求函数值域(最值)的方法大全

一、值域的概念和常见函数的值域

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：

一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫

-+∞⎢，当0a <时的值

1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法

适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如()2

0y ax bx c a =++≠或

()()()()2

0F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.

例3、求函数y=2

x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2

+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：

当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：

21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，

x R ∈时，方程根.()()2

2

1420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.

∴原函数的值域为[]1,5.

例6、求函数y=x+

)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22

x -2（y+1）x+y 2

=0 （1）

x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0

解得：1-2≤y≤1+2

但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2

=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3

]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

4例y 5 、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 适用类型：一般用于三角函数型，即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等。

例8、求函数y = 1

1

+-x x e e 的值域。

解：由原函数式可得：x

e =

1

1

-+y y x

e ＞0，∴

1

1

-+y y ＞0 解得：- 1＜y ＜1。

故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例

即∵ 6 例例 解：令y 1=

2

5

-x ，2y =

log

3

1-x ，则 y 1， 2y 在[ 2， 10 ]上都是增函数。

所以y=y 1+2y 在[ 2 ，10 ]上是增函数。 当x = 2 时，y m in = 3

2-+

log

3

12-=8

1

，

当x = 10 时，m ax y =52+

log

3

9=33。

故所求函数的值域为：[8

1

，33]。 例12、求函数y=

1+x -1-x 的值域。

解：原函数可化为：y=

1

12-++x x

2 7 例 例 解：因1-2

)1(+x ≥0 ，即2

)1(+x ≤1 故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。

∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sin （β+∏/ 4 ）+1 ∵0≤β≤∏，0 ≤β+∏/4≤5∏/4

∴-

2

2

≤sin （β+∏/4）≤1 ∴0 ≤2sin （β+∏/4）+1≤1+2。 故所求函数的值域为[0，1+2]。

例15、求函数y=1

2243++-x x x

x 的值域

例 ∴当t=2时，m ax y =

23+2，当t=22时，y=43

+22

故所求函数的值域为[

43+22 ，2

3

+2] 。

例17、求函数y=x+4+25x -的值域 解：由5-x≥0 ，可得∣x ∣≤5 故可令x =5cosβ，β∈[0，∏]

y=5cosβ+4+5sinβ=10sin （β+∏/4）+ 4 ∵ 0 ≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4

当β=∏/4时，m ax y =4+10，当β=∏时，y m in =4-5。

故所求函数的值域为：[4-5，4+10]。 8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 例18、求函数y=

)

2(2

-x +

)

8(2

+x 的值域。

解：原函数可化简得：

y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ），B （- 8 ）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例19、求函数y=

1362

+-x x

+

542

++x x

的值域

解：原函数可变形为：y=

)20()3(2

2

--+x +

)10()

2(2

2

+++x