式.推展1：设x1,x2,,xn;y1,y2,,yn r，则存有：x1y12x2y22xn yn2x1x2xn y1y2yn其中等号当且仅当x1,x2,,xn与y1,y2,yn对应成比例时成立.柯西不等式另一个很好的推广，即著名的赫尔德（holder）不等式.推广2：设ai0,bi0i1,2,,n,p0,q0,1，则pqp q pqab aa iiii，当且仅当ai bi时等号设立.i1i1i1备注：当p q2时，该不等式即为上述变式五.推广3：设ai,bi为正数i1,2,,n，k为整数，且k2，则1nk1nk1nai bi aibi.ni1ni1ni1备注：当k2时，上式即为柯西不等式.推广4：设ai,bi r i1,2,,n,k z,则ai i1i1ain2k n ai当且仅当，i1a1a2an;b1b2bn时等号成立.注：当k2时，上式即变式二.2.5柯西不等式的积分形式[5]柯西（cauchy）不等式的分数形式称作施瓦兹（schwarz）不等式.定理：若f x、g x在a,b上可积，则f x g x dx fx dx ag2x dx.若f x、g x在a,b上连续，其中等号当且仅当存在常数,使得f xg x.时设立，,不同时为零3柯西不等式的应用柯西不等式就是知名的不等式，它在数学上的应用领域十分广为.应用领域柯西不等式解题的关键就是将原问题变形并使之适合于柯西不等式的形式，下面就举例说明柯西不等式的推断、变式及基本形式在解题中的精妙应用领域.3.1应用领域柯西不等式的推断3.1.1应用推论一基准1非零实数a1,a2,,an满足用户a1a2an1，澄清：1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an1小值ZR19之.（1982年西德国际奥林匹克数学竞赛题目）求解：a1a2an11a1a2a3ana121a2a3an1a2a3an2a11a1a2a3ana221a1a3an1a1a3an2a2an1a1a2a3an1an21a1a2a3an11a1a2a3an12an将上面n个等式相乘得： 1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an12a12a22an即y n（其中i1,2,,n）2i12aii12ai又2ai2n ai2n1而由推断一只须：2ain2n2即2n122ai，等号当且仅当a1a2an时成立，所以y有最小值2n1n n.2n13.1.2应用推论二基准2(1988年四川高中联赛试题)未知：x1,x2,,xn r,满足用户 x1x2xn a a0，且x1x2xna2n2,n n，澄清：n1i1,2,,n n证明：x1x2xn aa xn x1x2xn-1由推断二得，a xna222xn n1xn n1x n1ni1i1n1a xn a2n1xn由x1,x2,,xn的对称性，有0xi3.1.3应用领域推断三i1,2,,n.na2b2c2例3已知正数a,b,c满足a b c1，求证：a b c证明：由于正数a,b,c满足用户a b c1，故由推断三只须：a2b2c23a2b2c23a b c333a b c而a3b3c3a a2b b2c c2，故由推断三只须：a3b3c3a a b b c ca2b2c2b2c2⑵由⑴⑵得：a3b3c3故原不等式得证.3.1.4应用推论四a b2c23a b c,其中a,b,c为abc的三边。