中考 数学专练12(几何证明大题)(30题)(老师版)

2022中考考点必杀500题

专练12（几何证明大题）（30道）

三角形

1．（2022·上海徐汇·二模）如图，四边形ABCE 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF ∠CE 于点F ，点D 为BF 上一点，且∠BAD ＝∠CAE ．

(1)求证：AD ＝AE ；

(2)设BF 交AC 于点G ，若22BC BD BG =⋅，判断四边形ADFE 的形状，并证明．

【答案】(1)证明见解析；

(2)四边形ADFE 是正方形，证明见解析．

【解析】

(1) 证明：∠BAC ＝90°，BF ∠CE ，

90CAE ∴∠=︒，90BFC ∠=︒，

AGB CGF ∠=∠，

ABG FCG ∴∠=∠，

在ABG 和ACE 中，

BAD CAE AB AC

ABG FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

ABD ∴∠()ASA ACE △，

AD AE ∴=；

(2)

四边形ADFE 是正方形．

证明：在ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，

22222BC AB BC AB ∴=+=，

22BC BD BG =⋅，

2AB BD BG ∴=⋅，即AB BG BD AB

=， ABD ABG ∠=∠，

ABD GBA ∴∽△△，

∠BAC ＝90°，

90ADB ∴∠=︒，

90ADF ∴∠=︒，

90∠=∠=︒E ADB ，90BFC ∠=︒，

∴四边形ADFE 是矩形，

由（1）知AD AE =，

∴四边形ADFE 是正方形．

【点睛】

本题为几何证明综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定和正方形的判定，熟练掌握相关知识点，并能根据题中条件与所证结准确寻找到思路是解决问题的关键． 2．（2022·湖北宜昌·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，B AFE ∠=∠，EA 是∠BEF 的角平分线，求证：

(1)ABE AFE ∆≅∆；

(2)FAD CDE ∠=∠．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

(1)

证明：∠EA 是∠BEF 的角平分线，

BEA FEA ∴∠=∠ ，

在ABE ∆和AFE ∆中，

BEA FEA B AFE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ABE AFE ∴∆≅∆(AAS )

(2)

∠平行四边形ABCD ，

∠AD BC ∥ ，AB CD = ，AB CD ∥ ，

ADF DEC ∴∠=∠ ，180B C ∠+∠=︒ ，

由（1）得：ABE AFE ∆≅∆，

AB AF ∴= ，

AB AF CD ∴== ，

又B AFE ∠=∠，180B C ∠+∠=︒，180AFE DFA ∠+∠=︒ ，

C DFA ∴∠=∠ ，

在ADF ∆和DEC ∆中，

DFA C ADF DEC AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ADF DEC ∴≌，

FAD CDE ∴∠=∠．

【点睛】

本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定与性质，等角的补角相等，角平分线定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．

3．（2022·四川广元·一模）如图，在ABC 中，45,75ABC ACB ∠=︒∠=︒，

D 是BC 上一点，且60ADC ∠=︒，

CF AD ⊥于点F ，AE BC ⊥于点E ，AE 交CF 于点G ．

(1)求证：AFG CFD ≌△△；

(2)若1,FD AF ==EG 的长．

【答案】(1)证明见解析

【解析】

(1)

证明：∠60ADC ∠=︒，

∠120ADB ∠=︒，

∠∠ACB =75°，

∠45DAC ADB ACB ∠=∠-∠=︒．

∠CF AD ⊥，

∠90AFG CFD ∠=∠=︒．

∠9045ACF DAC ∠=︒-∠=︒，∠FCD =90°-∠ADC =30°．

∠ACF DAC ∠=∠．

∠AF CF =．

∠AE BC ⊥，∠ADC =60°，

∠∠F AG =90°-∠ADC =30°．

∠∠F AG =∠FCD ．

∠(ASA)AFG CFD △≌△．

(2)

解：∠AFG CFD ≌△△，1,FD AF ==

∠1FG FD ==，CF AF =

∠1CG CF FG =-=．

∠∠FCD =30°，AE ∠BC ，

∠12EG CG == 【点睛】

本题考查三角形外角的性质，角的和差关系，直角三角形两个锐角互余，同角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，30°所对的直角边是斜边的一半，综合应用这些知识点是解题关键．

4．（2022·上海嘉定·二模）如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接AC ．

(1)求证：AD ＝CF ；

(2)若AB ∠AF ，且AB ＝8，BC ＝5，求sin∠ACE 的值．

【答案】(1)见解析； (2)35

【解析】

(1)

解：∠四边形ABCD 是平行四边形，

∠AD BC ∥，

∠∠D =∠DCF ，∠DAF =∠F ，

∠E 是CD 的中点，

∠DE =CE ，

∠∠ADE ∠∠FCE （AAS ），

∠AD =CF ；

(2)

∠四边形ABCD 是平行四边形，

∠AB CD ∥，CD =AB =8，AD =BC =5，