高一数学《解三角形》练习题
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，=，那么b =【答案】【解析】由已知得，【考点】等差数列性质，余弦定理2.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里.（1）求的面积；（2）求，之间的距离.【答案】（1）平方海里；（2）海里【解析】（1）在△ABD中，由题可知∠BAD=，∠ADB=，利用正弦定理，即可求得AD，代入三角形面积公式即可求得三角形ABD的面积；（2）由题可知∠ABC=，又知所以∠BCA=，所以AB=AC=，在△DBC中，利用余弦定理即可求出CD.试题解析：（1）如图所示,在中由正弦定理可得，， 4分则的面积（平方海里） 8分（2），12分在中，由余弦定理得，即（海里）答：的面积为平方海里，，间的距离为海里. 16分考点:正弦定理；余弦定理；三角形面积公式；运算求解能力3.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.【答案】①④【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为，所以且，则，且角B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，=,故③不正确；对于④，如图：因为，且，所以必有两解，故④正确.【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.4.已知是的三条边的长，对任意实数，有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为的三边长，判别式，又三角形中两边之和大于第三边，，又，关于x的方程与x轴没有交点，二次项系数，故恒成立【考点】根的判别式，三角形三边的关系5.在分别是角A、B、C的对边，，且．(1)．求角B的大小；(2)．求sin A＋sin C的取值范围．【答案】（1）B=；（2）．【解析】（1）由，可得，等式中边角混在了一起，需要进行边角的统一，根据正弦定理可得，进一步变形化简可得，∴B；（2）由（1）可得，即，因此可以将sinA+sinC进行三角恒等变形转化为关于A的函数，即，从而可以得到sinA+sinC取值范围是．（1）由，得由正弦定理得：，又又又；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故sin A＋sin C的取值范围是．【考点】1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．6.在钝角三角形ABC中，若，，则边长的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，且中必有一角为钝角，由正弦定理得，代入得，化简得，当时，，所以，当时，，所以，综合选D.【考点】解三角形与不等式的综合运用.7.已知点A（1，3）， B（3，1 ）， C（-1，0），则的面积为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】根据题意，由于A（1，3），B（3，1 ），C（-1，0）那么可知该三角形的AB=，AC=，BC=结合三边的长度可知，该三角形的一个角A, ,结合正弦面积公式可知得到，的面积为5，故答案为A.【考点】三角形的面积点评：主要是考查了解三角形的面积公式的运用，属于基础题。
高一数学解三角形练习题
解析：△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．
若△A2B2C2不是钝角三角形，由 ，得 ，
那么，A2＋B2＋C2＝ －(A1＋B1＋C1)＝ ，与A2＋B2＋C2＝π矛盾．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
6．C
解析：由 ＝ ，得sinA＝ ＝ ＝ ，
而b＜a，
∴有两解，即∠A＝60°或∠A＝120°．
必修五解三角形
一、选择题
1.△ABC中，若 ，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
2．在△ABC中，若 ＝ ＝ ，则△ABC是()．
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则c边的对角等于()．
得cosC＝ ，∠C＝60°．
由正弦定理 ＝ ＝ ，得sinA＝ ，sinB＝ ，
∴sinA·sinB＝ ＝ ，
∴ ＝1，ab＝c2．将ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b．
△ABC是等边三角形．
10．D
解析：由正弦定理得sinA＝ ，①中sinA＝1，②中sinA＝ ．分析后可知①有一解，∠A＝90°；②有两解，∠A可为锐角或钝角．
A．15°B．45°C．60°D．120°
4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶ ∶2，则sinA∶sinB∶sinC＝()．
A． ∶2∶1B．2∶ ∶1C．1∶2∶ D．1∶ ∶2
5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()．
高中数学解三角形(有答案)
高中数学解三角形(有答案) Solving Triangles1.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
18 B。
19 C。
16 D。
172.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
17 B。
19 C。
16 D。
183.(2014 Yunnan Mock Exam) In triangle ABC。
if b^2-a^2-c^2=ac。
what is the measure of angle B?A。
30° B。
60° C。
120° D。
150°4.(2013 Shaanxi) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and bc cos C + c cos B = a sin A。
What is the shape of triangle ABC?A。
XXX5.(2013 Hunan) In acute triangle ABC。
the XXX angles A and B are a and b。
respectively。
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.3.如图，要测出山上石油钻井的井架的高，从山脚测得m，塔顶的仰角，塔底的仰角，则井架的高为（）A．m B．m C．m D．m【答案】B【解析】依题意，在三角形ABC中，，角B=45°，角BAC=45°-15°=30°，所以由正弦定理得，，故选B。
【考点】正弦定理的应用点评：简单题，利用三角形内角关系，确定角创造了应用正弦定理的条件。
4.有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清．具体如下：在中角所对的边长分别为，已知角，，，求角．若已知正确答案为，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件．（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于在中角所对的边长分别为，已知角，，，那么根据正弦定理可知，,由于b<a，则可知角A有两个解，舍去，对于A中，同理可知不成立，对于C，可知A=B,不成立，故选D.【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理以及余弦定理的运用，属于基础题5.如图，在中，，，(1)求；(2)记BC的中点为D，求中线AD的长．【答案】（1）（2）AD【解析】解：（1）由，C是三解形内角，得2分4分---5分（2）在中，由正弦定理 -7分，又在中，，由余弦定理得， 910分本题也可利用向量法。
注意。
【考点】解三角形点评：主要是考查了三角函数的恒等变换以及解三角形的运用属于基础题。
6.在中，．(1)求边长的值；(2)求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由正弦定理得……5分（2）由余弦定理 7分8分所以 10分【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积。
高一数学解三角形试题
高一数学解三角形试题1.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？【答案】点B在使∠AOB＝的位置时，四边形OACB面积最大【解析】在中,由已知OA=2,OB=1,设∠AOB=,则可应用余弦定理将AB的长用的三角函数表示出来,进而四边形OACB面积S＝S△AOB ＋S△AB表示成为的三角函数,再注意将三角函数化简成为的形式,就可求得使四边形OACB面积最大的角的值,从而就可确定点B的位置.试题解析：设∠AOB＝α， .1分在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα＝5－4cosα， .4分于是，四边形OACB的面积为S＝S△AOB ＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2 6分＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)＝sinα－cosα＋＝2sin＋. .10分因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大12分 12分【考点】1.解三角形;2.三角函数的性质.2.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.3.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)．设AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函数关系式,并求函数的定义域；(2)．如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．【答案】（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=处，如果DE是参观路线，则DE为AB中线或AC中线时，DE最长，证明过程详见解析．【解析】（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根据面积公式可得，消去AE后即可得到y与x的函数关系式，又根据可以得到x的取值范围；（2）如果DE是水管，则问题等价于当时，求的最小值，利用基本不等式即可求得当时，y有最小值为，如果DE是参观路线，则问题等价于问题等价于当时，求的最小值，根据函数在[1,2]上的单调性，可得当x=1或2时，y有最小值．（1）在△ADE中，由余弦定理：①又∵②②代入①得（y＞0）, ∴，由题意可知，所以函数的定义域是，；（2）如果DE是水管,当且仅当，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．如果DE是参观线路，记，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故∴y＝．即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．max【考点】1、平面向量的数量积；2、三角形面积计算．4.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为，测得塔基的俯角为，那么塔的高度是（）米．A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，＝，故选A．【考点】解斜三角形的实际应用．5.给出下列四个命题，其中错误的命题是（）①若，则是等边三角形②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等腰三角形；A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】D【解析】①中三者乘积为1,则其中一个应当大于1,另外两个乘积小于1,显然后者可以成立,但是前者不成立,故前者只能取到1,所以剩余两个乘积为1,同理只能都为1,因为,所以,正确;②当时, ,三角形是等边三角形,错误;③三角形中,当内角是钝角时,余弦值为负数,所以三个内角中必有一个是钝角,两个是锐角,三角形必然是钝角三角形,正确;④当时,有所以,三角形为等腰三角形或是直角三角形,错误.【考点】利用角判断三角形的形状.6.在△ABC中，，，，则△ABC的面积为 .【答案】【解析】根据三角形面积公式.【考点】三角形面积.7.如图，在△中，已知，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【答案】【解析】解：在△中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴, 5分∴, ∴ 7分∴在△中，∵，∴， 11分∴ 15分【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理的运用，属于基础题。
高一数学必修5《解三角形》测试题(含答案)
高一数学必修5《解三角形》测试题(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR《解三角形》测试题一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ） A. BA > B.B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18C ．93D ．1834．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－145．△ABC 中，1c o s 1c o s A aB b-=-，则△ABC 一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形6. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为( )A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C )C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sinC cos(A ＋B ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)7．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．8．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 9、ABC ∆中，若b=2a , B=A+60°,则A= .10．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++＝________．三、解答题(本大题共3小题，共40分)11．(本小题共12分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．12. (本小题共14分) 一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.13. (本小题共14分)在∆ABC 中，设,2tan tan bbc B A -=，求A 的值。
高一数学解三角形单元测试及答案
解三角形本章测试一. 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确选项填涂在答题卡上指定位置。
1. 在ABC ∆中，2,2,6a b B π===，则A =（ ）.A4π .B 3π.C 34π .D 344ππ或2.在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为（ ）.A 030 .B 045 .C 0120 .D 01503. 已知ABC ∆中，::114A B C =：：，则::a b c 等于（ ）.A 1:1:3 .B 2:2:3 .C 1:1:2 .D 1:1:44. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若02,1,29a b B ===，则此三角形解的情况是（ ）.A 无解 .B 有一解 .C 有两解 .D 有无数解 5. 在ABC ∆中，00090,045C A ∠=<<，则下列各式中，正确的是（ ）.A sin sin A B > .B tan tan A B > .C cos sin A A < .D cos sin B B <6. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔的南偏西075、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ ）.A62海里/时 .B 346/时 .C 1722海里/时 .D 2海里/时 7. 已知ABC ∆的面积为S ，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224(),4S a b c bc =--=，则=S （ ）.A 2 .B 4 .C3 .D 238. 已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若15cos 4C =，cos cos 3b A a B +=，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） .A 3 .B 22 .C 4 .D 69. 在ABC ∆中，已知222222sin sin a A b Ba cb bc a =+-+-，则ABC ∆的形状为（ ）A.直角三角形；B.等腰三角形；C.等腰或直角三角形；D.等边三角形10. ABC ∆中，060A ∠=,若332ABC S ∆=,且2sin 3sin B C =,则ABC ∆周长为（ ）.A 57+ .B 12 .C 107+ .D 527+11. 在锐角ABC ∆中， ()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若3a =，则22b c +的取值范围是（ ）.A 3,6（）.B 3,5（） .C ,6]（5 .D [5,6] 12. ABC ∆的内角，，的对边分别为，，，已知2511cos cos cos 2442C a A c B =-+， 且2b =，则a 的最小值为（ ）.A65 .B 75.C 9625 .D 11225二. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)
高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1． 答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2． 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7． 所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3． 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42． 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4． 答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5． 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6． 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7． 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ． 8． 答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9． 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ． 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10． 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ． 因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， 所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11． 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12． 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14． 答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2． 由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15． 答案 22解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ． 由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16． 答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4． 设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42． 三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1． 又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°． 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。
高一数学解三角形综合练习题
高一数学解三角形综合练习题TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】必修五 解三角形一、选择题 1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2D.2 2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长A. 1公里B. sin10°公里C. cos10°公里D. cos20°公里4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 60，则底边长= （）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （）A ．135<<xB ．13＜x ＜5C ．2＜x ＜5D ．5＜x ＜56． 在ABC ∆中，60A ∠=，a =3b =，则ABC ∆解的情况 （）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定7．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A= （）A ．090B ．060C ．0120D ．01508．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形9．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得75BCD ︒∠=，60BDC ︒∠=，60CD =米，并在点C 测得塔顶A 的 仰角为60︒，则塔高AB = （ ）A ．B ．90米C ．D ． 10．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离2d 之间的关系为 （ ）A. 21d d >B. 21d d =C. 21d d <D. 不能确定大小二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知a =2b =，ABC ∆的面积S=3，则C = ；12．在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = ；13．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝____ __；14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 ；15．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？【题】在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45，若△ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）A.()2,+∞B.（0，2）C.()2,22D.()2,2 【解法1】△ABC 有两解，a sin B <b <a ，x sin 45<2<x , 即222,x << 故选C.【解法2】,sin sin abA B = sin sin 452sin .24a Bx x A b===△ABC 有两解，b sin A <a <b , 222,4xx ⨯<< 即0<x <2, 故选B.你认为 是正确的 （填“解法1”或“解法2”）16.在中，若，则的形状是A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形三、解答题：（共 6 小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
解三角形专题练习【附答案】
解三角形专题（高考题）练习【附答案】1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =.设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ，…记→→•=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A =cos 10B =. —（Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，Ａ Ｂ Ｃ120°θ(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
高一数学解三角形试题答案及解析
高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。
【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.3.在中，满足下列条件的三角形有两个的是（）.A．B．C．D．【解析】选项A:,;又，三角形有一解；同理选项B有一解；选项C:，,所以三角形有一解；选项D:，,所以三角形有两解.【考点】解三角形.4.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.5.△ABC中，若sinA＜cosB，则△ABC为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】,,,是钝角三角形.【考点】三角形的形状判断.6.的三内角成等差数列，且，则= .【解析】因为的三内角成等差数列，所以又，所以=.【考点】三内角成等差数列7.在中三个内角 A、B、C所对的边分别为则下列判断错误的是（）A.若则为钝角三角形B.若则为钝角三角形C.若则为钝角三角形D.若A、B为锐角且则为钝角三角形【答案】C【解析】,可得.A正确；由余弦定理可知，为钝角，正确；,的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A、B为锐角且，可得.【考点】三角函数相关性质，余弦定理，向量的数量积.8. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】．【考点】两角和差的公式．9.如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【答案】1小时【解析】解实际问题，关键在于正确理解题意.本题关键在于正确理解方位角的概念.解三角形问题，需正确选用正余弦定理，本题三角形ADB中可得两角一边，即，因此可利用正弦定理得，解出=，再在中，由余弦定理得=从而得到需要的时间（小时）.试题解析：由题意知海里，3分在中，由正弦定理得 4分=（海里）， 6分又海里 7分在中，由余弦定理得=9分30（海里），10分则需要的时间（小时）。
高一数学专题练习：三角函数与解三角形_测试题（有解析、答案）
三角函数与解三角形 测试题(时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于( )π235π4A. B ．7C ．－D ．－717172．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为( )A ．－B ．－ C.D.321212323．要得到y ＝sin(2x －)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像( )π3A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位π3π3C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位π6π64．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2C.D.235．有一种波，其波形为函数y ＝sin(x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最π2高点)，则正整数t 的最小值是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．66．若函数f (x )＝(1＋tan x )cos x,0≤x ＜，则f (x )的最大值为( )3π2A ．1B ．2C.＋1D.＋2337．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)在[－，0]上为减函数的θ 值为( )3π4A ．－B ．－ C.D.π3π65π62π38．若向量a ＝(sin(α＋),1)，b ＝(4,4cos α－)，若a ⊥b ，则sin(α＋)等于( )π634π3A ．－B.C ．－ D.343414149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则( )A ．ω＝，φ＝B ．ω＝，φ＝π2π4π3π6C ．ω＝，φ＝ D ．ω＝，φ＝π4π4π25π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－＜φ＜)的图像关于直线x ＝对称，它π2π22π3的周期是π，则 ( )A ．f (x )的图像过点(0，)12B ．f (x )的图像在[，]上递减5π122π3C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(，0)5π12二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知α是第二象限角，sin α＝，则sin2a 等于________1212．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f ()＝________.7π1213．计算：＝________.cos10°＋3sin10°1－cos80°14．设函数y ＝2sin(2x ＋)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－，0]，则x 0＝π3π2________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝c .则的值35tan Atan B为________．答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.π2π41345(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(，)，记∠COA ＝α.3545(1)求的值；1＋sin2α1＋cos2α(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0.(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，)，b ＝(cos x ，－1)．32(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－，0]上的值域．π220．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：x －π6π35π64π311π67π317π6y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为，当x ∈[0，]时，方程f (kx )＝m 恰2π3π3有两个不同的解，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y ＝|cos x ＋sin x |.(1)画出函数在x ∈[－，]上的简图；π47π4(2)写出函数的最小正周期和在[－，]上的单调递增区间；试问：当x 在R 上取何值π43π4时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x 是△ABC 的一个内角，且y 2＝1，试判断△ABC 的形状．。
高中数学 解三角形练习题及答案
高中数学解三角形练习题及答案解三角形1.最大角与最小角的和为180°，因此答案为D．150°。
2.根据正弦定理，a/XXX，因此a∶b＝sinA∶sinB，答案为B．3.根据正弦定理，a/XXX，因此边长之比为sin1∶sin2∶sin3，答案为B．4.根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，代入已知数值，可得cosC=1/2，因此∠C=60°，c=√(a²+b²-2abcosC)=5.5.根据正弦定理，a/sinA=2R，代入已知数值可得R=3，因此△ABC的形状大小是唯一的。
6.根据余弦定理，若a²+b²-c²<0，则△ABC是锐角三角形。
7.根据正弦定理，a/sinA=2R，代入已知数值可得R=3/√3，因此a=3√3.8.根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，代入已知数值可得cosA=1/4，因此A=75°，B=45°，C=60°，b=2a/√3=2√3.9.由题意可列方程x+3cos150°=3，解得x=3.10.由题意可列方程AB/AC=tan45°=1，XXX√3，解得AB=60米，BC=60√3米，因此电视塔的高度为AB/tan45°=60米。
11.根据正弦定理，b=10sin60°/sin45°=10√3.12.根据余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，代入已知数值可得cosB=1/2，因此B=60°，b=2sinB=2√3-2.13.根据正弦定理，sinC=3sin60°/10=√3/5，代入反正弦函数可得∠C=60°。
14.根据正弦定理，sinC=c/2R，代入已知数值可得R=√(a²+b²-c²)/2sinC=√(20)/√3，因此△ABC的形状大小是唯一的。
高一数学解三角形正余弦定理基础练习题(含答案)
高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高高第I卷（选择题）一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1.在△ABC中，A=60°，b=1，SΔABC=√3,求a+2b+csinA+2sinB+sinC=()A. √3B. 4√33C. 2 D. 2√3932.在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足c=2acosB，则ΔABC的形状是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形3.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若的面积为a2+b2−c24，则C=()A. π2B. π3C. π4D. π64.在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°，则此三角形()A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数不确定5.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosB−bcosA=c，则△ABC是()A. 等腰或直角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形6.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=√52b，A=2B，则cos B等于()A. √53B. √54C. √55D. √56二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）7.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=8，b<4，c=7，且满足(2a−b)cosC=c⋅cosB，则下列结论正确的有()A. C=60∘B. ▵ABC的面积为6√3C. b=2D. ▵ABC为锐角三角形8.已知角A,B,C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有()A. sin(B+C)=sinAB. cos(A+B)=cosCC. 若A>B，则sinA>sinBD. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）9.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则cosB=．10.在△ABC中，若(a−c)(a+c)=b(b+c)，则A=．11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=．四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）12.在锐角三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且2csinC=(2b−a)sinB+(2a−b)sinA．(1)求角C；(2)若c=2√3，求△ABC的周长l的取值范围．13.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径R满足R2+2accos B=a2+c2．(1)求B的大小；(2)若b=2，C=5π，求△ABC的面积．1214.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sinA，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cosA的值；(2)求cos(2A−π3)的值．15.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求B的大小；(2)若b=√13,a+c=4，求△ABC的面积．16.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且asinB−√3bcosA=0．(1)求角A；(2)若a=√13，b=3，求△ABC的面积．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA =√3acos B .(1)求角B 的大小;(2)若b =3，sinC =2sinA ，求a ，c 的值．18. 如图所示，在四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7．(1)求cos∠CAD 的值；(2)若cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，求BC 的长．19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosBcosC−sinBsinC=1．2(1)求A；(2)若a=2√3，b+c=4，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．先由三角形面积公式求出c，由余弦定理求出a，再由正弦定理可得．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，b=1，SΔABC=√3,∴√3=12bcsinA，即√3=12c×√32，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，∴a2=1+16−4=13，即a=√13，∴由正弦定理得，asinA =bsinB=csinC=2R，∴2R=2√393，∴a+2b+csin A+2sin B+sin C =2R=2√393．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查应用解三角形判定三角形的形状，基础题型．解题关键是将已知的等式进行化简，这里用到了余弦定理，化简后得到a=b，从而得到答案．【解答】解：∵c=2acosB，∴c=2a·a2+c2−b22ac，∴a2=b2，∴a=b，∴△ABC的形状是等腰三角形．故选D.【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题．由S△ABC=12absinC=a2+b2−c24得sinC=a2+b2−c22ab=cosC，由此能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选C．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查正弦定理解三角形的应用，解题的关键是熟练掌握正弦定理解三角形的计算，利用正弦定理得sinB=2√23，又a<b，可得三角形解的个数．【解答】解：因为asinA =bsinB，所以sinB=ba ·sinA=2418×sin45°=2√23．又因为a<b，所以B有两解，∴三角形有两解．故选C．【解析】【分析】本题考查正弦定理和两角和与差的正弦公式，属于基础题．利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式变形后，得到A为直角，可得出三角形ABC为直角三角形．【解答】解：利用正弦定理，化简已知的等式得：即sinAcosB−sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴2cosAsinB=0，∵0<B<π，∴sinB≠0，∴cosA=0，∵0<A<π，，所以△ABC是直角三角形，故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理和二倍角公式的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，通过正弦定理、二倍角公式得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．【解答】解：∵△ABC中{a=√52bA=2B，∴根据正弦定理及二倍角公式得{sinA=√52 sinBsinA=sin2B=2sinBcosB，在△ABC中，，∴cosB=√54，故选B．7.【答案】AB【解析】【分析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，属于中档题．利用定理逐项验证，即可求出结果．【解答】解：∵(2a−b)cosC=c⋅cosB，∴2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=12，∵C∈(0°,180°)，∴C=60°，故A正确；由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcosC，即49=64+b2−8b，且b<4，解得b=3，故C错误；∴S△ABC=12absinC=12×8×3×√32=6√3，故B正确；∵b2+c2−a2=49+9−64=−6<0，∴角C为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故D错误．故选AB．8.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，属于基础题也是易错题．由题意利用诱导公式，正弦定理，正弦函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于A，三角形ABC中，∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，故A正确；对于B，三角形ABC中，∵A+B+C=π，∴cos(A+B)=−cosC，故B错；对于C，因为A>B，所以a>b，根据正弦定理可得sinA>sinB，C正确；对于D，因为sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，此三角形为等腰三角形或直角三角形，故D错．故选AC．9.【答案】2936【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．sinA：sinB：sinC=3：4：6，由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，不妨设a=3，b=4，c=6.再利用余弦定理即可得出．【解答】解：sinA：sinB：sinC=3：4：6，由正弦定理可得：a：b：c=3：4：6，不妨设a=3，b=4，c=6．由余弦定理可得：cosB=32+62−422×3×6=2936．故答案为：2936．10.【答案】120°【解析】【分析】本题考查余弦定理，属于基础题．把已知等式整理后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：因为(a−c)(a+c)=b(b+c)，即b2+c2−a2=−bc，所以根据余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =−12，又A为三角形的内角，则A=120°．故答案为120°．11.【答案】30°【解析】【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于基础题．利用正弦定理化简，得到c=2√3b，代入a2−b2=√3bc得到a=√7b，利用余弦定理求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：利用正弦定理化简，得到c=2√3b，代入a2−b2=√3bc中，得：a2−b2=6b2，即a=√7b．由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =2224√3b2=√32．∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为30°．12.【答案】解：(1)由已知及正弦定理可得2c2=(2b−a)b+(2a−b)a，即c2=b2+a2−ab，则cos C=b2+a2−c22ab =12，因为0<C<π2，所以C=π3．(2)因为c=2√3，C=π3，所以由正弦定理得asinA =bsinB=csinC=4，则a=4sinA,b=4sinB=4sin(2π3−A)，△ABC的周长=4sinA+4sin (2π3−A)+2√3=4√3sin (A+π6)+2√3，在锐角三角形ABC中，{0<A<π2,0<2π3−A<π2,得π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3,所以√32<sin(A+π6)≤1，所以6+2√3<4√3sin(A+π6)+2√3≤6√3，所以△ABC的周长l∈(6+2√3,6√3]．【解析】【试题解析】本题考查了解三角形的正弦定理、余弦定理的应用及正弦型三角函数的性质，属于中档题．(1)由条件，利用正弦定理，得到c2=b2+a2−ab，结合余弦定理，得到C=π3；(2)利用正弦定理，得到a=4sin A,b=4sin B=4sin (2π3−A)，表示出三角形的周长，利用角的范围，根据正弦型三角函数的性质得到结果．13.【答案】解：，，，，又B为锐角，∴B=π6．(2)∵b=2，C=5π12，∴A=π−(π6+5π12)=5π12，∴a=c，由余弦定理，得，∴a2=4(2+√3)，．【解析】本题主要考查了三角形面积公式、正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．(1)由知B=π6．(2)由余弦定理，得求得a2=4(2+√3)，即可求得三角形的面积．14.【答案】解：(1)∵△ABC的面积为3sinA=12bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=√2sinA，可得：b+c=√2a，∴由周长为4(√2+1)=√2a+a，解得：a=4，∴cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc=a2−1212=13，(2)∵cosA=13，∴sinA=√1−cos2A=2√23，∴sin2A=2sinAcosA=4√29，cos2A=2cos2A−1=−79，∴cos(2A−π3)=cos2Acosπ3+sin2Asinπ3=4√6−718．【解析】(1)由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】解：(1)由cosBcosC =−b2a+c及正弦定理得，即2sinAcosB+cosBsinC=−sinBcosC，∴2sinAcosB=−(cosBsinC+sinBcosC)=−sin(B+C)=−sinA，∵A为三角形的内角，sinA≠0，，∵B为三角形的内角，；(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，得b2=(a+c)2−2ac−2accosB，∵b=√13，a+c=4，B=23π，∴13=16−2ac×(1−12)，∴ac=3，．【解析】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．(1)由正弦定理得，cosBcosC =−sinB2sinA+sinC，可得，结合B的范围即可求出结果；(2)由余弦定理得，b2=a2+c2−2accosB，可得13=16−2ac×(1−12)，解得ac=3，利用三角形面积公式即可求出答案．16.【答案】解：，∴由正弦定理可得：，∵sinB≠0，，即tanA=√3，∵A∈(0,π)，；(2)∵a=√13，b=3，，∴由余弦定理，可得：，，∴解得：，(负值舍去)，．【解析】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的综合运用，三角形面积公式运用，考查了学生对基本公式的运用能力和变形能力，属于基础题．(1)已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出tanA的值，即可确定出角A的大小；(2)由cosA，a，b的值，利用余弦定理求出c的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．17.【答案】解：(1)∵bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB，又sinA≠0，∴tanB=√3．∵B是△ABC的内角，∴B=π．3(2)∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，，得9=a2+4a2−2a⋅2acosπ3解得a=√3(负根舍去)，∴c=2a=2√3．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由bsinA =√3acosB 可得sinBsinA =√3sinAcosB ，化简整理即可得出；(2)由sinC =2sinA ，可得c =2a ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，代入计算即可得出．18.【答案】解：AD =1，CD =2，AC =√7，(Ⅰ)在△ADC 中，由余弦定理， 得cos∠CAD =AC 2+AD 2−CD 22AC⋅AD=(√7)2+12−222×√7×1=2√77； (Ⅱ)设∠BAC =α，则α=∠BAD −∠CAD ，，且都为三角形内角， ，∴sinα=sin(∠BAD −∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD −cos∠BADsin∠CAD =3√2114×2√77+√714×√217=√32， 在△ABC 中，由正弦定理，BCsinα=ACsin∠CBA ， 解得：BC =3． 即BC 的长为3．【解析】本题考查了正余弦定理的运用，两角和与差的三角函数公式和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)在△ADC 中，由余弦定理直接求解可得cos∠CAD 的值．(Ⅱ)由cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，利用同角三角函数关系式，两角和与差的三角函数公式和正弦定理即可求BC 的长．19.【答案】解：(1)∵cosBcosC−sinBsinC=cos(B+C)=−cosA=12．∴cosA=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)∵a=2√3，A=2π3，b+c=4，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得：12=b2+c2+bc=(b+c)2−bc=16−bc，可得：bc=4，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×4×√32=√3．【解析】(1)由已知利用两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可求cosA=−12，结合范围A∈(0,π)，可求A的值．(2)由已知及余弦定理可求bc=4，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．。
高一数学解三角形试题答案及解析
高一数学解三角形试题答案及解析1.地面上有两座塔AB、CD，相距120米，一人分别在两塔底部测得一塔顶仰角为另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，求两座塔的高度。
【答案】40米，90米.【解析】绘出几何示意图，寻找角关系，并建关系式.其中，且，建立方程（1）；又因为，且由题可知，建立方程（2）试题解析：连结BO、OD、 AD、 BC，设两塔AB、CD的高分别为x，y米，则在中，则在中，由得， ( 1 ) 5分又在中，在中，.而，所以，即（2） 10分由（1）（2）式解得： x = 40(米)， y = 90(米)答：两座塔的高分别为40米、90米. 14分【考点】正切函数应用.2.设甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:由图可知，在中，,则；在中，,则，；即甲、乙两楼的高分别是.【考点】解直角三角形.3.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.4.已知的三个内角满足：，则的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】由,,从而有:,再注意到,又,故知是以角C为直角的直角三角形,所以选B.【考点】三角公式.5.在中，内角、、所对的边分别为、、，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则有两解；④必存在、、，使成立.其中，正确命题的编号为．（写出所有正确命题的编号）【答案】②③【解析】①根据大边对大角可知,如果是钝角,则此时,显然错误.②当三角形是锐角三角形时,根据正弦函数性质可知;当三角形是钝角三角形时,有,则,因为，所以,此时有,正弦函数性质可知,即.正确.③因为，即，所以必有两解.正确.④根据正切和角公式,可得.则有根据诱导公式有代入上式,则上式若是锐角,则;此时.若是钝角,则;此时.错误.【考点】三角形中边角关系;三角函数性质;三角函数和角,诱导公式的使用.6.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，，，解得.【考点】解三角形.7.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解.其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.【答案】①④【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为，所以且，则，且角B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，=,故③不正确；对于④，如图：因为，且，所以必有两解，故④正确.【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.8.中，若，则的面积为（）．A．B．C．1D．【答案】A【解析】根据三角形面积公式可得面积为．【考点】三角形面积公式的选择和计算．9.如图，从高为的气球上测量铁桥的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则该桥的长可表示为A．B．C．D．【答案】A【解析】过A作垂线AD交CB于D，则在Rt△ADB中，∠ABD=α，AB＝．又在中，∠C=β，∠BAC=α-β，由正弦定理，得∴BC＝即桥梁BC的长度为，故选A．【考点】解三角形的实际应用．10.两地相距，且地在地的正东方。
高一数学三角函数解三角形习题
1.α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝_____。
2.已知扇形AOB 的周长是6cm ，该圆心角是1弧度，则扇形的面积=3.设a <0,角α的终边经过点P （－3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于4.函数2cos 1y x =-的定义域是_____ __5.化简1150-︒2sin 的结果是 。
6.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα 。
7.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则 。
8.化简=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ9.根据sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=及cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-，若 3sin sin (cos cos ),(0,),(0,)3θϕϕθθπϕπ+=-∈∈且，计算 ____.θϕ-=10.集合{2ππ4ππ|+≤≤+k k αα，∈k Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）11.函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3x 2sin(3y π-=的图象-------------（ ）（A ）向左平移个6π单位 （B ）向右平移个6π单位（C ）向左平移个3π单位 （D ）向右平移个3π单位12.已知0tan ,0sin ><θθ，那么θ是第 象限的角。
13.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在 14.若cos 0,tan 0αα<>，化简211cos α-= 。
o yx o y x o y x o y xoy 11211π x 15.已知α是第二象限角，那么2α是 （ ） A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角16.已知542cos ,532sin -=θ=θ，则角θ终边所在象限是（ ）（A ） 第三象限 （B ）第四象限 （C ）第三或第四象限 （D ）以上都不对17.已知α是锐角，则下列各式可能成立的是（ ）（A ）21cos sin =α+α（B ）1cos sin =α+α（C ）34cos sin =α+α（D ）35cos sin =α+α 18.右图是函数)2|)(|x sin(2y π<φφ+ω=的图象，那么-------------------（ ）（A ）6,1110π=φ=ω （B ）6,1110π-=φ=ω（C ）6,2π=φ=ω （D ）6,2π-=φ=ω19.已知)(x f 是奇函数，且0<x 时，x x x f 2sin cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x 2sin x cos +（B ）x 2sin x cos +-（C ）x 2sin x cos -（D ）x 2sin x cos --20.已知x 2sin )x (tan f =，则)1(-f 的值是 。
高一数学解三角形训练卷
高一数学解三角形训练班级：___________ 学号：___________ 姓名：___________一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1． 在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形2． 在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 3． 在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( )A.53B.54C.55D.564． 已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( )A ．30°或150°B ．30°或60°C ．60°或120°D ．60°或150°5． 在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6． 在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5B. 5C ．25或 5D ．以上都不对7． 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，0D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞8． △ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928D ．9 29． 在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形10．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 11．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 12．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( )A.21B.106C.69D.154二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________．14．已知△ABC 中，3a 2—2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C =________．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 16．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b 、c 的值．18．(12分) 已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos 2A 的值．19．(12分) 已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α), α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且a ⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3的值．20．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45.(1)求sin 2B ＋C2＋cos 2A 的值； (2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .21．(12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．高一数学解三角形参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．答案 B解析 原式可化为a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． 2． 答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.3．答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.4． 答案 A解析 根据正弦定理得a sin A ＝2R ，sin A ＝a 2R ＝12，∵0°<A <180°，∴A ＝30°或150°.5．答案 C解析 由cos A cos B >sin A sin B ，得cos A cos B －sin A sin B ＝cos (A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角． 6．答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴5＝15＋c 2－215×c ×32. 化简得c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0，∴c ＝25或c ＝ 5. 7． 答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk 3mk >m (k ＋1)，∴k >12.8． 答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.9．答案 C解析 由已知得cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin C sin A ，由正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，即a 2(b ＋c )－(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)＝bc (b ＋c )⇒a 2＝b 2＋c 2，故△ABC 是直角三角形． 10．答案 D解析 △A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形， 若△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B1C 2＝π2－C1，那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，矛盾，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．11．答案 D解析 A 中，∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，∵sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21， 即有解，故A 、B 、C 都不正确，用排除法应选D. 12．答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB②①＋②得72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案2＋1解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π4)＋1，∴y max ＝2＋1.14．答案 13解析 由3a 2—2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13.15．答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3,cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.16．答案 1解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B .∴B ＝π3.由正弦定理知，sin A ＝a sin B b ＝12.又a <b .∴A ＝π6，C ＝π2.∴sin C ＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以sin A ＝a b sin B ＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.18．解 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π，∴0<B <π2，A ＋C >π2，0<2A ＋C <π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝35.∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )]＝35×⎝⎛⎭⎫－35－⎝⎛⎭⎫－45×45＝725.∴cos 2A ＝1－2sin 2A ＝527625. 19．解 (1)∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0.∵cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0.解之，得tan α＝－43或tan α＝12.∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，tan α<0，∴tan α＝12(舍去)．∴tan α＝－43. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π.由tan α＝－43，得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255，cos ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．解 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝5950. (2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13.21．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ，∴cos A ＝63.(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.22．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，由正弦定理得a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab. 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
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高一数学《解三角形》练习题1.1.1正弦定理 一、选择题（1）解：由正弦定理得：又，故选（A ）. (2)解：选(C).（3）解：，或.选(D )二、填空题 (4)解：(5)解析由正弦定理得三角形，故C=° （6）解：或C=600时，,a=6C=1200时,,a=3故a=6或a=3 三、解答题（7）【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求.22sin sin 2460sin 34=⇒=︒B B B A b a >∴>, .45︒=B 12,,,::sin :sin :sin 263222A B C a b c A B C πππ======)0sin (21sin sin sin 2sin sin 2≠=⇒=⇒=B A B A B B a b ︒=∴30A ︒150.260sin 345sin =⇒︒=︒b b 11··sin C 43sin C sin C 22S BC CA =⇒=⨯⨯⨯⇒=60︒=⇒=︒60sin 3330sin 3C C.120︒090=A 030=A值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且，∴，∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴.∴△ABC 的面积.1.1.2余弦定理 一、选择题（1）解：由余弦定理选（C）（2）解：由余弦定理.选（A ）4,cos 35B A π==23,sin 35C A A π=-=21sin sin sin 32C A A A π⎛⎫=-=+=⎪⎝⎭33sin ,sin 510A C +==,3B b π==sin 6sin 5b A a B==116sin 225S ab C ==⨯=.760cos 3823822=︒⨯⨯-+=a 021202292120cos 222=⨯⨯-+=B（3）解：设，最大角为C.选（C ）(4)解：选（B ）二、填空题（5）解： (6)解：由余弦定理得所以(7)解：将及代入得：,因此另一方面由.三、解答题（8）解析：（Ⅰ） 又，，而，所以，所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以x c x b x a 7,5,3===.21)5()3(2)7()5()3(cos 222-=⨯⨯-+=x x x x x B .120︒=∴C 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=222222013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-====.21232)7(23cos 222=⨯⨯-+=B .60︒=∴B 1cos ,4CAB ∠=1332,42AB AC ⋅=⨯⨯=c b c b 2332=⇒=193=a bc c b a ++=2226=c ,9=b ︒=⇒++=120222A bc c b a .3227120sin 6921sin 21=︒⋅⋅==∴∆A bc S ABC 531)552(212cos 2cos 22=-⨯=-=A A ),0(π∈A 54cos 1sin 2=-=A A 353cos .===bc A AC AB 5=bc ABC ∆254521sin 21=⨯⨯=A bc 5=bc 1=c 5=b 5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a1.1.3正弦定理、余弦定理应用. 一、选择题（1）解：法一：变形整理得或故为等腰三角形或直角三角形.法二： 又或（即，故为等腰三角形或直角三角形.选(B )（2）【答案】A 【解析】由,,所以, 由正弦定理得,故选A（3）解：解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13acb c a b bc a c b a B b A a 22cos cos 222222-+⋅=-+⋅⇔=0))((22222=---b a c b a b a =⇒.222b a c +=ABC ∆.2sin 2sin cos sin cos sin cos cos B A B B A A B b A a =⇒=⇔=B A B A =∴︒<<,180,0 ︒=+90B A )90︒=C ABC ∆0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=a c ==075C ∠=030B ∠=1sin 2B =1sin 2sin 2ab B A=⋅==sin :sin :sin 5:11:13A B C =由余弦定理得，所以角C 为钝角（4）解：C二、填空题 （5）解：由正弦定理或当时，由勾股定理得当时，，(6)7 三、解答题（7）解：∵A、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．∴2A＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A＝B 或A ＋B ＝． 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．（8）分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.0115213115cos 222<⨯⨯-+=c 22222201,,cos ,1202a cb bc b c a bc A A -=++-=-=-=323sin sin 36sin3ππ=⇒=⇒=C C C .32π3π=C ,2π=A ;3222=+=c b a 32π=C 6π==B A .3==b a 222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.1.2.1应用举例 一、选择题（1）已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东，灯塔B 在观察站C 的南偏东，则灯塔A 在灯塔B 的（B ） (A)北偏东(B)北偏西(C)南偏东(D)南偏西 （2）某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在南偏东，向北航行40分钟后到达点B ，测得油井P 在南偏东，海轮改为北偏东的航向再航行80分钟到达点C ，则P ，C 两点间距离的海里数是（A ）(A)(B)(C)ABC ∆sin cos 3cos sin ,A C A C =2222223,22a b c b c a ac ab bc+-+-=2222()a c b -=222a c b -=24b b ∴=40(b b ==或舍） 40 60 10 10 10 10 60 30 60720620310二、解答题（2）解：作交BE 于N ，交CF 于M ．，w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m，．在中，由余弦定理，．（4）在中，＝30°，＝60°－＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1又＝180°－60°－60°＝60°， 故CB 是底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA 在中，，即AB ＝ 因此， 故B 、D 的距离约为0.33km 。
1.2.2应用举例 一、选择题//DM AC 22223017010198DF MF DM =+=+=222250120130DE DN EN =+=+=2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=DEF ∆2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯ACD ∆DAC ∠ADC ∠DAC ∠BCD ∠CAD ∆ABC ∆ABCACBCA AB ∠=∠sin sin 2062351sin 60sin +=︒︒AC km 33.020623≈+=BD(1)一电线杆被台风吹断折成的角，电线杆根部与电线杆顶部着地处相距3米，则 电线杆原来的高度是（C ） (A)(B)米(C)(D)米(2)山坡与水平面成角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路后升高了100米，则此人行走的路程为（C ）(A)300米 (B)400米 (C)200米(D)米二、解答题(3)解：在中，． 由正弦定理得．所以．在中，．(4)在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线走30米，测得塔顶的仰角为，再向前走米，又测得塔顶的仰角为，求塔高.60米3534米333BCD △πCBD αβ∠=--sin sin BC CDBDC CBD=∠∠sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·ABC Rt △tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·θθ2310θ4解：设，则根据勾股定理得，解得. ,答：塔高是15米。
1.2.3应用举例 解答题 （1）解析，同理：，。
AD —AB=DB ，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。
(2)解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10.∵，∴sin∠ACB=，∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.x EC BEC BDC A ==∠=∠=∠θθθ4,2,2222)310()310(30x x -=+-35=x 1522=-=EC BE BC tan tan H H AD AD ββ=⇒=tan HAB α=tan h BD β=tan tan tan H H h βαβ-=tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--7710120sin 20sin ︒=ACB 73BCE D(3)解：解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，N 的俯角；A ，B 的距离d ②第一步：计算AM.由正弦定理；第二步：计算AN.由正弦定理；第三步：计算MN.由余弦定理.方案二：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角，；B 点到M ，N 点的府角，；A ，B的距离d （如图所示）.②第一步：计算BM.由正弦定理；第二步：计算BN.由正弦定理；第三步：计算MN.由余弦定理全章检测题 一、选择题（1）解：D （2）解：由余弦定理得：22,αβ212sin sin()d AM ααα=+221sin sin()d AN βββ=-MN =1α1β2α2β112sin sin()d BM ααα=+121sin sin()d BN βββ=-MN =sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B ===11,αβ，，周长为选（D ） (3)解:根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B 为锐角，所以，故D正确.(4)解:∵，，由正弦定理得+=.∵=，∴+=. ∴+=.即=.故选C.(5)解：由余弦定理得，整理得：解得选（C ）(6)解：选（B ）(7)解：【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。