河北省张家口市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题

2018-2019学年上学期高二期末考试
数学（文）试题
一，选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．）
1，已知全集{
}2
U 1x x =>,集合{
}
2
430x x x A =-+<,则=A C U （ ）
A ．()1,3
B ．()[),13,-∞+∞
C ．()[),13,-∞-+∞
D ．()(),13,-∞-+∞ 2，某校为了研究“学生地”和“对待某一活动地态度”是否相关,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算069.7=k ,则认为“学生与支持活动相关系”地犯错误地概率不超过A ．0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9%附：
)
(02k K P ≥0.1000.0500.0250.0100.001k 0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
3，已知抛物线地焦点()F ,0a （0a <）,则抛物线地标准方程是（ ）A ．22y ax = B ．24y ax = C ．22y ax =- D ．24y ax =-4，命题:p x ∃∈N ,32x x <。

命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞ ,函数
()()log 1a f x x =-地图象过点()2,0,则（ ）
A ．p 假q 真
B ．p 真q 假
C ．p 假q 假
D ．p 真q 真
5，执行右边地程序框图,则输出地A 是（ ）A ．
2912 B ．7029 C ．2970 D ．16970
6，在直角梯形CD AB 中,//CD AB ,C 90∠AB = ,2C 2CD AB =B =,则cos D C ∠A =（ ）
A C D
7，已知2sin 21cos 2αα=+,则tan 2α=（ ）A ．43-
B ．43
C ．43-或0
D ．43
或08，3
2212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
展开式中地常数项为（ ）A ．8- B ．12- C ．20- D ．20
9.已知函数()f x 地定义域为2
(43,32)a a --,且(23)y f x =-是偶函数．又
321()24x g x x ax =++
+,存在0x 1
(,),2
k k k Z ∈+∈,使得00)(x x g =,则满足款件地k 地个数为( )A ．3 B ．2 C ．4 D ．1
10，F 是双曲线C :22
221x y a b
-=（0a >,0b >）地右焦点,过点F 向C 地一款渐近线引垂
线,垂足为A ,交另一款渐近线于点B ．若2F F A =B
,则C 地离心率是（ ）
A B ．2 C 11，直线y a =分别与曲线()21y x =+,ln y x x =+交于A ,B ,则AB 地最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
3212，某几何体地三视图如图所示,则该几何体地表面积为（ ）
A ．4
B ．21+
C ．12+
D 12二，填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．）
13，已知()1,3a =- ,()1,b t = ,若()
2a b a -⊥
,则b = ．
14，已知
2
1
2(1)4
k dx ≤+≤⎰,则实数k 地取值范围是_____.
15，在半径为2地球面上有不同地四点A ,B ,C ,D ,若C D 2AB =A =A =,则平面CD
B 被球所截得图形地面积为 ．
16，已知x ,R y ∈,满足22246x xy y ++=,则224z x y =+地取值范围为 ．
三，解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17，（本小题满分12分）设数列{}n a 地前n 项和为n S ,满足()11n n q S qa -+=,且
()10q q -≠．
()I 求{}n a 地通项公式。

()II 若3S ,9S ,6S 成等差数列,求证：2a ,8a ,5a 成等差数列．
18，（本小题满分12分）我国城市空气污染指数范围及相应地空气质量类别见下表：
空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量0--50优201--250中度污染51--100良251--300中度重污染101--150轻微污染>300
重污染
151----200
轻度污染
我们把某天地空气污染指数在0-100时称作A 类天,101--200时称作B 类天,大于200时称作C 类天．下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取地18天数据作为样本,其茎叶图如下：（百位为茎,十，个位为叶）
（Ⅰ）从这18天中任取3天,求至少含2个A 类天地概率。

（Ⅱ）从这18天中任取3天,记X 是达到A 类或B 类天地天数,求X 地分布列及数学期望．19，（本小题满分12分）如图,在斜三棱柱111C C AB -A B 中,侧面11CC A A 与侧面
11C C BB 都是菱形,111CC CC 60∠A =∠B =
,C 2A =．
()I 求证：11CC AB ⊥。

80
90787363
526793
4738386730121290683243210
()
II 若1AB =
求二面角11C -AB -A ．
20，（本小题满分12分）已知圆:O 224x y +=,点)
A
,以线段AB 为直径地圆内切
于圆O ,记点B 地轨迹为Γ．
()I 求曲线Γ地方程。

()II 直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 地中点时,求直线AB 地方程．
21，（本小题满分12分）已知函数()
()2
12
x
x f x e +=-
,()()2ln 1x
g x x e
-=++．
()I ()1,x ∈-+∞时,证明：()0f x >。

()II 0a >,若()1g x ax ≤+,求a 地取值范围．
请考生在第23，24题中任选一题作答,假如多做,则按所做地第一题计分,作答时请写清题号．
22，（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆C :22
143x y +=,直线:
l 3x y t
⎧=-+⎪⎨
=+⎪⎩（t 为参数）．()I 写出椭圆C 地参数方程及直线l 地普通方程。

()II 设()1,0A ,若椭圆C 上地点P 满足到点A 地距离与其到直线l 地距离相等,求点P 地
坐标．
23，（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =-++．
()I 当1a =时,解不等式()3f x <。

()II 若()f x 地最小值为1,求a 地值．
高二数学（文）结果
一，选择题：
1，C 2，B 3，B 4，A 5，B 6，B 7，D 8，C 9，A 10，C 11，D 12，C 二，填空题：
13，514，［1,3］15，16π16，[4,12]
三，解答题：
17，解：（Ⅰ）当n ＝1时,由(1－q)S1＋qa1＝1,a1＝1．
当n≥2时,由(1－q)Sn ＋qa n ＝1,得(1－q)Sn －1＋qa n －1＝1,两式相减得a n ＝qa n
－1,
又q(q －1)≠0,所以{a n }是以1为首项,q 为公比地等比数列,故a n ＝q n －1．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn ＝
1－anq 1－q
,又S3＋S6＝2S9,得
1－a3q 1－q
＋1－a6q 1－q
＝
2(1－a9q)1－q
,
化简得a 3＋a 6＝2a 9,两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8．故a 2,a 8,a 5成等差数列．
…12分
18，解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天,取法种数有 3
18816C =,
3天中至少有2个A 类天地取法种数2
1
3
315346C C C += , ..... ....2分所以这3天至少有2个A 类天地概率为
23
408。

................. ..4分（Ⅱ）X 地一切可能地取值是3,2,1,0.………… 5分
当X=3时,102
7
)3(31838=
==C C X P …………………… 6分当X=2时,10235
)2(3
181
1028===C C C X P …………………… 7分当X=1时,34
15
10245)1(3
1821018====C C C X P …………… 8分 当X=0时,34
5
10215)0(3183
10====C C X P …………… 9分
X 地分布列为X
3
210
P 7/10235/10215/345/34
……………11分
数学期望为
3
4
102136102457021==++ ． ……………12分
19，解：（Ⅰ）证明：连AC 1,CB 1,
则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O,连OA,OB1,则CC 1⊥OA,CC 1⊥OB1,
则CC 1⊥平面OAB 1,则CC 1⊥AB 1．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,OA ＝OB 1＝3,又AB 1＝6,
所以OA ⊥OB 1．
如图所示,分别以OB 1,OC 1,OA 为正方向建立空间直角坐标系,
则C(0,－1,0),B1(3,0,0),A(0,0,3),…6分
设平面CAB 1地法向量为m ＝(x 1,y 1,z 1), 因为AB1→ ＝(3,0,－3),AC →
＝(0,－1,－3),
所以
{
3×x1＋0×y1－3×z1＝0
0×x1－1×y1－3×z1＝0
取m ＝(1,－3,1)．
…8分
设平面A 1AB 1地法向量为n ＝(x 2,y 2,z 2), 因为AB1→ ＝(3,0,－3),AA1→
＝ (0,2,0),
所以{
3×x2＋0×y2－3×z2＝00×x1＋2×y1＋0×z1＝0
取n ＝(1,0,1)．
…10分
则cos￿m,n￿＝
m·n |m||n|＝
2
5×2
＝105,因为二面角C-AB 1-A 1为钝角,
所以二面角C-AB 1-A 1地余弦值为－10
5．…12分
20，解：（Ⅰ）设AB 地中点为M,切点为N,连OM,MN,
则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2,取A 有关y 轴地对称点A￿,连A￿B,故|A￿B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．
x
所以点B 地轨迹是以A￿,A 为焦点,长轴长为4地椭圆．其中,a ＝2,c ＝3,b ＝1,则曲线Γ地方程为
x24
＋y 2＝1．
…5分
（Ⅱ）因为B 为CD 地中点,所以OB ⊥CD,
则OB → ⊥AB →
．设B(x0,y0),
则x0(x0－3)＋y02 ＝0．
…7分
又x02 4＋y 02
＝1 解得x 0＝23,y 0＝±23．
则k OB ＝±
2
2
,k AB ＝2,…10分
则直线AB 地方程为y ＝±2(x －3),即x －y －6＝0或2x ＋y －6＝0．
…12分
21，解：（Ⅰ）令p(x)＝f￿(x)＝e x －x －1,p￿(x)＝e x －1,
在(－1,0)内,p￿(x)＜0,p(x)单减。

在(0,＋∞)内,p￿(x) ＞0,p(x)单增．所以p(x)地最小值为p(0)＝0,即f￿(x)≥0,
所以f(x)在(－1,＋∞)内单调递增,即f(x)＞f(－1)＞0．…4分
（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax ＋1),则h￿(x)＝
2x ＋1
－e －x －a,
令q(x)＝
2
x ＋1－e －x －a,q￿(x)＝1ex －2
(x ＋1)2
．由（Ⅰ）得q￿(x)＜0,则q(x)在(－1,＋∞)上单调递减．…6分
（1）当a ＝1时,q(0)＝h￿(0)＝0且h(0)＝0．
在(－1,0)上h￿(x)＞0,h(x)单调递增,在(0,＋∞)上h'(x)＜0,h(x)单调递减,
所以h(x)地最大值为h(0),即h(x)≤0恒成立．…7分
（2）当a ＞1时,h￿(0)＜0,
x ∈(－1,0)时,h￿(x)＝2x ＋1
－e －x －a ＜
2
x ＋1－1－a ＝0,解得x ＝
1－a
a ＋1∈(－1,0)．即x ∈(1－a a ＋1
,0)时h￿(x)＜0,h(x)单调递减,
又h(0)＝0,所以此时h(x)＞0,与h(x)≤0恒成立矛盾．…9分
（3）当0＜a ＜1时,h￿(0)＞0,
x ∈(0,＋∞)时,h￿(x)＝2x ＋1
－e －x －a ＞
2
x ＋1－1－a ＝0,解得x ＝
1－a a ＋1
∈(0,＋∞)．即x ∈(0,
1－a
a ＋1
)时h￿(x)＞0,h(x)单调递增,又h(0)＝0,所以此时h(x)＞0,与h(x)≤0恒成立矛盾．…11分综上,a 地取值为1．
…12分22，解：（Ⅰ）C ：{
x ＝2cos θ
y ＝3sin θ
（θ为为参数）,l ：x －3y ＋9＝0．
…4分
（Ⅱ）设P(2cosθ,3sinθ),则|AP|＝(2cos θ－1)2＋(\r(3)sin θ)2＝2－cosθ,
P 到直线l 地距离d ＝
|2cos θ－3sin θ＋9|
2
＝
2cos θ－3sin θ＋9
2
．由|AP|＝d 得3sinθ－4cosθ＝5,又sin2θ＋cos2θ＝1,得sinθ＝3
5, cosθ＝－4
5
．
故P(－85,335
)．…10分
23，解：（Ⅰ）因为f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|＝{
－3x
x ≤－1。

－x ＋2
－1≤x ≤1
2。

3x x ≥12
且f(1)＝f(－1)＝3,所以,f(x)＜3地解集为{x|－1＜x ＜1}。

…4分
（Ⅱ）|2x －a|＋|x ＋1|＝|x －a 2|＋|x ＋1|＋|x －a 2|≥|1＋a 2|＋0＝|1＋a
2|
当且仅当(x ＋1)(x －a 2)≤0且x －a
2
＝0时,取等号．
所以|1＋a
2
|＝1,解得a ＝－4或0．
----------------10分。