2022新教材高中数学课时检测22简单幂函数的图象和性质含解析北师大版必修第一册

简单幂函数的图象和性质

[A 级 基础巩固]

1．(多选)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α

的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )

A ．1

B ．－1

C ．3

D ．－3

解析：选AC 当α＝－1时，y ＝x －1＝1x

，为奇函数，但值域为{y |y ≠0}，不满足条件． 当α＝1时，y ＝x 为奇函数，值域为R ，满足条件．

当α＝2时，y ＝x 2

为偶函数，值域为{y |y ≥0}，不满足条件．

当α＝3时，y ＝x 3为奇函数，值域为R ，满足条件．故选A 、C.

2．幂函数f (x )＝x 2

3的大致图象为图中的( )

解析：选B 由于f (0)＝0，所以排除C 、D 选项．又f (－x )＝(－x )23＝3（－x ）2＝3x

2＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．

3．若f (x )是幂函数，且满足

f （4）f （2）＝4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－4

B ．4

C ．－12

D ．14 解析：选D 设f (x )＝x α，则f (4)＝4α＝22α，f (2)＝2α

. ∵f （4）f （2）＝22α

2

α＝2α＝4＝22， ∴α＝2，∴f (x )＝x 2

， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122

＝14

，故选D. 4．函数y ＝x m

n (m ，n ∈N ＋，且m ，n 互质)的图象如图所示，则( )

A ．m ，n 是奇数，m n <1

B ．m 是偶数，n 是奇数，m n >1

C ．m 是偶数，n 是奇数，m n <1

D ．m 是奇数，n 是偶数，m n

>1 解析：选C 由函数图象可知y ＝x m n 是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇

数．又当x ∈(1，＋∞)时，y ＝x m n 的图象在y ＝x 的图象下方，故m n

<1. 5．已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2

的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )

A ．(0，1]∪[23，＋∞)

B ．(0，1]∪[3，＋∞)

C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)

D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞) 解析：选B 当0

≥1，y ＝(mx －1)2在[0，1]上单调递减，值域为[(m －1)2，1]；y ＝x ＋m 在[0，1]上单调递增，值域为[m ，1＋m ]，此时两个函数图象有且仅有一个交

点．当m >1时，0<1m <1，y ＝(mx －1)2在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1m ，1上单调递增，所以要与y ＝x ＋m 的图象有且仅有一个交点，需(m －1)2≥1＋m ，即m ≥3.综上所述，0

6．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋1)x

m 2－4m ＋1的图象不经过原点，则实数m 的值为________．

解析：依题意得m 2－3m ＋1＝1，解得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，f (x )＝x ，其图象经过原点，不符合题意；当m ＝3时，f (x )＝x －2，其图象不经过原点，符合题意，因此实数m 的值为3.

答案：3

7．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x

－4m －2在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值是________． 解析：由题意可知m 2－2m －2＝1，得m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，－4m －2＝－14，幂

函数y ＝x －14在(0，＋∞)上单调递减，满足题意；当m ＝－1时，－4m －2＝2，幂函数y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意，所以m ＝－1舍去．故m ＝3.

答案：3

8．有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2；③f (x )＝x 3

；④f (x )＝x 1

3.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：

(1)是偶函数；(2)值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．

如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是________(填序号)． 解析：对于函数①，f (x )＝x －1是一个奇函数，值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}，在(－∞，

0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f (x )＝x －2是一个偶函数，其

值域是{y |y ∈R ，且y >0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件．

答案：②

9．已知幂函数y ＝x m 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，

求m 的值，并画出它的图象．

解：∵m ∈Z ，且图象与x 轴、y 轴均无交点，

∴m 2

－2m －3＝(m ＋1)(m －3)≤0，

即－1≤m ≤3(m ∈Z)．

又∵图象关于y 轴对称，

∴m 2－2m －3的值是偶数，得m ＝－1或m ＝1或m ＝3.

其中当m ＝1时，函数为y ＝x －4，图象如图①所示；

当m ＝－1或m ＝3时，

函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图②所示．

10．已知幂函数f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中－2

①在区间(0，＋∞)上是增函数；

②对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.

求同时满足条件①②的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0，3]时，f (x )的值域． 解：因为－2

因为对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件①而不满足条件②；

当m ＝1时，f (x )＝x 0，条件①②都不满足；

当m ＝0时，f (x )＝x 3，条件①②都满足．

因此f (x )＝x 3，且f (x )在区间[0，3]上是增函数，所以0≤f (x )≤27，

故f (x )的值域为[0，27]．

[B 级 综合运用]

11．有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据