二轮复习专题一第3讲导数的几何意义及函数的单调性课件(73张)

(2)求f(x)的单调区间.
ln x－ln t f(x)＝ x－t ，
∴f(x)的定义域为(0，t)∪(t，＋∞)，且t>0，
f′(x)＝1－xt －x－ln tx2＋ln
t ，
令 φ(x)＝1－xt－ln x＋ln t，x>0 且 x≠t， φ′(x)＝xt2－1x＝t－x2x，
∴当x∈(0，t)时，φ′(x)>0，
内容索引
考点一 导数的几何意义与计算 考点二 利用导数研究函数的单调性 考点三 单调性的简单应用
专题强化练
考点一
导数的几何意义与计算
核心提炼
1.导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. (3)切点既在切线上，又在曲线上. 2.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x ＝y′u·u′x.
1.函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0) 在x∈D上恒成立. 2.函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或 f′(x)<0)在x∈D上有解.
例3 (1)若函数 f(x)＝ex(cos x－a)在区间－π2，π2上单调递减，则实数 a 的 取值范围是
则 g′(x)＝(x＋1)ex－1－1 x＝1－1x－2exx－1(0<x≤0.1).
设h(x)＝(1－x2)ex－1(0<x≤0.1)， 则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立， 所以h(x)在(0,0.1]上单调递增， 所以h(x)>h(0)＝(1－02)·e0－1＝0，即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立， 所以g(x)在(0,0.1]上单调递增， 所以g(0.1)>g(0)＝0·e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0， 所以>－ln，即a>c. 综上，c<a<b，故选C.
则
f(x)在－∞，ln
2a上单调递增，在ln
2a，－1上单调递减，在(－1，＋∞)
上单调递增.
综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单
Βιβλιοθήκη Baidu调递减；
当
0<a<2e
时，f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在－1，ln
2a上单调递减，
在ln
2a，＋∞上单调递增；
当a＝2e时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
例2 (2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(a∈R，e为自然 对数的底数). (1)若f(x)在x＝0处的切线与直线y＝ax垂直，求a的值；
f′(x)＝(x＋1)(aex－2)，则f′(0)＝a－2， 由已知得(a－2)a＝－1，解得a＝1.
(2)讨论函数f(x)的单调性.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝，b＝ ，c＝1－ln，则 9
A.a<b<c
B.c<b<a
√C.c<a<b
D.a<c<b
设u(x)＝xex(0<x≤0.1)， v(x)＝1－x x(0<x≤0.1)， w(x)＝－ln(1－x)(0<x≤0.1). 则当0<x≤时，u(x)>0，v(x)>0，w(x)>0. ①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)] ＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)] ＝x＋ln(1－x)(0<x≤0.1)， 则 f′(x)＝1－1－1 x＝x－x 1<0 在(0,0.1]上恒成立，
y'|x=x0
(x0＋a＋1)ex0
x0aex0 x0
,
化简，得 x20＋ax0－a＝0.
因为曲线 y＝(x＋a)ex 有两条过坐标原点的切线，所以关于 x0 的方程 x20 ＋ax0－a＝0 有两个不同的根，所以 Δ＝a2＋4a>0，解得 a<－4 或 a>0， 所以 a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
所以f(x)在(0,0.1]上单调递减， 所以f(0.1)<f(0)＝0＋ln(1－0)＝0， 即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0， 所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)]. 又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以 u(0.1)<v(0.1)，即 0.1e0.1<19，所以 a<b. ②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，
f′(x)＝(x＋1)(aex－2)，
①当a≤0时，aex－2<0，
所以f′(x)>0⇒x<－1，f′(x)<0⇒x>－1，
则f(x)在(－∞，－1)上单调递增，
在(－1，＋∞)上单调递减； ②当 a>0 时，令 aex－2＝0，得 x＝ln 2a， (ⅰ)当 0<a<2e 时，ln 2a>－1， 所以 f′(x)>0⇒x<－1 或 x>ln 2a，f′(x)<0⇒－1<x<ln 2a，
ln x－ln t 跟踪演练2 (2022·北京模拟)已知函数 f(x)＝ x－t .
(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；
ln x－ln 2 ∵t＝2，∴f(x)＝ x－2 ，
x－2
∴f′(x)＝
x
－ln x＋ln 2 x－22 ，
∴f′(1)＝ln 2－1，又f(1)＝ln 2， ∴切线方程为y－ln 2＝(ln 2－1)(x－1)，即y＝(ln 2－1)x＋1.
专题一 函数与导数
第3讲 导数的几何意义及函数的单调性
考情分析
1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填 空题的形式考查，难度较小.
2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型， 以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属 综合性问题.
当x∈(t，＋∞)时，φ′(x)<0， ∴φ(x)在(0，t)上单调递增，在(t，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)<φ(t)＝0，∴f′(x)<0， ∴f(x)在(0，t)，(t，＋∞)上单调递减. 即f(x)的单调递减区间为(0，t)，(t，＋∞)，无单调递增区间.
考点三
单调性的简单应用
核心提炼
C.b＞a＞0
D.b＞0＞a
∵9m＝10，∴m∈(1,2)， 令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)， ∴f′(x)＝mxm－1－1， ∵x>1且1<m<2， ∴xm－1>1，∴f′(x)>0， ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0， 又a＝f(10)，b＝f(8)， ∴f(8)<f(9)<f(10)，即b<0<a.
处的切线方程为
x＋y－2＝0
x－y－1＝0
√x＋y－1＝x－y＋1＝0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
因为 f′(x)＝－x12－2＋1x，所以 f′(1)＝－2， 又f(1)＝－1， 故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)， 化简得2x＋y－1＝0.
∵x1<x2，f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(0，m)上单调递增， 1－ln x
又 f′(x)＝ x2 ，则 f′(x)>0⇒0<x<e，
即函数f(x)的单调递增区间是(0，e)，则m的最大值为e.
专题强化练
一、单项选择题
1.(2022·张家口模拟)已知函数f(x)＝ 1 －2x＋ln x，则函数f(x)在点(1，f(1)) x
规律方法 利用导数比较大小或解不等式的策略 利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把 比较大小或求解不等式的问题，转化为利用导数研究函 数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.
跟踪演练3 (1)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则
√A.a＞0＞b
B.a＞b＞0
(2)(2022·保定联考)已知函数 f(x)＝aln x，g(x)＝bex，若直线 y＝kx(k>0)与
函数 f(x)，g(x)的图象都相切，则 a＋1b的最小值为
A.2
√B.2e
C.e2
D. e
设直线y＝kx与函数f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为A(m，km)，B(n， kn). 由 f′(x)＝ax，有mkam＝＝ka，ln m， 解得 m＝e，a＝ek. 又由 g′(x)＝bex，有kbne＝n＝bke，n， 解得 n＝1，b＝ke，
先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)， 则由 y′＝1x，得切线斜率为x10， 又切线的斜率为yx00，所以x10＝yx00，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e， 所以切线斜率为1e，切线方程为 y＝1ex.
同理可求得当 x<0 时的切线方程为 y＝－1ex. 综上可知，两条切线方程为 y＝1ex，y＝－1ex.
A.(－ 2，＋∞)
B.(1，＋∞)
C.[1，＋∞)
√D.[ 2，＋∞)
f′(x)＝ex(cos x－a)＋ex(－sin x)＝ex(cos x－sin x－a)， ∵f(x)在区间－π2，π2上单调递减，
∴f′(x)≤0 在区间－π2，π2上恒成立，
即cos x－sin x－a≤0恒成立，
即 a≥cos x－sin x＝ 2cosx＋π4恒成立， ∵－π2<x<π2，∴－π4<x＋π4<34π， ∴－1< 2cosx＋π4≤ 2，∴a≥ 2.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是_(_－__∞__，__－__4_)_∪__(0_，__＋__∞__)__.
因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.
设切点为A(x0，(x0＋a) e x 0 )，O为坐标原点，
依题意得，切线斜率kOA＝
可得 a＋1b＝ek＋ek≥2 e2＝2e，
当且仅当 a＝e，b＝1e时取“＝”.
考点二
利用导数研究函数的单调性
核心提炼
利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域. (2)求f(x)的导数f′(x). (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间. (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号.
例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cos x的图象在x＝0处的切线
方程为 A.x－2y＋1＝0
√B.x－y＋2＝0
C.x＋2＝0 x－y＋1＝0
由题意，函数f(x)＝(2ex－x)·cos x， 可得f′(x)＝(2ex－1)·cos x－(2ex－x)·sin x， 所以f′(0)＝(2e0－1)·cos 0－(2e0－0)·sin 0＝1， f(0)＝(2e0－0)·cos 0＝2， 所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0.
(2)已知变量x1，x2∈(0，m)(m>0)，且x1<x2，若
x
x 1
2
x
x1 2
恒成立，则m的最
大值为(e＝2.718 28…为自然对数的底数)
√A.e
1
B. e
C.e
D.1
∵
x x2 1
x x1 2
⇒x2ln x1<x1ln x2，x1，x2∈(0，m)，m>0，
∴lnx1x1<lnx2x2恒成立， 设函数 f(x)＝lnxx，
当 a>2e 时，f(x)在－∞，ln
2a上单调递增，在ln
2a，－1上单调递减，在
(－1，＋∞)上单调递增.
规律方法
(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万 不要忽视了定义域的限制； (2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依 据根的大小进行分类讨论； (3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对 应方程的判别式进行分类讨论.
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处 的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点， 点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P 为切点.
跟踪演练1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方 程为__y_＝__1e_x__，_y_＝__－__1e_x__.
则
f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在－1，ln
2a上单调递减，
在ln
a2，＋∞上单调递增；
(ⅱ)当a＝2e时，f′(x)＝2(x＋1)(ex＋1－1)≥0，
则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
(ⅲ)当 a>2e 时，ln 2a<－1， 所以 f′(x)>0⇒x<ln 2a或 x>－1，f′(x)<0⇒ln 2a<x<－1，