2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2单元素养评价 第一章 推理与证明

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单元素养评价(一)(第一章)

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是( )

A.正方形都是对角线相等的四边形

B.矩形都是对角线相等的四边形

C.等腰梯形都是对角线相等的四边形

D.矩形都是对边平行且相等的四边形

【解析】选B.根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，因为由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，所以大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形.

2.观察下列式子：1+<，1++<，1+++<，…，则可归纳出1+++…+小于( )

A. B. C. D.

【解析】选C.所猜测的分式的分母为n+1，分子恰好是第n+1个正奇数，即2n+1.

3.用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是( )

A.假设是有理数

B.假设是有理数

C.假设或是有理数

D.假设+是有理数

【解析】选D.应对结论进行否定，则+不是无理数，即+是有理数.

4.用数学归纳法证明1+++…+=时，由n=k到

n=k+1左边需要添加的项是( )

A. B.

C. D.

【解析】选D.由n=k到n=k+1时，左边需要添加的项是

=.

5.观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，记

f=13+23+33+…+n3.根据上述规律，若f=225，则正整数n的值为( )

A.8

B.7

C.6

D.5

【解析】选D.由已知等式的规律可知

f==，

当f=225时，可得n=5.

6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫作相似体.下列几何体中，一定属于相似体的有( )

①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥.

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

【解析】选C.类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体. 7.(2020·浙江高考)设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：

①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；

②对于任意x，y∈T，若x<y，则∈S；

下列命题正确的是( )

A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素

B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素

C.若S有3个元素，则S∪T有4个元素

D.若S有3个元素，则S∪T有5个元素

【解析】选A.对于AB，构造S={q，q2，q3，q4}，则T={q3，q4，q5，q6，q7}，

q≠1且q∈N*，则S∪T={q，q2，q3，q4，q5，q6，q7}共7个元素，对于CD，不妨设S={a，b，c}，且a<b<c，则T={ab，ac，cb}，且bc>ac>ab，所以，，∈S，显然>，>，

①=b，=a，=a，则S={a，a2，a3}，T={a3，a4，a5}，S∪T有5个元素，

②=c⇒a=1，=b，有2种可能，(ⅰ)=a，b=c与S为集合矛盾，

(ⅱ)=b，b2=c，S=，T=，S∪T有4个元素，所以，当S中有三个元素时，S∪T的元素个数可为4，可为5，不唯一.

8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立，则函数( )

A.f(x-a)一定为奇函数

B.f(x-a)一定为偶函数

C.f(x+a)一定为奇函数

D.f(x+a)一定为偶函数

【解析】选D.由题意得，f(a)=sin(2a+φ)=1时，2a+φ=2kπ+，k∈Z，所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+=cos 2x，此时函数为偶函数.

9.已知n∈N，则-与-的大小关系为

( )

A.->-

B.-<-

C.-=-

D.不能确定

【解析】选B.要比较-与-的大小，只需比较与的大小，只需比较

与的大小，只需比较(n+4)(n+1)

与(n+2)(n+3)的大小，即比较n2+5n+4和n2+5n+6的大小，因为

n2+5n+4-(n2+5n+6)=-2<0，所以-<-.

10.设函数f(x)=(x>0)，观察：f1(x)=f(x)=，

f2(x)=f(f1(x))=，f3(x)=f(f2(x))=，f4(x)=f(f3(x))=，由归纳推理可得当n∈N+且n≥2时f n(x)=f(f n-1(x))= ( )

A. B.

C. D.

【解析】选C.观察可得，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15，…，2n-1，第二部分的数分别是2，4，8，16，…，2n，所以

f n(x)=f(f n-1(x))=.

11.观察下列各式：72=49，73=343，74=2 401，则72 019的末两位数字为( )

A.01

B.43

C.07

D. 49

【解析】选B.72=49，73=343，74=2 401，75=…07，76=…49，77=…43，78=…01，79=…07，易观察出末两位数是呈周期变化的，周期为4，所以72 019=74×504+3，72 019的末两位数字是43.

12.已知数列{a n}满足a1=，a n+1=1-，则a2 019等于( )

A. B.-1 C.2 D.3

【解析】选C.因为a1=，a n+1=1-，

所以a2=1-=-1，a3=1-=2，

a4=1-=，a5=1-=-1，a6=1-=2，

所以a n+3k=a n(n∈N+，k∈N+).