交流电下的毕奥萨伐尔定律
毕奥-萨伐尔定律 (1)
半无限长载流长直导线的磁场
1
π 2
2 π
BP
0I
4π r
I
o r *P
例2 圆形载流导线的磁场.
真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆
电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Idl
B
o
R
r
dB
pB
*
x
I
dB 0 Idl
4π r 2
解 根据对称性分析 B Bx dB sin
dq 2π rdr
dB 0 dr
2
v r
B 0
R
dr
0R
20
2
• 磁场
小结
电流 磁 运动电荷 场
电流 运动电荷
磁铁
• 毕奥－萨伐尔定律
B
o 4
qv r
r3
B
onI
2
(cos 2
cos 1)
dB
磁
0 4
铁 Idl r
r3
B
oI 4ro
(cos 1
cos2 )
Bx
oR2I
2(R2
B 0I
4π r0 B 的方向沿
2 sind
1
x 轴的负方向.
4π0长直导线的磁场.
B
0
4π
Ir0（cos1
cos
）
2
I
o
1 0 B 0I
x 1
B
+
P
y
2 π
2π r0
C
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2π r
I B
I XB
电流与磁感强度成右螺旋关系
毕奥---萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
毕奥-萨伐尔定律及其应用
sin d
0 I
4a
(cos1
cos2 )
若导线长度远大于点P到直导线的垂直距离（L a），则导 线可视为无限长。此时，θ1＝0 ， θ2＝π，P点的磁感应强度为
B 0I
a
上式表明，无限长载流直导线周围的磁场 B 1/ a。这一正 比关系与毕奥－萨伐尔的早期实验结果是一致的。
【例8-2】设在半径为R的圆形线圈上通有电流I，求载流圆 形线圈轴线上一点P的磁感应强度。
有电流元在P点的磁感应强度B的方向 都相同，所以P点的磁感应强度的大小 等于各电流元在P点产生的dB的大小 之和，即
B dB 0 Idl sin
L
L 4 r2
由上图所示可知有以下几何关系
r a
sin( )
l a cos( )
r a
sin
dl
a
sin2
d
于是可得
B
2 1
0 I
4a
但是应当注意的是，磁感应强度是矢量，上式的积分是
矢量积分。在进行具体积分运算时，要首先分析载流导线上 各电流元所产生的磁场dB的方向，若各个dB的方向不同，则 应先求出dB沿3个坐标轴的分量dBx、dBy、dBz，然后对其分 量进行积分，即
Bx L dBx
By L dBy
Bz L dBz
B
dBx
dB sin
0 Idl
4r 2
r
40IrR3 dl
设P点的坐标为（x，0，0），则
所以
r R2 x2
B
0 IR
dl
0 IR
2R 0IR2
4 R2 x2 3/2
4 R2 x2 3/2
2 R2 x2 3/2
.毕奥-萨伐尔定律
.毕奥-萨伐尔定律摘要：1.引言2.毕奥- 萨伐尔定律的定义3.毕奥- 萨伐尔定律的公式表示4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域5.我国在毕奥- 萨伐尔定律研究方面的贡献6.结论正文：1.引言毕奥- 萨伐尔定律是电磁学中的一个基本定律，它描述了电流在磁场中的作用力。
这个定律是由法国物理学家毕奥和萨伐尔在19 世纪初提出的，为电磁学的发展奠定了基础。
2.毕奥- 萨伐尔定律的定义毕奥- 萨伐尔定律指出，一个电流在磁场中受到的磁场力与电流的大小、磁场的强度和电流与磁场之间的夹角有关。
具体来说，磁场力F 的大小与电流I、磁感应强度B 以及电流与磁场之间的夹角θ的关系可以表示为：F = I * (Bl * sinθ)。
3.毕奥- 萨伐尔定律的公式表示毕奥- 萨伐尔定律可以用数学公式表示为：F = I * (Bl * sinθ)，其中F 表示磁场力，I 表示电流，B 表示磁感应强度，l 表示电流元的长度，θ表示电流与磁场之间的夹角。
4.毕奥- 萨伐尔定律的应用领域毕奥- 萨伐尔定律在许多领域都有广泛的应用，如电磁制动、电磁起重机、磁悬浮列车等。
此外，这个定律还为研究电磁波、电磁感应和磁流体等现象提供了理论基础。
5.我国在毕奥- 萨伐尔定律研究方面的贡献我国科学家在毕奥- 萨伐尔定律研究方面取得了举世瞩目的成果。
例如，中国科学院物理研究所的科学家们通过对磁性材料的研究，为理解毕奥- 萨伐尔定律提供了新的视角。
此外，我国在磁悬浮列车、电磁制动等领域的研究也取得了重要突破，为国民经济的发展做出了巨大贡献。
6.结论毕奥- 萨伐尔定律是电磁学的基本定律之一，它对电磁学的发展产生了深远的影响。
毕奥-萨伐尔定律
几何关系的确定
把电流分割成 许多电流元
df Idl
还和几何因素如
r, 有关
毕奥－萨伐尔定律
• 任一电流元Idl 在空间某点P处产生的磁 感应强度 dB 的大小与电流元Idl 的大小 成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的矢 径r和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比， 而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反 比 。 dB的方向垂直于dl和矢径r所组成的 平面，指向由电流元Idl 经小于180°的角 转向r时右螺旋前进的方向。
奥斯特的实验 装置：
电流方向
直导线
电流方向
结论：
1. 通电导体周围存在 着磁场
2. 电流的磁场方向跟 电流方向有关
奥斯特实验意义
• 揭示了电现象与磁现象的联系 • 宣告电磁学作为一个统一学科诞
生 • 历史性的突破 • 此后迎来了电磁学蓬勃发展的高
潮
• 二、毕奥－萨伐尔定律的发现
奥斯特做了有关的实验，于1820年7月21日发现了电流 的磁效应。随后实验物理学家毕奥和萨伐尔根据奥斯特 的发现提出了自己的想法，并通过两个相关的实验验证 了他们有关电流磁效应的假设。在1820年，毕奥和萨伐 尔，通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律， 发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文， 在数学家拉普拉斯的帮助下，将电流载体转换为电流元 的情况，并得出了毕奥-萨伐尔定律的数学表达式。因
磁 场： 取 Idl
dB
B 4
Idl
r
3
r
dB
方向：右螺旋法则
P
r
Idl
大小：
dB
0
4
Idl sin r2
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例
毕奥-萨伐尔定律及毕奥-萨伐尔定律应用举例一、毕奥-萨伐尔定律1.毕奥-萨伐尔定律:载流导线产生磁场的基本规律。
微分形式为：整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场dB的叠加。
磁感应线的方向服从右手定则，如图。
二、毕奥-萨伐尔定律应用举例两种基本电流周围的磁感应强度的分布：载流直导线；圆电流。
例1.载流长直导线的磁场解：建立如图坐标系，在载流直导线上，任取一电流元Idz，由毕-萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为：方向为垂直进入纸面。
所有电流元在P点产生的磁场方向相同，所以求总磁感强度的积分为标量积分，即：（1）由图得：,即：此外：，代入（1）可得：讨论：（1）无限长直通电导线的磁场：（2）半无限长直通电导线的磁场：（3）其他例子例2:圆形载流导线轴线上的磁场：设在真空中，有一半径为 R ，通电流为 I 的细导线圆环，求其轴线上距圆心 O 为 x 处的P点的磁感应强度。
解：建立坐标系如图，任取电流元，由毕-萨定律得：，方向如图：，所有dB形成锥面。
将dB进行正交分解：，则由由对称性分析得：，所以有:，因为： ,r=常量，所以：，又因为：所以：，方向：沿x轴正方向，与电流成右螺旋关系。
讨论：（1）圆心处的磁场：x=0 ，。
（2）当即P点远离圆环电流时，P点的磁感应强度为：。
例3：设有一密绕直螺线管。
半径为 R ，通电流 I。
总长度L，总匝数N（单位长度绕有n 匝线圈），试求管内部轴线上一点 P 处的磁感应强度。
解：建立坐标系，在距P 点 x 处任意截取一小段 dx ，其线圈匝数为: 电流为：。
其相当于一个圆电流，它在P点的磁感应强度为：。
因为螺线管各小段在P点的磁感应强度的方向均沿轴线向右，所以整个螺线管在P点的磁感应强度的大小为：因为：代入上式得：所以：讨论：（1）管内轴线上中点的磁场:（2）当 L>>R时，为无限长螺线管。
此时,，管内磁场。
即无限长螺线管轴线上及内部为均匀磁场，方向与轴线平行满足右手定则。
毕奥萨伐尔定律
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
毕奥-萨伐尔定律
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
毕奥-萨伐尔定律 磁通量 磁场的高斯定理
解：（1）判断电流元产生 每个电流元产生磁场同方向
磁场的方向是否一致
z
D
2
z r 0 cot
dz
I
z
1
r
r0
x
C
o
r0 dz d 2 sin dB r0 又r * y P sin 0 Idl sin (1) 大小 dB 2 4 r
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右手螺旋关系
2013-7-5
10
[例14-2] 圆电流轴线上的磁场。
0 Idl 解： dB sin 90 2 4 r 0 Idl B dB sin 90 2 4 r
x 因为圆线圈上各个电流元在P点产生的磁感应强度 的方向是不同的，所以只能用它的矢量表示：
第五版
四.运动电荷的磁场
7-4
毕奥-萨伐尔定律
考虑一段导体，其截面积为S，其 中载流子的密度为n，载流子带电 q，以漂移速度 v 运动。
毕奥—萨伐尔定律：
0 Idl r dB 4 π r3 0 nSdlqv r dB 3 4π r
P r dB Idl j Sdl nSdlqv
z
o
r
Idl
y
R
0 I dl sin x 2 2 2 r2 r R z 4 2 2 R 0 IR 0 I sin dl 3 2 0 2 2 4 r 2( R z ) 2
B
0 IR
2
2 2 32
2( R z )
毕奥萨伐尔定律
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
感谢您的观看
THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
6. 3 毕奥——萨伐尔定律及其应用
或： 大小 B
B B B
2 x 2 y
2 z
标明方向！
关键是求出 d B
0 I d l r dB 4 r 3
(6-11)
——毕奥-萨伐尔定律
例： 判断下列各点磁感应强度的方向和大小. 1 方向如图示： 8
2
大小
7 R 6 5
Id l
3
4
0 I d l sin dB 4 r2 1、5 点 ： dB 0
真空的磁导率
I dl
r
Байду номын сангаасdB
d B 方向：I d l r 的 方 向 I d l 和 r 构成的平面
0 I d l r dB 4 r 3
4 r 0 = 4 107 NA2
I※ dl d B =?
Bd dB LB
0 Ia d x 0I l arctan— l 4l ( x 2 a 2 ) = —— 2l a
4l x a
2
0 Ia d x 2 2 4l ( x 2 a 2 ) x a
a
B= — j (匀强场) 2
0
本题下去重做一下
四、运动电荷的磁场
+ + + + + + + + + + + +++ + + + + + + ++ ++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ +++ + ++++ +++ + ++ + + + + + + + + + + + + ++ + + +++ ＋ ＋ ＋ +++ + ++++ + + + +++ + + + + + + + + + + + + + + ++ ++ + + + + + ++ ++ + + + + + ++ + + + + ++ v ＋ ＋ ＋ 设：导体单位体积内电荷数 n 0 I d l r dl 内电荷数 dN= n (Sdl) (6-11) dB 3 0 I d l 4 r sin 它们的合磁场 d B 每个电荷产生的磁场？ 4 r 2 q 的平均速度 v I = n(vS)q 矢量式 运动电荷 q 产生的磁场 0 qv r (6-13) B 0 3 d B 4 r B = —— dN 4 r 2 vq sin 和 1. 说明： 的方向垂直于 v B 方向与 d B 同向，仍为 I d l r 。 r 所确定的平面。
磁学 3-2 毕奥-萨伐尔定律
B
0m 2x3
类似于电偶极子电场强度
m S en
I
B
磁偶极子
E
电偶极子
三、运动电荷产生的磁场
电流是大量电荷定向运动形 成的，所以从本质上说电流 产生的电场就是运动电荷所 产生的磁场。
I
qv
I = nqSv
S
P
在载流 导线中选取一段电流
dl
元 Idl ，其电流 I = nqSv
代入毕奥-萨伐尔定律，得
大小为
dB
0 4
Idl sin
r2
θ2
Id l
θ
r
l
Oa
θ1
B
P
由右手螺旋法则知其方向 垂直于纸面向内。因直导 线上所有电流元在 P 点产 生的磁感应强度方向均相
B
dB
0 4
Idl sin r2
l a cot ( ) a cot
同，故 P 点总的磁感应强
dl ad / sin 2
磁场叠加原理：任意形状的载流导线的磁场是所有
电流元的磁场的矢量和
B dB
0
L
L 4
Idl
r2
er
积分遍及整 个载流导线
实际上不存在孤立的电流元，毕奥-萨伐尔定律是基 于特殊情形的实验结果从数学上倒推出来的。但从 此定律出发推出任意恒定电流的磁场都与实验结果 相符，从而验证了毕奥-萨伐尔定律的正确性。
B 0I 4a
（3）直电流延长线上 B = 0
直线电流的 磁感应线
例 2 载流圆线圈半径为 R，电流强度为 I，求圆线圈 中轴线上与圆心 O 距离为 x 处 P 点的磁感应强度。
解：如图建立坐标 系
任取一电流元 Idl，注意到
2 毕-萨定律
步骤1: 取对称坐标系如图；
在圆电流上取任一电流元Idl，
画出矢径 r
电流元在P点产生的磁感应强度dB的 大小为
0 Idl sin 90 dB 2 4 r
方向：图上dB的方向；
0
步骤3:圆电流上各个电流元Idl在P点产生的 磁感应强度dB，分布在以P点为顶点的圆锥面上
由于对称性，所有电流元产生的dB在垂直于X轴
2
1
0 I 1 sin d (cos 1 cos 2 ) d 4d
1 和 2 分别是电流的起点和终点
到P点的矢径与电流流向之间的夹角。 讨论：若导线为无限长，则 1 0 ， 2
0 I B 2d
方向：右手定则
[例2] 圆电流轴线上的磁场
载流单匝圆线圈（圆电流），其半径 R ，电流 强度为 I ，计算它在轴线上任意一点 P的磁 感应强度 B R I O P
l
0 I
若 有
x R ，即P 点离原心O很远，
(R x )
2 2 3/ 2
x
3
P
点磁感应强度大小为
B
0 IR 2
2x
3
0 IS 3 2 x
S R
2
是圆电流的面积。
三、载流线圈的磁矩
IS
1. 定义：载流
I 的刚性平面线圈 S 的磁矩
Pm NIS n NI S
用毕－萨定律推导运动电荷的磁场。
0 Id l r dB 3 4 r
dB B dN
q
I = qnvS
设导体内载流子的数密度为n，每个载流子 的电量为q，以速度v沿着电流元的方向作匀速 运动从而形成导体中的电流。
毕奥-萨伐尔定律介绍
$number {01}
目 录
• 毕奥-萨伐尔定律的背景 • 毕奥-萨伐尔定律的内容 • 毕奥-萨伐尔定律的应用 • 毕奥-萨伐尔定律的推导与证明 • 毕奥-萨伐尔定律的局限性与发展
01
毕奥-萨伐尔定律的背景
发现过程
毕奥和萨伐尔的研究
毕奥和萨伐尔在19世纪初对磁力和 电力进行研究，通过实验和观察，他 们发现电流在其周围空间产生磁场， 磁场的方向与电流的方向有关。
THANKS
对未来研究的展望
探索新型材料
实验验证与修正
随着新型材料的不断涌现，研究这些 材料在磁场中的行为，以及如何利用 毕奥-萨伐尔定律描述其磁效应，是未 来的研究重点之一。
通过实验验证毕奥-萨伐尔定律的准确 性，并对定律进行必要的修正，以适 应不断发展的研究和应用需求。
跨学科应用
毕奥-萨伐尔定律在物理学、工程学等 领域有广泛的应用，未来可以进一步 探索其在其他学科领域的应用，如生 物学、医学等。
在其他领域的应用
生物医学工程
在生物医学工程中，毕奥-萨伐尔定律 可用于研究生物体内的电流和磁场， 如心电、脑电等领域。
地球物理学
在地球物理学中，毕奥-萨伐尔定律可 用于研究地球内部的磁场分布和变化， 如地磁场的起源、变化规律等。
04
毕奥-萨伐尔定律的推导与 证明
推导过程
毕奥-萨伐尔定律的数学模型
基于电流元相互作用原理，通过微积分和矢量分析的方法，推导出两个电流元在空间中产生的磁 场分布。
电流元的位置和方向
考虑电流元的位置和方向的变化，对每个电流元分别进行推导，得出其在空间中产生的磁场分布 。
磁场分布的叠加
根据磁场分布的叠加原理，将各个电流元产生的磁场分布进行叠加，得到整个电流回路在空间中 产生的总磁场分布。
大学物理毕奥-萨伐尔定律
1
2
2
I
2 B
B 0I
4πr
3）延长线上的磁场
B=0
I
A
B
1
A
→r
r
＊p
B
+P
2、圆形载流导线（圆电流）轴线上的磁场（R, I）
Id l
o
IR
r dB d B
x
*
p dBx
x
dB'
解： （1）如图建立坐标系
（2）在导线上取电流元 Idl
dB
0
4π
Idl sin 900 r2
0 4
Idl r2
20
2
0, B 向外
0, B 向内
例7（例11-2） 一半径为R的无限长的半圆形金属薄片,沿轴 通有I 的电流,设电流在金属片上均匀分布,试求圆柱轴线上 任意一点P的磁感应强度.
解：将电流分割成许多无限长载流直导
线，电流为dI
I
利用无限长载流直导线的磁感应强度公式
B 0I
2πr
dB 0dI 2R
电流元中的运动电荷数
dN nSdl
电流元
Idl vSnqdl qv dN
将
Idl qv dN
代入上式得
从微观上看，电流元的dB就是dN个运动电荷共同产生的磁场
运动电荷的磁场
B
dB
0
qv r0
dN 4π r2
r0为电荷q到场点的矢径方向的单位矢量， 方向垂直于V，r确定的平面
是低速(v c)情形下匀速运动点电荷产生的磁场。
电流元 在空间P点产生的 磁感应强度 为
dB
k
Idl r2
r
0
9-2毕奥—萨伐尔定律
B取选微坐4元标0 ：：IdIry如d3y图r；取分平析大方面小向dB如直d，图B角。d坐4yrsπ0i标nIdd系dysressx2icenocc2oys,d
Idy
ｙ
r
所有 dB的方向相同，所以P点的 B的大为：
B
dB
L
0 2
0 I d y sin 统一变量，
电子运动方向与电流方向相反，
L
所以L和μ的方向恰好相反，如
图所示。上式关系写成矢量式
为
－ e L
2me
这一经典结论与量子理论导出的结果相符。由 于电子的轨道角动量是满足量子化条件的，在玻尔 理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以氢 原子在基态时，其轨道磁矩为
B
e 2me
方向如图
I dl
R
IO
r x
dB dB cos
将 dB 分解
dB// dB sin
总磁感应强度
B dB 0 (对称性)
L
d B d B
P
d B// x
dB
B B// dB// dB sin
L
L
r2
R2
x 2 , sin
解 为简单起见，设电子绕核作匀速圆周运动，圆 的半径为r，转速为n。电子的运动相当于一个圆电流， 电流的量值为I=ne，圆电流的面积为S=πr2，所以相应 的磁矩为
IS ner 2
L mevr me 2rnr 2menr 2 e L
2me
角动量和磁矩的方向可分
别按右手螺旋规则确定。因为
毕奥-萨伐尔定律
第4章基本要求•用毕-萨定律计算一段线电流在一点的磁场（大小、方向），面电流、体电流会用微积分处理。
•用环路定理计算对称性磁场（无限长直线电流，无限大均匀电流面等）。
•会计算运动电荷受到的磁场力，在磁场的轨迹方程及轨迹参数（周期，回旋半径，螺线螺距等）•会计算一段电流受到的安培力、线圈受到的力和力矩。
304RR l Id B d⨯=πμ毕奥－萨伐尔定律：34R R l Id B L⨯=⎰πμI dl i dS j dVIdlrαβdORθe re ze IP 1z例：无限长两平行电流（I 1＝I 2＝I ）中垂面上的磁场强度。
xyOI 1I 2B 1B2解：由安培环量定理得I 1、I 2在O 点的磁场大小为122IB B rμπ==B 1、B 2方向如图所示，分别与半径r 1、r 2垂直。
由对称性可知，B 1、B 2的合矢量沿y 方向r 2r 1θ111ˆ2sin B B yθ=稳恒磁场的基本性质⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⎰∑⎰⎰Lk k0SI l d B 0S d B μ微分形式：积分形式：⎩⎨⎧=⨯∇=⋅∇jB 0B 0μ高斯定理和环路定理IBOrRL II ABC D C'D'(a)III(b)Bl Id F d⨯=若线圈的线度远小于外场非均匀度，则线圈在外磁场中的力和力矩分别为：Bm L ⨯=Bm F)(∇⋅=安培力:)(B v E q F ⨯+=洛仑兹力:θzxyθ=arcsin(V ⊥/V )dIB nqd IB U K==霍尔效应第5章基本要求●由环路定理计算线性各项同性介质中的磁场（磁感应强、磁场强度）、磁化强度、磁化电流●两类问题的处理●磁场在边界处的边值关系，界面磁化电流磁介质存在时的静磁场∑⎰⎰⎰=⋅=⋅0I l d H 0S d B MB H 0-=μnM i Mj⨯='⨯∇='本构方程基本方程磁化电流B H j ⎧∇⋅=⎪⎨∇⨯=⎪⎩0r B Hμμ=均匀各向同性边界条件nn B B 12=210()n H H i ⨯-=2121tg tg μμθθ=B B第6章电磁感应定律动生电动势与感生电动势互感与自感磁能dtd Φ-=ε⎰⋅⨯=Cld B v )(ε电磁感应定律动生电动势⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅=L Sd t Bl d E S旋ε感生电动势互感和自感⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==dt dI M I M 1212112121εΦ⎪⎩⎪⎨⎧-==dt dI L I L εψ,21H B m⋅=ω∑=Φ=Ni ii I W 121载流线圈系统的磁能两个线圈系统的磁能为212222112121I MI I L I L W m ++=自感磁能互感磁能磁场中的磁能密度似稳条件交流电路中的元件及其性质交流电路基本方程及其复数形式交流电路的电功率第7章平均功率为瞬时功率一个周期内的平均值平均功率是电路实际消耗的功率–其中V ，I 分别是电压和电流的有效值。
毕奥- 萨伐尔定律
毕奥- 萨伐尔定律
如图9- 12所示.因此，总 磁感应强度B的矢量积分可化为 标量积分
图9- 12 直线电流的磁场
毕奥- 萨伐尔定律
（1）若直线电流为无限长，即θ1=0,θ2=π，则 (9- 13)
与实验结果一致.无限长直线电流是一个理想模型， 在实际问题中，若直线电流的长度远大于到场点P的距离 a，此时直线电流就可视为无限长.直线外到带电直线距 离相等的各点磁感应强度B，其大小都相等，方向沿每点 的切向，人们称无限长直线电流在场点激发的磁场具有 轴对称性.
毕奥- 萨伐尔定律
三、 典型电流的磁场计算——毕- 萨定律的应用
电流磁场的计算类似于带电体电场分布的计算，用毕奥- 萨伐 尔定律计算磁场中各点磁感应强度的具体步骤如下：
首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元Idl， 并标出Idl到场点P的位矢r，确定两者的夹角θ（Idl，r）.
其次，根据毕奥- 萨伐尔定律，求出电流元Idl在场点P所激发 的磁感应强度dB的大小，并由右手螺旋法则决定dB的方向.
毕奥- 萨伐尔定律
（2）若直线电流为半无限长，即θ1=0， θ2=π/2（或θ1=π/2，θ2=π），则P点的B的大小 为
（3）P点在延长线上，θ=0或θ2=π， dB=0,B=0.
毕奥- 萨伐尔定律
2. 圆电流在其轴线上的磁场
设圆电流（载流线圈）半径为R,通有电流I，试计算它 在其轴线上任一点P的磁感应强度.
毕奥- 萨伐尔定律
【例9-1】
如图9-11所示，试求电流元Idl周围空间的磁感 应强度.
解：计算电流元Idl周围空间的磁感应强度dB.根 据毕- 萨定律先计算dB的大小，即
毕奥- 萨伐尔定律
图9- 11 例9- 1图
毕奥萨伐尔定律介绍课件
该定律主要描述了电流元在空间 中产生的磁场分布规律，对于理 解电磁场的产生、传播以及电磁 感应等电磁现象具有重要意义。
毕奥萨伐尔定律的重要性
毕奥萨伐尔定律是电磁学核心理论之一，为研究电磁场的性质和行为提供了重要的 基础。
该定律对于现代电磁技术，如电磁感应、电磁波传播、电子设备等，都具有重要的 应用价值。
力学
在研究天体运动和物体运 动时，毕奥萨伐尔定律可 以用来描述物体的运动轨 迹和相对运动。
量子力学
在量子力学中，毕奥萨伐 尔定律可以用来描述微观 粒子的波粒二象性。
在工程中的应用
航空航天工程
毕奥萨伐尔定律在航空航天工程 中有重要的应用，如计算飞行器
的轨迹和空气动力学性能。
机械工程
在机械设计中，毕奥萨伐尔定律 可以用来分析机器的运动状态和
毕奥萨伐尔定律的物理意义
磁场产生
毕奥萨伐尔定律揭示了电流在空间中 产生磁场的过程，当电流通过导线或 导线网络时，会在周围空间产生磁场 。
磁场方向
根据毕奥萨伐尔定律，磁场的方向与 电流的方向垂直，可以用右手定则来 判断。
毕奥萨伐尔定律的适用条件
真空或电介质
毕奥萨伐尔定律适用于真空中的电流在空间中产生磁场的情况，或者适用于电 介质中的情况。
实验验证
介绍了毕奥萨伐尔定律的实验验证方法和结果，以及该定律在实验 中的应用。
毕奥萨伐尔定律在现代的应用
经典应用
介绍了毕奥萨伐尔定律在经典物理学中的应用， 如电磁学、光学和力学等。
现代应用
重点介绍了毕奥萨伐尔定律在现代物理学中的应 用，如量子力学、相对论和宇宙学等。
应用前景
探讨了毕奥萨伐尔定律在未来科技中的应用前景 ，如新材料、新能源和生物医学等领域。
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交流电下的毕奥萨伐尔定律
毕奥萨伐尔定律是指在交流电路中，通过导体的电流产生的磁场的磁感应强度与电流的大小成正比，与电流的方向成正弦关系。
这个定律是电磁学的基本定律之一，由法国物理学家让-巴普蒂斯特·毕奥·萨伐尔在19世纪初提出。
根据毕奥萨伐尔定律，当电流经过一根直导线时，其周围将形成一个闭合的磁场。
磁场的磁感应强度与电流的大小成正比，与电流方向呈正弦关系。
具体表达式是，磁感应强度B等于磁场元素的电流I、元素的长度ds以及距离磁场元素的点P的距离r之间的乘积的积分：
B = μ₀/4π ∫(I * ds × r) / r³
其中，μ₀为真空中的磁导率，值为4π×10⁻⁷ N/A²。
毕奥萨伐尔定律对理解电磁现象和设计电磁装置有着重要的意义，如电机、变压器、发电机等。
它也是电磁感应和电磁场理论的基础之一。