空间直角坐标系的建立
3.1空间直角坐标系的建立
2024/7/2
6
探究二 空间直角坐标系上点M的坐标
z
c aO
x
2024/7/2
Mb
y
M(a,b,c)
7
写出下列的点坐标
z
BC 2 1 O
A
3 4
x
2024/7/2
A(4,0,0) B(2,0,0)
y
C(1,0,0)
8
写出下列各点的坐标？
z
A(0,1,0)
B(0,3,0) C(0,5,0)
ABC
z
5
M
O
2024/7/2
6
x
M(6,0,5)
y
13
提问： x 轴、y 轴、z 轴上的点的坐标 有何特点？xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点？
答 x 轴上的点(x,0,0)；y 轴上的点(0，y,0)；z 轴上的点 (0,0，z)；xOy 平面上的点(x，y,0)；yOz 平面上的点(0， y，z)；xOz 平面上的点(x,0，z)．
2
2
2
17
练习
2、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对 角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA， OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
z
D`
C`
A`
B`
Q
O Q`
Cy
A
B
x
2024/7/2
18
练习
3，在空间直角坐标系中标出下列各点： A(0，2，4) B(1，0，5) C(0，2，0)
答 描述空间物体的位置时，仅有二维的平面直角坐标系 是不够的，为此，通常在平面直角坐标系的基础上，通过 原点 O，再增加一条与 xOy 平面垂直的 z 轴，这样就建立 了三个维度的空间直角坐标系．
空间直角坐标系的建立过程
空间直角坐标系的建立过程空间直角坐标系的建立过程空间直角坐标系是三维空间中的一种描述方法，将空间中的任意一点用三个数表示出来，称为它的直角坐标。
直角坐标系是物理、数学、计算机等领域中最基本的描述工具之一，本文将介绍空间直角坐标系的建立过程。
1. 三视图法建立空间直角坐标系的第一步是选定坐标轴方向。
三视图法是空间坐标系建立的常用方法，通过正、侧、俯三个视图，确定坐标轴的方向和位置。
建立坐标系的步骤如下：（1）将图形分解成不同的平面（一般取三平面）；（2）对每个平面分别画出三视图，分别为正视图、侧视图和俯视图；（3）在每个视图中确定一个原点，分别标出三个轴线（X、Y、Z）；（4）确定每个轴线的正负方向。
通过三视图法建立的坐标系具有明确的方向和位置，但是缺陷也明显，需要在设计过程中进行大量的图形拆解和视图的绘制。
2. 直线法直线法是另一种常用的坐标系建立方法。
直线法的思想是将空间中三条相交直线作为坐标轴，其中一条为X 轴，与其垂直的两条线分别为Y轴和Z轴。
建立坐标系的步骤如下：（1）选择任意一个点作为坐标原点；（2）从原点引出三条互相垂直的直线，作为坐标轴；（3）根据轴线的正方向确定坐标系的符号约定。
直线法建立空间坐标系简单方便，但是需要选择相交直线，容易出现方向的混乱。
3. 利用矢量利用矢量建立空间坐标系的方法也比较简单，是通过三个相互垂直的单位矢量 i、j、k 来建立坐标系。
其中，i 矢量表示X轴的正方向，j 矢量表示Y轴的正方向，k 矢量表示Z轴的正方向。
建立坐标系的步骤如下：（1）选定任意一点作为坐标原点；（2）在原点处引出 i、j、k 三个相互垂直的单位矢量；（3）确定坐标系的符号约定。
利用矢量建立坐标系时，不需要考虑相交直线或者视图的绘制，建立方便。
在物理、数学、计算机等领域中广泛应用。
4. 总结空间直角坐标系是三维空间中最基本的描述方法之一，建立坐标系的方法有三视图法、直线法和利用矢量法。
建立空间直角坐标系的方法及技巧
建立空间直角坐标系的方法及技巧1.确定坐标轴方向：首先需要确定空间直角坐标系的坐标轴方向，通常选择三个相互垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
可以选择其中一个轴为参考轴，然后使用右手定则来确定其他两个轴的方向。
在右手定则中，将右手的拇指、食指和中指分别与x、y和z轴对齐，那么食指和中指所形成的平面就是坐标系的平面，拇指的方向就是z轴的方向。
2.确定原点位置：确定好坐标轴方向后，需要确定坐标系的原点位置。
原点通常可以选择在三维空间中的一些特殊点上，例如物体的质心、交点或者其他方便计算的点。
原点的选择应根据具体问题和需求进行确定。
3.确定单位长度：建立坐标系后，需要确定单位长度，也就是每个坐标轴上的单位距离。
单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定，可以根据物体的大小和所需精度进行估计。
常用的单位长度包括米、厘米、毫米等。
4.标示坐标轴刻度：在建立坐标系后，需要在每个坐标轴上标示刻度，以便表示点的位置。
可以根据需求和所测量的物体大小来确定每个刻度的长度和数量。
通常可以使用尺子、直尺等工具来测量和标示刻度。
在标示刻度时，可以选择以原点为起点，沿着每个坐标轴正方向逐个标示刻度，或者以坐标轴的负方向为起点标示刻度。
5.标示点的坐标：建立好坐标轴和刻度后，就可以根据需要来标示空间中的点的坐标。
对于一个三维空间中的点，可以通过它到坐标轴的距离来确定它的坐标值。
通常可以使用直角坐标系中的(x,y,z)来表示一个点的坐标，其中x、y和z分别是点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
1.灵活选择参考轴：参考轴的选择应根据具体问题和需求进行确定。
在确定参考轴时，可以考虑使问题的描述尽量简洁和直观，同时方便计算和分析。
2.注意坐标轴的方向：在确定坐标轴的方向时，使用右手定则可以帮助确定其他两个轴的方向。
要确保坐标轴的方向满足右手定则中拇指、食指和中指的排列次序。
3.注意单位长度的选择：单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系是数学中非常重要的一个步骤,用于描述物体的位置和形状,可以帮助我们更精确地测量和绘图。
下面是几种建立空间直角坐标系的方法:
1. 笛卡尔坐标系:笛卡尔坐标系是最常用的空间直角坐标系,由直角坐标系和极坐标系相结合而成。
在笛卡尔坐标系中,x轴代表水平方向,y轴代表垂直方向,而z轴则代表物体的深度。
2. 极坐标系:极坐标系与笛卡尔坐标系相似,但使用z轴来表示物体的深度。
在极坐标系中,x轴代表物体的法向量,y轴代表物体的旋向量,而z轴则代表物体的深度。
3. 直角坐标系:直角坐标系是最简单的坐标系之一,由水平和垂直两条轴组成。
在直角坐标系中,x轴和y轴分别代表水平和垂直方向,而z轴则代表物体的深度。
4. 球坐标系:球坐标系是一种特殊的直角坐标系,适用于描述球形或多边形的物体。
在球坐标系中,x轴代表球的x轴方向,y轴代表球的y轴方向,而z轴则代表球的深度。
除了以上几种方法,还有其他很多种坐标系可以用于描述物体的位置和形状,例如四维坐标系、环形坐标系等。
这些方法的优缺点和适用范围都不同,需要根据具体的需求来选择。
拓展:空间直角坐标系在实际应用中的重要性。
例如,在医学领域中,空间直角坐标系可以用于测量人体器官的位置和大小,以便进行手术和影像学检查;在
工程领域中,空间直角坐标系可以用于测量建筑物的高度、形状和尺寸,以便进行
设计和施工。
此外,空间直角坐标系在科学研究中也有着广泛的应用,例如在物理学、天文学和地球科学等领域中,都可以利用空间直角坐标系来描述物体的位置和形状。
空间直角坐标系的建立
第二章解析几何初步第3.1节空间直角坐标系的建立本节教材分析（1）三维目标①知识与技能：掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点,会写一些简单几何体的有关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法；通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力.②过程与方法：建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示。
③情感、态度与价值观：解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科,在教学过程中要让学生充分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育；培养学生积极参与,大胆探索的精神.（2）教学重点在空间直角坐标系中确定点的坐标.（3）教学难点通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用。
（4）教学建议学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识,学习《空间直角坐标系》有了一定的基础.这对于本节内容的学习是很有帮助的.但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑.本节课的内容是非常抽象的,试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的,必须突出学生的主体地位,通过学生的自主学习与和同学的合作探究,让学生亲手实践,这样学生才能获得感性认识,从而为后续的学习并上升到理性认识奠定基础.通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会,并有经常性的成功体验,增强学生的学习信心,从学生已有的知识和生活经验出发,让学生经历知识的形成过程.通过阅读教材,并结合空间坐标系模型,模仿例题,解决实际问题.新课导入设计导入一思路1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也非常快,有很多飞机时速都在 1 000 km以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗？但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车,汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时,不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.思路 2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任意一点M都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系.导入二一.提出问题：问题 1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？问题２．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？问题３．在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？（板书课题）。
空间直角坐标系建立方法
空间直角坐标系建立方法在几何学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统。
它可以用来描述三维空间中的点和向量。
在本文中，我们将介绍如何建立空间直角坐标系及其相关概念和方法。
1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成的，通常用x、y和z表示。
这些坐标轴可以分别与长、宽和高相关联。
坐标轴的原点称为原点，确定了整个坐标系的基准点。
通过在每个坐标轴上选择一个单位长度，我们可以测量任意点的位置。
2. 建立空间直角坐标系的步骤建立空间直角坐标系的方法可以分为以下步骤：步骤1：选择基准面基准面是用于确定坐标轴位置的平面。
在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个基准面作为起点。
通常情况下，我们选择一个平面作为基准面，例如一个水平的地面或桌子。
步骤2：确定坐标轴方向在确定了基准面之后，我们需要确定三个坐标轴的方向。
通常情况下，我们选择一个垂直于基准面的方向作为z轴的正方向。
剩下的两个坐标轴的方向可以根据实际情况选择。
步骤3：确定坐标轴长度单位在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个长度单位来测量点的位置。
常用的长度单位包括米、英尺等，根据具体应用场景选择适合的单位。
步骤4：确定原点位置确定了基准面、坐标轴方向和长度单位后，我们需要确定原点的位置。
原点通常位于基准面上，它是坐标系的起点。
步骤5：确定坐标轴的位置和范围确定了原点位置后，我们需要确定坐标轴的位置和范围。
坐标轴的位置可以通过在基准面上选择足够多的点来确定，这些点可以作为参考点。
坐标轴的范围通常由应用场景决定，可以根据实际需要进行调整。
3. 空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在几何学和物理学中具有广泛的应用。
它可以用来描述三维空间中的点和向量，计算点之间的距离和方向，以及解决各种几何和物理问题。
在几何学中，空间直角坐标系可以用来描述多面体的形状和位置关系，计算多面体的体积和表面积，以及解决与多面体相关的几何问题。
在物理学中，空间直角坐标系可以用来描述物体的运动和力的作用，计算物体的速度和加速度，以及解决与物体运动和力相关的物理问题。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法方法一：直角坐标系基于物体的参考点和参考线。
首先，选择一个点作为原点，然后选择一个方向作为x轴的正方向，并将参考直线从原点开始延伸。
然后，选择与x轴垂直的方向作为y轴的正方向，并延伸直线。
最后，选择与xy平面垂直的方向作为z轴的正方向，并延伸直线。
这样，就完成了一个空间直角坐标系的建立。
方法二：直角坐标系基于坐标系的旋转和平移。
在二维平面中，我们可以通过将一个坐标系进行旋转和平移来建立另一个坐标系。
同样，在三维空间中，我们可以通过对一个已有的坐标系进行旋转和平移来建立一个新的坐标系。
通过旋转和平移的组合，我们可以得到一个新的坐标系，其中的坐标轴可以与原坐标系的坐标轴成直角。
方法三：直角坐标系基于物体的方向和参考面。
在航空航天等领域，直角坐标系通常是根据物体的方向和参考面来建立的。
例如，在航空航天器中，航天员在太空中的朝向通常是以地球为参考面建立的直角坐标系。
方法四：直角坐标系可以通过测量和计算得到。
在地理测量和地质勘探等领域，可以通过测量物体的位置和方向来确定一个直角坐标系。
测量可以通过使用全站仪或其他测量设备进行精确的三维测量来完成。
方法五：直角坐标系可以基于地图坐标系建立。
在地理信息系统（GIS）中，地图坐标系是一种基于平面坐标系的直角坐标系。
通过将地图上的点与已知的地理坐标进行对应，并利用平面坐标系的投影方法，可以建立地图坐标系。
以上是建立空间直角坐标系的几种常见方法。
这些方法在各种领域中得到广泛应用，可以帮助我们更好地理解和描述物体在空间中的位置和方向。
空间直角坐标系的建立ppt课件
探究点2 空间直角坐标系中点的坐标 思考1：有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点 Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
c
Ａ(a,b,c)
o
b
a
y
x
11
提示:经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和 z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点 在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对 （a,b,c)叫作点Ａ的坐标. 记为Ａ（a,b,c).
29
不实心不成事，不虚心不知事，不自是 者博闻，不自满者受益.
30
21
【变式练习】
在空间直角坐标系中描出下列各
z
点. A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
解：在空间直角坐标系中，
D• •B 1 •A
C
F •1 •O 1 • y •E
画出以上各点 如图：
x
22
在空间直角坐标系中, x轴上
想
一 的点、xOy坐标平面内的点的坐标
26
4.如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′与B′D′相 交于点P.分别写出点C,B′,P的坐标.
答案：C,B′,P 各点的坐标分别是
(0，4，0)，(3，4，3)， ( 3 , 2, 3) . 2
27
5.如图，棱长为3a的正方体OABC-DˊAˊBˊCˊ，点M 在BˊCˊ上，且|CˊM|=2|MBˊ|，以O为坐标原点，建 立如图空间直角坐标系，求点M的坐标.
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0 z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
14
思考2：在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有 序数组(x,y,z)有什么关系？
空间直角坐标系及坐标
解：由图可知： Q 为正方体的中心 a a a Q( , , ) 2 2 2
A x
A`
D`
C`
B`
Q
O
Q`
B
C
y
课内练习
3、在空间直角坐标系中标出下列各点： A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1,3,4)
z D 4 O D` 3 y
1 x
空间两点间的距离公式
( x ,y ), B ( x ,y )两点间 1.在平面直角坐标系中A 1 1 2 2 的距离公式是什么？
B( x2,y2,z2)
且AC平行于y轴
D A (x 1,y1,z1)
所以|AC|=|y1-y2|
y
C
同理|CD|=|x1-x2| |BD|=|z1-z2|
o
x
2 2 2 即|AB | ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 1 2
1 2
这就是空间任意两点间的距离公式.
2 又 知 |A N | 2 |C N | ， |C N | a 3
2 同 理 可 得 ： |B M | a 连接BN 3
在 B C N 中 ， 5 |B N | |B C | |C N | 2 |B C | |C N |c o s 4 5 a 3
2 2
C'
2
a b
2
C
AC
A
2
a
2
B
2
b
= a2 b2
2 2 2 Rt ACC ' AC ' a b c 而在 中， =
a b c
A
C'
c
结论:如果长方体的长,宽,高分别为 a, b, c ,那么对角线长
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法1.给定坐标轴方向及原点位置：最直接的方法是给定三个坐标轴的方向及原点位置。
通常，我们选择三个相互垂直的轴，并确定它们的正方向。
例如，我们可以选择X轴向右，Y轴向上，Z轴垂直于XOY平面向外，然后选择原点为坐标轴的交点。
通过这种方法，我们就可以建立一个三维直角坐标系。
2.使用原点和两个已知点：在给定两个已知点和原点的情况下，我们可以建立一个空间直角坐标系。
首先，我们将其中一个已知点作为坐标轴上的一个点，然后确定一个与此轴垂直的第二个轴。
接下来，我们确定第三个轴的方向，使其与前两个轴正交，并选择原点位置。
通过这种方法，我们可以构建一个三维直角坐标系。
3.使用平面和轴的交点：另一种建立空间直角坐标系的方法是确定两个平面及其在坐标轴上的交点。
首先，我们选择平面XY作为参考平面，并将其与X轴和Y轴在原点处的交点作为坐标轴上的两个点。
然后，选择两个非共线的轴分别与平面XZ和平面YZ正交，并确定它们的正方向。
通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。
4.使用向量运算：通过向量运算的方法可以建立空间直角坐标系。
首先，选择一个已知向量为其中一个坐标轴的向量。
然后，选择另一个与已知向量相互垂直的向量，并进行正规化。
接下来，使用向量叉积运算确定第三个轴的方向，并对其进行正规化。
最后，选择原点位置。
通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。
这些方法都是建立空间直角坐标系的常见方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行建立。
常见建立空间直角坐标系的方法
常见建立空间直角坐标系的方法在数学中，直角坐标系是一种常见的坐标系统，用于描述平面上的点的位置。
然而，当我们需要描述三维空间中的点的位置时，就需要使用空间直角坐标系。
空间直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，通常分别记作x、y和z轴。
建立空间直角坐标系的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法：1. 建立三个相互垂直的平面：这是最常见的方法之一、我们可以选择一个水平的平面作为xy平面，再选择一个与之垂直的平面作为xz平面，最后选择与之都垂直的平面作为yz平面。
通过这三个平面的交线，我们就可以建立一个空间直角坐标系。
2.直角投影：这是另一种常见的方法。
它通过将三个相互垂直的轴投影到一个平面上来建立坐标系。
首先，选择一个水平平面作为基准面，通常选择地面或水平桌面。
然后，沿着垂直于基准面的方向，线性地延长三个轴线段，直到它们相交于一个点P。
此时，基准平面上的四个交点将构成一个四边形，可以将其看作一个平行于基准平面的投影区域。
通过将这个投影区域等分成正方形或长方形，我们可以建立一个坐标系。
3.三面角投影法：这种方法的基本思想是选择三个不共面的平面，用它们的交线来建立坐标系。
三个平面可以是任意的，只要它们不共面即可。
通过选择适当的角度和距离，我们可以确保三个平面的交线相互垂直，并与坐标轴一一对应。
4.旋转和平移：这是一种几何变换法，通过对平面或轴进行旋转和平移来建立坐标系。
首先，我们可以选择一个水平平面作为基准平面。
然后，通过旋转和平移一个或多个轴，使其与基准平面垂直。
通过这种方式，我们可以建立一个与基准平面相垂直的坐标系。
通过以上方法可以建立一个空间直角坐标系，然后就可以用来描述三维空间中的点的位置。
在这个坐标系中，每个点都可以由一个有序的三元组（x，y，z）来表示，其中x，y和z分别表示该点在x、y和z轴上的投影坐标。
总结起来，建立空间直角坐标系的方法包括建立相互垂直的平面、直角投影、三面角投影法以及旋转和平移等方法。
建立空间直角坐标系建系的方法及技巧
建立空间直角坐标系建系的方法及技巧在数学和物理领域中，空间直角坐标系是一个重要的工具，用于描述和分析三维空间中的位置和运动。
建立空间直角坐标系的方法和技巧可以总结如下：1.空间直角坐标系的三个轴：在空间直角坐标系中，三个轴通常被命名为x轴，y轴和z轴。
要建立一个坐标系，首先需要确定这三个轴的方向和位置。
通常情况下，我们可以选择x轴为水平方向，y轴为垂直于x轴的水平方向，z轴为垂直于x和y轴的竖直方向。
这样就建立了一个右手坐标系，其中x和y轴构成一个平面，z轴垂直于该平面。
2.坐标轴的标定：确定了轴的方向和位置后，就需要对坐标轴进行标定。
标定的目的是为了确定每个轴的起点和单位长度。
通常情况下，我们可以选择x轴起点为原点O，y轴起点为O点到x轴正向的一个单位长度，z轴起点为O点在x-y平面上的投影到z轴上的一个单位长度。
标定完成后，就可以根据需要选择适当的比例来表示不同长度的点和线段。
3.坐标的表示和读取：在空间直角坐标系中，任意一个点的位置都可以用一组坐标来表示。
坐标是一个有序的数对或数组，一般表示为(x,y,z)，其中x表示点在x轴上的投影距离原点的长度，y表示点在y轴上的投影距离原点的长度，z表示点在z轴上的投影距离原点的长度。
在读取坐标时，先读取x轴上的坐标，再读取y轴上的坐标，最后读取z轴上的坐标。
4.坐标系的旋转和平移：空间直角坐标系可以通过旋转和平移来与物体的实际位置和方向相适应。
旋转可以改变坐标系中的轴的方向和位置，平移可以改变坐标系中的原点位置。
要进行旋转和平移操作，可以通过矩阵变换的方法或向量运算的方法来实现。
5.坐标系的投影：在进行建立空间直角坐标系时，我们通常需要将三维空间中的物体投影到一个二维平面上进行观察和分析。
投影可以是正交投影或透视投影。
正交投影是指物体在投影过程中保持平行关系，透视投影是指物体在投影过程中呈现出透视效果。
根据具体需求，可以选择适当的投影方式。
6.坐标系的缩放和变换：在实际问题中，我们经常需要将物体的大小和形状进行缩放和变换。
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧建立空间直角坐标系是解决空间向量问题的基础。
下面将介绍建立空间直角坐标系的方法及技巧。
一、确定坐标轴的方向和位置1.确定原点：选择一个固定点作为原点，通常选择一个与问题相关的点，如物体的质心或一个已知的点。
2.确定x轴的方向和位置：选择一个与原点不共线的点作为x轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。
然后确定一个与x轴垂直的直线作为x轴，并确定x轴的正方向。
3.确定y轴的方向和位置：选择一个与原点和x轴不共面的点作为y轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。
然后确定一个与x轴和y轴都垂直的直线作为y轴，并确定y轴的正方向。
4.确定z轴的方向和位置：选择一个与原点、x轴和y轴不共线的点作为z轴上的一个点，通常选择一个与问题相关的点，如力的方向或一个已知的点。
然后确定一个与x轴、y轴和z轴都垂直的直线作为z轴，并确定z轴的正方向。
二、确定坐标轴的刻度和单位1.确定刻度：确定每个坐标轴上的刻度间隔，刻度的选择应根据问题而定，可以根据已知数据、问题要求或实际情况选择。
2.确定单位：确定每个坐标轴上的单位，单位的选择应根据问题而定，可以选择国际单位制（如米、千克）或其他适当的单位。
三、确定坐标系的右手定则建立空间直角坐标系时，要符合右手定则，即将右手放在坐标轴上，大拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，则中指指向的方向即为z轴的正方向。
四、根据空间向量的位置确定其坐标根据已知空间向量的位置，确定其在空间直角坐标系中的坐标。
首先确定向量所在直线与坐标轴的交点，然后根据交点的坐标确定向量的坐标。
五、利用正交性简化向量运算空间直角坐标系有一个重要的特点，即坐标轴两两正交。
利用这一性质，可以简化向量的运算。
例如，两个向量的数量积可以分别计算各个坐标上的乘积，然后相加，而不必进行向量的点积运算。
总结：建立空间直角坐标系的方法及技巧主要包括确定坐标轴的方向和位置、确定坐标轴的刻度和单位、确定坐标系的右手定则、根据空间向量的位置确定其坐标和利用正交性简化向量运算。
直三棱柱建立空间直角坐标系
直三棱柱建立空间直角坐标系在这个话题上，我们可以从一个非常简单而又直观的角度出发，那就是直三棱柱的空间坐标系。
首先，什么是直三棱柱呢？其实，直三棱柱就像是一个长得有点像奶酪的盒子，底面是一个三角形，上面也是一个三角形，中间的部分就像两片面包夹着的奶酪，平稳而稳固。
现在，咱们要建立一个空间直角坐标系，嘿，这听起来就有点复杂，但其实很简单，别担心，我来给你捋一捋。
1. 空间直角坐标系的建立1.1 坐标系的起源大家可能听说过笛卡尔坐标系，咱们这个坐标系就是从它那儿来的，毕竟古今中外，很多数学和物理的概念都是从这位老兄那儿借来的。
他的坐标系让我们可以通过数字来表示空间中的点，这就像给每个地方贴上标签，方便我们找到方向。
你想象一下，如果没有坐标系，咱们就像在迷宫里转悠，真是想想都害怕。
1.2 三维空间的感受直三棱柱在三维空间中，坐标系的建立就像搭建一座大楼。
我们先确定一个原点O（也就是坐标系的中心），然后在这个点上，朝着三个方向分别拉出三条坐标轴：X 轴、Y轴和Z轴。
每个轴都是一条直线，分别代表着水平、垂直和深度。
这就好比在你的脑海中创建了一个3D的立体空间，感觉是不是特别酷？2. 坐标的标记2.1 点的表示现在，咱们来聊聊怎么标记这些点。
比如说，咱们的直三棱柱的一个顶点，假设它在坐标系里的位置是（x, y, z），这就代表着它在三个方向上分别距离原点的距离。
简单来说，X轴负责横着，Y轴负责竖着，Z轴负责往上，这就像在三维世界里打个“点”的游戏，谁也不能输啊！2.2 边的定义说到这里，边也不能少。
直三棱柱的边就像连接这些点的线，咱们用线段把它们串起来，就能看到整个直三棱柱的轮廓了。
这边一条，那边一条，像是在描画一个美丽的图案。
每一条线段都有它自己的长度和方向，这就是直三棱柱的“骨架”。
3. 理解与应用3.1 实际应用这样的坐标系有啥用呢？哦，别小看它，应用可广泛了！在建筑设计、3D建模、甚至游戏开发中，坐标系都是必不可少的。
(整理版)建立空间直角坐标系的三条途径
建立空间直角坐标系的三条途径引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题防止了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．途径一、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．北京卷文科17题为典型例子．途径二、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系〔如正三棱柱、正四棱柱等〕，利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例1两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．〔1〕证明：PQ ⊥平面ABCD ；〔2〕求异面直线AQ 与PB 所成的角；〔3〕求点P 到平面QAD 的距离．简解：〔1〕略；〔2〕由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由〔1〕，PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CADB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系〔如图1〕，易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos 3． 〔3〕由〔2〕知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，．设n =〔x ，y ，z 〕是平面QAD 的一个法向量，那么00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==nn ．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第〔3〕问也可用“等体积法〞求距离．途径三、利用面面垂直的性质建立坐标系图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点． 〔1〕证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；〔2〕设12AA AC AB ==，求二面角11AAD C --的大小．解：〔1〕如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为AC 的中点，设(00)A a ，，那么，1(00)(02)B b B b c ，，，，，，那么11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===，，，，，，，即1ED BB ⊥．同理1ED AC ⊥．因此ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线．〔2〕不妨令1a b c ===，那么1(110)(110)(002)BC AB AA =--=-=，，，，，，，，， 100BC AB BC AA ==，．即BC ⊥AB ，BC ⊥1AA ，又∵1ABAA A =，∴BC ⊥面1A AD ． 又(101)(101)(010)0EC AE ED EC AE =--=-==，，，，，，，，，，0EC ED =，即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又∵AE ∩ED ＝E ，∴EC ⊥面1C AD ．∴1cos 2EC BCEC BC EC BC <>==，，即得EC 和BC 的夹角为60． 所以，二面角11A AD C --为60．点评：二面角的求法，传统方法与向量解法各有千秋，对于EC ，BC 两个法向量，假设其中一个方向选择相反，求出夹角为钝角，还需要依据图形的实际情况加以取舍或转化．。
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空间直角坐标系的建立
空间直角坐标系是用于表示空间中一个点位置的一种系。
建立空间直角坐标系需要确定三个互相垂直的坐标轴，分别沿着三个方向选取单位长度，用来表示空间中的位置。
在这个坐标系中，根据对应的坐标值可以唯一地确定一个点的位置。
建立空间直角坐标系的方法和建立平面直角坐标系非常类似。
下面我们来介绍一下建立空间直角坐标系的步骤。
步骤一：确定原点
建立空间直角坐标系需要确定一个起点，称为原点。
原点通常位于三个坐标轴的交点处。
可以任选一个位置作为原点。
步骤二：确定坐标轴方向
建立空间直角坐标系需要确定三个互相垂直的坐标轴，它们固定的方向通常为正方向。
我们可以先确定一个坐标轴方向，比如说选择x轴（也可以选择y轴或z轴作为起点）。
确定x轴的正方向后，可以确定y轴的正方向与z轴的正方向。
y轴的正方向可以沿着x 轴与z轴之间垂直的方向上，z轴的正方向可以沿着x轴与y轴之间垂直的方向上。
步骤三：选取单位长度
建立空间直角坐标系需要确定沿着坐标轴的单位长度。
我们需要选择一个单位长度用来表示空间中的位置。
通常情况下，我们可以选择1个单位长度。
空间直角坐标系的表示方法比较灵活。
通常情况下，我们可以用一个有序数对表示二维平面上的点，例如(1, 2)，用一个有序三元组表示三维空间中的点，例如(1, 2, 3)。
其中，第一个元素对应x轴的坐标值，第二个元素对应y轴的坐标值，第三个元素对应z轴的坐标值。
在空间直角坐标系中，一个点的坐标可以表示为(x,y,z)。
其中x、y、z的取值范围是实数集合。
点的坐标是有序三元组(x,y,z)。
空间直角坐标系在数学中扮演了非常重要的角色，可用于描述空间中的物理现象，建立三维模型等等。
掌握建立空间直角坐标系的方法，对深入理解空间的坐标系，解决三维空间中的几何问题非常关键。