江苏省13市2020-2021学年高一(上)期末试题汇编(新高考)：三角函数的图像及性质(原卷版)

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2020-2021学年高一数学挑战满分期末冲刺卷09三角函数压轴题(江苏精编解析版)

专题09三角函数压轴题（共33题）一、单选题1．（2020·江苏常州市·高一期末）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x xπ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A ．60,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．6,16⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．50,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．5,15⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由于log )(0)(-=-<a y x x 关于原点对称得函数为log (0)a y x x =>，由题意可得，cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，结合函数图象，列出满足要求的不等式，即可得出结果.log )(0)(-=-<a y x x 关于原点对称得函数为log (0)a y x x =>所以cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈，如图所示，当6x =时，log 62a >-，则60a <<故实数a 的取值范围为60,6⎛ ⎝⎭故选：A【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题. 2．（2021·江苏高一单元测试）若不等式()|04sin |a x b x π⎛⎫--⋅+ ⎪⎝⎭．对x ∈[]0,2π恒成立，则sin (a +b )和sin (a -b )分别等于（）A ．22B ．22- C ．22-D ．22-- 【答案】D 【解析】设()||f x a x b =--，根据三角函数值的符号，求得函数()f x 符号的变化，根据函数()f x 的单调性与对称性，求得,a b 的值，即可求解.由02x π≤≤，则9444x πππ≤+≤，当44x πππ≤+≤或9244x πππ≤+≤时，即304x π≤≤或724x ππ≤≤时，4in(0s )x π+≥，当24x πππ<+<时，即3744x ππ<<时，4in(0s )x π+<，所以当304x π≤≤或724x ππ≤≤时，||0a x b --≤，当3744x ππ<<时，||0a x b --≥，设函数()||f x a x b =--，则()f x 在(,)b -∞上单调递增，在(,)b +∞上单调递减，且函数()f x 的图象关于直线x b =对称，所以37()()044f f ππ==，所以3752442b πππ=+=，解得54b π=，又由335()||0444f a πππ=--=，解得π2a ，所以5sin()sin()242a b ππ+=+=-5sin()sin()242a b ππ-=-=-故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，其中解答中根据三角函数的符号，求得函数()||f x a x b =--的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．（2021·江苏省木渎高级中学）已知函数3cos 2y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是（） A ．31326t <≤ B ．32t >C ．31326t <≤或52t > D ．52t > 【答案】C 【解析】根据题意得到31326t πππ<≤或52t ππ<，计算得到答案.3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭则55,66x t t πππ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭函数有最小值也有最大值则3133132626t t πππ<≤∴<≤或5522t t ππ<∴< 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误. 4．（2020·江苏高一单元测试）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的图象关于点π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭及直线π:3l x =对称，且()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭不存在最值，则ϕ的值为（） A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【答案】C 【解析】根据对称得到2,12T k N kπ=∈+，根据没有最值得到T π≥，得到2T π=，1ω=，再根据对称中心得到,6m m Z πϕπ=+∈，得到答案.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的图象关于点π,06M ⎛⎫- ⎪⎝⎭及直线π:3l x =对称. 则2+,,4236212T kT T k N k ππππ=+=∴=∈+. ()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭不存在最值，则T π≥，故0k =时满足条件，2T π=，1ω=.sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,66m m m Z ππϕπϕπ-+=∴=+∈.当0m =时满足条件，故6π=ϕ. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数对称，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用能力. 5．（2021·江苏省锡山高级中学高一期末）函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>图像上一点()(),22P s t t -<<向右平移2π个单位，得到的点Q 也在()f x 图像上，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，且满足()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为（） A ．(2,2⎤--⎦B ．2,2⎡⎤--⎣⎦C ．)2,2⎡⎣D ．2,2⎡⎤⎣⎦【答案】A 【解析】首先根据已知条件分析出22PQ T π==，可得2ω=，再由()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得()y f x =对称轴为8x π=，利用()02f f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭可以求出符合题意的一个ϕ的值，进而得出()f x 的解析式，再由数形结合的方法求a 的取值范围即可.如图假设()0,0P ，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，则2PQ π=，所以由分析可得22PQ T π==，所以T π=，可得222T ππωπ===，因为()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以488f x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8x π=是()f x 的对称轴，所以()282k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即()4k k Z πϕπ=+∈，()()2sin 2sin 02sin 2f f ππϕϕϕ⎛⎫-=-+=->= ⎪⎝⎭，所以sin 0ϕ<，可令1k =-得34πϕ=-，所以()32sin 24x x f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令332,444x t πππ⎡⎤-=∈-⎢⎥⎣⎦，则()2sin f x t =，3,44t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 作()f t 图象如图所示：当34t π=-即0x =时3y =-2t π=-即8x π=时，2y =-，由图知若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为(2,2-，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点()0,0P 便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出()f x 的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.6．（2021·江苏高三专题练习）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]【答案】A 【解析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-，∴35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k =0时，解2839ω≤≤，当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939.故答案为：A . 【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.7．（2018·江苏南通市·）已知函数()sin()6f x x m π=+-，7[0,]3x π∈有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++的值为（）A ．103πB ．4πC ．113πD ．不能确定【答案】A 【解析】画出函数πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在7π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的图像，同时画出y m =的图像，使得两个图像有三个交点，利用对称性求得三个交点横坐标的关系，由此求得题目所求表达式的值.画出函数πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在7π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的图像以及y m =的图像如下图所示，令πsin 16x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得π3x =，令πsin 16x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得4π3x =.由图像可知关于直线π3x =对称，23,x x 关于直线4π3x =对称，故122π3x x +=，238π3x x +=，所以1232π8π10π2333x x x ++=+=.【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查三角函数的图像与性质，属于较难的题目.在解决含有参数的零点问题过程中，先将参数分离出来，变为两个函数图像来解决，这样可以避免对参数进行讨论.三角函数图像具有对称性，画出图像后，可以很直观的到三个零点的对称关系，这是解题的突破口. 8．（2021·江苏徐州市·徐州一中高三期末）已知函数()f x 在()0,1恒有()()2xf x f x '>，其中()f x '为函数()f x 的导数，若α，β为锐角三角形两个内角，则（）A ．22sin (sin )sin (sin )f f βααβ>B ．22cos (sin )sin (cos )f f βααβ>C ．22cos (cos )cos (cos )f f βααβ>D ．22sin (cos )sin (cos )f f βααβ>【答案】B 【解析】构造函数()()2()01f x g x x x =<<，求导可知函数()g x 在()0,1 上为增函数，由已知条件可知022ππβα<-<<，即0cos sin 1βα<<<，再根据函数()gx 在()0,1上的单调性即可得解.设()()2()01f x g x x x =<<，则()()()()()243220x f x x f x x f x f x g x x x''⋅-⋅⋅-⋅'==> 所以函数()gx 在()0,1上单调递增.α， β为锐角三角形两个内角,则2παβ+>所以022ππβα<-<<，由正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.则0cos sin sin 12πββα⎛⎫<=-<< ⎪⎝⎭所以()()cos sin gg βα<，即()()22cos sin cos sin f f βαβα<所以()()22sincos cos sin f f αββα⋅<⋅故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，同时也涉及了三角函数的变换及其性质，考查构造思想及转化思想，考查化简变形能力及逻辑推理能力，属于中档题．9．（2019·江苏苏州市·高一月考）已知函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]1,1-上恰有3个最低点，则ω的取值范围为（） A ．2129,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1113,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ【答案】C 【解析】根据x 范围可得4x πω+的范围；分别讨论在y 轴左侧无最低点、1个最低点、2个最低点和3个最低点的情况，对应正弦函数的图象和性质可确定ω的范围.()2sin 2sin 44f x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦[]1,1x ∈- ,444x πππωωω⎡⎤∴+∈-++⎢⎥⎣⎦①在y 轴左侧无最低点，即当04πω-+≥时，04πω<≤当1x=正好对应()f x 在[]1,1-上的第3个最低点时，11144T kT πω+-=，k ∈N 2T πω=21244k ππωπ∴=+>，k ∈N （舍） ∴在y 轴左侧无最低点不合题意②若在y 轴左侧仅有1个最低点，即711242πππω≤+<时，132144ππω≤< (]5,34πωππ∴-+∈--，此时在y 轴左侧至少有2个最低点∴在y 轴左侧仅有1个最低点不合题意③若在y 轴左侧有2个最低点，即37242πππω≤+<时，51344ππω≤< 又95242πππω-<-+≤-，即111944ππω≤< 1113,44ππω⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在[]1,1-恰有3个最低点④若在y 轴左侧有3个最低点，即3042ππω<+<时，504πω<<,44ππωπ⎛⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭，此时在y 轴左侧至多有1个最低点 ∴在y 轴左侧有3个最低点不合题意综上所述：1113,44ππω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据正弦型函数的最值点个数求解参数范围的问题；关键是能够通过对最低点分布情况的分析，找到符合题意的分布情况，进而结合正弦函数图象得到不等关系，求得所求参数的范围，属于较难题.10．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中m 、n 、α、β为已知实常数，x ∈R ，有下列四个命题：（1）若(0)02f f ⎛⎫==⎪⎝⎭π，则()0f x =对任意实数x 恒成立；（2）若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；（3）若02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，则函数()f x 为偶函数；（4）当22(0)02f f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭π时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-=（k Z ∈）；则上述命题中，正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式. 对于命题（1），将(0)0,02f f π⎛⎫==⎪⎝⎭化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出（1）选项的真假；对于命题（2）选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；对于命题（3）选项，将()02f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出（3）选项的真假；对于命题（4）选项，根据22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭、()()120f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )f x m x x n x x ααββ=-+-(cos cos )cos (sin sin )sin m n x m n x αβαβ=+-+不妨设()()11221122()cos cos cos sin sin sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数.若(0)0f =，则得1122cos cos 0k k αα+=；若()02f π=，则得1122sin sin 0k k αα+=．于是当(0)02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题（1）是真命题；当(0)0f =时，()1122()sin sin sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题（2）是真命题；当()02f π=时，()1122()cos cos cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题（3）是真命题；当22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，令()0f x =，则()()11221122cos cos cos sin sin sin 0k k x k k x αααα+-+=，上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠．将该方程的两边同除以cos x 得11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=+，令11221122cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠），则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．不妨取11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈），则()1212x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题（4）是假命题．故选：C 【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型.二、多选题11．（2021·江苏省木渎高级中学）已知函数()cos([])2f x x π=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的是（）A ．函数1()2y f x =+为偶函数 B ．()f x 的值域为[]1,1-C ．()f x 为周期函数，且周期4T =D ．()f x 与7|1og |l y x =-的图象恰有一个公共点【答案】CD 【解析】A.假设函数1()2y f x =+为偶函数，则11()()22f x f x +=-，由()f x 的图象关于12x =对称判断； B. 根据[]x 表示不超过x 的最大整数，得到[],22k x k Z ππ=∈判断；C.易得 ()()2f x f x +=-判断；D. 利用()f x 的值域为{}1,0,1-，分别令7|1og |1l x y -==，7|1og |0l x y -==，711log ||x y -=-=判断.A.若函数1()2y f x =+为偶函数，则11()()22f x f x +=-，所以()f x 的图象关于12x =对称，而()()0cos 01,1cos02f f π====，()()01f f ≠，故错误；B. 因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以[],22k x k Z ππ=∈，所以()f x 的值域为{}1,0,1-，故错误； C. ()[]()(2)cos([2])cos([]2)cos()222f x x x x f x πππ+=+=+=-=-，所以()4()f x f x +=，则()f x 为周期函数，且周期4T =，故正确；D. 由B 知：()f x 的值域为{}1,0,1-，令7|1og |1l x y -==，解得8x =或6x =-，当8x =时，()cos 41f x π==，当6x =-时，()()cos 31f x π=-=-，此时两函数有()8,1一个公共点，令7|1og |0l x y -==，解得0x =或2x =，当0x =时，()cos01f x ==，当2x =时，()cos 1f x π==-，此时两函数无公共点，令711log ||x y -=-=，解得87x =或67x =，当87x =时，()cos 02f x π==，当67x =时，()cos01f x ==，此时两函数无公共点，综上：()f x 与7|1og |l y x =-的图象恰有一个公共点，故正确；故选：CD【点睛】关键点点睛：本题关键是理解[]x 的含义，得到[],22k x k Z ππ=∈，再根据余弦函数的性质即可得解. 12．（2021·江苏苏州市·星海实验中学高一月考）已知集合{(,)()}M x y y f x ==∣，若对于()()1122,,,x y M x y M ∀∈∃∈，使得12120x x y y +=成立则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合{}{}21234(,)1;{(,)(,);{(,)sin 1}x M x y y x M x y y M x y y e M x y y x ==+======+∣∣∣∣．其中是“互垂点集”集合的为（） A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【解析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'．，结合函数图象进行判断．由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '．所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y =所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'．所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '．所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ．【点睛】本题考查命题真假的判断与应用，考查对新定义的理解与应用，属于较难题．13．（2020·江苏南通市·海安高级中学高一月考）下列函数()f x 对任意的正数1x ，2x ，3x 满足123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++的有A ．()42sin f x x =+B ．()f x =C ．()x f x e = D ．()ln(1)f x x =+【答案】ABD 【解析】根据四个选项中的函数证明不等式123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++成立或举反例说明不成立(举反例时中让123x x x ==)．A ．123123()42sin()6f x x x x x x ++=+++≤，123123()()()42sin 42sin 42sin 6f x f x f x x x x ++=+++++≥，A 正确；B ．2123123x x x x x x =+++++，B 正确；C ．1231x x x ===时，1233x x x e e e e e ++=>++，C 错；D ．123123122313123123(1)(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+++++++>+++， ∴123123123ln[(1)(1)(1)]ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)x x x x x x x x x +++=+++++>+++，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．14．（2021·江苏南通市·高一期末）如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ≤）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，AD =.则下列说法正确的有（）.A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD 【解析】3sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221||AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论．解：由题意可得：||3|OB OC =，∴3sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ．(12D πω∴+，sin )2A ϕ， 221||AD =，∴22228(1)243A sin πϕω-+=，把|sin |)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω．解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==．sin()03πϕ∴+=，||2πϕ，解得3πϕ=-．可知：B 不对．∴3sin()|263A π-=+，0A >，解得163A =．∴函数16()sin()363f x x ππ=-，可知C 正确．(14,17)x ∈时，()(263x πππ-∈，5)2π，可得：函数()f x 在(14,17)x ∈单调递增．综上可得：ACD 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．三、填空题15．（2021·江苏镇江市·扬中市第二高级中学高一期末）已知函数()1,0,π2sin ,02,2xa xf x x x ⎧-≤⎪=⎨<<⎪⎩其中0a >，且1a ≠，若函数()1y f x =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1230x x x ++>，则实数a 的取值范围是________. 【答案】20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】画出函数图像，排除1a >的情况，根据对称性得到232x x +=，计算得到答案.如图所示：当1a >时，函数()1y f x =-有2个不同的零点，不满足；当01a <<时，不妨设123x x x <<，根据对称性知232x x +=，故12x >-.11x a -=，故log 22a x =>-，故202a <<.故答案为：20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.16．（2018·江苏苏州市·高一期末）将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()y f x =的图象，若函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为____．【答案】410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】由题设()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令,3x k k Z πωπ+=∈，解得33k x ππω-=，取1,2k =，分别得到25,33x x ππωω==，它们是函数在y 轴右侧的第一个零点和第二个零点，所以232532ππωππω⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，故41033ω<≤，故填41033ω<≤．点睛：因为()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以该函数的图像必过定点0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭且在y 轴的右侧的第一个对称中心的横坐标在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内，第二个对称中心的横坐标不在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中，从而得到41033ω<≤． 17．（2019·江苏高一月考）给出下列四个命题: ①函数()sin cos f x x x =是奇函数;②若角C 是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 2C C +=，则ABC ∆是钝角三角形; ③已知α2sin α=; ④已知函数()2sin f x x ω=(0>ω)在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，则02ω<≤.其中正确命题的序号是______. 【答案】①② 【解析】根据三角函数性质，有1sin cos sin 22x x x =，2(sin cos )12sin cos C C C C +=+，逐一判断，即可求解.对于①()1sin 22f x x =，()()()11sin 2sin 222f x x x f x -=-=-=-奇函数，①正确.对于②()21sin cos 12sin cos 4C C C C +=+=，3sin cos 8C C ∴=- 由C 是ABC ∆的一个内角，则sin 0C >，cos 0C ∴<， C ∴为钝角，②正确.对于③，原式()()22221cos 1cos 1cos 1cos αααα-+=+--1cos 1cos sin sin αααα-+=+2sin α=α是第四象限角sin 0α∴<∴原式2sin α=-，③错对于④对于()2sin f x x ω=，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,34x ωπωπω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，0>ω ()f x ∴单调递增3242ωππωππ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，322ωω⎧≤⎪∴⎨⎪≤⎩，302ω∴≤≤，④错故答案为：①② 【点睛】本题考查二倍角公式，同角三角函数关系，考查转化与化归思想，考察计算能力，综合性较强，属于难题. 18．（2019·江苏苏州市·高一期中）已知关于的方程在区间上共有个互不相同的实数根，当取得最小值时，实数的取值集合为________.【答案】【解析】【解析】画出在的图象，设，则，作出的图象，分类讨论，分别根据图象判断解的情况，求出每种情况下不同实数根和的值，从而可得结果.原式化为，画出在的图象，如图，设，则，作出的图象如图，由图象可知，，当时，，由的图象可知的两个解关于对称，；当时，在上有两个解，分别有两个关于对称的两个根，；当时，或，有的解，的解为，当时，在上只有一个解，有4个解，关于对称，；当时，，有的解，，综上所述，取得最小值时，，实数的为或2，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、简单的三角方程，考查了数形结合思想以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，位置的变化需要分类讨论的.19．（2018·江苏镇江市·高一月考）已知函数222017sin ,0()cos(),0x x x x f x x x x x λα⎧++≥=⎨-+++<⎩是奇函数，则sin λα=_____________.【答案】-1 【解析】当0x <时，0x ->， ∵函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即()()()222()20172017cos x x sin x x x sinx x x x λα⎡⎤-+-+-=--=--+++⎣⎦()2cos x x x λα=--+，∴()2017cos sin x x λα=+=且，∴2,2k k Z παπ=-+∈．∴sin sin[2017(2)]sin()122k ππλαπ=⋅-+=-=-．答案：1-20．（2021·江苏省天一中学高一期末）设函数2cos ,[6,6]3()12,(,6)(6,)x x f x x xπ⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎪⎩，若关于x 的方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有6个不同的实根.则实数a 的取值范围是_______.【答案】52a <-或52a =或2a =- 【解析】作出函数()f x 的图象，设()f x t =，分关于210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t ，和两相等实数根进行讨论，当方程210t at ++=有两个相等的实数根0t 时，2a =±再检验，当方程210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t 时，()1222,0t t =-∈-，或[)120,22t t ∈>，，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.作出函数()f x 的简图如图，令()f x t =，要使关于x 的方程()()21f x af x ++⎡⎤⎣⎦()0a =∈R 有且仅有6个不同的实根，（1）当方程210t at ++=有两个相等的实数根0t 时，由240a ∆=-=，即2a =±，此时01t =±当2a=，此时01t =-，此时由图可知方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有4个实数根，此时不满足.当2a =-，此时01t =，此时由图可知方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有6个实数根，此时满足条件.(2)当方程210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t 时，则()1222,0t t =-∈-，或[)120,22t t ∈>，当12t =-时，由4210a -+=可得52a =则25102t t ++=的根为12122t t =-=-，由图可知当12t =-时，方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有2个实数根当212t =-时，方程()()210()f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有4个实数根，此时满足条件. 当[)120,22t t ∈>，时，设()21g t t at =++由()010g=> ，则()2520g a =+<，即52a <-综上所述：满足条件的实数a 的取值范围是 52a <-或52a =或2a =- 故答案为：52a <-或52a =或2a =- 【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程210t at ++=的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.21．（2021·安徽师范大学附属中学高一期末）用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值.若正数4a π≥满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为__________．【答案】98π 【解析】对a 进行讨论，利用sin y x =的单调性，分别求得[0,][,2],a a a M M ，再解不等式即可.当[,)42ππa ∈时，[,)22a ππ∈，[0,][,2]sin ,1a a a a M M ==，则sin 2a ≥，不成立；当[,)2a ππ∈时，[,2)2a ππ∈，[0,][,2],1sin a a a a M M ==，则2sin a ≤，解得 34a ππ≤≤；当3[,)2a ππ∈时，[2,3)2a ππ∈，[0,][,2]1n ,si 2a a a a M M ==或1，则2sin 2a ≤，解得2224a πππ≤≤+，即98a ππ≤≤；当3[,)2a π∈+∞时，2[3,)a π∈+∞，[0,][,2]11,a a a M M ==，不满足[0,][,2]2a a a M M ≥. 所以a 的最大值为98π故答案为：98π【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 讨论标准的确立，要考虑2a 的范围和函数sin y x =的单调性，能确定[0,][,2],a a a M M 即可得解.22．（2018·宝山区·上海交大附中）设函数，其中、为已知实常数，.下列所有正确命题的序号是____________． ①若，则对任意实数恒成立； ②若，则函数为奇函数；③若，则函数为偶函数；④当时，若，则.【答案】①②③④.【解析】对于①，由，证明函数既是奇函数又是偶函数即可得出；对于②，根据奇函数的定义可得出结论；对于③，根据偶函数的定义进行判断即可得出结论；对于④，根据得，于此得出结论.对于命题①，若，则，则，函数为奇函数，若，则，，函数为偶函数，若，则函数既是奇函数，又是偶函数，即，命题①正确；对于命题②，由①的证明过程可知，当时，函数为奇函数，命题①正确；对于命题③，由①的证明过程可知，当时，函数为偶函数，命题②正确；对于命题④，当时，，令，，则，由辅助角公式得，其中，，，则、是函数的两个对称中心点，函数的最小正周期为，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，因此，，命题④正确.故答案为①②③④. 【点睛】本题的考点是三角形与数列的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义与三角函数性质的判断，解题的关键就是利用三角函数基本性质的定义来进行计算，从而判断结论的正误，运算量较大，综合性较强，属于难题. 四、解答题23．（2021·江苏宿迁市·高一期末）已知函数()()2cos 202,02f x x πωϕωϕ⎫=++<<<<⎪⎭．请在下面的三个条件中任选两个解答问题．①函数()f x 的图象过点(0,22；②函数()f x 的图象关于点122⎛ ⎝对称；③函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若12,x x 是函数()f x 的零点，求()12cos2x x π+的值组成的集合；（3）当()2,0a ∈-时，是否存在a 满不等式32()2f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭？若存在，求出a的范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）选择①②、①③、②③都有()2cos 224f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}1,0,1-；（3）存在，a 的范围3526a -<<-，利用见解析. 【解析】（1）选择①②，将点(0,22代入()f x ，结合02πϕ<<可求4πϕ=，由点122⎛ ⎝是()f x 的对称中心可得()1242k k Z ππωπ⨯+=+∈，结合02ω<<，可得2πω=，即可得()f x 解析式；选择①③：将点(0,22代入()f x ，结合02πϕ<<可求4πϕ=，由22T =，所即24πω=，可得2πω=，即可得()f x 解析式；选择②③由22T =，所即24πω=，可得2πω=，若函数()f x 的图象关于点122⎛ ⎝对称，则()1222k k Z ππϕπ⨯+=+∈，结合02πϕ<<，可得4πϕ=，即可得()f x 解析式；（2）若x 是函数()f x 的零点，则()2cos 024f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得32244x k ππππ+=+或52244x k ππππ+=+()k Z ∈，可得()41x k k Z =+∈或()42x k k Z =+∈，进而可得12x x +可能的取值，即可求解；（3）由()2,0a ∈-得3532,222a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当53,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()2,4m x πππ=+∈-，函数()f x 可转化为2cos y m =(),m ππ∈-，132224m a a ππππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，224m a ππ=+利用偶函数的性质原不等式可化为24a a ππππ+<+，即可求解.选择①②：因为函数()f x 的图象过点(0,，所以()02cos f ϕ==cos ϕ=，因为02πϕ<<，所以4πϕ=，因为函数()f x 的图象关于点12⎛ ⎝对称，则()1242k k Z ππωπ⨯+=+∈，可得()22k k Z πωπ=+∈，因为02ω<<，所以0k =，2πω=，所以()2cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选择①③：若函数()f x 的图象过点(0,，所以()02cos f ϕ==cos 2ϕ=，因为02πϕ<<，所以4πϕ=，因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以4T =，24πω=，解得：2πω=，所以()2cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选择②③：因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以4T =，24πω=，解得：2πω=，若函数()f x 的图象关于点12⎛ ⎝对称，则()1222k k Z ππϕπ⨯+=+∈，可得()4k k Z πϕπ=+∈，因为02πϕ<<，所以0k =，4πϕ=，所以()2cos 24f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）若x 是函数()f x 的零点，则()2cos 024f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得cos 242x ππ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以32244x k ππππ+=+或52244x k ππππ+=+()k Z ∈ 解得：()41x k k Z =+∈或()42x k k Z =+∈，若12,x x 是函数()f x 的零点，则()1282x x k k Z +=+∈，()1284x x k k Z +=+∈，()1283x x k k Z +=+∈当()1282x x k k Z +=+∈时，()()12cos cos 41cos 12x x k πππ+=+==-，当()1284x x k k Z +=+∈时，()()12cos cos 42cos012x x k ππ+=+==，当()1283x x k k Z +=+∈时，()1233coscos 4cos 0222x x k πππ+⎛⎫=+== ⎪⎝⎭所以()12cos2x x π+的值组成的集合为{}1,0,1-；（3）当()2,0a ∈-时，3532,222a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，令53,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()2,4x πππ+∈-，令24x m π+=，则()132,224m a a ππππππ⎛⎫=++=+∈- ⎪⎝⎭，23,2444m a ππππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，因为32()2f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以12m m <，即24a a ππππ+<+，所以()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，即21228150a a ++<，()()23650a a ++<，解得：3526a -<<-. 所以实数a 的范围是：3526a -<<-. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出()f x 的解析式，再利用余弦函数的零点可求12x x +可能的取值，求a 的范围的关键是构造偶函数，利用单调性脱掉f ，解关于a 的不等式.24．（2021·江苏省赣榆高级中学）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的图象与x 轴的交于A ，B 两点，A ，B 两点的最小距离为2π，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为,212π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：存在大于3π的正实数0x ，使得不等式|()|ln f x x>(0x 有解.（其中e 为自然对数的底数）【答案】（1）2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）由题可得2A =，周期为π，则可求出2ω=，由212f π⎛⎫=⎪⎝⎭可解得3πϕ=；（2）问题可化为1|()|2f x >在区间(0x 有解，再求解不等式sin 23x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭即可.解：（1）由题意可知，2A =，122T π=，故函数()f x 的周期为π，故2ω=，故()2sin(2)f x x ϕ=+，2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，||2πϕ<，∴3πϕ=，∴2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）证明：因为03x π⎛∈ ⎝，故当(0x x ∈时，10ln 2x <<，原不等式可化为|()|f x x >，又因为10ln 2x <<，则12x >，要使得|()|f x x >在(0x 有解，只需1|()|2f x >在区间(0x 有解，代入得：sin 23x π⎛⎫+>⎪⎝⎭当sin 232x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭解得，即,6x k k πππ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，k Z ∈时，此时与区间,6k k π⎛⎫ππ+⎪⎝⎭与区间(0x 的交集为空集，当sin 23x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即,23x k k ππππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，k Z ∈时，令1k =得2,23x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，满足sin 232x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，2π>，故只需0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，原不等式在区间(0x 有解. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数不等式有解问题，解题的关键是将问题转化为1|()|2f x >在区间(0x 有解，从而求解sin 23x π⎛⎫+>⎪⎝⎭25．（2021·吴江市高级中学高一月考）已知向量33cos,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()1f x a b m a b =⋅-++，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，m R ∈.（1）当0m =时，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值；（3）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）32；（2（3）存在，764m ≤<. 【解析】（1）利用向量数量积的公式化简函数()f x 即可；（2）求出函数()f x 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；（3）由()0gx =得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.解：（1）33333cos ,sin cos ,sin cos cos sin sin cos cos 22222222222x x x x x x x x x x a b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0m =时，()1cos 21f x a b x =⋅+=+，则13cos 21cos 1166322f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴2222cos 2cos a b a a b b x +=+⋅+====，则()21cos 22cos 12cos 2cos f x a b m a b x m x x m x =⋅-++=-+=-，令cos t x =，则112t ≤≤，则222y t mt =-，对称轴2m t =， ① 当122m <，即1m <时，当12t =时，函数取得最小值，此时最小值112y m =-=-，得32m =(舍)，② 当1122m≤≤，即12m ≤≤时，当2m t=时，函数取得最小值，此时最小值2212m y m =-=-，得m③ 当12m>，即2m >时，当1t=时，函数取得最小值，此时最小值221y m =-=-，得32m =(舍)，综上若()f x 的最小值为1-，则实数m =；（3）令()22242cos 2cos 049g x x m x m =-+=，得3cos 7m x =或47m ， ∴方程3cos 7m x =或47m 在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有四个不同的实根，则31274173477m m m m≤<≤<⎪⎪≠⎪⎪⎩，得763740m m m ⎧≤<⎪≤<⎪≠⎪⎪⎪⎩74m ≤<，即实数m 的取值范围是764m ≤<. 【点睛】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度. 26．（2020·江苏淮安市·高一期末）将函数()sin 2gx x =不变），再向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()hx 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-=⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.【答案】（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12t x x -=-【解析】（1）将()gx ⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()hx 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫-⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案.（1）将函数()sin 2gx x =（横坐标不变），得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()hx f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,32x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭，令()()m hh αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x =，2cos x = ③当0t =时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 27．（2020·江苏镇江市·高一期末）已知函数2()6f x x ax =--(a 为常数，a R ∈).给你四个函数：①1()21g x x =+；②2()3xg x =；③32()log g x x =；④4()cos g x x =.。

2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）设有下面四个命题： 1:p x R ∃∈，210x +<； 2:p x R ∀∈，||0x x +>； 3:p x Z ∀∈，||x N ∈； 4:p x R ∃∈，2230x x -+=．其中真命题为( ) A ．1pB ．2pC ．3pD ．4p2．（5分）已知角α终边上一点P 的坐标为(1,2)-，则cos α的值为( ) A ．25-B ．5-C ．5 D ．253．（5分）对于集合A ，B ，我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉叫作集合A 与B 的差集，记作A B -．若{|23}A x lnx ln =，{|1}B x x =，则A B -为( )A ．{|1}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|13}x x <D ．{|13}x x4．（5分）下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间(2π，)π上单调递增的函数是( )A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos2x y = 5．（5分）“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价%a ，第二次降价%b ；乙平台两次都降价%2a b+（其中020)a b <<<，则两个平台的降价力度( ) A ．甲大B ．乙大C ．一样大D ．大小不能确定6．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()y xf x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）若θ1cos 1cos 1cos 1cos θθθθ-+-+-( ) A ．2tan θB ．2tan θC ．2tan θ-D ．2tan θ-8．（5分）已知函数23,0()1,0x x f x x x ⎧-=⎨-+<⎩，若函数(())y f f x =-有3个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A ．(1,4)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．[1，4]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）已知幂函数()f x 的图象经过点3)，则( ) A ．()f x 的定义域为[0，)+∞ B ．()f x 的值域为[0，)+∞ C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[0，)+∞10．（5分）为了得到函数cos(2)4y x π=+的图象，只要把函数cos y x =图象上所有的点()A ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 B ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移8π个单位长度D ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移4π个单位长度11．（5分）已知实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<，则( )A ．a a b c <B ．log log b c a a >C ．[3]a a <D ．sin sin b c <12．（5分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 2.1]3-=-，[2.1]2=．已知函数()sin |||sin |f x x x =+，函数()[()]g x f x =，则( )A ．函数()g x 的值域是{0，1，2}B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于2x π=对称D ．方程()2g x x π⋅=只有一个实数根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数()1(2)f x x lg x =-+-的定义域为． 14．（5分）关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间1(2-，1)()2Z +∈内，则的值为．15．（5分）已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为．16．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A ，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：20.3)lg ≈ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+；②24sin 4cos 1A A =+；③1sin cos tan 2A A A =中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A 为锐角，_____．（1）求角A 的大小；（2）求2021sin()cos()2A A ππ+-的值． 18．（12分）已知集合2{|230}A x x x =--<，{|||1}B x x a =-<．（1）当3a =时，求AB ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的图象经过点(12π，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0，]π上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R 上的函数()22()x x f x R -=+⋅∈．（1）若()f x 是奇函数，求函数()(2)y f x f x =+的零点；（2）是否存在实数，使()f x 在(,1)-∞-上调递减且在(2,)+∞上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q （单位：)L 、百公里耗油量W （单位：)L 与速度v （单位：/)(40120)m h v 的数据关系如表：为描述Q 与v 的关系，现有以下三种模型供选择()0.5v Q v a =+，()Q v av b =+，32()Q v av bv cv =++．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90)，[90，110)，[110，120]（单位：/)m h ，问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W 最小？22．（12分）已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若足对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ⋯，2n x D ∈，使得0()()i g x f x =（其中1i =，2，⋯⋯，n ，*)n N ∈，则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数．”（1）判断()|1|([0g x x x =-∈，4])是否为()2([0f x x x =+∈，1])的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由．（2）若22(23)1,1,()log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+⎪=⎨>⎪⎩为1221()log 21x x f x -=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()sin()([03g x x x πω=-∈，2])π为2()1xf x x =+的“21+重覆盖函数”（其中)N ∈，请直接写出正实数ω的取值范围（用表示）（无需解答过程）．2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）设有下面四个命题： 1:p x R ∃∈，210x +<； 2:p x R ∀∈，||0x x +>； 3:p x Z ∀∈，||x N ∈； 4:p x R ∃∈，2230x x -+=．其中真命题为( ) A ．1pB ．2pC ．3pD ．4p【解答】解：设有下面四个命题：对于1:p x R ∃∈，210x +<不成立，故该命题为假命题； 2:p x R ∀∈，当0x <时，||0x x +=，故该命题为假命题； 3:p x Z ∀∈，||x N ∈，该命题为真命题；4:p x R ∃∈，由于2230x x -+=中△41280=-=-<，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C ．2．（5分）已知角α终边上一点P 的坐标为(1,2)-，则cos α的值为( )A ．B ．C D【解答】解：由题意，点(1,2)-=故cosα==故选：B ．3．（5分）对于集合A ，B ，我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉叫作集合A 与B 的差集，记作A B -．若{|23}A x lnx ln =，{|1}B x x =，则A B -为( )A ．{|1}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|13}x x <D ．{|13}x x【解答】解：集合{|23}{|03}A x lnx ln x x ==<，{|1}B x x =， {|01}A B x x -=<<．故选：B ．4．（5分）下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间(2π，)π上单调递增的函数是( )A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos2x y = 【解答】解：函数sin 2y x =的周期为22T ππ==，又(2x π∈，)π，则2(,2)x ππ∈，所以sin 2y x =在区间(2π，)π上不是单调递增，故选项A 错误；函数cos y x =的周期为2π，故选项B 错误；函数tan y x =的周期为π，且在区间(2π，)π上单调递增，故选项C 正确；函数cos2xy =的周期为2412t ππ==，故选项D 错误．故选：C ．5．（5分）“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价%a ，第二次降价%b ；乙平台两次都降价%2a b+（其中020)a b <<<，则两个平台的降价力度( ) A ．甲大B ．乙大C ．一样大D ．大小不能确定【解答】解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1(1%)(1%)a b ---，乙平台的降价力度为：21(1%)2a b +--，作差得：222[1(1%)(1%)][1(1%)](%)%%(%)0222a b a b a b a b a b ++-------=-⋅=-<，所以乙平台的降价力度大，故选：B ．6．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()y xf x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由图象可知，函数()f x 是偶函数，则()y xf x =为奇函数，则图象关于原点对称，排除C ，D ，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B ，故选：A ．7．（5分）若θ1cos 1cos 1cos 1cos θθθθ-+-+-( ) A ．2tan θB ．2tan θC ．2tan θ-D ．2tan θ-【解答】解：θ为第二象限角，sin 0θ∴>，∴原式22(1cos )(1cos )1cos 1cos 2cos 2(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )sin sin sin tan θθθθθθθθθθθθθ-+-+-==-==-+-+-．故选：D ．8．（5分）已知函数23,0()1,0x x f x x x ⎧-=⎨-+<⎩，若函数(())y f f x =-有3个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A ．(1,4)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．[1，4]【解答】解：函数23,0()1,0x x f x x x ⎧-=⎨-+<⎩，当3x 时，22(())(3)3f f x x =--，当03x <时，2(())(3)1f f x x =--+，当0x <时，2(())(1)3f f x x =-+-，作出函数(())f f x 的图象可知，当14<时，函数(())y f f x =-有3个不同的零点．(1∴∈，4]．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）已知幂函数()f x 的图象经过点3)，则( ) A ．()f x 的定义域为[0，)+∞ B ．()f x 的值域为[0，)+∞ C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[0，)+∞【解答】解：设幂函数()a f x x =， ()f x 过点3)， 33a ∴12a =， ()f x x ∴故函数的定义域是[0，)+∞，A 正确，C 错误，值域是[0，)+∞，B 正确，D 正确，故选：ABD ．10．（5分）为了得到函数cos(2)4y x π=+的图象，只要把函数cos y x =图象上所有的点()A ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 B ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移8π个单位长度D ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移4π个单位长度【解答】解：把函数cos y x =图象上所有的点向左平移4π个单位长度，可得cos()4y x π=+的图象；再将横坐标变为原来的12倍，可得cos(2)4y x π=+的图象．或把函数cos y x =图象上所有的点横坐标变为原来的12倍，得到cos2y x =的图象；再向左平移8π个单位长度，可得cos(2)4y x π=+的图象．故选：BC ．11．（5分）已知实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<，则( )A ．a a b c <B ．log log b c a a >CD ．sin sin b c <【解答】解：因为实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<，则函数a y x =为单调递增函数，所以a a b c <，故选项A 正确；不妨取1,2,42a b c ===，则21log 12b a log ==-，214211log 222c a log log -===-，所以log log b c a a <，故选项B 错误；不妨取18a =12=<，故选项C 正确；因为b 和c 所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b 和sin c 无法比较大小，故选项D 错误．故选：AC ．12．（5分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 2.1]3-=-，[2.1]2=．已知函数()sin |||sin |f x x x =+，函数()[()]g x f x =，则( )A ．函数()g x 的值域是{0，1，2}B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于2x π=对称D ．方程()2g x x π⋅=只有一个实数根【解答】解：()sin |||sin()|sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，而sin ||x 不是周期函数，|sin |x 为周期函数，对于0x >，当22x πππ<<+时，()2sin f x x =，当222x ππππ+<<+时，()0f x =，所以()2,2250,22,22,2226651,222662x k g x k x k k x k k x k k x k x k πππππππππππππππππππ⎧=+⎪⎪⎪=<<++<<++<<+⎨⎪⎪+<<+≠+⎪⎩且，0=，1±，2±，⋯，故A 正确，由()f x 是偶函数，则()g x 为偶函数，0x >时，()f x 成周期性，但起点为0x =，所以()g x 在(,)-∞+∞上不是周期函数，故B 不正确；函数()g x 的图象关于0x =对称，不关于2x π=对称，故C 不正确；2()g x x π=，当0x =时，(0)0g =，当2x π=时，()12g π=，2x π与()g x 只有(0,0)交点即方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故D 正确．故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数()1(2)f x x lg x =-+-的定义域为 [1，2) ．【解答】解：要使函数的解析式有意义，自变量x 须满足：1020x x -⎧⎨->⎩解得：12x <．故函数()(2)f x lg x =-的定义域为[1，2) 故答案为[1，2)14．（5分）关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间1(2-，1)()2Z +∈内，则的值为 2 ．【解答】解：设()sin 3f x x x =+-，33333()sin 3sin 022222f =+-=-<，5555155()sin 3sin sin sin 02222226f π=+-=-=->， 355(426ππ<<，所以55sin sin )26π>．由零点定理知，()f x 在区间3(2，5)2内一定有零点，所以2=．故答案为：2．15．（5分）已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为 6 ．【解答】解：因为a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，所以2113399(3)9()332a b a b ab b a ++=-=-⋅-⨯，当且仅当3a b =时取等号，解得，36a b +或318a b +-（舍)，则3a b +的最小值为6．故答案为：6．16．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A ，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是57301()2xy A =⋅ ，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：20.3)lg ≈【解答】解：由题意知，57301()2xy A =⋅，当62.5%y A =时，有5730162.5%()2x A A =⋅，即573051()82x =，∴1222210581222log 8log 533573085223lgx lg log log lg lg -===-=-=-≈， 3820x ∴=，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：57301()2xy A =⋅；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+；②24sin 4cos 1A A =+；③1sin cos tan 2A A A =中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A 为锐角，_____．（1）求角A 的大小；（2）求2021sin()cos()2A A ππ+-的值．【解答】解：若选择条件①，（1）由于2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+，可得14sin 7cos 3sin 4cos A A A A -=+，可得sin cos A A =，即tan 1A =，因为A 为锐角，可得4A π=；（2）220211sin()cos()(sin )cos(1010)sin 222A A A A A ππππ+-=-+-=-=-．若选择②，（1）由于24sin 4cos 1A A =+，24(1cos )4cos 1A A -=+，可得24cos 4cos 30A x +-=，解得1cos 2A =，或32-（舍去），因为A 为锐角，可得3A π=．（2）220213sin()cos()(sin )cos(1010)sin 224A A A A A ππππ+-=-+-=-=-．若选择③，（1）因为21sin cos tan sin 2A A A A ==，可得sin A =，或，因为A 为锐角，sin 0A >，可得sin A =，可得4A π=；（2）220211sin()cos()(sin )cos(1010)sin 222A A A A A ππππ+-=-+-=-=-． 18．（12分）已知集合2{|230}A x x x =--<，{|||1}B x x a =-<．（1）当3a =时，求AB ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：由题意得，{|13}A x x =-<<，{|11}B x a x a =-<<+．（1）3a =时，{|24}B x x =<<， {|14}(1,4)AB x x ∴=-<<=-．（2）因为:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，则BA ，所以1113a a --⎧⎨+⎩，解之得02a ，所以实数a 的取值范围是[0，2]．19．（12分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的图象经过点(12π，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0，]π上的单调增区间．【解答】解：（1）由题意可得2A =，T π=，所以22Tπω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又图象经过点(12π，所以()2sin(2)1212f ππϕ=⨯+=sin()6πϕ+=，因为||2πϕ<，所以6πϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．（2）令222262x πππππ-++，Z ∈，解得36x ππππ-+，Z ∈，再根据[0x ∈，]π，可得函数的单调增区间为[0，]6π，2[3π，]π．20．（12分）已知定义在R 上的函数()22()x x f x R -=+⋅∈．（1）若()f x 是奇函数，求函数()(2)y f x f x =+的零点；（2）是否存在实数，使()f x 在(,1)-∞-上调递减且在(2,)+∞上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x x --+⋅=--⋅，可得1=-，所以()22x x f x -=-，令22()(2)22220x x x x y f x f x --=+=-+-=，即(22)(122)0x x x x ---++=，所以220x x --=，解得0x =，即函数()(2)y f x f x =+的零点为0x =．（2）当0时，函数()22x x f x -=+⋅在R 上单调递增，不符合题意；当0>时，令2x t =，当(,1)x ∈-∞-时，1(0,)2t ∈，当(2,)x ∈+∞时，(4,)t ∈+∞，因为()f x 在(,1)-∞-上单调递减且在(2,)+∞上单调递增，所以()g t t t=+在1(0,)2上单调递减且在(4,)+∞上单调递增，所以142，解得1164，故存在实数1[4∈，16]使()f x 在(,1)-∞-上单调递减且在(2,)+∞上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q （单位：)L 、百公里耗油量W （单位：)L 与速度v （单位：/)(40120)m h v 的数据关系如表：为描述Q 与v 的关系，现有以下三种模型供选择()0.5v Q v a =+，()Q v av b =+，32()Q v av bv cv =++．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90)，[90，110)，[110，120]（单位：/)m h ，问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W 最小？【解答】解：（1）填表如下：由题意可得符合的函数模型需满足在40120v 时，v 都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入(40,5.2)，(60,6)，得 5.240660a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得0.043.6a b =⎧⎨=⎩，则()0.04 3.6Q v v =+，此时(90)7.2Q =，(100)7.6Q =，(120)8.4Q =，与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入(40,5.2)，(60,6)，(100,10)，则323232404040 5.2606060610010010010a b c a b c a b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⨯+⨯+⨯=⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎩，解得0.0000250.0040.25a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，32()0.0000250.0040.25Q v v v v ∴=-+．（2）221000.00250.4250.0025(80)9W Q v v v v=⨯=-+=-+， ∴当80v =时，W 取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80/m h 的速度行驶时W 最小．22．（12分）已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若足对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ⋯，2n x D ∈，使得0()()i g x f x =（其中1i =，2，⋯⋯，n ，*)n N ∈，则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数．”（1）判断()|1|([0g x x x =-∈，4])是否为()2([0f x x x =+∈，1])的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由．（2）若22(23)1,1,()log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+⎪=⎨>⎪⎩为1221()log 21x x f x -=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()sin()([03g x x x πω=-∈，2])π为2()1xf x x =+的“21+重覆盖函数”（其中)N ∈，请直接写出正实数ω的取值范围（用表示）（无需解答过程）．【解答】解：（1）因为()|1|([0g x x x =-∈，4])，()2([0f x x x =+∈，1])，则对0[0x ∀∈，1]，n ∃个不同的实数1x ，2x ⋯，[0n x ∈，4)，使得0()()(1i g x f x i ==，2，⋯，)n ，即0|1|2[2i x x -=+∈，3]，则[3i x ∈，4]，所以对于0[0x ∀∈，1]，都能找到一个1x ，使10|1|2x x -=+，所以()g x 是()f x 的“n 重覆盖函数”，故1n =；（2）因为1221()log 21x x f x -=+，其定义域为(0,)+∞，即对0(0,)x ∀∈+∞，存在2个不同的实数1x ，2x R ∈，使得0()()(1i g x f x i ==，2)，即0001122212()(1)(0,)2121x i x x g x log log -==-∈+∞++，即对任意0>，()g x =要有两个实根，当1x >时，2()log g x x ==已有一个根，故只需1x <时，()g x =仅有一个根， ①当0a =时，()312g x x =-+>-，有一个根；②当0a >时，则必须满足g （1）2310a a =+-+，解得23a； ③当0a <时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；综上可得，实数a 的取值范围为2[0,]3．；（3）正实数ω的取值范围为17[,),412N ++∈．。

2020_2021学年江苏南京高一上学期期末数学试卷详解版

2020~2021学年江苏南京高一上学期期末数学试卷(详解)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. A. B. C. D.【答案】【解析】若角的终边经过点，则（）．C∵角的终边经过点，∴由三角函数的定义可知：符号不确定，故，均错误；，故正确，错误．故选：．2. A. B. C. D.【答案】【解析】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）．B函数的定义域为，函数的定义域为，∴，．∴．故选：．3. A. B. C. D.【答案】【解析】设实数满足，函数的最小值为（）．A∵，∴，∴当且仅当，即时等号成立，∴函数的最小值为．故选：．4. A.B. C. D.【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】已知，，都是负数，且，则（）．D由题意，则，故错误．由，不等式两边同除，可得，即，故错误．由不等式的可加性可知，由，可得，故错误．由，所以，故正确．故选 D .5. A.B. C. D.【答案】方法一：【解析】有一组实验数据如表所示：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）．B从图表数据可知，随着的变大，变大，则函数为单调递增，且增加速度越来越快，方法二：∵选项为线性增加的函数，选项为递减函数，选项为比线性增加较为缓慢的函数，∴排除选项、、．故选：．取，对于选项，，故选项错误；对于选项，，故选项可能正确；对于选项，，故选项错误；对于选项，，故选项错误．以上只有选项最接近，故选：．6. A. B. C. D.【答案】【解析】若函数与都在区间上单调递减，则的最大值是（）．C由题意函数在上单调递减，函数在上单调递减，，，所以的最大值为．故选．7. A. B.C. D.【答案】【解析】函数在的图象大致为（）．D∵，∴，∴为奇函数，图象关于原点对称，排除；又，排除、；故选．8. A. B. C. D.【答案】【解析】若函数同时满足：①定义域内存在实数，使得；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“函数”．下列函数中是“函数”的为（）．A∵由①定义域内存在实数，使得的限制可知，定义域内需有正有负，且函数值有正有负，由②的限制可知，函数单调递增，对于，的定义域内有正有负，函数值有正有负，函数单调递增，故成立；对于，不是单调增函数，故不成立；对于，的值域中没有负数，故不成立；对于，的定义域中没有负数，故不成立．故选．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. A.最小正周期是 B.图象关于点对称C.图象关于直线对称D.在区间上单调递增【答案】A 选项：B 选项：C 选项：【解析】关于函数，下列说法中正确的是（）．AB由题意函数的最小正周期为，故正确．由，故正确．因为函数不存在对称轴，故错误．D 选项：因为，所以，此区间不是函数的单调递增区间，故错误．故选 A B .10.A.B.C.D.【答案】【解析】已知曲线：，：，下列说法中正确的是（）．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到BD变换方式一：由函数的图象可向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到；变换方式二：因为，所以由函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到．故选：．11.A.若，则 B.若，则C.若，则D.若，则【答案】【解析】我们知道，如果集合，那么的子集的补集为，且．类似地，对于集合，，我们把集合，且叫做集合与的差集，记作．据此，下列说法中正确的是（）．ACD由差集的定义可知，对于选项，若，则中的元素均在中，则，故选项正确；对于选项，若，则中的元素均在中，则，故选项错误；对于选项，若，则、无公共元素，则，故选项正确；对于选项，若，则，故选项正确．故选．12.A.是周期函数 B.的值域是C.在上是增函数D.，【答案】【解析】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是（）．AB由题意，所以，可得到函数是周期为的函数，且值域为，在上单调递减，故选项、正确，错误；对于选项，，所以选项错误，故选：．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】【踩分点】已知幂函数的图象过点，则实数的值是．幂函数的图象过点，则，．故答案为：．14.【答案】【解析】【踩分点】已知函数，若，则的值为．，．解得．故答案为：．15.【答案】【解析】【踩分点】已知，则的值为．∵，则．故答案为：．16.【答案】【解析】地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（）是用据震中千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，级地震的最大振幅是级地震的最大振幅的倍（精确到）．由题意可得，即，所以，【踩分点】当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为，所以，故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知集合，．当时，求．已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．．．由，得，所以．．当时，．所以．因为“”是“”的必要条件，所以．若，不符合题意；若即时，，符合题意；若，则，所以，解得．综上，．18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）方法一：方法二：（2）【解析】已知，且．求的值．求的值．．．因为，且，所以，故，又因为，所以，即，所以，所以．由（）知，又因为，所以，因为，，所以，即，解得或，因为，所以，所以．由（）知，因为，【踩分点】所以，故，所以．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】解答下列各题．计算：．已知，，求证：．．证明见解析．原式．因为在上递减，在上递增，所以，，所以，因为，且在递增，所以，即，所以，即．20.（1）（2）已知函数为上的奇函数．求实数的值．若不等式对任意恒成立，求实数的最小值．（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】．．因为函数为上的奇函数，所以对任意成立，即对任意成立，所以，所以．由得，因为函数为上的奇函数，所以，由（）得，是上的单调增函数，故对任意所以对任意因为，令，由，得，即，所以在递增，可得最大值为，故，即的最小值为．21.如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系．小球在内经过最高点的次数恰为次，求的取值范围．，．．因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为，即，所以，所以，．由题意，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点，因为小球在内经过最高点的次数恰为次，所以，因为，所以，所以的取值范围为．（注：的取值范围不考虑开闭）22.（1）12（2）对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点．已知．当时，求的不动点．若函数有两个不动点，，且．求实数的取值范围．设，求证：在上至少有两个不动点．（1）12（2）【答案】（1）12（2）【解析】和．．证明见解析．当时，，方程可化为，解得或，所以的不动点为和．因为函数有两个不动点，，所以方程，即的两个实数根为，，记，则的零点为和，因为，所以，即，解得，所以实数的取值范围为．因为．方程可化为，即，因为，，所以有两个不相等的实数根，设的两个实数根为，，不妨设．因为函数图象的对称轴为直线，，，，所以，记，因为，且，所以是方程的实数根，所以是的一个不动点，，因为，所以，，且的图象在上的图象是不间断曲线，所以，使得，又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点，综上，在上至少有两个不动点．【踩分点】。

2020-2021学年高一上期期末数学模拟试卷(新高考)(1)(解析版)

2020-2021学年高一上期期末数学模拟试卷（新高考）（一）（解析版）（测试时间:120分钟,满分:150分）一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 U = R ,集合 A = {x I x 2- 3x + 2 > 0},则 C L .A=()A. (12)B. [12]C. (-2, -1 )【答案】B【解析】因为A=(YO ,1)U(2，+OO ), U = 以CM = [1,2]・故选：B【点睛】本题考査了一元二次不等式的解法，考查了集合补集的圮义，属于基础题.2■设XGR,贝旷/>8"是牛卜2”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确怎两条件的充分性和必要性是否成立即可. 详解:求解不等式十>8可得x>2.求解绝刈门人养代卜卜22・据此可詹严分>8"是叫1>2"的充分而不必要条件•本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力属于基础题.始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A （2sina,3）,贝ijcosa =1 B ・ --2【答案】A得沁洛或—2（舍去）故选A【点睛】本题考査三角函数定义及同角三角函数基本关系式，是基础题・4 •已知c = log5 2, b = log 7 2 , c = 0・5“，则⑴S c 的大小关系为(3.已知角&的顶点为坐标原点, 【解析】由三角函数定义得 tana =---- 2sinasina EPcosa 2sina，得 3cosa = 2sin 2a = 2(1 -cos'a),解 A. ly<a<c B. a<b<cC. c<h<aD. c<a<b【答案】A【解析】因为« = log s2 = —> Z7 = log72 = —, 0<ln2<ln5<ln7,所以b<a<\.In 5 6 In 7所以c = 0.5-2 >0.5° =1 '所以bvovlvc.故选:A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考査了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.1 35.已知./U)是泄义在上的偶函数，且当XGC-0O, 0］时，/(x) = 2r+-,则/(log2］)=()A. 乂B・1 C・—D・—27 11【答案】B【解析】log2>0, /(log2= /(-log2^) = /(log2+ 7 = T + 7 = 1 * 故选:厶乙乙 D D J D【点睛】本题考查函数的奇偶性，这类问题在计算函数值时通常由奇偶性的怎义化自变呈为对称区间的值，然后利用已知解析式计算•属于基础题.6•将函数/(x) = sin(2x + 0)(O<0V/r)的图象向右平移巴个单位长度后得到函数g(x) = sin(2x+ ?)4 6的图象，则函数/(X)的一个单调减区间可以为( )A ［-A竺］B ［-壬竺］ c ［-上竺］ D ［-岂］•12,12 •6, 6 * 3, 6 • 6, 3【答案】A【解析】山』知得f(x) = sin(2x + ©)(0 v卩v ”)向右平移更个单位长度得到= sin(2x +卩- ,4 2 所以<p-^=-+2k^尸2/br +羊(0<0<兀)，:牛斗./(x) = sin(2x + —). /(x)的单调减2 63 3 3区间是2k7r + -7r<2x + — <2k7r + — 7r t即炽一丄；+丄A选项符合题意2 3 2 12 12【点睛】本题考査三角函数图像与性质，属于基础题.7.已知不等式(x+y)［丄+匕$9对任意实数％、$恒成立，则实数“的最小值为() \x y JA. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C【解析】•••(x+y) - + - =- + - + a +1・a y) y x若AyvO,则2<0,从而- + - + « +1无最小值，不合乎题意；若xy>0.则上>0, ->0. x y x % ya T v①lia<0时，- + - + « +1无最小值，不合乎题意; y x②当a = 0时，—+ - + " + 1 =丄 + 1>1,贝Ij(x+y) - + -1^9不恒成立; y x x J y)当且仅当y = 4^x 时，等号成立.所以，(需+ 1)'\9,解得a24,因此，实数a 的最小值为4•故选：C.【点睛】本题考査基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力, 属于中等题.8•若函数八切是泄义在R 上的偶函数，对任意xwR,都有/(x — l) = /(x + l),且当xe ［0J ］时,/(x) = 2x-l,若函数g(x) = /(x) — log,x + 2) (a >\)在区间(73)恰有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是()A. (1,3)B. (3,5)C. (3,5]D. (1,5]【答案】C【解析】由题意，函数/(劝是左义在R 上的偶函数，当兀丘［0,1］时，/(x) = 2v-l . 则当“[一1,0]时,则-xe[04],函数/(x) = /(-x) = 2"x-l,乂山对任总xwR ・ Wf/(x-l) = /(x+l),则/(兀)=/(兀+2) •即周期为2, 又由函数^(x) = /(x)-log/x + 2) (a>l)在区间(—1,3)恰有3个不同的零点,即函数y = /(X)与)y log.(x+2)的图象在区间(-1,3) ±有3个不同的交点，又由/(1) = /(3) = L 则满足log fl (l + 2)<l 且log“(3 + 2)ni,解得3<*5, 即实数a 的取值范围是(3,5］.故选:C.【点睛】本题主要考査了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式, 以及求得函数的周期，再集合两个函数的图彖的性质列出不等式是解答的关键，着重考査了转化思想, 以及推理与运算能力，属于中档试题.当a> 0时, (W)〔九丿 £ =竺+上+ ° +空2+ a +1 = a + 2\/a +1 =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分・在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知函数/(x) = sin(3x + ^) ] —的图象关于直线x =-对称，贝ij () I 22 丿 4C.若|/(州)一/(花)| = 2,则对的最小值为彳D.函数f(x)的图象向右平移中个单位长度得到函数y = -cos3x 的图象【答案】AC【解析】因为/(x) = sin(3x + ^)的图象关于直线x =-对称，所以3x- +(p = - + k7r(keZ)4 4 2得(p =-巴+ k 兀,keZ .因为-—<(p< —，所以k=O,(p = -—，所以/(x) = sinj4 2 2 4 I 4 丿正确：对于 C ：因为/W nux =l, /(-v)min =-l,又因为|/(^)-/(^)| = 2,所以|A- -X 2| 的最小值为半个周期，即-x- = -9故选项C 正确：3 2 3对于D ：函数/(X)的图象向右丫移乙个小位长度牟’4【点睛】本题主要考査了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考査了三角函数平移变换、三角函数的周期.单调性、最值，属于中档题(7T )/7t「7t(7t \x + — = sin 3=sin 3x .所以 / x + — 1 12丿12； 4 J I 12丿对于A ： f 为奇函数成立，故选项A 正为奇函数B.函数/(X)在令，彳上单调递增对于 B ： xe —时，3x —12 3丘0,匸~，函数f(x)在[存?|上不是单调函数：故选项B 不71= sin(3x-/r) = -sin 3x ■ 故选项D 不正确：故选：ACA. \/a >yfbB. e a <e b (^^2.718)C. (sin&+cos&)“ v(sin& + cos&『(&是第一彖限角)D. ln("~ +1) v ln(/r+1)【答案】BC【解析】⑺卩］ >［-］知：.•.亦<诉，e a<e h，即A 错误，B 正确：12 丿 \ 2 >sin& + cos& = >/Jsin(& + —)丨一<& + = < —，即 lvsin& + cos&5血，则仃4 4 4 4(sin&+COS&)" v(sin8 + cos&y ,故C 正确：ln(^2+1),In(Z?2+ 1)的大小不确怎，故 D 错误. 故选：BC【点睛】思路点睛：注意各选项函数的形式，根据对应函数的单调性比较大小.1、如：单调增函数：2、对于sin0+COS&,根据&所在象限确定貝范国即可应用/的单调性判赫人小；3、由]a <b 无法确^a 2+l,b 2+i 的大ln(a 2+l),ln(/>2+l)的大小也无法确泄•属于基础题. 11 •设“>1, b>l,且“b — (d + b) = l,那么( )C. db 有最大值3 + 2^2・D."有最小值3 + 2丁！・【答案】AD【解析】va>\, b>\, :-a + b^2^，当a = b 时取等号，・•・\ = ab-(a + b)«b-2屈，解得血+1,・•・+・・・"有最小值3 + 2血；・・・火(出 f ,当 a =b 时取等号，/■ 1 = - (a + /?)^(—)2 - (a + b),・・・(“ + 〃)2一4("+ 〃彥4，22..[(“ + 历-2穆8,解得-2/2屈即o + ^2(V2+l), :,a + b 有最小值2(72 + 1).故选：AD . 【点睛】本题考査了基本不等式在求最值时的应用，考査了计算能力，属于中档题.12•泄义：在平而直角坐标系xOy 中，若存在常数(p((p>Z 使得函数y = f(x)的图象向右平移0个单位长度后，恰与函数y = gM 的图象重合，则称函数y = /(x)是函数y = g(x)的“原形函数J 下A. a+b 有最小值2(72 + 1)B. a+b 有最大值(©+1)2 10.若导>则下列关系式中一左成立的是(列四个选项中，函数y = f(x)是函数y = g(x)的“原形函数”的是A ・ /(x) = x 2 > g(x) = x'-2x + lB ・ /(x) = sinx , g(x) = cosx X1 1C ・ /(x) = lnx, g(x) = ln 牙D ・ /(x) = (—)r t g(x) = 2({)‘【答案】AB【解析】选项A,函数f(x) = x 2的图象向右平移1个单位得函数g(x) = x 2-2x+l 的图象，函数y = /(x)是函数y = gW 的''原形函数”:选项B,函数/(x) = sinx 的图象向右平移竺个单位得函数g(x) = cosx 的图象，函数y =于(兀)是 2 函数y = g «的“原形函数”:g(x)=In —选项C,函数/(x) = lnx 的图象向卜T •移ln2个单位得函数 2的图象，函数J = fM 不是函数y = g(x)的“原形函数”:选项D,函数/W = (-)x 的图象纵坐标扩大为原来的两倍得函数g(x) = 2(-)x的图象，函以y = f(x)不是函数y = g(x)的“原形函数” •故AB 符合题意.【点睛】本题考查了函数图象的变换，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分.13 •下列命题中，真命题的序号 __ ・要条件：④“d = 2”是“函数f(x) = \x-a\在区间［2,乜)上为增函数”的充要条件.【答案】④.【解析】对⑴，・・・sinx + cosx = >sin(x +兰)故①为假命题：4刈2・命电〃：丄<()•佔 fOwcl , h/|W^:{.vLv<0 或 21}・!：. — >() .•x-lx-l{x 卜SO 或r>l},故②为假命题：对③•当x = hy = O 时，满足肩但lgx>lgy 不成立.故③为假命① Bx e R 、sin x + cos x =長; x②若〃：一vO,则-i"：x-l >0；③lgx>lgy 是的充对④.根据正弦定理 —=-^-可得，边“Ab 是sinA>sinB 的充鉴条件，故为真命题： sin A sin B 故答案为：④.【点睛】本题考査了命题的貞假性、充分条件与必要条件以及命题的否怎，涉及三角函数的性质、分式不等式的性质、指数对数的性质以及函数的单调性逐条分析即可得出答案.属于基础题.14.已知函数f(x) = x 2-\x\t 若f log 3— </(2),则实数川的取值范围是_______________________ • f g \【答案】一了8\ 9丿【解析】••• xeR,f(-x) = (-x)2-\-x\ = F _卜| = y(x),所i^f(x)=x l-\x\ 为偶函数，作图如下：sin - a cos 2a=一;一cosy + cos 匕— =_3P + 1_ = ._ m.故答案为：4：sin' a sin a cos a 2cos~ a tan 2 tz + taniZ-2 22+2-2 44由图可得小吧岛卜/(2)=>一2<1喝岛V2"<32Q 因此3- <m + \<32/.--</H<8 故答案为:【点睛】本题考査根据函数图象解不等式.考査数形结合思想方法，属基础题.15.已知un“2,则沁坯竺sin a-cos asin 2 a + sin a cos a-2 cos 2a【答案］(1). 4«2i.-4【解析】 sin a 2 cos a sina + 2cosa =cos a cos a sin a- cos a sin a _ cos a tan a+ 2 2 + 2------ = =4 , tan a -1 -- 2-1cos a cos asin 2tz + 2cos 2asin 2 a + sin a cos a-2 cos 2 a sin 2 a + sin a cos a-2 cos 2a-- 5 -- 1----- i --- _ ---- -cos' a cos' a cos~ a【点睛】本题考査正弦余弦齐次分式的讣算，一般利用弦化切的思想进行il•算，考査计算能力，属于基础题.16.已知函数/(x) = 2cosx (xe[0,^])的图象与函数g(x) = 3kmx的图象交于A，3两点，则\OAB (0为坐标原点)的而积为 _______________ •【答案】—2【解析】函数y=2cos.x- (xE[0, TT])和函数y=3taiu的图象相交于A、B两点,O为坐标原点,由2cos.v=3taiu\ 可得2cos"=3sinx・即2sin2.v+3siiiv - 2=0,("I siav= —, 或sinr=・2 •舍去)，vG[O t町，/.A =—, 或牙=雲:2 6 6.•• A : —■ y/3〉、B ' -—•—，I川i 出图象如图所示；6 6根据函数图象的对称性可得AB的中点C 工、0).2・•・AOAB的而积等于△OAC•的而枳加上AOCB的而枳，等丁丄・OC•网+ —OC*|yd=—・00以-yd= —#2 = —it,故选D.2 2 2 2 2 2【点睛】本题主要考査了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分。

2019-2020年江苏省高三上学期期末数学试卷分类：三角函数、解三角形

五、三角函数（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·9）在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ02πϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为.【答案】6π2.（无锡期末·8）函数cos(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=-的图像重合，则ϕ=．【答案】6π3.（镇江期末·3）函数 y 3sin(24π)图像两对称轴的距离为【答案】2π 4（镇江期末·8）已知锐角满足θθcos 6tan =，则=-+θθθθcos sin cos sin【答案】322+5.（镇江期末·10）函数x x x y tan cos -=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ，其值域为【答案】2,1]4π6.（常州期末·12）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()(0,0π)y x ωϕωϕ=+><<的图象与轴的交点,,A B C 满足2OA OC OB +=，则ϕ=．【答案】34π7.（南京盐城期末·8）已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为．【答案】34π 8.（南京盐城期末·9）.若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是．【答案】1(0,]49.（苏州期末·15）已知函数2()(3sin )232f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量的取值集合；（2）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的单调增区间．【答案】解（1）2()(3sin )23sin 2f x x x x =+-223cos 23sin cos sin 23sin 2x x x x x =++-3(1cos2)1cos2222x xx +-=+ ················ 2分cos 222x x =+2cos(2)23x π=++． ············· 4分当223x k π+=π+π，即()3x k k π=π+∈Z 时，()f x 取得最小值0．此时，()f x 取得最小值时自变量的取值集合为,3x x k k π⎧⎫=π+∈⎨⎬⎩⎭Z ．································ 7分（注：结果不写集合形式扣1分）（2）因为()2cos(2)23f x x π=++，令2222()3k x k k ππ+π+π+π∈Z ≤≤， ·············· 8分解得()36k x k k π5π+π+π∈Z ≤≤， ················ 10分又[,]22x ππ∈-，令1k =-，,26x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，令0k =，,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在[,]22ππ-的单调增区间是,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ······· 14分（注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分） 10.（苏北四市期末·9）若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为．【答案】4六、解三角形（一）试题细目表（二）试题解析1.（南通泰州期末·16）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222a b c bc =+-，2a =. （1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】【解】（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得，2221cos 22b c a A bc +-==.又因为()0,A π∈，所以3A π=.在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=得，sin sin b B Aa ===（2）因为2a b b =>，所以A B >，即得03B π<<.又sin B =，所以cos B ==.在ABC ∆中，A B C π++=，所以cos()cos()1212C A B πππ+=--+cos()4B π=-+cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22⎫=-⎪⎪⎝⎭=2.（无锡期末·16）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3cos 4A =，2C A =. （1）求cosB 的值；（2）若24ac =，求ABC ∆的周长. 【答案】解：（1）因为3cos 4A =，所以2cos cos 22cos 1C A A ==-2312()148=⨯-=.在ABC ∆中，因为3cos 4A =，所以7sin 4A =，因为1cos 8C =，所以2137sin 1()88C =-=，所以9cos cos()sin sin cos cos 16B A B A B A B =-+=-=. （2）根据正弦定理sin sin a c A C =，所以23a c =，又24ac =，所以4a =，6c =.2222cos 25b a c ac B =+-=，5b =.所以ABC ∆的周长为15.3.（镇江期末·15）在ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若b cos A a cos B 2c cos C .（1）求 C 的大小；（2）若b2a ,且ABC 的面积为32，求c.【答案】解：（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，且b cos A a cos B 2c cos C 得 sinB cos A sinA cos B2sinC cos C ，所以sin (B A )2sinC cos C ，又A ,B ,C 为ABC 内角，所以B A πC ，所以 sinC2sinC cos C ，因为C ∈(0，π)，所以sinC >0，所以cos C ，所以C π（2）因为ABC 的面积为32，所以absinC 32，所以ab43sin C. 由（1）知Cπ，所以sinC32，所以ab又因为b 2a ,解得a2,b4,所以2222212cos 24224()282c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以27c =4.（扬州期末·16）已知在△ABC 中，AB=6，BC=5，且△ABC 的面积为9.(1) 求AC ；(2) 当△ABC 为锐角三角形时，求)62cos(π+A 的值。

江苏高一高中数学期末考试带答案解析

江苏高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知全集，则 .2.函数的最小正周期为 .3.幂函数的定义域为 .4.平面直角坐标系中，角的终边上有一点P，则实数的值为 .5.已知，把按从小到大的顺序用“”连接起来： .6.半径为，圆心角为的扇形面积为.7.函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 .8.已知，，若的夹角为，则 .9.已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为 .10.如图，平行四边形中，是边上一点，为与的交点，且，若，，则用表示 .11.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .12.将函数的图象先向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，则函数的值域为 .13.已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足，则的最小值是 .14.已知定义在上的函数为单调函数，且，则 .二、解答题1.已知，且是第一象限角．（1）求的值；（2）求的值.2.已知，，当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？3.已知函数（其中）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）求方程的解集．4.已知函数且的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；（3）解不等式：．5.我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量的关系允许近似的满足：（其中为关税的税率，且，为市场价格，、为正常数），当时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求、的值；（2）若市场需求量为，它近似满足．当时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值．6.已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．江苏高一高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知全集，则 .【答案】【解析】求就是求补集，也就是在全集中去掉原集合中的元素的集合，去掉剩下所以，解这类问题，一需明确全集范围，二是将结果写成集合形式.【考点】补集.2.函数的最小正周期为 .【答案】【解析】由三角函数的最小正周期得.解决这类问题，须将函数化为形式，在代时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.【考点】三角函数的周期计算.3.幂函数的定义域为 .【答案】【解析】因为所以定义域为.求函数定义域、值域，及解不等式时，需明确最后结果应是解集的形式.列不等式时要分清是否含有等号,这是解题的易错点. 幂函数的定义域，不仅看值的正负，而且看的奇偶.【考点】幂函数的定义域.4.平面直角坐标系中，角的终边上有一点P，则实数的值为 .【答案】1【解析】由三角函数定义知，若角的终边过异于原点的点则因此.由三角函数定义求三角函数值是一种本质方法，在高考解答题中也时有出现.本题易错点在于要由确定点在第一象限，所以【考点】三角函数定义.5.已知，把按从小到大的顺序用“”连接起来： .【答案】【解析】多个数比较大小，一般先进行分类.因为，所以最小，只需比较大小即可. 是两种不同形式，一个是对数值，另一个是三角函数值，比较它们大小需借助第三量进行传递，第三量选择为数1，即【考点】比较大小.6.半径为，圆心角为的扇形面积为.【答案】【解析】因为扇形面积为，所以本题在运用公式求面积时需将圆心角化为弧度，这是与初中的扇形面积公式的区别.【考点】扇形面积.7.函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 .【答案】（2,0）【解析】求函数过定点问题可有两个思路，一是几何方法，从函数图像出发，找出定点，因为对数函数过定点，所以过定点（2,0），这是因为函数向右平移一个单位就得到，二是代数方法，从函数解析式出发，研究什么点的取值与无关，由知当取1，即取2时，恒等于0，即点（2,0）恒在函数上.【考点】函数过定点问题，函数图像变换.8.已知，，若的夹角为，则 .【答案】【解析】因为，，的夹角为，所以而求向量的模，一般先求其平方.【考点】向量数量积.9.已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】令，则由得实数的取值范围为，本题可结合二次函数图像理解，也可从零点存在定理理解.二次函数在有一个根，在有另一根，而时，恒大于零，所以【考点】实根分布，二次函数图像，零点存在定理.10.如图，平行四边形中，是边上一点，为与的交点，且，若，，则用表示 .【答案】【解析】若,这就是向量定比分点公式.由向量定比分点公式得【考点】向量定比分点公式，向量三角形法则.11.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】不等式恒成立通常用分离变量法.由不等式得，而当时，所以.用分离变量法解不等式恒成立问题时，一要注意方向，是取最大值，还是最小值；二是注意等号是否取到.【考点】不等式恒成立.12.将函数的图象先向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，则函数的值域为 .【答案】【解析】由知，.由得，所以函数的值域为.求值域时需结合三角函数图像取最大与最小.【考点】三角函数图像与性质13.已知中，边上的中线AO长为2，若动点满足，则的最小值是 .【答案】【解析】若三点共线，则,反之也成立.由得三点共线且. 等于【考点】向量共线，基本不等式.14.已知定义在上的函数为单调函数，且，则 .【答案】【解析】设，令，则由题意得：，即；再令，则由题意得：，即，，∵函数为上的单调函数，解得：，即.【考点】函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和.二、解答题1.已知，且是第一象限角．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用同角三角函数关系中平方关系：得再由是第一象限角，舍去负值，得（2）先根据诱导公式将式子统一成一个角：，再利用同角三角函数关系解出值.试题解析：（1）∵ α是第一象限角∴∵∴cosα＝＝ 5分（2）∵ 7分∴＝tanα＋ 14分【考点】诱导公式，同角三角函数关系.2.已知，，当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？【答案】（1）；（2）,方向相反.【解析】（1）向量，则；（2）向量，则.向量方向决定于系数正负.试题解析：， 4分（1）由，得：，解得：． 8分（2）由，得，解得：， 12分此时，所以它们方向相反． 14分【考点】向量平行与垂直关系.3.已知函数（其中）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3）求方程的解集．【答案】(1) ,(2),(3)或.【解析】（1）由图求三角函数解析式，关键从图中找出有效信息.从最值可得振幅A，从平衡点(或零点)到最值可求周期，要注意是四分之一周期，代最值点可求初相，注意初相取值范围，（2）根据所求解析式求单调增区间，也可直接从图像写出增区间，如从最小到最大就为一个增区间，(3) 根据所求解析式求零点，也可直接从图像写出根，如就为一个根，为下一个根.试题解析：（1）由图知，， 1分周期， 3分又，，，． 6分（2） 8分∴函数的单调增区间为： 11分（3）∵∴， 13分∴，∴方程的解集为． 15分或观察图象并结合三角函数的周期性写出解集为：或，也得分．结果不以集合形式表达扣1分．【考点】根据图像求三角函数解析式，求三角函数增区间，求三角函数零点.4.已知函数且的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；（3）解不等式：．【答案】（1），（2）详见解析，（3）或.【解析】（1）求函数的解析式,只需确定的值即可，由函数且的图象经过点，得，再由得，（2）用函数单调性的定义证明单调性，一设上的任意两个值，二作差，三因式分解确定符号，（3）解不等式，一可代入解析式，转化为解对数不等式，需注意不等号方向及真数大于零隐含条件，二利用函数单调性，去“”，注意定义域.试题解析：（1），解得：∵且∴； 3分（2）设、为上的任意两个值，且，则6分，在区间上单调递减． 8分（3）方法（一）：由，解得：，即函数的定义域为； 10分先研究函数在上的单调性．可运用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减，证明过程略．或设、为上的任意两个值，且，由（2）得：，即在区间上单调递减． 12分再利用函数的单调性解不等式：且在上为单调减函数．， 13分即，解得：． 15分方法（二）： 10分由得：或；由得：，13分． 15分【考点】函数解析式，函数单调性定义，解不等式.5.我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量的关系允许近似的满足：（其中为关税的税率，且，为市场价格，、为正常数），当时的市场供应量曲线如图：（1）根据图象求、的值；（2）若市场需求量为，它近似满足．当时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率的最小值．【答案】（1），（2）.【解析】（1）求、的值，需列两个独立条件，利用图象过两点：，得方程组，注意隐含条件可避开讨论，（2）由“市场平衡价格”含义得出与的函数关系式，这是一个二次函数，结合定义域可求出的最小值.试题解析：（1）由图象知函数图象过：，，， 2分得， 4分解得：； 6分（2）当时，，即， 8分化简得： 10分令，，设，对称轴为，所以，当时，取到最大值：，即，解得：，即税率的最小值为． 15分答：税率的最小值为． 16分【考点】函数解析式，函数最值.6.已知函数，．（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】（1）奇函数，（2），(3)【解析】（1）函数奇偶性的判定，一要判定定义域是否关于原点对称，二要判定与是否相等或相反，（2）函数是分段函数，每一段都是二次函数的一部分，因此研究单调性，必须研究它们的对称轴，从图像可观察得到实数满足的条件：，(3)研究方程根的个数，通常从图像上研究，结合（2）可研究出函数图像.分三种情况研究，一是上单调增函数，二是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增，三是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增.试题解析：（1）函数为奇函数．[来当时，，，∴∴函数为奇函数； 3分（2），当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，即时，函数在上是增函数； 7分（3）方程的解即为方程的解．①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； 9分②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调增∴∴； 12分③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴，设∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调减∴∴； 15分综上：． 16分【考点】函数奇偶性，函数单调性，函数与方程.。

江苏省13市2020-2021学年高一(上)期末试题汇编(新高考)：函数的综合(解析版)

g′（x）＝1﹣ ＝，
当1＜x＜4时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以2＜g（x）＜，
所以x3+x4＝x4+ ∈（2，），
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6∈（14，），
故答案为：（14，）．
（2020-2021·连云港·上期末）15．若函数f（x）＝x2+ax﹣ 在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．
当x∈（m+1，2m+2]时，2m+2﹣x∈[0，m+1），
则f（x）＝2e﹣f（2m+2﹣x）＝2e﹣e|m+2﹣x|．
综上，f（x）＝．
（2）设f（x）在区间[0，2m+2]上值域为A，在[（1﹣e）3，（e﹣1）3]的值域为B，则B＝[2e﹣e2，e2]．
因为对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，
所以，
所以；
（3）由（1）可知，当时，，记，
若函数在上的最大值为，则
1）当，即时，在上最小值为1，
因为图象的对称轴为，所以，
解得，符合题意；
2）当，即时，在上最大值为1，且恒成立，
因为图象是开口向上的抛物线，在的最大值可能是或，
若，则，不符合题意，
A．L（1，6）＝L（1，2）+L（1，3）
B．L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv）
C．
D．对正数u，h有
【答案】ABD
【解析】对于A，L（1，6）＝ln6＝ln2+ln3＝L（1，2）+L（1，3），则A对；
对于B，对于区间[1，uv]＝[1，u]∪[u，uv]，[1，u]∩[u，uv]＝{u}，

江苏省13市高三数学上学期考试试题分类汇编三角函数

江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ .2、（南通市2017届高三第一次调研测）函数2sin(3)3y x π=-的最小正周期为 ▲ ．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ▲ ． 4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．6、（苏州市2017届高三上期末调研测试）若832παtan tan =，则=-)tan(8πα7、（泰州市2017届高三第一次调研）函数)πy=2sin(3x-3的最小正周期为＿＿＿8、（无锡市2017届高三上学期期末）设()2sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为 . 9、（盐城市2017届高三上学期期中）在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的大小为 ▲ ．10、（扬州市2017届高三上学期期中）0240sin = 。

11、（扬州市2017届高三上学期期末）已知1cos()33πα+=()2πα<<0，则sin()πα+= ▲ ．12、（镇江市2017届高三上学期期末）将函数)sin(425π+=x y 的图象向左平移)(20πϕϕ<<个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则=ϕ ．二、解答题 1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.2、（南通市2017届高三第一次调研测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB =25．（1）求cos β的值；（2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 2B =，tan 3C =．（1）求角A 的大小；（2）若3c =，求b 的长． 4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=．（1）求角A 的值；（2）若3cos 5B =，求sin()B C -的值．5、（苏州市2017届高三上学期期中调研）已知函数()2sin()cos 3f x x x π=+⋅．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且3()f A =，2b =，3c =，求cos()A B -的值．6、（盐城市2017届高三上学期期中）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示. （1）求,,ωϕA 的值；（2）设θ为锐角，且3()35f θ=-，求()6πθf -的值.7、（扬州市2017届高三上学期期中）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编三角函数苏教版

三角函数一、填空题1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=的最小正周期为 ▲ ．答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +ϕ)(0<ϕ<π)的图象关于点(π3，0)中心对称，则ϕ＝ ▲ . 答案：π3;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 ▲ . 答案：6π4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .2-5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，2，则AC 的长度为．答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且5,3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．5 8、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ．答案：19、（镇江市2013届高三期末）在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ．答案：－1 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-．（1）求sin()αβ-的值；（2）求cos β的值．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 2、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值； (2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. (14)3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若cos(A ＋6π)＝sinA ，求A 的值； (2)若cosA ＝14，4b ＝c ，求sinB 的值．4、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1）求角A 值；（2）求C B cos sin 3-的最大值.解：⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=，所以3sin cos B C -23sin cos()3B B π=--133sin (cos sin )22B B B =--+sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=时，3sin cos B C -的最大值为1． ……………………14分6、（苏州市2013届高三期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．（苏州市2013届高三期末）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．C B A D7、（泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。

三角函数-2020-2021学年高一数学上学期期末复习专题训练(全国通用)解析版

k , k Z
，
2
42
8
8
所以
f
(x)
的单调递减区间为
k
3 8
, k
7 8
(k
Z)
，故选：D
【点睛】本题考查了由三角函数的部分图像求解析式以及三角函数的图像和性质，属于中档题.
8.已知函数
f
(x)
sin x(
0) 在区间[
2
,
] 上单调递增，且
f
(x)
1在区间[0, 2
] 上有且
33
仅有一解，则的取值范围是（）
【答案】D
【解析】与
6
终边相同的角是
6
2k
,
k
Z
，故选：D.
【点睛】本题考查了终边相同角的表示,属于基础题.
2.已知
f
cos
π 2
sin
π 2
cosπ tan π
，则
f
2020 3
π
（
）
A． 3 2
B． 1 2
C． 1 2
D． 3 2
【答案】B
【解析】
f
cos
2
A． (0, 3] 4
B． (3 , 3) 42
【答案】D
【解析】因为 f (x) sin x( 0) ，
C．[1 , 5) 44
D．[1 , 3] 44
令 2
2k
x
2
2k , k Z
，即 2
2k
x
2
2k
,kZ
，
所以函数
f
(x)
的单调递增区间为
2
2k
,

江苏省13市高一(上)期末试题汇编(新高考)：数学文化及实际应用(原卷版)

江苏省13市2020-2021学年高一（上）期末试题汇编（新高考）：数学文化及实际应用一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的｡（2020-2021·徐州·上期末）6.智能主动降噪耳机工作的原理是:通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音｡已知某噪音的声波曲线y = Asin (x +φ)(A >0,0≤φ<π2)的振幅为2,经过点(6π则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为.2sin()6A y x π=+ .2sin()6B y x π=-+ C.y=2sinx D.y=-2sinx（2020-2021·无锡·上期末）7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上人定为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg/ml ，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（）A. 6B. 5C. 4D. 3（2020-2021·无锡·上期末）4. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：m/s )可以表示为v =12log 3Q 100，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（）A. 2500B. 2600C. 2700D. 2800（2020-2021·宿迁·上期末）12．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利。

江苏省13市2020-2021学年高一(上)期末试题汇编(新高考)：不等关系及不等式(原卷版)

（2020-2021·淮安·上期末）19．已知关于 x 的不等式 x2+mx﹣12＜0 的解集为（﹣6，n）．（1）求实数 m，n 的值；（2）正实数 a，b 满足 na+2mb＝2．
①求
的最小值；
②若 2a+16b﹣t≥0 恒成立，求实数 t 的取值范围．
三、填空题：
（2020-2021·无锡·上期末）13. 函数 ሺ ‫ݔ‬
ഹ 的最小值为_______.
（2020-2021·泰州·上期末）15. “勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图 1)的两直角边长分别为 a 和 b，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长”，公元 263 年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图 2 和图 3 所示的解答，则图 1 中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为_____，当内接正方形的面积为 1 时，则图 3 中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为____.
D．若 a＞b＞0，则
（2020-2021·扬州·上期末）9．下列说法中，正确的有（） A．若 a＜b＜0，则 ab＞b2
B．若 a＞b＞0，则
C．若对∀x∈（0，+∞），
恒成立，则实数 m 的最大值为 2
D．若 a＞0，b＞0，a+b＝1，则
的最小值为 4
（2020-2021·盐城·上期末）9．下列说法正确的是（） A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞b，c＞d，则 a+c＞b+d C．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd
A. 若 a b 且 1 1 ，则 궀 ഹ ⅈ ab

2020-2021高一上学期期末测试卷(三)(解析版)-高一数学必修一期末复习(苏教版2019)

2020-2021高一上学期期末测试卷（三）班级：___________姓名：___________得分：___________一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.已知集合A={x|4≤x<8}，B={x|2<x<10}，则(∁R A)∩B=()A. {x|4≤x<8}B. {x|2<x<8}C. {x|4<x<10}D. {x|2<x<4}∪{x|8≤x<10}【答案】D【解析】解：∵集合A={x|4≤x<8}，B={x|2<x<10}，∴C R A={x|x<4或x≥8}，∴(∁R A)∩B={x|2<x<4或8≤x<10}．故选：D．先求出C R A={x|x<4或x≥8}，由此能求出(∁R A)∩B．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设x∈R，“x>1“的一个充分条件是()A. x>−1B. x≥0C. x≥1D. x>2【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件的应用，根据条件转化为对应集合的关系是解决本题的关键．根据充分条件的定义进行判断即可．【解答】解：满足，“x>1“的一个充分条件表示的范围应该是{x|x>1}的子集，则只有x>2满足条件．，故选：D．+log27的值为()3.log287A. 3B. −3C. 1D. −1【解析】【试题解析】【分析】根据对数的运算法则计算即可．本题考查了对数的运算，属于基础题．【解答】解：log 287+log 27=log 2(87×7)=log 28=3，故选：A4. 已知x ，y >0且x +4y =1，则1x +1y 的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】解：∵x ，y >0且x +4y =1， ∴1x+1y=(1x+1y)(x +4y)=1+4+xy+4y x ≥5+2√x y⋅4y x=9．当且仅当x =13，y =16时，等号成立． ∴1x +1y 的最小值为9．故选：B ．由1x +1y =(1x +1y )(x +4y)，展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值．本题考查利用基本不等式求最值，关键是“1”的灵活运用，是基础题．5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. y =|x|(x ∈R)B. y =1x (x ≠0) C. y =−x 2(x ∈R)D. y =−x(x ∈R)【答案】D 【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于B，y=1x(x≠0)，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，y=−x2，为偶函数，不符合题意；对于D，y=−x，在其定义域内既是奇函数又是减函数，符合题意．故选D．6.函数y=12lnx+x−2的零点所在的区间是()A. (1e,1) B. (1,2) C. (e,3) D. (2,e)【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．由函数的解析式求得f(1)<0，f(2)>0，故有f(1)⋅f(2)<0，再根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在区间．【解答】解：∵函数y=12lnx+x−2的定义域为(0,+∞)，在定义域内单调递增，而且f(1)=−1<0，f(2)=12ln2>0，故有f(1)⋅f(2)<0，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在区间是(1,2)，故选：B．7.若α为第二象限的角，且，则)A. −1213B. −513C. 1213D. 513【答案】A【分析】本题考查三角函数的基本概念，同角函数的基本关系，属于基础题．本题的解题关键是联立方程组，再根据角的象限得出结果．【解答】解：，① 又，②由①②解得，又α为第二象限的角，所以，故选A ．8. 已知函数f(x)是定义域R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增，若实数a 满足f(log 2a)+f(log 21a )≤2f(1)，则a 的取值范围是( )A. (−∞,2]B. (0,12]C. [12,2]D. (0,2]【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键.属于中档题．根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f(x)是定义域R 在上的偶函数，∴由f(log 2a)+f(log 21a )≤2f(1)，得f(log 2a)+f(−log 2a)≤2f(1)，即f(log 2a)+f(log 2a)=2f(log 2a)≤2f(1)，则f(log 2a)≤f(1)， ∵在区间[0,+∞)单调递增， ∴不等式等价为f(|log 2a|)≤f(1)，即|log 2a|≤1，则−1≤log 2a ≤1，得12≤a ≤2，二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.下列命题是真命题的是()A. lg(lg10)=0B. e lnπ=πC. 若e=lnx，则x=e2D. ln(lg1)=0【答案】AB【解析】【分析】本题考查命题真假的判定，根据对数的运算法则逐个判断即可，属于基础题．【解答】解：对于A，lg (lg 10)=lg1=0，故正确；对于B，e lnπ=π，正确；对于C，因为e=lnx，则x=e e，故错误；对于D，ln (lg 1)=ln0，不存在，故错误．故选AB．10.已知1a >1b>0，则()A. a3>b3B. |a|>|b|C. ba >1 D. (12)a>(12)b【答案】CD【解析】【分析】本题考查不等式的性质，幂函数以及指数函数的性质，属基础题．由已知1a >1b>0，可得0<a<b，然后对四个选项逐一判定即可．【解答】解：∵1a >1b>0,∴0<a<b．对于A，因为函数f(x)=x3是增函数，所以a3<b3，可见A错误；对于B，|a|=a<b=|b|，可见B错误；对于C ，ba >1成立，可见C 正确；对于D ，因为函数f (x )=(12)x是减函数，所以(12)a>(12)b，可见D 正确．11. 如图是函数y =sin (ωx +φ)的部分图象，则sin (ωx +φ)=( )A. sin (x +π3)B. sin (π3−2x)C. cos (2x +π6)D. cos (5π6−2x)【答案】BC 【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，难度一般．利用排除法逐一判断A 、D ，借助图像分别求出ω,φ，结合诱导公式即可判断B 、C ．【解答】解：由图可知x =π6时，y =0，逐一代入可排除A ； x =0时，y >0，逐一代入可排除D ；由图象可知，解得ω=±2，不妨取ω=−2，y =sin (−2x +φ)．将代入解析式，可得，解得．不妨取k =0，则，即y =sin (π3−2x)，故B 成立．又sin (π3−2x)=cos (2x +π6)，故C 成立．综上，可知BC 正确．故选BC ．12. 已知函数f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ⩽3,12x 2−6x +292,x >3,若方程f(x)=m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列说法正确的是( )A. 1x 1+1x 2=1 B. 1<x 1<2<x 2<3 C. x 3+x 4=6D. x 3x 4∈(27,29)【答案】ABD 【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分段函数，函数图象的作法，对数与对数运算，函数的零点与方程根的关系和数形结合思想，属于中档题．利用函数的零点与方程根的关系把问题转化为函数y =f (x )与y =m 的图象有四个不同的交点，再利用分段函数的图象作法，函数y =f (x )与y =m 的图象，再利用数形结合和对数运算对A 与B 进行判断，再利用根与系数的关系对C 与D 进行判断，从而得结论．【解答】解：作出函数f(x)的图象，方程f (x )=m 有四个不同的实根，即函数y =f (x )与y =m 的图象有四个不同的交点，如下图所示：因为x 1<x 2<x 3<x 4，所以方程f (x )=m 有四个不同的实根，因此由图可知m ∈(0,1)，由题意知|log 2(x 1−1)|=|log 2(x 2−1)|且1<x 1<2<x 2<3，所以log 2(x 1−1)=−log 2(x 2−1)，即log 2(x 1−1)+log 2(x 2−1)=0，因此log 2[(x 1−1)(x 2−1)]=0，即(x 1−1)(x 2−1)=1，所以x 1+x 2=x 1x 2，所以1x 1+1x 2=1，因此选项AB 正确；又x 3，x 4是方程12x 2−6x +292=m (0<m <1)的两根，即x 3，x 4是方程x 2−12x +29−2m =0(0<m <1)的两根，所以x 3+x 4=12，x 3x 4=29−2m ，因为m ∈(0,1)，所以x 3x 4=29−2m ∈(27,29)，因此选项C 错误，选项D 正确．故选ABD ．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.化简求值：(8116)−14+log 2(43×24)= ______ ．【答案】323 【解析】【分析】本题考查指数幂及对数运算，是基础题．利用指数幂及对数运算法则直接求解即可．【解答】解：(8116)−14+log 2(43×24)=(32)−1+log 2210=23+10 =323．故答案为323．14. 扇形周长为4，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为_________．【答案】2 【解析】【分析】本题考查角的弧度数与度数间的转化，扇形的弧长公式和面积公式的应用，体现了转化的数学思想．设出弧长和半径，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，转化为关于半径的二次函数，配方求出面积的最大值．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=4，即l=4−2r(0<r<2)，①扇形的面积S=12lr，将①代入，得S=12(4−2r)r=−r2+2r=−(r−1)2+1，所以当且仅当r=1时，S有最大值1．此时l=4−2×1=2，α=lr=2.所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值．故答案为：2．15.已知函数f(x)是定义在上的奇函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，则f(2)=______．【答案】12【解析】【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，属于基础题．由已知当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，先求出f(−2)，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，∴f(−2)=−12，又∵函数f(x)是定义在上的奇函数，∴f(2)=−f(−2)=12，故答案为12．16.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+3a14=0至少有6个不同实数根，则实数a的取值范围是_________．【答案】67<a≤78【解析】【分析】本题考查分段函数及函数图象的应用，同时考查二次方程根的分布与函数的奇偶性，属于难题．令f(x)=t ，则关于t 的方程t 2+at +3a14=0在[−12,−14)有两个不同实数根，或在(−12,−14)有一根，在(−14,0)有一根，画出函数图象，由图象分析求解即可．【解答】解：因为当x ⩾0时，f(x)={−18x 2,0≤x ≤2−(12)x −14,x >2，且y =f(x) 是定义域为R 的偶函数，所以f(x)的值域为[−12,0]，作出f(x)的图象如下图，由图知关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+3a14=0至少有6 个不同实数根，令f(x)=t ，则关于t 的方程t 2+at +3a14=0在[−12,−14)有两个不同实数根，或在(−12,−14)有一根，在(−14,0)有一根，所以{ Δ=a 2−67a >0−12<−a 2<−1414−a 2+3a 14≥0116−a 4+3a14>0或{ 3a14>014−a 2+3a 14>0116−a 4+3a 14<0，解得67<a ≤78，故答案为67<a ≤78．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|x 2−5x +6>0}，(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2+ax +b <0的解集是A ∩B ，求ax 2+x −b <0的解集．【解析】本题考查一元二次不等式求解，考查学生计算能力，属于中档题． (1)先化简A ，B 再按照交集的定义求解计算．(2)由(1)得A ∩B ={x|−1<x <2}，所以−1，2是方程x 2+ax +b =0的两根，求出a ，b 确定出ax 2+x −b <0，再求解．【答案】解：(1)由题意得：A ={x|−1<x <3}，B ={x|x <2或x >3}， ∴A ∩B ={x|−1<x <2}．(2)由题意得：−1，2是方程x 2+ax +b =0的两根所以{−1+2=−a −1⋅2=b ，解之得{a =−1b =−2，所以−x 2+x +2<0，其解集为{x|x <−1或x >2}．18. 已知幂函数f(x)=x α的图象过点(2,4)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数ℎ(x)=2f(x)−kx −1在[−1,1]是单调函数，求实数k 的取值范围．【解析】(1)根据题意可得4=2α，可得α的值，进而得到函数f(x)的解析式； (2)由(1)可得ℎ(x)=2x 2−kx −1，其对称轴为x =k4，然后由ℎ(x)在[−1,1]是单调函数，得到k4≤−1或k4≥1，再求出实数k 的取值范围．本题考查函数解析式的求法和函数的性质，属于基础题．【答案】解：(1)因为幂函数f(x)=x α的图象过点(2,4)．所以4=2α，解得α=2，所以函数f(x)=x 2．(2)ℎ(x)=2f(x)−kx −1=2x 2−kx −1，对称轴为x =−−k 4=k4，因为ℎ(x)在[−1,1]是单调函数，所以k4≤−1或k4≥1，解得k≤−4或k≥4，所以实数k的取值范围为k≤−4或k≥4．19.已知函数f(x)=3sin(x+π4)．(1)用五点法在下列直角坐标系中画出它在[−π4,7π4]上的图象；(2)写出函数f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．【解析】本题主要考查正弦函数的图象和性质的运用.考查“五点作图法”的应用，考查函数的值域，周期和对称性和单调性，属于基础题．(1)利用“五点作图法”，列表、描点、连线，即可得到函数图像．(2)根据正弦函数的性质可得函数f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．【答案】解：(1)列表如下：描点画图如图所示．(2)由图可知，值域为[−3,3]，最小正周期为2π，对称轴为x =π4+kπ，k ∈Z ．单调递增区间为[−3π4+2kπ,π4+2kπ](k ∈Z)，单调递减区间为[π4+2kπ,5π4+2kπ](k ∈Z)．20. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x(百辆)需另投入成本y(万元)，且y ={10x 2+100x,0<x <40501x +10000x −4500,x ≥40.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2020年的利润S(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润=销售额−成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【解析】(1)根据年利润=销售额−投入的总成本−固定成本，分0<x <40和x ≥40两种情况得到利润S(万元)关于年产量x(百辆)的分段函数关系式；(2)当0<x <40时利用二次函数的性质求出S 的最大值，当x ≥40时，利用基本不等式求S 的最大值，最后再比较即可．本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．【答案】解：(1)当0<x <40时，S(x)=500x −10x 2−100x −3000=−10x 2+400x −3000，当x ≥40时，S(x)=500x −501x −10000x+4500−3000=1500−x −10000x，∴S(x)={−10x 2+400x −3000 ,0<x <401500−x −10000x ,x ≥40；(2)当0<x<40时，S(x)=−10x2+400x−3000，这个二次函数的对称轴为x=20，所有当x=20时，S(x)=1000为最大值，当x≥40时，S(x)=1500−x−10000x =1500−(x+10000x)，∵x+10000x ≥2√x⋅10000x=200，当且仅当x=10000x即x=100时，等号成立，∴S(x)≤1500−200=1300，即当x=100时，S(x)取到最大值1300，∵1300>1000，∴当x=100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元．21.已知函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，且f(x)+g(x)=log4(4x+1)．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)若函数ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)(a>0)在R上只有一个零点，求实数a的取值范围．【解析】本题考查函数的零点的求法，函数的解析式，函数的奇偶性的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．(1)利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．(2)利用函数只有一个零点，通过换元法，对a分类讨论，结合二次方程求解即可．【答案】解：(1)因为f(x)+g(x)=log4(4x+1)，①∴f(−x)+g(−x)=log4(4−x+1)=log4(4x+1)−x，又∵函数f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数，∴f(x)−g(x)=log4(4x+1)−x，②由①②得f(x)=log4(4x+1)−x2，g(x)=x2．(2)由ℎ(x)=f(x)−12log2(a⋅2x+2√2a)=log4(4x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=12log2(22x+1)−x2−12log2(a⋅2x+2√2a)=0．得：log222x+12x=log2(a⋅2x+2√2a)⇒(a−1)22x+2√2a⋅2x−1=0，令t=2x，则t>0，即方程(a−1)t2+2√2at−1=0(∗)只有一个大于0的根，①当a =1时，t =√24>0，满足条件；②当方程(∗)有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1<0，∴a >1； ③当方程(∗)有两个相等的且为正的实根时，则Δ=8a 2+4(a −1)=0，解得a =12或a =−1(舍)，当a =12时，t =√2>0，满足条件．综上所述，a =12或a ≥1．22. 已知函数f(x)=a·4x −14x +1是定义在R 上的奇函数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式：f(x 2−2x)+f(3x −2)<0；(3)是否存在实数k ，使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是[k 4m ,k4n ]？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】本题考查了函数的单调性、函数的奇偶性、指数函数及其性质和函数的零点与方程根的关系，是难题．(1)由奇函数得f(0)=0，得出a 的值，再检验即可；(2)设任意x 1,x 2∈R 且x 1<x 2，由单调性的定义证明单调性，由f (x )是定义在R 上的奇函数且是在(−∞,+∞)上单调增函数，则f(x 2−2x)<f(2−3x)，得x 2−2x <2−3x 解出即可；(3)假设存在实数k ，由函数f (x )在[m,n ]上单调递增，得{4m −14m +1=k4m4n −14n+1=k4n ，所以m ，n 为方程4x −14x +1=k4x 的两个根，令4x =t >0，即方程t 2−(1+k )t −k =0有两个不等的正根，由根的分布得出关系式解出即可.. 【答案】解：(1)∵f (x )=a⋅4x −14x +1是定义在R 上的奇函数，∴f (0)=0，从而得出a =1，a=1时，f(x)+f(−x)=4x−14x+1+4−x−14−x+1=4x−14x+1+14x−114x+1=4x−14x+1+1−4x1+4x=0，∴a=1；(2)f(x)是R上的增函数，证明如下：设任意x1,x2∈R且x1<x2，=24x2+1−24x1+1=2(4x1−4x2)(4x2+1)(4x1+1)，∵x1<x2,∴4x1<4x2,4x1+1>0,4x2+1>0,∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)是在(−∞,+∞)上是单调增函数．∵f(x2−2x)+f(3x−2)<0，又∵f(x)是定义在R上的奇函数且在(−∞,+∞)上单调递增，∴f(x2−2x)<f(2−3x)，∴x2−2x<2−3x，∴−2<x<1；(3)假设存在实数k，使之满足题意，由(2)可得函数f(x)在[m,n]上单调递增，∴{f(m)=k4mf(n)=k4n,∴{4m−14m+1=k4m4n−14n+1=k4n,∴m,n为方程4x−14x+1=k4x的两个根，即方程4x−14x+1=k4x有两个不等的实根，令4x=t>0，即方程t2−(1+k)t−k=0有两个不等的正根，∴{1+k2>0Δ>0−k>0,∴−3+2√2<k<0．∴存在实数k，使得函数f(x)在[m,n]上的取值范围是[k4m ,k4n]，并且实数k的取值范围是(−3+2√2,0)．。