高中物理必修二 第三章 第三节 万有引力定律的应用

二、预测未知天体
海王 星的发现，以及英国天文学家 哈雷 根据万有引力定律预言的哈 雷彗星“按时回归”，确立了万有引力定律的地位，充分显示了科学 理论对实践的巨大指导作用.
三、估算天体的质量 一般求中心天体质量的两种方法： (1)知道卫星或行星绕中心天体运动的 周期 及两者之间的 距离 . (2)知道天体半径及其 表面重力加速度 .
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3.2020年11月24日，我国嫦娥五号探测器成功发射，在探测器“奔向”
月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，g表示探测器所受
地球引力产生的加速度，g随h的变化关系如图所示，将地球看成质量
均匀分布的球体，当h＝3R(R是地球的半径)时g为
由Gmr地2m太＝m
4π2 地 T2 r
知
m
太＝4GπT2r23，可以求出太阳的质量.
导学探究
(2)如果求太阳的密度，还需要已知什么条件？
答案
4π2r3 还需要已知太阳的半径 R，此时 ρ 太＝mV太＝34GπTR23＝G3Tπ2rR33
(3)当卫星绕天体表面运动时，运动周期为T，引力常量为G，则天
＝GMRm2 .
知识深化
2.重力与高度的关系 若距离地面的高度为 h，则 mg′＝GRM＋mh2(R 为地球半径，g′为 离地面 h 高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速 度越小.
例1 地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有
√A.物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
知识深化
(3) 从 赤 道 到 两 极 ： 随 着 纬 度 增 加 ， 向 心 力 F′ ＝
mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力mg在 增大，重力加速度增大.
因为F′、F引、mg不在一条直线上，重力mg与万
有引力F引方向有偏差，重力大小mg<
Mm G R2 .
(4)由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认为 mg
根据平抛运动规律，L＝v0t，h＝12g 月 t2，联立解得 g 月＝2hLv202，选项 A 正确； 由 mg 月＝GmRm2 月，解得 m 月＝2hGRL2v2 02，选项 B 正确； 根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误； 月球的平均密度 ρ＝43mπR月3＝2π3GhvL022R，选项 D 错误.
考点二 天体质量和密度的计算 4.2021年4月，我国空间站的“天和”核心舱成功发射并入轨运行.若核 心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量 能计算出地球质量的是 A.核心舱的质量和地球半径 B.核心舱的质量和绕地球运行周期
√C.核心舱绕地球运行的角速度和半径
D.核心舱绕地球运行的周期和距地高度
B.赤道处的角速度比南纬30°大 C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比
两极处大 D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
由F＝G
Mm R2
可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置
受到的地球引力大小都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物
体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力.在赤道上，向心力
知识深化
(2)说明：g为天体表面的重力加速度. 未知星球表面的重力加速度通常这样测出：让小球做自由落体、 平抛、上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度.
知识深化
2.“卫星”环绕法 将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力来自于万有 引力，由GMr2m＝m4Tπ22r，可得 M＝4GπT2r23.
第三章
第三节 万有引力定律的应用
梳理教材 夯实基础 / 探究重点 提升素养 / 课时对点练
学习目标
1.进一步理解万有引力定律，知道万有引力与地球上物体的重力的关系. 2.了解万有引力定律在预测未知天体中的作用. 3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度.

内容索引
Part 1
Part 2
Part 3
√A.P、Q受地球引力大小相等
B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等
√C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D.P、Q两质点的重力大小相等
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P、Q 两质点所受地球引力都是 F＝GMRm2 ，故 A 正确； P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道 半径大于Q的轨道半径，根据F＝mω2r可知P的向心力大， 故B错误，C正确； 物体所受的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的 升高而增大，在两极处最大，故D错误.
例5 2020年12月17日凌晨，“嫦娥五号”成功着陆在内蒙古四子王旗，
标志着我国首次月球采样返回任务圆满完成.若“嫦娥五号”在地球表面
附近绕地球做匀速圆周运动的周期为T1，在月球表面附近绕月球做匀速
圆周运动的周期为T2，则地球与月球的平均密度之比为
√A.TT2122
B.TT1222
C.TT21
D.TT12
知识深化
1.地球表面处重力与万有引力的关系 除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴 做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力. 地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另 一个分力为重力mg，如图所示.
知识深化
(1)当物体在两极时：mg0＝F 引，重力达到最大值，mg0＝GMRm2 . 方向与引力方向相同，指向地心. (2)当物体在赤道上时： F′＝mω2R 最大，此时重力最小， mg1＝GMRm2 －mω2R 方向与引力方向相同，指向地心.
根据万有引力提供向心力有 GMRm2 ＝mR4Tπ22，解得 M＝4Gπ2TR23，
4π2R3
则
ρ＝MV ＝
GT2 43πR3
＝G3Tπ2，所以ρρ地 月＝TT2122，故选
A.
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Part 3
课时对点练
基础对点练
考点一 万有引力和重力的关系 1.(多选)下列关于重力和万有引力的说法正确的是 A.重力和万有引力是不同性质的力
最大，重力最小，A对.
地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错.
地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速
度均不指向地心，C错.
地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支
持力的合力提供的，D错.
例2 2021年5月15日，“天问一号”在火星北半球的乌托邦平原着陆，我
体的密度为多大？
答案 当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于天体半径 R， 则 ρ＝G3Tπ2.
知识深化
计算中心天体质量的两种方法 1.重力加速度法 (1)已知中心天体的半径 R 和中心天体表面的重力加速度 g，根据物 体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有 mg＝GMRm2 ，解得中心 天体质量为 M＝gGR2.
[深度思考] 1.上面两种求中心天体质量的方法：M＝gGR2和 M＝4GπT2r23，“R”与“r” 有何区别？ 答案 在 M＝gGR2中，R 为中心天体半径；在 M＝4GπT2r23中 r 为轨道半径， 若是近地卫星，则 r＝R.
2.用“卫星”环绕法，根据环绕卫星的周期和轨道半径，能测出卫星的 质量吗？ 答案 不能.只能测出被环绕的中心天体的质量.
Part 1 梳理教材 夯实基础
一、预测地球的形状
1.由于地球自转使地球呈 椭球 状. 2.万有引力的两大作用效果：一方面是在竖直方向上与物体受到的拉力 平衡 ，另一方面是提供物体随地球一起自转的 向心力 .分力F1＝FT， 即为 重力 ，分力F2＝mω2Rcos θ，是物体随地球自转所需的 向心力 ， 其方向 垂直指向地轴 . 3.当物体从两极移向赤道时，重力 减小，重力加速度g 减小 ，由于地 球呈两极略扁的椭球状，物体在两极时受到的引力比在赤道时 大 ，从 而造成物体从两极移向赤道时所受重力变 小 .
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那么他在火星表面以相同的速度起 跳能跳多高？ 答案 3.375 m
在地球表面宇航员能跳起的高度 H＝v20g2 在火星表面宇航员能跳起的高度 h＝2vg0′2 联立解得 h＝94H＝3.375 m.
二、天体质量、密度的计算
导学探究
1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以 称量地球质量的人”. (1)他“称量”的依据是什么？ 答案 若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等 于地球对物体的万有引力.
导学探究
(2)若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地 球的质量和密度. 答案 由 mg＝GMRm2 得，M＝gGR2. ρ＝MV ＝G·g43Rπ2R3＝4π3GgR.
导学探究
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力 常量G， (1)能求出太阳的质量吗？
答案
A.g0
B.g40
C.g90
√D.1g60
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由题图可知，探测器在地面上时，满足 mg0＝GMRm2 ， 当 h＝3R 时，有 mg＝GR＋Mm3R2， 联立可得 g＝1g60，故选 D.
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Part 2 探究重点 提升素养
一、万有引力和重力的关系
导学探究
人站在地球(地球被视为规则的球体)的不同位置，比如赤道、两极 或者其他位置，人随地球的自转而做半径不同的匀速圆周运动，请 思考： (1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？ 答案 根据万有引力定律 F＝Gmr1m2 2可知，人在地球不同的位置，受 到的万有引力大小一样.
√B.在不考虑地球自转影响的情况下，可以认为地球表面物体的重力等于
地球对它的万有引力
√C.由于地球自转的影响，物体的重力跟物体所处的纬度有关 √D.在地球两极的物体，物体的重力等于万有引力
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2.(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面 不同纬度上，如果把地球看成是一个质量均匀分布的球体，P、Q两质 点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
导学探究
(2)人在地球的不同位置，什么力提供向心力？大小相同吗？受到 的重力大小一样吗？ 答案 万有引力的一个分力提供随地球转动需要的向心力，在地球 的不同位置，向心力不同，重力是万有引力的另一个分力，所以人 在地球的不同位置，受到的重力大小不一样.
导学探究
(3)有人说：重力就是地球对物体的吸引力，对吗？ 答案 不对.重力是物体由于地球吸引产生的，但重力不是地球对 物体的吸引力.
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核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供， 由 GMr2m＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ22r 可得 M＝vG2r＝ωG2r3＝4GπT2r23， 可知已知核心舱的质量和地球半径、已知核心舱的质量和绕地球运行 周期以及已知核心舱绕地球运行的周期和距地高度，都不能计算出地 球的质量； 若已知核心舱绕地球运行的角速度和半径可计算出地球的质量.故选C.
例3 (多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球
做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速
度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为
√4π2r3
A. GT2
4π2R3 B. GT2
√gR2
C. G
gr2 D. G
根据 GMr2m＝m4Tπ22r 得，M＝4GπT2r23，选项 A 正确，B 错误； 在地球的表面附近有 mg＝GMRm2 ，则 M＝gGR2，选项 C 正确，D 错误.
例4 (多选)宇航员在月球表面附近高为h处以初速度v0水平抛出一个小球，
测出小球的水平射程为L.已知月球半径为R，引力常量为G.下列说法中正
确的是
√A.月球表面的重力加速度 g 月＝2hLv202 √B.月球的质量 m 月＝2hGRL2v2 02
C.月球的自转周期 T＝2vπ0R D.月球的平均密度 ρ＝23πhGvL022
国成为全世界第二个着陆火星的国家.已知火星半径是地球半径的
1 2
，火
星质量大约是地球质量的 1 ，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地
9
球表面的重力加速度g取10 m/s2，忽略火星自转)
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
答案 222.2 N
宇航员在地球表面上有 mg＝GMRm2 在火星表面上有 mg′＝GMR′′m2 代入数据，联立解得 g′＝49g＝490 m/s2 则宇航员在火星表面上受到的重力 G′＝mg′＝50×490 N≈222.2 N.