定积分中微元法及其应用研究
定积分的部分应用
第六章 定积分的应用§6-1 微元法用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.若某量在[a ，b ]上的变化率f (x )，求它在[a ，b]上的总累积量S ： 因为分割区间、取i 都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：再简化一下，则变成：称为微元．以求曲边梯形面积A 问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x ，x +dx ]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA =f (x )dx ，所以A =⎰ba dx x f )(．§6－2定积分在几何中的应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积 (1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线x =a，x =b (a <b )及两条连续曲线y =f 1(x )， y =f 2(x )，(f 1(x )≤f 2(x ))所围成的平面图形称为X y =d (c <d )y ) ≤g 2(y ))注意 构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点．把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形．１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，x ∈[a ，b ]．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，该微段上的图形的面积dA 可以用高为f 2(x )－f 1(x )、底为dx 的矩形的面积近似代替．因此dA =[ f 2(x )－f 1(x )]dx ， 从而 A =.)]()([ 12⎰-ba dx x f x f (1)２）微元法分析Y －型图形的面积A =.)]()([ 12⎰-dc dy y g y g (2)对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积．例1 求由两条抛物线y 2=x ， y =x 2所围成图形的面积A ．解 解方程组,,22x y x y ==得交点(0，0)，(1，1)．将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分 区间为[0，1]．由公式(1)，所求图形的面积为A =1 0 31 0 23132)(23x x dx x x -=-⎰=31． 例2 求由曲线y 2=2x 与直线y =－2x +2所围成图形的面积A ． 解解方程组,22 ,22+-==x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)． 积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]．所求图形的面积为 A =12- 31 2- 22]6141[]21)211[(y y y dy y y ⎰--=--=49．例3 求由曲线y =sin x ，y =cos x 和直线x =2π及y 轴所围成图形的面积A ．解 在x =0与x =2π之间，两条曲线有两个交点： B (4π，22)，C (45π，－22)． 由图易知，整个图形可以划分为[0，4π]，[4π，45π]，[45π，2π]三段，在每一段上都是X －型图形．应用公式(1)，所求平面图形的面积为A =⎰⎰⎰-+-+-4455 02)sin (cos )cos (sin )sin (cos πππππdx x x dx x x dx x x =42．2. 极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线r =r (θ)及两条射线θ=α， θ=β，(α<β)所围成的平面图形为曲边扇形．在[α，β]上任取一微段[θ，θ+d θ]，面积微元dA 表示1这个角内的小曲边扇形面积，dA =21[r (θ)]2d θ 所以 A =⎰βαθθ 2)]([21d r ． (3) 例5 求心形线r =a (1+cos θ)，(a >0)所围成图形的积A ．解 因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积 A 是极轴上方图形A 1的两倍．极轴上方部分所对应的极角变化范围为θ∈[0，π]，由 公式(3)，所求图形的面积为A =2⨯⎰βαθθ 2)]([21d r=⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)23|2sin 41sin 22302=++ ⎝⎛πθθθa πa 2．二、空间立体的体积 1. 一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面x =a ， x =b 之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中a <b ，如图所示．如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为A =A (x )，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式．过微段[x ，x +dx ]两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元dV =A (x )dx ． 因此立体体积V =.)( ⎰ba dx x A (4)例5 经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块， 求此楔形块的体积V ．解 据图，椭圆方程为64422y x +=1． 过任意x ∈[－2，2]处作垂直于x 轴的平面，与楔形块 截交面为图示直角三角形，其面积为A (x )=21y ⋅y tan α=21y 2tan α=32(1－42x )tan α=8(4－x 2)tan α， 应用公式(4)V =⎰--22 2)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α．2. 旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴．把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积A (x )是很容易得到的．如图，设曲边方程为y =f (x )， x ∈[a ，b ](a <b )，旋转体体积记作V x ．过任意x ∈[a ，b ]处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为|f (x )|的圆，因此截面面积 A (x )= π|f (x )|2．应用公式(4)，即得V x =π⎰ba dx x f 2)]([ (5)类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积V y 计算公式 V y =π⎰d c dy y g 2)]([ (6)其中的x =g (y )是曲边方程，c ，d (c <d )为曲边梯形的上下界．例6 求曲线y =sin x (0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V x ．解 V x =π⎰b a dx x f 2)]([=π⎰π0 2)(sin dx x=⎰-=-ππππ0 0 ]22sin [2)2cos 1(2x x dx x =22π． 例7 计算椭圆2222bya x +=1(a >b >0)绕x 轴及y 轴旋转而成的椭球体的体积V x ，V y ． 解 (1)绕x 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作上半椭圆y =22x a ab-及x 轴围成的单曲边梯形绕x 轴旋转而成的，由公式(5)得V x =π⎰-a a dx x a a b - 222)(=⎰-a dx x a a b 02222)(2π =a 0 3222]3[2x x a a b -π=34πab 2．(2)绕y 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作右半 椭圆x =22y b ba-及y 轴围成的单曲边梯形绕y 轴旋转而成的，由公式(6)得V y =π⎰-bb dy y b b a - 222)(=⎰-b dy y b ba 0 2222)(2π =b 0 3222]3[2y y b ba -π=34πa 2b ．f (x当a =b =R 时，即得球体的体积公式V =34πR 3． 例8 求由抛物线y =x 与直线y =0，y =1和y 轴围成的平面图形，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V y ．解 抛物线方程改写为x =y 2，y ∈[0，1]． 由公式(６)可得所求旋转体的体积为 V y =π55])[(1 0514122ππ===⎰⎰y dy y dy y ．三、平面曲线的弧长1. 表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线．若光滑曲线C 由直角坐标方程y =f (x )，(a ≤x ≤b )，则导数f '(x )在[a ，b ]上连续．如图所示，在[a ，b ]上任意取一微段[x ，x +dx ]，对应的曲线微段为AB ，C 在点A 处的切线也有对应微段AP ．以AP 替代AB ，注意切线改变量是微分，即得曲线长度微元d s 的计算公式d s=22)()(dy dx +， (7) 得到的公式称为弧微分公式．以C 的方程y =f (x )代入，得 ds =2)]([1x f '+dx.据微元法，即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式s =⎰ba ds =⎰'+ba dx x f 2)]([1 (8)若光滑曲线C 由方程x =g (y )(c ≤y ≤d )给出，则g '(y )在[c ，d ]上连续，根据弧微分公式(7)及微元法，同样可得曲线C 的弧长计算公式为 s =⎰'+d cdy y g 2)]([1 (9)例9 求曲线y =41x 2－21ln x (1≤x ≤e )的弧长s ． 解 y '=21x －x 21=21(x －x1)，ds =2)]([1x f '+dx =)1(21)1(4112x dx x x +=-+dx ， 所求弧长为s =⎰ba ds =41]ln 21[21)1(21e1 2 1=+=+⎰x x dx x x e (e 2+1)． 例10 求心形线r =a (1+cos θ) (a >0)的全长．解 θ∈[0，2π]；又因为心形线关于极轴对称，全长是其半长的两倍，所以θ∈[0，π]．ds =22)]([)]([θθr r +'d θ=2)cos 1(2θ+d θ=2a cos 2θd θ，所以 s =2⎰πθθ2cos2d a =8a ．§6—3 定积分在物理中的部分应用一、变力做功物体在一个常力F 的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s 时，F 所作的功W =F ⋅s ．物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解．设力F 的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F 的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动．取物体运动路径为x 轴，位移量为x ，则F =F (x )．现物体从点x =a 移动到点x =b ，求力F 作功W ．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，力F 在此微段上做功微元为dW ．由于F (x )的连续性，物体移动在这一微段时，力F (x )的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段dx 上就可以使用常力做功的公式．于是，功的微元为dW =F (x )dx ． 作功W 是功微元dW 在[a ，b ]上的累积，据微元法W =⎰ba dW =⎰ba dx x F )(． (12)例1 在弹簧弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧，需要克服弹力作功．已知弹簧每拉长0.02m 要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1m 时，外力所做的功W ．解 据虎克定律，在弹性限度内，拉伸弹簧所需要的外力F 和弹簧的伸长量x 成正比，即 F (x )=kx ，其中k 为弹性系数． 据题设，x =0.02m 时，F =9.8N ，所以 9.8=0.02k ，得k =4.9⨯102(N/m).所以外力需要克服的弹力为 F (x )=4.9⨯102x ．由(12)可知，当弹簧被拉长0.1m 时，外力克服弹力作功W =⎰⨯1.0 0 2109.4xdx =21⨯4.9⨯1021.0 0 2x =2.45(J)．例2 一个点电荷O 会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A 产生沿径向OA作用的引力或斥力；电场内单位正电荷所受的力称为电场强度．据库仑定律，距点电荷r =OA 处的电场强度为F (r )=k 2r q(k 为比例常数，q 为点电荷O 的电量)． 现若电场中单位正电荷A 沿OA 从r =OA =a 移到r =OB =b (a <b )，求电场对它所作的功W ．解 这是在变力F (r )对移动物体作用下作功问题．因 为作用力和移动路径在同一直线上，故以r 为积分变量，可应用公式(12)，得W =⎰b adr rq k 2=kq b a r ]1[-=kq (b a 11-)．二、液体的压力单位面积上所受的垂直于面的压力称为压强，即p=ρ⋅h，(其中ρ是液体密度，单位是kg/3m，h是深度，单位是m)．如果沉于一定深度的承压面平行于液体表面，则此时承压面上所有点处的h是常数，承压面所受的压力P=ρ⋅h⋅A，其中A是单位为m2的承压面的面积．若承压面不平行于液体表面，此时承压面不同点处的深度未必相同，压强也就因点而异．考虑一种特殊情况：设承压面如图那样为一垂直于液体表面的薄板，薄板在深度为x 处的宽度为f(x)，求液体对薄板的压力．薄板沿深度为x的水平线上压强相同，为ρ⋅x，现在在薄板深x处取一高为dx的微条(见图中斜线阴影区域)，设其面积为dA．微条上受液体压力为压力微元dP．近似认为在该微条上压强相同，为ρ⋅x，则dP=ρ⋅xdA；又深度为x处薄板宽为f(x)，故dA=f(x)dx，因此dP=ρ⋅x⋅f(x)dx．若承压面的入水深度从a到b(a<b)，则薄板承压面上液体总压力是x从a到b所有压力微元dP的累积．据微元法P=⎰badxxxf)(ρ=ρ⎰badxxxf)(．(13)。
定积分的微元法的思想和原理
定积分的微元法的思想和原理
微元法是一种以单元为基础的教学设计理论，由美国教育学家托马斯·贝尔（ThomasBell）提出。
该理论认为，有效的教学设计必须精细分解教学内容，组织成微小的教学单元，深入解释。
微元法把教学内容分解为一系列有关联的“微元”，它为每一元建立一个独立的学习任务环境，通过各种媒体手段描述并引导学生们进行学习，在每一元完成后，引导学生们评估自己的学习过程中的微观目标，从而实现全局目标的累积，最终实现达到学习目的。
微元法以学习为主要目的，它的最大特点是将学习者的目标从大的宏观抽象层
次转移到微观具体层次上。
整个系列的学习目标可分为“综述型”（宏观型）和“分解型”（微观型）两部分。
前者以核心问题或主题为中心展开，重在主题内容的学习和理解，后者则以明确的学习任务为基点展开，重点在于细节技能的具体演练和指导学习者实际应用具体技能。
与其他教学方法不同，微元法倡导以学习者为中心，强调充分发挥学习者的主
观能力，同时又增强了学习者的自我管理能力与自我调整能力，强调环境引导和自主学习的结合。
学习者在完成各元学习，主要通过视频、多媒体、互联网、学习软件等多种技术手段自主学习，具有更大的自我掌控学习的能力，既可以获得丰富的知识和技能，同时还可以提高自我的学习质量。
微元法是一种以学习为中心的设计思想，其主要目的是将学习者的目标从宏观
抽象层级转移到微观具体层次上，实现更细致的学习效果。
集合视频、多媒体、互联网、学习软件等技术手段，构建教学环境，让学习者可以规划自己的学习过程，促进自主学习，有效提高学习效果。
定积分的应用之微元法
定积分应用的微元法： 定积分应用的微元法
) (一 在 区间 [a,b] 上任取一 个微小 区间 [x, x + dx] ，然后写 出 值， 为 在 个 这 小区 上的 分 ∆F 的 似 ，记 dF = f (x)dx (称 F 间 部 量 近 值 为 的微元) 的微元);
[ 上积分（无限累加） d ，即得 （二） 将微元 F 在a,b] 上积分（无限累加） 即得 ，
各部分量之和， 各部分量之和，即F = ∑F . i
上的分布是不均匀的， (2) 所求量 F 在区间 [a,b] 上的分布是不均匀的， 比. 也 是说 F 的 与 就 ， 值 区间 [a,b] 的 不 正 .（ 则 长 成 比 否 的 得， 了） 话 F使 初 方 ， 用 等 法即 求 ， 勿 可 得 而 需用 分 法 ） 积 方 了 .
y = x2 , 得交点（ 解方程组 2 得交点（0，0）及（1，1）. y = x,
选择积分变量，写出面积微元， (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可 习惯上 x 均可， 取竖条， 取 为积分变量， 围为[0 [0， ， 取竖条 即 x 为积分变量， 变化范 ， 围为 ， [0 1]， 1]，于是 2
n i=1
第三步：写出整体量 F 的近似值，F = ∑∆F ≈∑ f (ξi )∆xi ； 的近似值， 第三步： i
i=1
n
第四步： 极限， 第四步：取λ = max{∆xi } →0时的∑ f (ξi )∆xi 极限，则得
i=1
n
F = lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx .
b
a b
y
y = f ( x)
y y = f ( x)
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
第五章 定积分的几何应用
) ( r r
d
例 5
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 部分面积
A 4A1
y x
2 a 2 cos 2
A 40
4
1 2 a cos 2d a 2 . 2
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的 面积 (a 0).
小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积. 求旋转体的体积
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
思考题
1. 设 曲 线 y f ( x ) 过 原 点 及 点( 2,3) ， 且 f ( x ) 为单调函数，并具有连续导数，今在曲线 上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平 行线与 x 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积是另一 条平行线与 y 轴和曲线 y f ( x ) 围成的面积的 两倍，求曲线方程.
练习题答案 32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 4、y ； 5、 e 2 ； 6、 . e 2 3 7 2 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 a ； 2 6 5 3 2 2 4、3a ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
其上相应的窄条左、右曲边分别为 1 2 x y ,x y4 2 4 1 2 A ( y 4 y )dy 18 2 2
由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体 特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使 计算简化
上述问题的一般情况是
d
y
x ( y)
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。
微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。
微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。
通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。
虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。
我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。
定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。
在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。
2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。
在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。
在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。
微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。
在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。
需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。
通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。
2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。
关于定积分在物理和经济学中的应用探讨
：
．
收入分配 的劳伦茨 曲线可近似表示为 ｙ ＝ｆ（ ｘ ） ，则 Ａ ＝Ｊ
、 ’、
菇
卜
Ｔ
… ｘ ： 争 ｘ ｌ ． ｘ ） ａ ｘ ＝ ． Ｘ ） ｄ ｘ ’ ｆ ！ ｆ ｌ Ａ ＝ Ｃ Ａ ＋ Ｂ ）
－
Ｆ
Ｂ ＝ ｌ ２ － Ｊ ｆ （ ｘ ） ｄ ｘ ， 系 数 一 表 示 一 个 国 家 国 民 收 入 在 国 民 之
（ 下转第 ｌ ５ ８页 ）
水平方 向： Ｆ － Ｔ ｓ ｉ ｎ ｅ＝ ０ ， 竖直方 向 ： Ｆ — Ｔ ｃ ｏ ｓ ０＝ Ｏ ， ． ． Ｆ ＝ Ｇ ｔ ａ ｎ ０ 。 摆 ０时 ， 收入 完全 平等 ； 当 Ｇ＝ １ 时， 收 入 完 全 不 平 等 。例 如 某 国某
企 业 导报 ２ ０ １ ３ 年第９ 期
加性 ， 总量 的近似值 可 以表达 成和式 ｆ （ ｘ ） Ａｘ （ 南于 点任
ｉ＝ １
当收 入 完 全 不 平 等 时 ， 劳 伦 茨 曲线 为 意 选取 时 ， 和 式 极 限有 确定 的值 ， 常 取 Ｅ。 为 区 间 的 左 端 点 和 收 入 累 计 百 分 比相 等 ； ＨＬ 。实 际上 ， 一般 国家 的收 入 分 配 ， 既不 会 是 完全 平等 ， Ｘ ｉ ． ， ） ， 从 而 这 个 和 式 的极 限 就 是 所 求 量 的 精 确 值 ， 于 是 总 量 Ｓ 折线 Ｏ
ｎ
三、 定积 分在 国 民收 入 中的 应 用
如 图为劳伦茨 （ ＭＯＬ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ ） 曲线 ， 劳伦 茨 曲线为通过 原点 、 倾角 为 ４ ５ 。 的直线． 其 中横轴 ＯＨ为人 口的 累计百 分比 ， 纵轴
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分学中的重要内容，而微元法是研究定积分的一种求解方法。
微元法也称为微分法，其基本思想是将被积函数进行分割，然后对每个小区间进行近似计算，再将所有小区间的结果求和，最终得到定积分的结果。
微元法在定积分的求解中起到了至关重要的作用。
通过将函数进行分割，我们可以将被积函数在每个小区间上近似看作是常数函数，这样就可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题。
通过逐步累加每个小区间的结果，最终得到的就是原函数在整个区间上的定积分。
微元法的应用非常广泛，其中最经典的应用之一是求曲线下的面积。
通过将曲线进行分割，我们可以得到多个矩形的面积，再将这些矩形的面积求和，最终得到的结果就是曲线下的面积。
这个应用非常有实际意义，例如在物理学中，可以用微元法求解物体的质量、压力等物理量。
另一个常见的应用是求弧长。
通过将曲线进行分割，我们可以得到多个小线段，再求出每个小线段的长度，最终将这些长度求和，就可以得到整个曲线的弧长。
这个应用在几何学中常见，可以用来求解曲线的长度、曲率等问题。
微元法还可以用来求解旋转体体积和曲面旋转体积。
通过将旋转体或曲面进行分割，我们可以得到多个圆柱体或圆锥体的体积，再将这些体积求和，最终得到整个旋转体或曲面旋转体的体积。
这个应用在几何学和物理学中非常常见。
微元法是定积分中一种重要的求解方法，其应用非常广泛。
通过将函数进行分割，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的求和问题，从而求解各种与曲线、曲面相关的物理量。
微元法在实际应用中具有重要的意义，为数学建模和实际问题的求解提供了有力的数学工具。
定积分微元法讲解
其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
x
y
( (
) cos ) s in
( )
ds (dx)2 (dy)2 2( ) '2 ( )d ,
弧长 s 2( ) '2 ( )d .
x
例 求 y costdt 的全弧长. 2
解
y=y(x)的定义域为
[
2
,
2
即 du f (x)dx
3）以所求量U 的微元 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
微元法求面积
一、直角坐标系情形
的面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20 3 a2. 2
例 6 求双纽线 r 2 a2 cos 2 所围平面图形的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A 4A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
0
a [2 1 4 2 ln(2 1 4 2 )]
2
微元法求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
oa
bx
设立体介于x=a,x=b之间,
A( x) 表示过点 x且垂直于 x轴
个端点，在弧上插入分点
定积分求平面图形的面积
解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线 与x 轴所围成的图形面积。 2．求曲线 与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线 与 所围成的图形面积。 4.求曲线 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
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定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
其中 为面积元素,
y
x
a
b
o
若曲线 与 及x=a,x=b 所围成的图形为如图：
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤： 1.画草图,求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究导言在数学中，定积分是微积分中的一个重要概念，也是解决许多实际问题的有效工具之一。
而在定积分的求解过程中，微元法则是一个非常重要的方法，它通过将整体分割成无穷小的微元，从而将其转化为求和的问题，进而求得定积分的值。
微元法的应用范围非常广泛，涉及到物理、工程、经济、生物等各个领域。
本文将对定积分中微元法及其应用进行系统性的研究和探讨，旨在全面了解微元法的理论基础和实际应用，为相关领域的进一步研究提供理论支持。
一、定积分中微元法的基本理论1. 定积分的概念定积分是微积分学中的一个概念，是对一个区间上函数的积分。
在函数图像与 x 轴之间的部分都是函数曲线围成的图形，定积分表示这个图形的面积。
定积分的定义是通过微积分学中的极限概念和无穷小量来进行的。
2. 微元法的原理微元法是定积分中的一种基本方法，它是建立在以微元为基础的积分定理基础上的。
微元法的基本原理是将一个整体分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整体的结果。
在定积分中，微元法是通过无穷小的微元来逼近整体的结果，是定积分求解过程中的一个关键步骤。
3. 定积分中微元法的公式在定积分中，微元法的公式是根据具体的问题而定的。
对于不同的函数曲线和求解目的，微元法的公式也会有所不同。
在求解定积分中的面积时，微元法可以用定积分的区间，将函数曲线分割成无穷小的横截面积，然后对这些横截面积进行求和，最终获得整体的面积。
而在求解定积分中的体积时，微元法可以用定积分的区间，将函数曲线分割成无穷小的立体积，然后对这些立体积进行求和，最终获得整体的体积。
二、定积分中微元法的应用研究1. 物理学中的应用微元法在物理学中有着广泛的应用，特别是在求解物体的质心、转动惯量、流体压力等问题时。
在求解物体的质心时，可以将物体分割成无穷小的微元，然后对这些微元的质心进行求和，最终得到整体的质心位置。
在求解物体的转动惯量时，可以将物体分割成无穷小的微元，然后对这些微元的转动惯量进行求和，最终得到整体的转动惯量大小。
定积分的微元法应用探析
、
定积 分的微 元法简 介
设 ｙ （ ） 区间 ［ ， ］ 非 负且 连续 ， 由 —ｆｘ 在 ａｂ 上 求
曲线 ｙ （ ） —ｆｘ 及直 线 ｘ ，ｘ —ａ —ｂ和 ｙ ＝０所 围成
的 曲边 梯形 的面积 如图 １ 。
第 二步 ， 微分 式求 在 ［ ， ］ 的定 积分 ， 将 ａｂ上 即
Ｆ ｂ 一Ｆ ａ 一 Ｊｆｘ ｄ （ ） （ ） ：（ ） ｘ 这里 ， 重要 的是 如何 写 出 Ｆ ｘ 的 微 分式 ， 最 （）
定 积分所 计算 的 是某 函数 改 变 量 ， 曲边 梯 如 形 的面积是 面积 函数 改 变 量 ， 长是 弧 长 函数 改 弧 变量， 所用方 法是分 割 、 似 、 和 、 极 限， 近 求 取 即
元 法 的 主要 步骤 与 思路 ， 利 用 它解 决 了一 类 较 为 复 杂 的应 用 技 术 问题 。 并 关键词 ： 定积 分 ； 元 法 ； 用 分析 微 应
中图 分 类 号 ： ７ 文 献 标 示 码 ： Ｑ１２ Ａ
文 章编 号 ：６ ２ ４ ２ ２ ０ ）４ Ｏ３ Ｏ １ ７ —７ １ （０ ７ Ｏ 一 ３ 一 ３
解： 曲线 ｙ 一 Ｉ。 与 ｘ轴 的交 点是 （ 一３ 一１ ｘ Ｉ 一
图 １ 曲 边梯 形 面积
２ Ｏ ，２ Ｏ ， ， ） （ ， ） 曲线 Ｙ 一 Ｉ 。 与 ｘ轴 围 成 的 一３ 一１ ｘ Ｉ
收 稿 日期 ：０ ７ １ 一２ ２０ — Ｏ ８
作 者 简介 ： 仁 华 （９ ７ ）男 ， 西 丰城 人 ， 春职 业 技 术 学 院副 教 授 ， 张 １５－ ， 江 宜 主要 从 事 数 学 教 育 及 教学 论研 究 。
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定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法是微积分学中的一种重要的计算方法，也是学习定积分时必须掌握的
一种技巧。
定积分中微元法是将复杂的积分分解成许多微小的量求和，从而简化计算过程，得到准确的积分结果。
定积分中微元法的应用非常广泛，可以用于求解各种物理学和数学学科中的积分，如
物理学中的力学、统计学、微观世界和宏观世界等领域中的问题，以及数学学科中的微积分、概率论等领域中的问题。
在实际的应用中，人们通过适当的选择微元量，可以将问题
转化为更加简单的形式，从而得到更加准确的计算结果。
例如，在力学中，可以用微元法求解质点在一定距离的位移，并计算出它所受的位移
的功。
在物理学中，可以通过微元法来估计物体受到重力的作用力，并将其应用于天体力学、引力场和时间等领域。
在统计学中，可以利用微元法求解分布函数、概率密度函数和
概率质量函数中的积分等。
在微积分领域中，可以用微元法来帮助推导和证明很多公式和
定理，如柯西-瑟朗定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式等。
定积分中微元法的成功应用离不开数学分析的不断发展，尤其是微积分学的发展。
在
微积分学中，微元法被广泛运用于极限理论、导数和积分理论中，并且在不断推动它的发
展和应用。
微元法不仅极大地提高了求解积分的准确度，也使得用计算机来进行复杂的积
分计算成为可能。
最后，要注意的是，在应用定积分中微元法时，必须要注意选取合适的微元量，以确
保计算的准确性和可靠性。
同时，还要注意在计算过程中的误差和误差的传递，以得到更
加精确的答案。
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学理论中有着广泛的应用。
微元法是定积分的核心思想之一，通过微元法可以对不定积分进行求解，从而解决各种实际问题。
本文将围绕定积分中的微元法及其应用展开研究，深入探讨其原理和应用方法，并结合实际案例进行分析，以期更好地理解和掌握这一重要数学概念。
一、定积分和微元法的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下的面积、物体的体积、质心、转动惯量等。
在数学上，定积分的概念最早由牛顿和莱布尼兹提出，并在此后得到了深入的发展。
在实际应用中，定积分可以用来解决各种问题，比如求解曲线下的面积、求解物体的质心、求解转动惯量等。
微元法是定积分的核心方法之一，其基本思想是将被积函数分成一系列微小的部分，然后对这些微小部分进行求和，从而得到整体的结果。
具体来说，微元法可以将被积函数看成是一系列微小矩形的面积之和，然后通过对这些微小矩形的面积进行求和，最终得到整体的结果。
微元法的核心思想是将整体问题进行分解，然后用微积分的方法进行求解，从而得到准确的结果。
二、微元法在定积分中的应用微元法还可以用来求解转动惯量和其他相关的物理量。
在这种情况下，可以将物体分成许多微小的部分，然后对这些微小部分进行求和，从而得到整体的结果。
具体来说，可以将物体分成许多微小的质量元，然后对这些微小的质量元进行求和，最终得到整体的结果。
通过微元法可以很方便地解决转动惯量和其他相关的物理量问题。
在实际问题中，微元法可以用来解决各种问题，下面通过一个具体的案例来分析微元法的应用。
案例：求解曲线y=x^2在区间[0,1]上的面积。
假设将曲线分成n个微小的矩形，每个矩形的宽度为Δx，高度为f(xi)，其中xi是该矩形的横坐标。
则该矩形的面积为f(xi)Δx。
将所有矩形的面积进行求和，即可得到整体的面积。
根据微元法的原理，可以得到整体的面积为lim(n→∞)Σf(xi)Δx，其中Δx→0。
定积分的应用之微元法
解 取坐标系如图, 则底圆方程为
x2 y2 R2,
在 x 处垂直于 x 轴作立体的截 R
面，得一直角三角形，两条直角边分 别 为 y 及 y tan ， 即 R2 x2 及
O aa
R2 x2 tan ， 其 面 积 为
R
A(x) 1 (R2 x2 ) tan ，从而得楔形体
2
积为 V
于是得 dA [( y 4) 1 y2 ]dy,
2
A 4 [( y 4) 1 y2 ]dy 1 y2 4 y 1 y3
4
18.
2
2
2
6 2
2.极坐标下的面积计算
曲边扇形：是指由曲线r r( ) 及两条射线 , 所围 成的图形（如右下图）.
取 为积分变量，其变化范围为[ , ]，在微小区间 [ , d ]
x a, x b所围成的图形，如下页右图，面积微元
dA [ f (x) g(x)]dx,，面积 A
b
[
f
(
x)
g
(
x)]dx
.
a
y y f (x)
y y f (x)
O x x dx
O a x x dx b x a
bx
y g(x)
（3）由左右两条曲线 x ( y), x ( y)及 y c, y d 所
V π
a y2dx 2π
a
2
(a 3
2
x3
)3 dx
a
0
2π
a
(a2
42
3a 3 x 3
24
3a 3 x 3
x2 )dx
32
πa3.
0
105
四、平面曲线的弧长
微元法及定积分的几何应用
定积分的定义
定义
定积分是积分区间[a,b]上，由函数f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积，记作 ∫baf(x)dx。
几何意义
定积分的值等于积分区间[a,b]上曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所围成的 平面图形的面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf( x)+f(x)dx
微元法可以用于分析流体动力学 问题，例如计算流体流动的速度 场和压力场。
感谢您的观看
THANKS
微元法的计算方法
01
微元法的计算步骤包括：选取微元、确定微元的几何意义、建 立微元的数学模型、进行微元分析、求和得到整体解。
02
在选取微元时，需要保证微元的几何意义明确，数学模型简单，
便于分析和计算。
在进行微元分析时，可以采用积分的方法，将无穷多个微元的
03
值相加得到整体解。
02
定积分பைடு நூலகம்基本概念
定积分在微元法中的应用
解决实际问题
数学建模
定积分的应用范围非常广泛，可以用于解决 各种实际问题，如计算变速直线运动的位移、 求解变力做功等问题。
定积分在数学建模中也有广泛应用，如通过 定积分建立描述自然现象和社会现象的数学 模型。
05
微元法及定积分的实际应用
在物理学中的应用
计算曲线长度
在物理学中，微元法常用于计算曲线或曲面的长 度，例如行星轨道、磁场线等。
区间可加性
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫baf( x)dx，c∈(a,b)
积分中值定理
若f(x)在[a,b]上连续，则存在 一点ξ∈[a,b]，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)
《定积分的微元法》课件
THANK YOU
感谢各位观看
稳定性
对于某些函数，微元法的计算可能不稳定，而数值积分方法通常具 有较好的稳定性。
与解析积分的比较
适用范围
解析积分方法适用于可以找到原函数的积分 ，而微元法适用于无法找到原函数的积分。
计算复杂度
解析积分方法通常需要找到原函数，这可能涉及到 复杂的数学运算，而微元法的计算相对简单。
精度
对于可以找到原函数的积分，解析积分方法 通常给出精确解，而微元法可能只给出近似 解。
计算体积
总结词
利用微元法，可以将定积分转化为求 和的形式，从而计算出旋转体体积。
详细描述
在计算旋转体体积时，首先将旋转体 进行分割，每个小区域近似为一个圆 柱体。然后，根据微元法的思想，将 每个小圆柱体的体积乘以相应的函数 值，并求和得到总体积。
计算长度
总结词
通过微元法，可以将定积分转化为求和的形式，从而计算出曲线长度。
解决物理、工程等领域中的复杂问题，如电磁场 、流体动力学等。
微元法的计算步骤
确定积分区间和被积函数。
将所有小区间的贡献相加，得到整体的 解。
将每个小区间的代表点上的函数值乘以 小区间的长度$Delta x$，得到该小区间 的贡献。
将积分区间划分为若干个小区间，每个 小区间的长度为$Delta x$。
定积分的几何意义
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积 。
02
当函数图像在x轴上方时，定积分 为正；在x轴下方时，定积分为负 ；与x轴相交时，定积分为零。
02
微元法的基本思想
微元法的概念
微元法是一种将复杂问题简化的数学方法，通过将整体划分 为若干个微小的单元，对每个单元进行单独处理，再求和得 到整体解。
浅析积分在实际问题中的应用
University Education ［收稿时间］201５-１0-２９［作者简介］王岩岩（1981-），女，河南周口人，周口师范学院数学与统计学院讲师，硕士，研究方向：基础数学问题。
刘伟（1984-），男，河南周口人，硕士，讲师，研究方向：应用数学。
［摘要］积分理论从几何学和物理学中的实际问题引出，在科学技术上获得了广泛的应用。
微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
生活中的许多实际问题都可用微元法把所求量以定积分的形式表示出来。
微元法体现的是一种极限思想，有利于发展我们的思维，促进我们巩固知识、加深认识，对自然科学的学习和研究都很有帮助。
［关键词］积分；积分中值定理；微元法［中图分类号］［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（201６）０6-0167-0２201６年6月June ，201６University Education积分理论是从几何学和物理学中的实际问题引出的，在科学技术上获得了广泛的应用，从而得到了快速的发展。
为了能更有效地运用积分，人们往往采用比较简捷的微元法对事物进行分析。
微元法是分析、解决几何、物理、经济等问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。
用微元法使一些复杂的过程转化为简单的规律，可以快速地解决有关积分的问题。
因此，学生掌握好微元法对学习《数学分析》课程及实际应用具有重要的意义。
一、定积分中微元法的理论分析（一）微元法的本质微元法是定积分计算思想的简化。
它把定积分求解过程中的分割、近似代替、作和、取极限四步浓缩为两步，即化整为零求微元，积零为整求总量。
应用定积分解决实际问题时，通常并不是通过我们所熟知的“分割，近似求和，取极限”等经典步骤获取定积分表达式的，而是利用更简单的微元法得到定积分表达式。
微元法思想是微积分的主要思想，它在处理各类积分应用问题中是一脉相通的，也是学生学好各类积分的理论依据。
（二）定积分中微元法的应用条件选取微元时应遵从的基本原则：（1）φ是与某个变量的变化区间［a ，b ］有关的量；（2）所求量φ关于分布区间［a ，b ］必须是代数可加的；（注：对于矢量，如力、动量等，由于矢量的加减法不满足代数可加性，所以遇到这种情况，是不能直接用微元法的，但可以进行力的分解，使各个分力在同一条直线上）（3）微元法的关键是正确给出Δφ的近似表达式：Δφ≈f （x ）d x ；Δφ-f （x ）Δx=o （Δx ）。
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定积分中微元法及其应用研究
定积分是微积分中的一个重要概念，它表示了函数在一个区间上的累积变化量。
而微元法是求解定积分的一种常用方法，通过将函数分割成若干个微小的短区间，然后对每一个微小区间进行具体计算，最后将其相加得到整个区间上的总体积或总体积。
微元法的步骤有三个：分割区间、写出微元、对微元求和。
第一步，我们把待求函数的定义域分为若干个短区间，每个区间长度为Δx。
第二步，我们在每个区间内任意取一点x∗作为代表点，这样就构成了很多个微元。
然后对这每个微元进行求和的第三步。
最后我们可以得到定积分的近似值。
微元法的应用非常广泛，涉及到很多科学和工程领域。
在几何学中，微元法可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积，可以对不规则图形进行面积的计算。
在物理学中，微元法可以应用于弹簧的弹性力的计算，可以求解物体受力移动的距离。
在经济学中，微元法可以计算边际成本和边际收入，并且可以应用于消费者剩余和生产者剩余的计算。
在信号处理中，微元法可以应用于傅里叶级数的计算，可以对信号进行频谱分析。
在微元法的研究中，有一些基本的原则和方法。
我们可以将一个求无限积分问题转化为一个逼近有限积分的问题，通过无穷小的微元进行有限的逼近，从而可以解决更复杂的问题。
我们可以通过改变变量的形式，将一个复杂的定积分转化为一个简单的定积分，从而简化计算的步骤。
我们可以通过对称性来简化定积分的计算，利用函数的对称性可以减少计算的工作量。
我们可以通过计算定积分的上下限的差值，来估算定积分的近似值，从而可以判断定积分的趋势和大小。