第二节函数的极限

1 | 0 | . x 1 从而 lim 0. x x 1 由此可知直线y 0是曲线y 的水平渐近线. x
例2
x2 用定义验证 lim 2 1. x x 1
x2 1 1 | 2 1 | 2 2 , x 1 x 1 x
只需x ，即 | x |
使得当 0 | x x0 | 时，有
f(x)>B (f(x)<B).
lim g ( x) B，且A B， 定理2.7 若 lim f ( x) A，
x x0 x x0
则存在正数，当0 | x x0 | 时，有 f ( x) g ( x).
推论1 若 lim f ( x) A ，且A>B(A<B)，则存在 0,
x x0
x x0
| f ( x) A |
成立，则称f(x)在 x0 处的右极限为A，记为
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.


在上面的定义中将函数f(x)改为在 x0 的左侧附近 有定义(即在 (a, x0 ) 内有定义)，即将 0 x x0 改 为 x x0 0 就得到了f(x)在 x0 处的左极限为A的 定义.相应地记作
x x0
证 任给 0，欲使 | x x0 | ,
只需取 ，当0 | x x0 | 时，恒有 | x x0 | ,
从而 lim x x0 .
x x0
在 lim f ( x) A 的定义中，x可以以任意方式趋向 于x0.有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从x0的 某一侧(从小于x0的一侧或从大于x0 的一侧)趋向于 x0时 f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念. 定义 设函数f(x)在 ( x0 , b) 内有定义，A为常数.若对任 意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当0 x x0 时有
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
若 lim f ( x) A, 则称直线 y A是曲线y f ( x)的
x
水平渐近线.
其中x 也可为x 或x 的情况.
1 例1 用定义验证 lim 0. x x 1 证 当x 0时，函数 有定义，对于任意给定的正数， x 1 1 欲使 | 0 | . x |x| 只须 | x | ，取X , 当 | x | X时，便有 1 1
x0
lim f ( x) lim ( x 2) 2.
x0
函数f(x)在点x=0处的左、右极限都存在，
但不相等， f (0 ) f (0 ). 由定理2.4可知极限 lim f ( x) 不存在.
x 0
三、函数极限的性质
下面仅就x x0的情形给出相应的结论.这些结论也 适用于x , x , x , x x0 , x x0 的情形.
在 lim f ( x) A的定义中，将|x|>X，换成x>X可以
x
得到 lim f ( x) A 的定义；若将|x|>X换成x<–X就可以
x
得到 lim f ( x) A 的定义.
x
容易得到以下结论 :
x
lim f ( x) A的充分必要条件是
x
f2(x) 1.5 1.9 1.99 2.01 2.1 2.5
当自变量x趋向于定点 x0 1时，函数 f 2 ( x) 趋向于常数2.
不难发现，f1 ( x)在x0 1处没有定义. f 2 ( x)在x0 1 处有定义.而当x趋于 x0 1 时， f1 ( x)与f 2 ( x) 有相同的 变化趋势.通常称当 x 1时，f1 ( x)与f 2 ( x) 存在极限. 且极限值均为2.
f(x)以A 为极限的精确定义.
定义 设函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义，A为常数.
如果对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当
0 | x x0 | 时，恒有不等式
| f ( x) A |
成立，则称函数f(x)当x趋于x0时以A为极限.记作
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 ).
第二节 函数的极限
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、自变量趋向有限值时函数的极限
三、函数极限的性质
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
有下面三种方式：
x ，表示x沿着x轴正半轴趋于正无穷大; x ，表示x沿着x轴负半轴趋于负无穷大;
x ，表示x沿着x轴的任意方向趋于无穷大; 即 | x | .
由前面两个例题可知，当 x x0时，f(x)以A为极 限与f(x)在 x0 处有无定义无关.但当 x x0 时，f(x)可以 无限地接近于A.也就是说，只要x充分接近 x0 ，|f(x)–A|
可以小于任意给定的正数 .而x充分接近 x0 可以用“存
在正数 , 使0 | x x0 | ”描述.下面给出当 x x0 时，
x
0.5 0.9 0.99 1.01 1.1 1.5
f1(x) 1.5 1.9 1.99 2.01 2.1 2.5 可以看出，当自变量x趋向于定点 x0 1 时，函数
f1 ( x) 趋向于常数2.
再考察函数 f 2 ( x) x 1 当自变量x趋向于1时的变 化趋势.仿上例可以得到下表. x 0.5 0.9 0.99 1.01 1.1 1.5
2
证 对于任意给定的正数，欲使
1
1


，
取X
1

，当 | x | X时，就有
x2 | 2 1 | x 1 成立.
x2 从而证明了 lim 2 1. x x 1 x2 直线y 1是曲线y 2 的水平渐近线. x 1
二、自变量趋向有限值时函数的极限
2 x 1 首先考察函数 f1 ( x) 当自变量x趋向于1时 x 1 的变化趋势.不难得到下表.
定理2.5(唯一性) 若 lim f ( x) 存在，则极限唯一.
x x0

定理2.6(局部有界性) 若 lim f ( x) A，则存在常数
x x0
M 0及 0，当0 | x x0 | 时，有 | f ( x) | M . 这种情况，称为f ( x)在x x0时有界.
定理2.4又提供了讨论分段函数在分段点x0处是否
存在极限的方法.


x 0, 1, 例5 设 f ( x ) x 2, x 0. 研究当x 0时，函数f ( x)的极限是否存在.
解 当x 0时，有
x0
lim f ( x) lim 1 1,
x0当x 0时，有源自 定义：x x0
lim f ( x) A 0, 0，
当0 | x x0 | 时,恒有 | f ( x) A | .
注意：
定义中不等式 0 | x x0 | 的“0”表示不要求不
等式 | f ( x) A | 在点 x0成立，这表明 “ x x0 时
y A 之间.
例3 用定义验证 lim c c(c为常数).
x x0
证 任给 0，取 1 (此题的可取任一正数).
当0 | x x0 | 时，恒有 | c c | ,
从而 lim c c.
x x0
例4 用定义验证 lim x x0 .
比照数列极限的定义，给出下面的定义.
定义 设函数f(x)在 | x | b 0 上有定义，A为一个常数. 若对于任意给定的正数 ，总存在正数X>b，使得当 |x|>X时，都有
| f ( x) A |
成立， 则称函数f ( x)当x 时的极限为A，记作
x
lim f ( x) A 或 f ( x) A( x ).
与f(x)在点 x0 的状况(有、无定义，或有定义 f ( x) A”
时，f ( x0 )是否等于A)是无关的.
几何意义： 对于任意给定的正数 ，无论其多么小，总存在 点 x0 的一个去心邻域 0 | x x0 | ，使得函数y=f(x)在
这个去心邻域内的图形介于两条平行直线 y A 和
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.


左极限和右极限统称为单侧极限. 根据 x x0 时函数f(x)的极限定义、左极限和右极 限的定义，可以得到下面的结论.
定理2.4 lim f ( x) A的充分必要条件是
x x0
f ( x0 ) f ( x0 ) A.
X定义：
x
lim f ( x) A 0,
X 0，当| x | X时 : | f ( x) A | .
上述的定义的几何意义是:对无论多么小的正数 , 总能找到正数Ｘ，当x满足条件x>X或x<–X时，曲线 y=f(x)介于两条水平直线 y A 和y A 之间.