《直线与圆的位置关系(复习课)》教学课例

《直线与圆的位置关系（复习课）》教学课例

【教学设计】

一、教学目标

1．知识与能力：理解并掌握直线与圆的三种位置关系的定义及应用，尤其是切线的性质与判定，并应用这些知识解决相似及锐角三角函数等问题；

2．过程与方法：通过通过复习培养学生综合运用知识的能力；

3．情感、态度与价值观：体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的

二、教材分析

圆的教学在平面几何中乃至整个中学教学都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，它是初中几何的综合运用，又是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为圆与圆的位置关系作铺垫的知识，解题及几何证明中，起到重要的作用。

辨证唯物主义思想。

三、教学重点与难点

教学重点：直线和圆三种位置关系的定义、性质及判定的理解和应用。

教学难点：圆的切线性质的应用以及切线的判定，尤其是辅助线的做法。

四、教学方法

采用“讨论式”教学方法，通过“问题情景引入――基础知识重温――相关类题演练――归纳概括总结――综合知识应用”，引导学生对解决问题的思路和方法进行总结，对同类的问题的解题思路进行归纳，形成比较系统的解决这一类问题的常用方法。

五、教学过程

中考命题分析

1．主要考察直线与圆的位置关系的定义，圆的切线性质的应用以及切线的判定；

2．值得关注的是圆与三角形相似、三角函数的综合以及开放探究题。

知识要点再现

相关练习

例1．已知⊿ABC中，∠B=90°，若AB=BC=4 ,以B为圆心的⊙B的半径为r，请回答：（1）当r=2.5时，⊙B与直线AC的位置关系如何？

（2）当⊙B与直线AC相切时，求⊙B的半径为r的值。

（3）若⊙B与直线AC相交所截的线段MN长为2，求⊙B的半径r 。

例2．已知：垂直⊿ABC为⊙O内接三角形，直线EF与⊙O相切与点A, 求证：∠ABC=∠CAF.

例3．如图，⊙O的直径等于8，OA⊥OB,，OA=45,OB=25.

求证：AB与⊙O相切。

A

O

F B

C

O

例4．（2009陕西）如图，⊙O 是⊿ABC 的外接圆，AB=AC ，过点A 作AP ∥BC ，交BO 延长线于点P ，

（1）求证：AP 是⊙O 的切线；

（2）若⊙O 的半径R=5，BC=8，求线段AP 的长。

归纳：由例3和例4的证明过程可以看出，若证切线，有两条思路：

①如果直线与圆的公共点没有确定，常常过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径；

②如果已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，证明直线垂直于半径；.

类题演练：

（2009兰州）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过O ，且与小圆相交于A 点、与大圆相交于点B ，小圆的切线AC 与大圆相交与点D ，且OC 平分∠ACB ， （1）试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC 、AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由。

如图，AB 为⊙O 的直径。C 为⊙O 上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过D 点作EF ∥BC 交AB 延长线于点E ，交AC 延长线于点F ， （1）求证：EF 为⊙O 的切线；

（2）若sin ∠ABC=5

4

,CF=1,求⊙O 的直径。

P

B

真题实练

1.（2009年湘西自治州）14．O ⊙的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ， 则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm

B ． 6cm

C ． 8cm

D ． 10cm

2. (2009年潍坊)已知圆O 的半径为R ，AB 是圆O 的直径，D 是AB 延 长线上一点，DC 是圆O 的切线，C 是切点，连结AC ，若30CAB ∠=°， 则BD 的长为（ ） A ．2R

B ．3R

C ．R

D ．

32

R

思考题(开放题):

已知，如图，BC 是以线段AB 为直径的⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点D ，过点D 作弦DE ⊥AB,垂足为点F,连接BD 、BE.

（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①__________________;②__________________;③______________________;④_____________________(不添加其他字母和辅助线，不必证明);

（2）∠E=30︒，CD=3

32,求⊙O 的半径r.

课堂小结 一、知识要点：

1．直线与圆位置关系的定义 2．切线的性质与判定 二、知识应用：

直线与圆相切的判定方法

1．如果直线与圆的公共点没有确定，常常过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半

C

F E

A

O B

D

径；

2．如果已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，证明直线垂直于半径。

【教学片段实录】

师：上面我们复习了直线与圆位置关系的相关知识，下面我们带着这些知识点来看下面的几道例题。

（投影例1，三个问题逐条投影）

生：(经过短时间的计算，大部分学生可以迅速的给出答案)

师：非常好，看来这个问题没有难倒同学们，那么我们再来看下面的一个问题（投影例2）生：（思考中，看起来似乎有点纠结）

师：大家觉得这道题的难点在哪里？

生：三角形在哪里不固定。

师：既然位置不固定还能证明出结论，说明应该是与位置无关了，我们从问题入手看看有没有突破点呢？我们要如何证明图中两个似乎没用任何关系的角相等呢？

生：（已经有同学小声的说要做辅助线）

师：没关系，知道方法的同学可以大声点说出来。

生：可以做辅助线。

师：很好！但是辅助线做在哪里啊？辅助线做完有什么作用？依据是什么呢？

生：过A点做直径，连接另一个端点与点C，∠ABC=∠AB’C,同弧所对的圆周角相等。

师：再下面呢？如何连接要证明的两个角相等？

生：∠ABC=∠AB’C，利用切线的性质和直径所对的圆周角是直角的性质，可证明∠ABC=∠AB’C=∠CAF。

师：很好，思路也很清晰，那么下面我们就把这道题目在学案上解答出来，要注意的是辅助线做法写清楚，证明的格式要完整。

（学生动笔完成练习，教师简单巡视，较短时间）