安徽省泗县高二数学下学期期中试题

2016～2017学年第二学期期中测试
高二数学试题
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．已知结论“圆2
2
2
(0)x y r r +=>上一点00(,)P x y 处切线方程为
00221x x y y
r r
+=”． 类比圆的这个结论得到关于椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>在点00(,)P x y 的切线方程
为 ▲ ．
2．已知函数()27x
f x x =+-的零点在区间(,1)()k k k Z +∈内，则=k ▲ ．
3．观察下列式子：2222221311511171,1,1,222332344+
<++<+++<据其中规律，可以猜想出：
2
222111
1
1234
10
+
++++< ▲ ． 4．已知数列{}n a 满足1122,2n
n n
a a a a +==
+*()n N ∈，则n a = ▲ ．
5．计算2
lg 25lg 2lg 50(lg 2)++= ▲ ．
6． 二次函数2
()7(13)2f x x m x m =-+--（m R ∈）的两个零点分别分布在区间(0,1)和(1,2)内，则实数m 的取值范围为 ▲ ．
7．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，满足(2)(2)(2)f x f x f +=-+，且当[0,2]x ∈时，
()24x f x =-，令函数()()g x f x m =-，若()g x 在区间[10,2]-上有6个零点，分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则123456x x x x x x +++++= ▲ ．
8．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}1,3B =，则A B ⋂= ▲ ．
9．幂函数()f
x x α
=过点1(3,)9
P ，则f = ▲ ．
10．已知复数43z i
=-，则||z = ▲ ．
11．函数()ln(1)f x x =-+的定义域为 ▲ ．
12．计算
31i
i
+-= ▲ ． 13．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于060”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是 ▲ （填序号）．
①假设三个角都不大于060； ②假设三个角都大于060；
③假设三个角至多有一个大于060； ④假设三个角至多有两个大于060． 14．已知()2|1|2f x x =+-，当(())f f x mx =有四个解时，实数m 的取值范围 是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
已知集合{}{}|12,|3A x x B x m x m =≤≤=≤≤+． （1）当2m =时，求A B ⋃；
（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围．
16．（本题满分14分）
已知复数22
(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．
（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．
17．（本题满分14分）
沭阳县某水果店销售某种水果，经市场调查，该水果每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x 近似满足关系式10(7)3
a
y x x =--
-，其中37,x a <<为常数，已知销售价格定为4元/千克时，每日可销售出该水果32千克．
（1）求实数a 的值；
（2）若该水果的成本价格为3元/千克，要使得该水果店每日销售该水果获得最大利润，请你确定销售价格x 的值，并求出最大利润．
18．（本题满分16分）
（1）已知椭圆方程为22
143
x y +=，点P ．
i ．若关于原点对称的两点11(2,0),(2,0),A B -记直线11,PA PB 的斜率分别为
11,PA PB k k ，试计算11PA PB k k 的值；
ii ．若关于原点对称的两点22(22
A B -记直线22,PA PB 的斜率分别为22,PA PB k k ，试计算22PA PB k k 的值；
（2）根据上题结论探究：若,M N 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上关于原点对称的两点，点Q
是椭圆上任意一点，且直线,QM QN 的斜率都存在，并分别记为,QM QN k k ，试猜想QM QN k k 的值，并加以证明．
19．（本题满分16分）
已知函数31()log x
f x a x
+=-为其定义域内的奇函数． （1）求实数a 的值；
（2）求不等式()1f x >的解集； （3）证明：1()3
f 为无理数．
20．（本题满分16分）
已知a R ∈，函数1()2
a x
f x +=．
（1）当1a =时，解不等式()4f x >；
（2）若()2x
f x ->在[2,3]x ∈恒成立，求a 的取值范围；
（3）若关于x 的方程(4)25
()20a x a f x -+--=在区间(2,0)-内的解恰有一个，求a 的取值范围．
高二数学试题参考答案 一、填空题：
1、{1,3}
2、1
2 3、5 4、(1,2] 5、12i + 6、② 7、00221(0)x x y y a b a b +=>> 8、2 9、1910 10、2n 11、2 12、(4,2)-- 13、24- 14、4
(0,)3
二、解答题：
15、解（1）当2m =时，{}|25B x x =≤≤，………………………………3分
{}{}{}|12|25|15A B x x x x x x ∴⋃=≤≤⋃≤≤=≤≤……7分
（2）
A B ⊆，
132m m ≤⎧∴⎨+≥⎩
………………………………………………..………12分
解得 11m -≤≤．…………………………………….…...……14分
16、解（1）
复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，
∴2234224m m m m +-=--，…………………………….….4分 解得 4m =-………………………………………………..…….6分 （2）
复数z 为纯虚数，
∴22340
2240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩ ……………………………………….….…10分
41
46m m m m =-=⎧⎨≠-≠⎩
或且…………………………………………..…….12分
解得 1m =……………………………………………………...….14分
17、解 （1）由题意知当4x =时，32y =，
所以得
3210343
a
=⨯-
-……………………………………...….4分 解得 2a =- ………………………………………………….…...6分 （2）由(1)知销售量为2
10(7)3
y x x =-+- (37)x <<， 设利润为()L x ，则
2
()(3)[10(7)](3)3
L x y x x x x =-=-+
-- 得 2
()10100208(37)L x x x x =-+-<< .………………....10分 即
2()10(5)42L x x =--+
所以当5x =时，利润()L x 最大，最大值为42．………………....12分 答：当销售价格定为5元/千克时，日获得利润最大为42元．…………...14分 18、解（1）i.
因为1
100022022PA PB k k ====-
+-, 所以11
33
()224
PA PB k
k =⨯-=
-…………………….3分
ii.
因为
2
2
13,22PA PB k k ==-==， 所以22133
224
PA PB k k =-⨯=-……………………………..6分 （2）猜想2
2QM QN
b k k a
=-………………………………………..…8分
证明: 设点(,)M m n ,则点(,)N m n --,从而22
221m n a b
+=,设点(,)Q x y ,
由,QM QN y n y n
k k x m x m
-+=
=-+,……………………………....10分 得2222
,QM QN
y n y n y n k k x m x m x m -+-==-+-（*） 由222
2
2b x y b a =-，2222
2
b m n b a
=-，………………..……12分 代入（*）式得
22222
2
222222
222222
()()QM QN
b x b m b b b m x b a a k k x m a x m a
--+-===---
所以2
2QM QN
b k k a
=-…………………………………………16分
19、解（1）因为()f x 为其定义域内奇函数，
所以 ()()0f x f x +-=， 即 3
311()()log log 0x x
f x f x a x a x
+-+-=+=-+….….………..….2分 即 22
32222
11log 01x x a x a x
--=⇒=--……………………………..….4分 所以 22211x a x a -=-⇒=±………………………………….… 5分 当1a =-时，对数无意义，故舍去，
所以1a =………………………………………………………....……6.分
（2）3
1()log 1x
f x x
+=-的定义域为(1,1)-…………………………......…7分 由()1f x >, 得3
31log 1log 31x
x
+>=- 11312
x x x +∴>⇒>-………………………………...…….….9分 又因为()f x 的定义域为(1,1)-
所以()1f x >得解集为1
(,1)2
………………………………………10分
（3）31()log 23
f =（3lo
g 20>）…………………………………..….11分
假设3log 2为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的， 设3log 2n
m
=
（其中,m n 为两个互质的正整数）…………….…13分 得 32n
m =，即 32n m = （*）， 因为,m n 为两个互质的正整数，
所以3m 为奇数，2n 为偶数，显然奇数不等于偶数，
所以（*）式不成立……………………………………………...….... 15分 所以假设不成立，
所以31()log 23
f =为无理数………………………………………....16分
20、解（1）当1a =时，1
1()2x f x +=， 由()4f x >得
1
122
42x
+>=，………………………………...…..1分
所以 11
12101x x x
+>⇒>⇒<<………………………..….…3分
（2）因为()2x
f x ->在[2,3]恒成立，
即
1
22a x x
+->在[2,3]恒成立，
即1a x x +>-在[2,3]恒成立，即 1
x a x
+>-在[2,3]恒成立…..5分 令1()g x x x =+，由'
21()10g x x
=->在[2,3]恒成立，
所以()g x 在区间[2,3]单调递增，……………………………...…7分 所以()g x 的最小值为5(2)2
g =， 所以52a -<
， 即5
2
a >- ……………………..…………….…....9分 （3）由题意得1
(4)25220a a x a x +-+--= 所以
1
(4)25a a x a x
+=-+- 即2
(4)(25)10a x a x -+--=，即(1)[(4)1]0x a x ---=….11分 ①当4a =时，1(2,0)x =-∈-，满足题意；………………….12分 ②当4a ≠时，
i ．1
14x a =
=--，即3a =，满足题意；……………...…13分 ii ．124x a =
≤--或104x a =≥-解742
a ≤<或4a >..15分 从而 7
{3}[,)2
a ∈⋃+∞ ………………………….……………..16分。