第五章漩涡理论基础

第五章不可压缩流体的二维流动
引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程
实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。

本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。

第一节有旋流动和无旋流动
刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，
流体具有移动和转动两种运动形式。

另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。

本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。

一、有旋流动和无旋流动的定义
流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。

流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。

强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否
绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。

”
举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。

在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。

二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)
为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。

如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。

流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值
速度环量是一个标量，但具有正负号。

速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。

后者一般规定为：当沿封闭曲线K反时针方向绕行时，取为正号。

二、旋涡强度(strength Of vortex)
沿封闭曲线K的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系。

如图5—5所示，在平面XOY上取一微元矩形封闭曲线，其面积dA＝dxdy，沿封闭曲线反时针方向ABCDA的速度环量推导
得
是沿任何封闭曲线的速度环量 都等于零，则在这区域内的流动一定是无旋流动。

(例5—2) 一个以角速度ω按反时针方向作像刚体一样旋转的流动，如图5—6所示。

试 求在这流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动。

上例题正是斯托克斯定理的一个例证。

以上结论可推广适用于圆内任意区域内。

(例5—3) 一个流体绕O 点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即V ＝r
C ，其中C 为常数，如图5—7所示。

试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。

上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。

但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O 点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。

第三节 速度势和流函数
速度势函数和流函数的引入对于流体力学的研究，特别是无旋流动和不可压流体的平面流动起着相当大的作用。

例如，我们知道流体力学研究中的一个重要问题，就是求出流场中的速度分布，它有三个变量。

对于无旋流动，可以引入一个参数即速度势函数，我们可以把求解三个未知量u ，v ，w 的问题，变为求解一个势函数问题，使问题大大简化。

一、速度势函数(velocitypotential function)
1．速度势函数引入
在无旋流动中每一个流体微团的旋转角速度都等于零，也就是说，在无旋流动中每一个流体微团都要满足式(5—4)的条件，
即
根据数学分析可知，式(5—4)是udx+vdy+wdz 成为某一函数Ф (x,y,z)的全微分的充分和必要条件。

而函数Ф的全微分可写成
函数Ф称为速度势函数或位函数，简称为速度势。

它与电位的概念相类似，
电位的梯度是电场的强度，而速度势的梯度则是流场的速度。

在定常流动中速度势与时间无关，仅是坐标的函数。

即Ф＝Ф(x,y,z)当流体作无旋流动时，总有速度势存在，所以无旋流动也称为有势流动，或简称为势流或位流。

从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动。

只要满足无旋条件，必然有速度势存在。

2．速度势函数的性质
(1)不可压流体的有势流动中，势函数Ф满足拉普拉斯方程，势函数Ф是调和函数。

在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普拉斯方程的问题。

(2)任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数Ф值之差。

而与曲线的形状无关。

根据速度环量的定义，沿任意曲线AB的线积分
这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。

对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零.。

二、流函数(stream functiOn)
1．流函数引入
对于流体的平面流动，由不可压缩流体平面流动的连续性方程(3—29)得
若令dΨ＝0或Ψ=常数，由式(5—17)可知，在每一条流线上函数Ψ都
有各自的常数值，所以函数Ψ(x，y)称为流函数。

流函数永远满足连续性方程。

对于不可压缩的二维流动，无论是有旋流动还是无旋流动，流体有黏性还是没有黏性，一定存在流函数。

要注意的是，在三维流动中，一般不存在流函数(轴对称流动除外)。

2．流函数的性质
(1)对于不可压缩流体的平面流动，流函数Ψ永远满足连续性方程。

(2)对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。

因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足初始条件和边界条件的Ψ的拉普拉斯方程。

(3)平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。

这就是流函数Ψ的物理意义。

如图5—8所示，在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为
由式可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。

三、Ф和Ψ的关系
如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式(5—11)和式(5—18)，可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系
式(5—22)是等势线簇和流线簇互相正交的条件，在平面上可以将等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网({10wnet)，如图5—9所示。

(例5—4) 有一不可压流体平面流动的速度为u=4x，v=--4y，判断流动是否存在流函数和速度势函数，若存在求出其表达式。

(解) 由不可压缩流体平面流动的连续性方程
流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。

由流函数的全微分式得：
第四节基本的平面有势流动
引言：流体的平面有势流动是相当复杂的，很多复杂的平面有势流动可以
由一些简单的有势流动叠加而成，介绍几种基本的平面有势流动，它包括均匀直线流动，点源和点汇、点涡等。

一、均匀直线流动(uniformrectilinearflow)
流体作均匀直线流动时，流场中各点速度的大小相等，方向相同，
即u＝u。

和v＝v。

由式(5—11)和式(5—18)，得速度势和流函数
由于流场中各点的速度都相等，根据伯努里方程(3—41)，得
点，则这种流动称为点汇，这个点称为汇点。

显然，这两种流动的流线都是从原点O发出的放射线，即从源点流出和向汇点流入都只有径向速度v r。

现将极坐标的原点作为源点或汇点，则去q v是点源或点汇在每秒内流出或流人的流量，称为点源强度或点汇强度。

对于点源，q v取正号；对于点汇，q v取负号，于是
等势线簇是同心圆簇(在图5—11中用虚线表示)与流线簇成正交。

而且除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。

三、点涡
设有一旋涡强度为I的无限长直线涡束，该涡束以等角速度三绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流。

由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上的流动情况都一样。

也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。

由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆。

根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，即
因此涡束外的速度与半径成反比。

若涡束的半径r o →0，则成为一条涡线，这样的流动称为点涡。

但当r 。

→0时，v θ→∞，所以涡点是一个奇点。

点涡的速度势和流函数分别为
当Γ>0时，环流为反时针方向，如图5—13所示；当Γ<0时，环流为顺时针方向。

点涡的等势线簇是经过涡点的放射线，而流线簇是同心圆，而且除涡点外，整个平面上都是有势流动。

设涡束的半径为r o ，涡束边缘上的速度为0
02r v πΓ=,压强为p 0; r →∞；时的速度显然为零，而压强为P ∞。

代人伯努里方程，得涡束外区域内的压强分布为
在涡束外区域内的压强随着半径的减小而降低，所以涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。

又由式(5—32)式可知，在r→0处，压强P→∞，显然这是不可能的。

所以在涡束内确实存在如同刚体一样以等角速度旋转的旋涡区域，称为涡核区。

由式(5—33)可得涡核的半径
由于涡核内是有旋流动，故流体的压强可以根据欧拉运动微分方程求得。

可见，涡核内、外的压强降相等，都等于用涡核边缘速度计算的动压头。

涡核内、外的速度分布和压强分布如图5—14所示。

第五节有势流动的叠加
一、势流叠加原理
只有对一些简单的有势流动，才能求出它们流函数Ψ和势函数Ф，但当流动较复杂时，根据流动直接求解Ф和Ψ往往十分困难。

我们可以将一些简单有势流动进行叠加，得到较复杂的流动，这样一来，为求解流动复杂的流场提供了一个有力的工具。

前面我们知道，速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程。

凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上都称为调和函数，所以速度势函数和流函数都是调和函数。

根据调和函数的性质，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可将若干个速度势函数(或流函数)线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数(或流函数)。

现将若干个速度势函数叠加，得
显然，叠加后新的速度势函数Ф也满足拉普拉斯方程。

同样，叠加后新的流函数Ψ也满足拉普拉斯方程。

几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。

将新的速度势函数Ф分别对x、y和z取偏导数，就等于新的有势流动的速度分别在X、y和Z轴方向上的分量：
由此可见，叠加后所得的复杂有势流动的速度为叠加前原来的有势流动速
度的矢量和。

二、螺旋流
螺旋流是点涡和点汇的叠加。

将式(5—30)和式(5—26)相加以及将式(5—31)和式(5—27)相加即得新的有势流动的速度势和流函数
显然，等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇(图5—15)，称为螺旋流。

流体从四周向中心流动。

旋风燃烧室和旋风除尘器等设备中的旋转气流即可看成是这种螺旋流。

三、偶极流
将流量各为+Qv的点源和一Qv的点汇相距2a距离放在X轴上，叠加后的流动图形如图5—16所示，它的速度势和流函数各为
由流线方程(5—50)Ψ=常数，得α=常数，所以流线是经过源点A和汇点B的圆簇，而且从源点流出的流量全部流人汇点。

现在分析一种在点源和点汇无限接近的同时，流量无限增大(即2a→0，Qv→∞)，以至使2a Qv保持一个有限常数值M的极限情况。

在这种极限情况下的流动称为偶极流，M称为偶极矩或偶极强度。

偶极流是有方向的，一般规定由点源指向点汇的方向为正向。

如图5—17所示，偶极流指向X 轴方向，这时的偶极矩M取正值。

偶极流的速度势可由式(5—49)根据上述极限条件求得，将式(5—49)改写成
流函数
四、绕圆柱体无环量流动
将均匀直线流与偶极流叠加，可以得到绕圆柱体无环量流动。

设有一在无穷远处速度为V∞、、平行于X轴、由左向右流的均匀直线流，与在坐标原点O 上偶极矩为一M、方向与X轴相反的偶极流叠加，如图5—19所示。

组合流动的流函数为
它的速度势
流场中任一点的速度分量为
A点为前驻点，B点为后驻点。

用极坐标表示的速度分量为
沿包围圆柱体圆周的速度环量为
所以，均匀直线流绕圆柱体的平面流动是没有速度环量的。

因此，一个速度为V ∞的均匀直线流绕半径为r 。

的圆柱体无环量的平面流动，可以用由这个均匀直线流与偶极矩一M= 一2π20r V ∞的偶极流叠加而成的平面组合流动来代替。

当r=r 。

，在圆柱面上
说明： ○1流体在圆柱面上各点的速度都是沿切线方向的，也就是说理想流体绕圆柱体无环量的平面流动不会与圆柱面发生分离。

○
2在圆柱面上的速度是按照正弦曲线规律分布的，在θ= 0°和"＝180°处， V θ=0；在θ=土90°处，V θ达到最大值V θ＝2V ∞，与圆柱体的半径无关，而等于无穷远处速度的两倍。

由伯努里方程(3—41)可求得不可压缩理想流体的圆柱面上压强分布的公式，即
在工程上常用无量纲的压强系数来表示流体的压强分布，它定义为
注意：○
1在计算时，θ角是从前驻点A(θ＝0°)起沿顺时针方向增加。

在前
驻点A(θ＝0°)上，速度等于零，压强达到最大值，Cp＝1；垂直于来流方向的最大截面(θ＝900)上，速度增加到最大值，压强降到最小值，Cp＝一3；在后驻点B(θ＝180°)上，速度又降到零，压强又回升到最大值，Cp＝1。

○2这种流动在圆柱面上的压强分布上下、前后都是对称的，因此流体作用在圆柱面上的压强合力等于零。

由于流体作用在圆柱面上的压强合力可分为与来流方向垂直的升力和与来流方向平行的阻力。

因此，无黏性的理想流体绕圆柱体无环量流动时，圆柱体上既不承受升力，也不承受阻力。

不承受升力与实际情况是相符合的，但是不承受阻力则与实际情况大不相符，这就是著名的达朗伯(J．R．d，Alembert)疑题。

○3事实上，有黏性的实际流体绕圆柱体无环量流动时，在圆柱面上流动方向的压强分布是不对称的。

这是由于实际流体存在着黏性，当流体绕流圆柱体时，从前驻点开始在圆柱面上逐渐形成一层边界层(在第七节中讲述)。

流体在圆柱体的前半部的流动是降压增速，边界层处于较稳定状态。

到圆柱体的后半部变为升压减速流动，容易发生边界层分离，在圆柱体后面形成尾涡区，压强下降。

破坏了圆柱体面上前后压强分布的对称性，使圆柱体前后产生压强差，形成压差阻力。

五、绕圆柱体有环量流动
补充内容。

将均匀直线流、偶极流与点涡叠加，可以得到绕圆柱体有环量流动。

第六节应用举例
举两个不可压缩流体平面有势流动的应用实例，以加深对此内容的理解。

例5—5为测量在平面流场中任一点处的速度大小和方向，可以采用三孔圆柱形测速管来测量，这种测速管是在圆柱体的同一横截面的表面上开有三个测压孔，各自用传压管将压强引至测压计上，测得三孔的静压强，即可测量流体的速度。

由于这种测速管是在直径细小的圆柱截面上开三个测压孔，故俗称三孔探针，如图5—22所示，三个孔之间夹角α＝45°，测量流体速度时，是将测速管垂直放置，这样可看成是理想流体绕圆柱体无环量的流动，测得压强p1、p2和p3，并知道来流方向与X轴的夹角β，试求理想不可压流体来流速度V∞的表达式和压强P∞的表达式。

第七节边界层的概念
一、边界层的基本概念
边界层(boundarylayer)的概念是1904年德国著名的力学家普朗特(Prandtl)提出的。

指出对于水和空气等黏度很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计，这一薄层称为边界层。

图5—24所示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动，根据普朗特边界层理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域，即边界层、外部势流和尾涡区。

总结：○1在边界层和尾涡区内，黏性力作用显著，黏性力和惯性力有相同的数量级，属于黏性流体的有旋流动区；
○2在边界层和尾涡区外，流体的运动速度几乎相同，速度梯度很小，边界
层外部的流动不受固体壁面的影响，即使黏度较大的流体，黏性力也很小，主要是惯性力。

所以可将这个区域看作是理想流体势流区，可以利用前面介绍的势流理论和理想流体伯努里方程来研究流场的速度分布。

○3实际上边界层内、外区域并没有明显的分界面，一般将壁面流速为零与
流速达到来流速度的99％处之间的距离定义为边界层厚度。

边界层厚度沿着流体流动方向逐渐增厚，这是由于边界层中流体质点受到摩擦阻力的作用，沿着流体流动方向速度逐渐减小，因此，只有离壁面逐渐远些，也就是边界层厚度逐渐大些才能达到来流速度。

○4根据实验结果可知，同管流一样，边界层内也存在着层流和紊流两种流
动状态。

若全部边界层内部都是层流，称为层流边界层(1aminarboundarylayer)；若在边界层起始部分内是层流，而在其余部分内是紊流，称为混合边界层(mixedboundarylayer)，如图5—25所示，在层流变为紊流之间有一过渡区(transitionzone)。

在紊流边界层(turbulentboundaryayer)内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。

○5判别边界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数，但雷诺数中的特征尺寸
用离前缘点的距离x表示之，特征速度取边界层外边界上的速度V∞。

，即
对平板的边界层，层流转变为紊流的临界雷诺数为Re x＝5X105～3X106。

临界雷诺数的大小与物体壁面的粗糙度、层外流体的紊流度等因素有关。

增加壁面粗糙度或层外流体的紊流度都会降低临界雷诺数的数值，使层流边界层提前转变为紊流边界层。

根据理论计算，平板上离前缘点J处的边界层厚度
对层流边界层
对于紊流边界层
与管流一样，在同一Rex下紊流边界层中的阻力要比层流边界层中的阻力大，这是因为在层流中摩擦阻力只是由于不同流层之间发生相对运动引起的；而在紊流中还由于流体质点有剧烈的横向掺混，从而产生更大的阻力。

根据理论计算，长度为l的平板层流和紊流边界层内的总摩擦阻力分别为：层流边界层内
紊流边界层内
二、边界层的基本特征
(1)与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小，δ<<X。

(2)边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。

(3)边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体质点受到黏性力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加。

(4)由于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值。

(5)在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。

(6)边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。

三、边界层分离和卡门涡街(boundarylayerseparates andkarmanvortexstreet)
1、边界层分离现象
如果黏性流体绕流物体表面所形成的是减速的边界层，则在一定条件下，不论边界层是层流还是紊流，边界层都可能在物体下游剧烈变厚，形成旋涡，使边界层脱离物体表面，产生很大的能量损失。

这种边界层分离的现象主要发生在圆柱体和球体这样的钝头体上以及扩散角相当大的扩散形通道中。

2、边界层分离原因
现以绕流圆柱体(如图5—26所示)为例来解释边界层分离的现象。

当黏性流体绕圆柱体流动时，在圆柱体前驻点A处，流速为零，该处尚未形成边界层，即边界层厚度为零。

随着流体沿圆柱体表面上下两侧绕流，边界层厚度逐渐增大。

层外的流体可近似地作为理想流体，理想流体绕流圆柱体时，
在圆柱体前半部速度逐渐增加，压强逐渐减小，是加速流。

当流到圆柱体最高点月时速度最大，压强最小。

到圆柱体的后半部速度逐渐减小，压强逐渐增加，形成减速流。

由于边界层内各截面上的压强近似地等于同一截面上边界层外边界上的流体压强，所以，在圆柱体前半部边界层内的流动是降压加速，而在圆柱体后半部边界层内的流动是升压减速。

因此，在边界层内的流体质点除了受到摩擦阻力的作用外，还受到流动方向上压强差的作用。

在圆柱体前半部边界层内的流体质点受到摩擦阻滞逐渐减速，不断消耗动能。

但由于压强沿流动方向逐渐降低，使流体质点得到部分增速，也就是说流体的部分压强能转变为动能，从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的动能，以维持流体在边界层内继续向前流动。

但当流体绕过圆柱体最高点B流到后半部时，压强增加，速度减小，更促使边界层内流体质点的减速，从而使动能消耗更大。

当达到S点时，近壁处流体质点的动能已被消耗完尽，流体质点不能再继续向前运动，于是一部分流体质点在S点停滞下来，过S点以后，压强继续增加，在压强差的作用下，除了壁上的流体质点速度仍等于零外，近壁处的流体质点开始倒退。

接踵而来的流体质点在近壁处都同样被迫停滞和倒退，以致越来越多被阻滞的流体在短时间内在圆柱体表面和主流之间堆积起来，使边界层剧烈增厚，边界层内流体质点的倒流迅速扩展，而边界层外的主流继续向前流动，这样在这个区域内以ST线为界(见图5—26)，在ST线内是倒流，在ST线外是向前的主流，两者流动方向相反，从而形成旋涡。

使流体不再贴着圆柱体表面流动，而从表面分离出来，造成边界层分离，S 点称为分离点(pointofseparadon)。

形成的旋涡，不断地被主流带走，在圆柱体后面产生一个尾涡区。

尾涡区内的旋涡不断地消耗有用的机械能，使该区中的压强降低，即小于圆柱体前和尾涡区外面的压强，从而在圆柱体前后产生了压强差，形成了压差阻力。

压差阻力的大小与物体的形状有很大关系，所以又称为形状阻力。