2022新教材高中数学课时检测22简单幂函数的图象和性质含解析北师大版必修第一册

简单幂函数的图象和性质
[A 级 基础巩固]
1．(多选)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α
的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
解析：选AC 当α＝－1时，y ＝x －1＝1x
，为奇函数，但值域为{y |y ≠0}，不满足条件． 当α＝1时，y ＝x 为奇函数，值域为R ，满足条件．
当α＝2时，y ＝x 2
为偶函数，值域为{y |y ≥0}，不满足条件．
当α＝3时，y ＝x 3为奇函数，值域为R ，满足条件．故选A 、C.
2．幂函数f (x )＝x 2
3的大致图象为图中的( )
解析：选B 由于f (0)＝0，所以排除C 、D 选项．又f (－x )＝(－x )23＝3（－x ）2＝3x
2＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．
3．若f (x )是幂函数，且满足
f （4）f （2）＝4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－4
B ．4
C ．－12
D ．14 解析：选D 设f (x )＝x α，则f (4)＝4α＝22α，f (2)＝2α
. ∵f （4）f （2）＝22α
2
α＝2α＝4＝22， ∴α＝2，∴f (x )＝x 2
， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝14
，故选D. 4．函数y ＝x m
n (m ，n ∈N ＋，且m ，n 互质)的图象如图所示，则( )
A ．m ，n 是奇数，m n <1
B ．m 是偶数，n 是奇数，m n >1
C ．m 是偶数，n 是奇数，m n <1
D ．m 是奇数，n 是偶数，m n
>1 解析：选C 由函数图象可知y ＝x m n 是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇
数．又当x ∈(1，＋∞)时，y ＝x m n 的图象在y ＝x 的图象下方，故m n
<1. 5．已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2
的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )
A ．(0，1]∪[23，＋∞)
B ．(0，1]∪[3，＋∞)
C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)
D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞) 解析：选B 当0<m ≤1时，1m
≥1，y ＝(mx －1)2在[0，1]上单调递减，值域为[(m －1)2，1]；y ＝x ＋m 在[0，1]上单调递增，值域为[m ，1＋m ]，此时两个函数图象有且仅有一个交
点．当m >1时，0<1m <1，y ＝(mx －1)2在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1m ，1上单调递增，所以要与y ＝x ＋m 的图象有且仅有一个交点，需(m －1)2≥1＋m ，即m ≥3.综上所述，0<m ≤1或m ≥3.故选B.
6．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋1)x
m 2－4m ＋1的图象不经过原点，则实数m 的值为________．
解析：依题意得m 2－3m ＋1＝1，解得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，f (x )＝x ，其图象经过原点，不符合题意；当m ＝3时，f (x )＝x －2，其图象不经过原点，符合题意，因此实数m 的值为3.
答案：3
7．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x
－4m －2在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值是________． 解析：由题意可知m 2－2m －2＝1，得m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，－4m －2＝－14，幂
函数y ＝x －14在(0，＋∞)上单调递减，满足题意；当m ＝－1时，－4m －2＝2，幂函数y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意，所以m ＝－1舍去．故m ＝3.
答案：3
8．有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2；③f (x )＝x 3
；④f (x )＝x 1
3.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：
(1)是偶函数；(2)值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．
如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)． 解析：对于函数①，f (x )＝x －1是一个奇函数，值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}，在(－∞，
0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f (x )＝x －2是一个偶函数，其
值域是{y |y ∈R ，且y >0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．
答案：②
9．已知幂函数y ＝x m 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，
求m 的值，并画出它的图象．
解：∵m ∈Z ，且图象与x 轴、y 轴均无交点，
∴m 2
－2m －3＝(m ＋1)(m －3)≤0，
即－1≤m ≤3(m ∈Z)．
又∵图象关于y 轴对称，
∴m 2－2m －3的值是偶数，得m ＝－1或m ＝1或m ＝3.
其中当m ＝1时，函数为y ＝x －4，图象如图①所示；
当m ＝－1或m ＝3时，
函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图②所示．
10．已知幂函数f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中－2<m <2，且m ∈Z ，满足：
①在区间(0，＋∞)上是增函数；
②对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.
求同时满足条件①②的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0，3]时，f (x )的值域． 解：因为－2<m <2，且m ∈Z ，所以m ＝－1，0，1.
因为对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件①而不满足条件②；
当m ＝1时，f (x )＝x 0，条件①②都不满足；
当m ＝0时，f (x )＝x 3，条件①②都满足．
因此f (x )＝x 3，且f (x )在区间[0，3]上是增函数，所以0≤f (x )≤27，
故f (x )的值域为[0，27]．
[B 级 综合运用]
11．有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据
加密密钥把明文转为密文(加密)，接收方根据加密密钥把密文转为明文(解密)．现在已知加密密钥为y ＝x α
(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
解析：由题目可知加密密钥y ＝x α(α是常数)是一个幂函数，所以要想求得解密后得到
的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝12，则y ＝x 12.由x 12＝3，得x ＝9.
答案：9
12．已知幂函数f (x )＝x 1
m 2
＋m (m ∈N ＋)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．
解：(1)∵m ∈N ＋，
∴m 2＋m ＝m (m ＋1)为偶数．
令m 2＋m ＝2k ，k ∈N ＋，
则f (x )＝2k x ，
∴f (x )的定义域为[0，＋∞)，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数．
(2)由题意可得2＝212＝21m 2＋m ，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，
∴f (x )＝x 12，
由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0，解得1≤a <32，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1，32.。