轴对称图形典型例题

轴对称图形典型例题

例1 如下图，已知，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，D 是AP 上一点．

求证：∠BDP ＝∠CDP ．

证明：∵ PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，

∴ ∠PAB ＝∠PAC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上），

∵ ∠APB ＋∠PAB ＝90°，∠APC ＋∠PAC ＝90°，

∴ ∠APB ＝∠APC ，

在△PDB 和△PDC 中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .，

， ∴ △PDB ≌△PDC （SAS ），

∴ ∠BDP ＝∠CDP ．

（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）

注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．

例2 已知如下图（1），在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．

（1）

证法一：过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ，

∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE ＝DF ，

在Rt △EAD 和Rt △FCD 中， ⎩⎨⎧==.DF DE DC AD ，

（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ），

∴ ∠C ＝∠EAD ，

∵ ∠EAD ＋∠BAD ＝180°，

∴ ∠A ＋∠C ＝180°．

证法二：如下图（2），在BC 上截取BE ＝AB ，连结DE ，证明△ABD ≌△EBD 可得．

（2）

证法三：如下图（3），延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连结ED ，以下同证法二．

（3）

注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．

例3 已知，如下图，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．

求证：BE ＋CF ＞EF ．

证法一：在DA 截取DN ＝DB ，连结NE 、NF ，则DN ＝DC ，在△BDE 和△NDE 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ，

，

（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）

∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），

∴ BE ＝NE （全等三角形对应边相等），

同理可证：

CF ＝NF ，

在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF （三角形两边之和大于第三边），

∴ BE ＋CF >EF ．

证法二：延长ED 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ，

在△BDE 和△CDM 中，

⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DM DE CDM BDE CD BD ，

，

（从另一个角度作辅助线）

∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），

∴ CM ＝BE （全等三角形对应边相等），

又∵ ∠BDE =∠A DE ，∠ADF ＝∠CDF ，

而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°，

∴ ∠ADE +∠ADF ＝90°，

即∠EDF ＝90°，

∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°，

在△EDF 和△MDF 中，

⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DF DF MDF EDF MD ED ，

，

∴ △EDF ≌△MDF （SAS ），

∴ EF ＝MF （全等三角形对应边相等），

在△CMF 中，

CF ＋CM >EF ，

∴ BE ＋CF >EF ．

注 本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中．

例4 已知，如下图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ．求：∠BAC 的度数．

解：∵ AP ＝PQ ＝AQ （已知），

∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°（等边三角形三个角都是60°），

∵AP＝BP（已知），（注意观察图形和条件）

∴∠PBA＝∠PAB（等边对等角），

∴∠APQ＝∠PBA＋∠PAB＝60°

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），

∴∠PBA＝∠PAB＝30°，同理∠QAC＝30°，

∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°．

注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程．

例5 已知，如下图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．

求证：∠F＝∠A．

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB（等边对等角），

∵EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∴∠ACB＝∠EDB（等量代换），

∴ED∥AC（同位角相等，两直线平行），

在△BDE和△AED中，BE＝AE=ED，

连结AD可得，∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，

∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，

∴∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，

（用什么定理判定三角形全等的？）

∴D为BC的中点，

∴△BDE≌△CDF，

∴∠BED＝∠F，而∠BED＝∠A，

∴∠F＝∠A．

例6 已知，如下图，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．

求证：EF⊥BC．

证法一：作BC边上的高AD，D为垂足，