运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)

计算所有非基变量的检验数，如表 4-18 所示：
表 4-18
由 24 = 0 可得 c24 =17 ，所以当 c24 变为 17 时，此问题有无穷多最优调运方案。以 (A2, B4 ) 为调入格，作一闭回路，取不同的调入量对其进行调整可得到其它两个最优调运方
如表 4-5 所示：
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表 4-5
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-6 所示： 表 4-6
第二步：用位势法进行最优解的检验。在对应于表 4-6 的数字格处填入单位运价，并增
加一行一列，在行中填入 vj ，在列中填入 ui 。令 u1 = 0 ，按照 ui + vj = cij （ i,j B ）求出所 有的 ui 和 vj ，并依据 ij = cij − (ui + vj ) （ i,j N ）计算所有空格处的检验数，计算结果如表 4-7 所示：
表 4-2 中，有 10 个基格，而理论上只应有 m+n-l=9 个，所以表 4-2 给出的调运方案 不能作为表上作业法的初始解。
4.2 判断下列说法是否正确。 （1）在运输问题中，只要任意给出一组含（m+n+1）个非零的{xij}，且满足
，就可以作为一个初始基可行解； （2）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法； （3）如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最优 调运方案将不发生变化； （4）运输问题单位运价表的全部元素乘上一个常数 k（k>0），最优调运方案将不发生
如表 4-8 所示： 表 4-8
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-9 所示： 表 4-9
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第二步：用位势法进行最优解的判断。在对应于表 4-7 的数字格处填入单位运价，并增
加一行一列，在行中填入 vj ，在列中填入 ui 。令 v1 = 0 ，按照 ui + vj = cij （ i,j B ）求出所 有的 ui 和 vj ，并依据 ij = cij − (ui + vj ) （ i,j N ）计算所有空格处的检验数，计算结果如表 4-10 所示：

对表 4-13 中给出的调运方案，再用位势法进行检验，如表 4-14 所示： 表 4-14
由表 4-14 可知，所有空格处的检验数均为非负。所以，表 4-13 中的运输方案即为此
问题的最优调运方案，最小运价为 5520。由于非基变量的检验数中14 = 0 ，所以该运输问

要使所有非基变量的检验数非负，则应满足条件
c22 − 3 0
1c022
+ 10 − c22
0 0
24 − c22 0
18 − c22 0
计算得，当 3 c22 10 时，表 4-15 给出的最优方案不变。
（2）当存在某非基变量的检验数为 0 时，有无穷多最优解。假设 c24 未知，利用位势法
表 4-10
在表 4-10 中，33 = −7 0 。所以，表 4-9 中的运输方案不是此问题的最优调运方案，
需进一步调整。 第三步：利用闭回路法进行解的改进。 从表 4-10 中的空格（3，1）出发点作一闭回路，并对闭回路上的点进行正负编号，如
表 4-11 所示：
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表 4-11
由表 4-12 可知，调入量为 0，按闭回路上的正、负号，加上或减去调入量。调整后的 调运方案，如表 4-12 所示：
表 4-12
第四步：重复第二、三步，得到新的调运方案，如表 4-13 所示： 表 4-13
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变化。
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解：（1）×（2）√（3）×（4）√
4.3 用表上作业法和伏格尔（Vogel）法求表 4-3、表 4-4 中给出的运输问题的最优解 和近似最优解（表中数字 M 为-4
解：（1）解表 4-3 由于表 4-3 中产大于销，因此需要增添一个假想的销地“己”，其运价为 0，销量为 2，
表 4-7
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由表 4-7 可知，所有空格处的检验数均为非负。所以，表 4-6 中的运输方案即为此问
题的最优调运方案，最小运价为 90。由于非基变量的检验数中16 = 26 = 0 ，所以该运输
问题有无穷多最优解。 （4）解表 4-4 由于表 4-4 中产大于销，因此需要增添一个假想的销地“己”，其运价为 0，销量为 40，
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第 4 章 运输问题
4.1 判断表 4-l 和表 4-2 中给出的调运方案能否作为用表上作业法求解时的初始解?为
什么?
表 4-1
表 4-2
解：表 4-l 中有 5 个基格，而要作为初始解，应有 m+n-l=3+4-1=6 个基格，所以表 4-l 给出的调运方案不能作为表上作业法的初始解；
题有无穷多最优解。 4.4 已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表 4-15 和表 4-16，
试回答下列问题。
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表 4-15
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表 4-16
（1）从 A2→B2 的单位运价 c22 在什么范围变化时，上述最优调运方案不变? （2）从 A2→B4 的单位运价 c24 变为何值时，有无穷多最优调运方案？除表 4-15 中方
案外，至少再写出其他两种。 解：（1）因为，当以单位运价表计算的基变量检验数为 0，且非基变量检验数为非负时，
调运方案不变。所以，假设 c22 未知，对表 4-15 中的最优调运方案，利用位势法计算非基变
量的检验数，如表 4-17 所示： 表 4-17
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