三点共圆的性质和判定
两两相交的圆的三公弦共点
两两相交的圆的三公弦共点1.引言1.1 概述在几何学中，圆是一种基本的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
当两个圆相交时，我们可以发现一些有趣的几何特征。
其中之一就是两两相交的圆的三公弦共点的性质。
所谓两两相交的圆，指的是存在两个圆，它们的边界相交于两个不同的点。
这种情况在几何中非常常见，许多几何问题和现实世界中的场景都与两个相交的圆有关。
当我们构造这两个圆的公切线时，我们会发现一条有趣的线段——三公弦。
三公弦是指通过两个相交圆的公共切点，并且与圆相交的线段。
这条线段有一个特殊的性质，即两两相交的圆的三公弦共点。
也就是说，不论两个相交的圆的位置如何变化，它们的三公弦都会交于同一个点。
对于这个特殊的现象，我们需要进行一定的证明来确保其正确性。
通过几何证明，我们可以得出结论：两两相交的圆的三公弦确实共点。
这个结论在几何学中具有重要的意义。
首先，它可以帮助我们解决一些与圆有关的问题，例如圆的切线构造、圆的内切和外切等。
其次，它也能够拓展我们的几何思维，让我们对圆的性质有更深入的理解。
在接下来的正文中，我们将探讨两两相交的圆的基本性质以及三公弦的定义和性质。
并通过几何证明，确认两两相交的圆的三公弦确实共点。
最后，我们将探讨这个结论的应用和意义，展示它在几何学中的重要作用。
1.2文章结构文章结构部分的内容应包括本文的主要内容和各个部分的简要介绍。
下面是一个可能的内容编写示例：在本文中，将探讨"两两相交的圆的三公弦共点"的现象和相关性质。
文章结构如下：第一部分：引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的第二部分：正文2.1 两两相交的圆的基本性质2.2 三公弦的定义和性质第三部分：结论3.1 两两相交的圆的三公弦共点的证明3.2 应用和意义在正文部分，我们将首先介绍两两相交的圆的基本性质，包括相交的位置关系和相交点的性质。
随后，我们将详细讨论三公弦的定义和性质，探究这种特殊的弦与圆的关系。
点共圆的证明的所有方法
证明四点共圆的方法
思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。
思路二：四点到某定点（中垂线交点）的距离都相等，从而确定其共圆． 思路三：运用有关定理或结论
（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边
为圆的直径．
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ， PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，
PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。
（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，
BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅⇔四点共圆。
图（3） 图（4） 图（5）
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇒四点共圆。
A B C D A B C D P A
B C D P
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC 交圆O于C'，连结D C'，根据圆内接四
边形的性质得∠A+∠D C'B=180°，
∵∠A+∠C=180°∴∠D C'B=∠C .
故假设错误，原命题成立。
代数方法
解析几何（点代入法，利用线段乘积向量）
复数证明（辐角相等）。
三点共线经典题型
三点共线经典题型例1如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．分析由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD．解答：证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM，∵GHM分别为BD，AC，EF的中点，∴MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF∵GT∥CD，HT∥AB，GT=0.5CD，HT=0.5AB，∴GT∥HS，HT∥SM∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，∴∠TGH=∠THG，∴GT=TH，∴AB=CD．例2如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．分析求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证解答连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴PA/AM=AC/MC,AC/AM=QC/MC∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．∴PA/DC=AD/QC，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等．例3如图，△ABC内接于圆⊙，点D是圆⊙上异于A、B、C三点的任意一点，过D点作DP⊥AB，DQ⊥BC，DR⊥AC，交AB、BC、AC分别为P，Q，R．（1）求证：∠BDP=∠CDR；（2）求证：P，Q，R三点共线．分析由已知中四边形ABDC为圆内接四边形，根据圆内接四边形性质，我们易得∠DBP=∠DCP，结合已知中DP⊥AB，DR⊥AC，根据等角的余角相等，即可得到答案．（2）由已知中DP⊥AB，DQ⊥BC，可判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，同理可得∠RQC=∠RDC，结合（1）中结论，我们易证明∠PQD+∠RQD=180°，进而得到P、Q、R三点共线．证明：（1）由已知可得四边形ABDC为圆内接四边形则∠DBP=∠DCP又∵DP⊥AB，DR⊥AC，∴∠BDP=90°-∠DBP，∠CDR=90°-∠DCP；∴∠BDP=∠CDR；∵DP⊥AB，DQ⊥BC，∴P、D、Q、B四点共圆∴∠PQD=∠PBD同理可得∠RQC=∠RDC∵∠PBD+∠RDC=90°∴∠PQD+∠RQD=90°+∠CQD=180°故P、Q、R三点共线本题考查的知识点是圆内接四边形的判定与性质，其中根据已知条件判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，并同理得到∠RQC=∠RDC，是证明三点共线的关键．例4已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，CP=BQ，PM与QN的交点为R．求证：R，A，C三点共线．分析延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，易证PN=NT，PC=CT，进而根据O是MN 的中点所以R，C，O三点共线、A，O，C三点共线，可以证明R，A，C三点共线．证明：延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，∵∠BNQ=∠CNT，BN=CN，∠NBQ=∠NCT，∴△BNQ≌△CNT（ASA），∴CT=BQ=CP，∴PN=NT，PC=CT，∵MN∥CD，∴MO=ON∴O是MN的中点所以R，C，O三点共线，又A，O，C三点共线，所以R，A，C三点共线本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中求证R，C，O三点共线是解题的关键．例4如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．分析根据AE平分∠BAC，M为弦BC的中点，可证A、E、M三点共线，根据已知证明EG∥OA，DG∥OA，可证D、E、G三点共线，而F在EG上，故可证D、E、F三点共线．证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交⊙O于M，则OD⊥BC，弦BC=弦CM∴A、E、M三点共线，又AE、AF是∠A及其外角平分线，∴AE⊥AF，∵HE⊥AE，HF⊥AF，∴四边形AEHF为平行四边形，∴AH与EF互相平分，设其交点为G，于是，AG=0.5AH=0.5EF=EG∵OA=OM，OD∥AH，∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE，∴EG∥OA ①又O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC，∴OD=0.5AH=AG，∴四边形AODG为平行四边形，∴DG∥OA，②由①②可知，D、E、G三点共线，而F在EG上，∴D、E、F三点共线．本题考查了三角形外接圆的性质在证明三点共线问题中的运用．关键是利用平行线，圆周角定理，垂径定理证明三点共线．。
4点共圆的判定
4点共圆的判定在数学中，我们经常会遇到判定一个图形是否符合某种几何条件的问题。
其中，判定一个图形是否能够通过给定的4个点构成一个共圆的形状，是一道经典的几何题目。
共圆，顾名思义，即多个点落在同一个圆上。
那么，我们就来探索一下如何准确判断4个点是否共圆，并解释一些相关概念和技巧。
首先，让我们回顾一下圆的定义。
圆是由平面上与一个给定点的距离恒定的所有点所构成的集合。
这个给定的点叫作圆心，距离称为半径。
如果一个图形上的点可以通过连接到圆心的线段的长度都相等，那么这些点就构成了一个共圆的形状。
对于给定的4个点A、B、C和D，我们需要判断它们是否能够组成一个共圆。
这里有一个简单而有用的判定方法，即检查任意三个点是否共线。
如果这4个点中的任意三个点不共线，那么它们必然可以构成一个圆。
为什么这个方法是有效的呢？这涉及到一个重要的几何概念——共线。
如果三个点A、B和C在同一条直线上，那么我们可以找到一条直线通过A和C，使得AB和BC两线段的长度相等。
现在，假设我们有四个点A、B、C和D，其中任意三个点都不共线。
我们可以选择其中三个点A、B和C，它们必然共线。
然后我们检查D是否也在这条直线上。
如果D在同一条直线上，那么它们可以通过以A和B为直径的圆来连接，因此这4个点共圆。
如果D不在这条直线上，则说明它们不能组成一个共圆。
当然，这只是一种简单的情况。
在实际问题中，我们可能会遇到更复杂的情况。
例如，如果三个点共线时，我们需要进一步检查第四个点是否在同一条直线上。
这可以通过计算斜率或使用其他几何方法来完成。
另外，有时候四个点可能会近似共线，以至于误判它们不共圆。
在这种情况下，我们可以借助一些几何软件或利用数值计算来进行更准确的判断。
判定4个点是否共圆的方法远远不止这一个。
通过对几何学的深入研究，我们可以发现各种各样的技巧和规则。
例如，我们可以利用圆的性质来判断四边形是否共圆，根据四个点的位置关系来进行判定。
此外，还有一些专门用于判定共圆的几何定理，如垂径定理和过渡性质等。
九年级初三 圆 知识点大汇总
九年级初三圆知识点大汇总考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性1、圆的轴对称性，圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性，圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角，顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距，从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
)在任意四边形ABCD 中，作△ ABE 使∠ BAE=∠ CAD ∠ ABE=∠ ACD 因为△ ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC, 即BE·AC=AB·CD (1)而∠ BAC=∠ DAE，，∠ ACB=∠ ADE所以△ ABC∽△AED 相似.BC/ED=AC/AD 即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2), 得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD(仅在四边形ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)所以命题得证复数证明用a、b、c、d 分别表示四边形顶点A、B、C、D 的复数，则AB、CD、AD、 B C、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D 四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD 是圆内接四边形。
在弦BC 上，圆周角∠BAC = ∠ BDC，而在 A B 上，∠ ADB = ∠ ACB。
三圆的切线的性质及判定定理
三圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书P25]1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 如图，已知AB 切⊙O 于A 点，则OA ⊥AB .(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线． (2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线． (3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25]圆的切线的性质[例1] 如图，已知∠C ＝90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．[思路点拨] ⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[解] 连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°. ∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB. ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103.即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB＝50°.又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.答案：B2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长． 解：(1)连接OC .∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形． ∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2， ∴sin ∠P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°.(2)∵BD ⊥PD ，∴在Rt △PBD 中， 由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3， 得BD ＝32.连接AE .则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD . ∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin 30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12.[例2] 已知D 是△ABC ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．[思路点拨]连接OB ，OC ，OD →∠BOD ＝90°→ ∠OBC ＝∠OCB ＝30°→∠ABO ＝90°→结论. [证明] 如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角，∠BCD ＝45°， ∴∠BOD ＝90°.∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°， 从而∠BOC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，因为∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC ，在△BOE 中，因为∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°. ∴BE ＝2OE ＝2EC ， ∴CE BE ＝CD DA ＝12， ∴AB ∥OD ，∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD ＝∠C ”，怎样证明：AB 是△BCD 的外接圆的切线． 证明：作直径BE ，连接DE ， ∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°， ∴∠E ＋∠DBE ＝90°. ∵∠C ＝∠E ，∠ABD ＝∠C ， ∴∠ABD ＋∠DBE ＝90°. 即∠ABE ＝90°.∴AB 是△BCD 的外接圆的切线．4.如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sin B ＝12，∠D ＝30°.(1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若AC ＝6，求AD 的长． 解：(1)证明：如图，连接OA ， ∵sin B ＝12，∴∠B ＝30°，∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°， ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOC ＝90°， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6， ∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°， ∴AD ＝3AO ＝6 3.圆的切线的性质和判定的综合考查[例3] 如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3，⊙O 的半径为5，求BF 的长． [思路点拨] (1)连接OD ，证明OD ⊥DE ； (2)作DG ⊥AB . [证明] (1)连接OD ，∵D 是BC 中点， ∴∠1＝∠2. ∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠3. ∴OD ∥AE .∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥OD ，即DE 是⊙O 的切线． (2)过D 作DG ⊥AB ， ∵∠1＝∠2，∴DG ＝DE ＝3. 在Rt △ODG 中，OG ＝52－32＝4， ∴AG ＝4＋5＝9.∵DG ⊥AB ，FB ⊥AB ，∴DG ∥FB . ∴△ADG ∽△AFB . ∴DG BF ＝AG AB. ∴3BF ＝910.∴BF ＝103.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．5.如图，已知两个同心圆O ，大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF ＝43，试求EG 的长．解：连接GC ，则GC ⊥ED . ∵EF 和小圆切于C ， ∴EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝2 3.又CD ＝4，∴在Rt △ECD 中， 有ED ＝EC 2＋CD 2 ＝(23)2＋42＝27.由射影定理可知EC 2＝EG ·ED ， ∴EG ＝EC 2ED ＝(23)227＝677.6．如图，以Rt △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AC 的另一个交点为E ，D 为斜边AB 上一点且在⊙O 上，AD 2＝AE ·AC .(1)证明：AB 是⊙O 的切线； (2)若DE ·OB ＝8，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接OD ，CD ，∵AD 2＝AE ·AC ， ∴AD AE ＝ACAD.又∵∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD ，∴∠ADE ＝∠ACD . ∵OD ＝OC ，∴∠ACD ＝∠ODC ， 又∵CE 是⊙O 的直径，∴∠ODE ＋∠CDO ＝90°，∴∠ODA ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵AB ，BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥DC ，∴DE ∥OB ，∴∠CED ＝∠COB ， ∵∠EDC ＝∠OCB ，∴△CDE ∽△BCO ， ∴DE CO ＝CEBO，DE ·OB ＝2R 2＝8， ∴⊙O 的半径为2.[对应学生用书P27]一、选择题1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：C2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D .AB ＝6，BC ＝8，则BD 等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC . ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC . ∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10. ∴BD ＝AB ·BCAC ＝4.8.答案：B3.如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°解析：连接OB .∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 答案：B4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24 解析：连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线，切点为B ， ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB ＝255.∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO ) ＝sin 45°cos ∠BCO －cos 45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 答案：A 二、填空题5．如图，已知∠AOB ＝30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2为半径作⊙M .若点M 在OB 边上运动，则当OM ＝________时，⊙M 与OA 相切．解析：若⊙M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.过M作MN⊥OA于点N，则MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O 的半径R＝________.解析：AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.解析：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC＝AC sin 30°＝32 3.答案：30°33 2三、解答题8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.求证：P A＝PD.证明：如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴P A＝PD.9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2＝CE·CA.证明：(1)连接OD，AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴BD＝DC.∴OD∥AC.∴DE⊥AC.(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴CDCA＝CECD.∴CD2＝CE·CA.∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠OAE＝∠DEA＝90°.∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE.∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.。
冀教版数学九年级上册28.2《过三点的圆》教学设计
冀教版数学九年级上册28.2《过三点的圆》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册28.2《过三点的圆》是本册教材中的一个重要知识点。
这部分内容主要让学生掌握过三点的圆的性质，学会如何寻找过三点的圆，并了解其在实际生活中的应用。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索、发现、总结过三点的圆的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形、四边形等基本几何知识，具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在解决实际问题时，仍存在对概念理解不深、思路不清晰等问题。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生深入理解过三点的圆的性质，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握过三点的圆的性质，学会寻找过三点的圆，并能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：过三点的圆的性质及其寻找方法。
2.难点：如何运用过三点的圆的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动实例，引导学生进入学习情境，激发学生兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、交流，培养学生发现问题、解决问题的能力。
3.实践活动法：让学生动手操作，提高学生的实践能力和空间想象能力。
4.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高交流表达能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示过三点的圆的实例和性质。
2.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。
3.教学道具：准备一些圆形的教具，方便学生观察和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入过三点的圆的概念，让学生初步了解过三点的圆的性质。
2.呈现（10分钟）展示过三点的圆的实例，引导学生观察、思考，发现过三点的圆的性质。
(完整版)四点共圆
四点共圆四点共圆的性质及判定：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长P F E D C B A D C BAD B例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P点，A 、C 、Q 三点共线，求证：2OA OP OQ =⋅E A BC D例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证： ::.PB BD PC CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离例7：在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB<MA，AC<MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。
三点共圆公式
三点共圆公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三点共圆公式是圆锥曲线中的一个重要知识点，它是指通过三个点可以确定一个圆的方程。
在几何学中，圆是一个平面内的所有点到圆心的距离都相等的集合。
而三点共圆公式则是利用三个点的坐标来确定一个唯一的圆。
三点共圆公式的应用范围非常广泛，可以用于解决许多几何问题。
在实际生活中，我们经常会遇到需要确定圆的情况，比如建筑设计、地理测量、数学竞赛等。
在这些领域中，三点共圆公式都是必不可少的工具。
三点共圆公式的推导过程并不复杂，下面我们来具体介绍一下。
假设我们有三个点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
要找到一个圆经过这三个点，首先我们可以求出三条边的中垂线，中垂线交点就是圆心的坐标。
然后再求出圆心到任意一个点的距离，这个距离就是圆的半径。
首先我们可以通过两点求中点和中点的斜率来求出中垂线的方程。
设点A到点B的中点为D，中点到A的斜率为k1，中点到B的斜率为k2。
k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)k2 = -1/k1则中垂线的斜率为k2，中垂线的方程为：(xd, yd)为中垂线的交点坐标。
将点C坐标代入上式，可以求出中垂线的方程。
同理，可以求出另外两条中垂线的方程。
求出三条中垂线的交点，即为圆心的坐标。
接着，我们可以求出圆心到任意一个点的距离，这个距离即为圆的半径。
假设圆心坐标为(Ox, Oy)，则圆的半径R满足：R = sqrt((x3 - Ox)^2 + (y3 - Oy)^2)将圆心坐标代入上述三式中，可以得到三个方程。
解这三个方程，就可以求出圆心的坐标和半径。
三点共圆公式的推导过程比较复杂，但实际运用时可以通过计算机程序或者在线工具快速求解。
对于一些几何问题，使用三点共圆公式可以方便快捷地找到圆的方程，解决问题。
三点共圆公式是一个实用的数学工具，可以广泛应用于几何学的各个领域。
掌握了这个公式，我们可以更好地理解圆的性质，解决实际问题，拓展数学知识的应用。
各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到：(a?b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b? d) ，两边取，运用得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。
二、设ABCD是。
在BC上，∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠AC B。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
九年级数学圆的知识点
九年级数学圆的知识点在我们的学习时代，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。
为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺为大家整理的九年级数学圆的知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。
一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质之巴公井开创作一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆.2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°）,则这个四边形的四个点共圆.3、若一个四边形的外角即是它的内对角,则这个四边形的四个点共圆.4、若两个点在一条线段的同旁,而且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆.5、同斜边的直角三角形的极点共圆.6、若AB、CD两线段相交于P点,且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理).7、若AB、CD两线段延长后相交于P.且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(割线定理).8、若四边形两组对边乘积的和即是对角线的乘积,则四边形的四个极点共圆(托勒密定理的逆定理.（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆.若可以判断出OA=OB=OC=OD,则A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上.2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°）,则这个四边形的四个点共圆.若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°,则点A、B、C、D四点共圆.3、若一个四边形的外角即是它的内对角,则这个四边形的四个点共圆.若∠B=∠CDE,则A、B、C、D四点共圆证法同上.4、若两个点在一条线段的同旁,而且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆.若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD,则A、B、C、D四点共圆.5、同斜边的直角三角形的极点共圆.如图2,若∠A=∠C=90°,则A、B、C、D四点共圆.6、若AB、CD两线段相交于P点,且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理).7、若AB、CD两线段延长后相交于P.且PA×PB=PC×PD,则A、B、C、D四点共圆(割线定理).8、若四边形两组对边乘积的和即是对角线的乘积,则四边形的四个极点共圆(托勒密定理的逆定理）.已知四边形ABCD,若AB×CD+BD×AC=AD×BC,则A、B、C、D四点共圆.（三）例题123二、四点共圆的性质1、共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等.2、圆内接四边形的对角互补.3、圆内接四边形的外角即是内对角.。
四点共圆的判定与性质
四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定〔一〕判定方法1、假设四个点到一个定点的距离相等，那么这四个点共圆。
2、假设一个四边形的一组对角互补〔和为180°〕，那么这个四边形的四个点共圆。
3、假设一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个点共圆。
4、假设两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
6、假设AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，那么A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
7、假设AB、CD两线段延长后相交于P。
且PA×PB=PC×PD，那么A、B、C、D四点共圆(割线定理)。
8、假设四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，那么四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。
〔二〕证明1、假设四个点到一个定点的距离相等，那么这四个点共圆。
假设可以判断出OA=OB=OC=OD，那么A、B、C、D四点在以O为圆心OA为半径的圆上。
2、假设一个四边形的一组对角互补〔和为180°〕，那么这个四边形的四个点共圆。
假设∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，那么点A、B、C、D四点共圆。
3、假设一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个点共圆。
假设∠B=∠CDE，那么A、B、C、D四点共圆证法同上。
4、假设两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
假设∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，那么A、B、C、D四点共圆。
5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。
如图2，假设∠A=∠C=90°，那么A 、B 、C 、D 四点共圆。
6、假设AB 、CD 两线段相交于P 点，且PA ×PB=PC ×PD ，那么A 、B 、C 、D 四点共圆(相交弦定理的逆定理)。
三点共线经典题型
三点共线经典题型例1如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．分析由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD．解答：证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM，∵GHM分别为BD，AC，EF的中点，∴MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF∵GT∥CD，HT∥AB，GT=0.5CD，HT=0.5AB，∴GT∥HS，HT∥SM∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，∴∠TGH=∠THG，∴GT=TH，∴AB=CD．例2如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．分析求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证解答连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴PA/AM=AC/MC,AC/AM=QC/MC∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．∴PA/DC=AD/QC，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等．例3如图，△ABC内接于圆⊙，点D是圆⊙上异于A、B、C三点的任意一点，过D点作DP⊥AB，DQ⊥BC，DR⊥AC，交AB、BC、AC分别为P，Q，R．（1）求证：∠BDP=∠CDR；（2）求证：P，Q，R三点共线．分析（1）由已知中四边形ABDC为圆内接四边形，根据圆内接四边形性质，我们易得∠DBP=∠DCP，结合已知中DP⊥AB，DR⊥AC，根据等角的余角相等，即可得到答案．（2）由已知中DP⊥AB，DQ⊥BC，可判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，同理可得∠RQC=∠RDC，结合（1）中结论，我们易证明∠PQD+∠RQD=180°，进而得到P、Q、R三点共线．证明：（1）由已知可得四边形ABDC为圆内接四边形则∠DBP=∠DCP又∵DP⊥AB，DR⊥AC，∴∠BDP=90°-∠DBP，∠CDR=90°-∠DCP；∴∠BDP=∠CDR；（2）∵DP⊥AB，DQ⊥BC，∴P、D、Q、B四点共圆∴∠PQD=∠PBD同理可得∠RQC=∠RDC∵∠PBD+∠RDC=90°∴∠PQD+∠RQD=90°+∠CQD=180°故P、Q、R三点共线本题考查的知识点是圆内接四边形的判定与性质，其中根据已知条件判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，并同理得到∠RQC=∠RDC，是证明三点共线的关键．例4已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，CP=BQ，PM与QN的交点为R．求证：R，A，C三点共线．分析延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，易证PN=NT，PC=CT，进而根据O是MN 的中点所以R，C，O三点共线、A，O，C三点共线，可以证明R，A，C三点共线．证明：延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，∵∠BNQ=∠CNT，BN=CN，∠NBQ=∠NCT，∴△BNQ≌△CNT（ASA），∴CT=BQ=CP，∴PN=NT，PC=CT，∵MN∥CD，∴MO=O N∴O是MN的中点所以R，C，O三点共线，又A，O，C三点共线，所以R，A，C三点共线本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中求证R，C，O三点共线是解题的关键．例4如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．分析根据AE平分∠BAC，M为弦BC的中点，可证A、E、M三点共线，根据已知证明EG∥OA，DG∥OA，可证D、E、G三点共线，而F在EG上，故可证D、E、F三点共线．证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交⊙O于M，则OD⊥BC，弦BC=弦CM∴A、E、M三点共线，又AE、AF是∠A及其外角平分线，∴AE⊥AF，∵HE⊥AE，HF⊥AF，∴四边形AEHF为平行四边形，∴AH与EF互相平分，设其交点为G，于是，AG=0.5AH=0.5EF=EG∵OA=OM，OD∥AH，∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE，∴EG∥OA ①又O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC，∴OD=0.5AH=AG，∴四边形AODG为平行四边形，∴DG∥OA，②由①②可知，D、E、G三点共线，而F在EG上，∴D、E、F三点共线．本题考查了三角形外接圆的性质在证明三点共线问题中的运用．关键是利用平行线，圆周角定理，垂径定理证明三点共线．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
证明三点共线问题的方法
2006 年第 3 期
3
例 3 如图 3 ,延长凸四边形 ABCD 的边 AB 、DC 交于点 E ,延长边 AD 、BC 交于点 F , 又 M 、N 、L 分别是 AC 、BD 、EF 的中点. 求 证 : M 、N 、L 三点共线.
图3
讲解 :设 BC 的中点为 O ,辅助线如图 3 所示. 由 OM ∥A E , ON ∥DE 可知 ,点 O 必在 △EMN 内. 此时 ,
S △EMN = S △OMN + S △OME + S △ONE
= S △OMN + S △OMB + S △ONC = S △BMN +
S △BCN
=
1 2
( S △BMD
+
S △BCD )
=
1 2
( S △BMC
+
S △DMC )
=
1 2
×1 2
( S △ABC + S △ADC )
=
1 4
. S 四边形ABCD
圆 ,延长 AD 、BC 交于
点 P ,作 PE、PF 切圆
于 E、F ,又 AC 与 BD
交于 K. 证明 : E、K、F
三点共线.
讲解 : 联结 AE、 ED 、CF、FB , 得 凸 六
图7
边形 AB FCDE.
欲证 E、K、F 三点共线 ,即 AC 、BD 、EF
三线共点 ,只须证
AB ·FC·DE = B F·CD·EA .
△ABC 的 垂 心. 求 证 :
M 、H、N 三点共线.
图2
(1996 ,中国数学奥林匹克) 讲解 : 射线 AH 交 BC 于 D ,显然 AD 为 高. 记 AB 与 ⊙O 的交点为 E ,易知 C 、H、E 三点共线. 联结 OM 、ON 、DM 、DN 、MH、HN . 易知 ∠AMO = ∠ANO = ∠ADO = 90°. 从而 , A 、M 、O 、D 、N 五点共圆 ,当然有 A 、M 、D 、N 四点共圆. 此时 , ∠AMD + ∠AND = 180°. 因为 AM2 = A E·AB = AH·AD ( B 、D 、H、 E 四点共圆) ,即
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。
四点共圆问题的替代证法
四点共圆问题的替代证法四点共圆问题是一个经典的几何问题，有许多证明方法。
以下是几种替代的证明方法，这些方法涵盖了相关的几何定理和性质。
1.圆上三点确定一个圆的定理：如果平面上三点不共线，则它们确定一个唯一的圆，并且每个点都在该圆上。
这个定理是四点共圆问题的基础。
如果四个点不共线，并且任意三个点都不在同一直线上，那么这四个点都在同一个圆上。
2.三角形内心与外心的性质：三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，外心是三条边的垂直平分线的交点。
内心和外心都位于三角形的外接圆上。
如果四个点与一个三角形的三个顶点相对应，并且它们都在这个外接圆上，那么这四个点也必定共圆。
3.角平分线定理：角平分线将一个角分为两个相等的部分。
如果一条角平分线与穿过该角的圆的两条弧分别相交，则这两条弧上的点到角平分线的距离相等。
利用这个定理，可以通过证明四点到一条角的角平分线的距离相等来证明四点共圆。
4.圆周角定理及其推论：圆周角定理指出，一个角的度数等于其所夹弧上的圆周角的度数。
推论是，如果两个圆心角相等，则它们所夹的弧上的圆周角也相等。
利用这个定理和推论，可以通过证明四点所对的圆周角相等来证明四点共圆。
5.弦切角定理：弦切角定理指出，一个角是弦与切线的夹角，当且仅当该角的两边分别是这个弦所截得的两条线段。
利用这个定理，可以通过证明四点所对的弦切角相等来证明四点共圆。
6.切线长定理：切线长定理指出，通过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
利用这个定理，可以通过证明四点到某一点的距离相等来证明四点共圆。
7.圆幂定理：圆幂定理是一组相关的定理，其中最基本的是正弦定理和余弦定理。
正弦定理指出，在一个圆中，任意一边的平方等于其两个邻边的平方和减去两倍的它们之间的乘积。
余弦定理指出，在一个圆中，任意一边的平方等于其他三边的平方和减去两倍的它们之间的乘积。
利用这些定理，可以通过证明四点到某一点的距离满足特定的关系来证明四点共圆。
以上这些定理和性质都可以用来证明四点共圆问题。
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三点共圆的性质和判定
若三点两两不在同一直线上，且这三点到另一点的距离相等，则这三点共圆。
不共线的三点共圆。
根据这条定理才能继续去研究：一个三角形的外接圆有且只有一个，一个三角形有且只有一个外心，一个三角形的三边的三条垂直平分线相交于一点（即外心），不共线的四点不一定共圆，等等一系列问题。
三点共圆的条件是三点不在同一直线上，三点共圆，如A、B、C三点不在同一直线，连接AB、BC、AC使之构成三角形，则AB、BC、AC的中垂线交于一点，设为O，则以O为圆心AB为半径画圆，该圆叫做三角形的外接圆。
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆，圆有无数个点。