2018年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(附解析)

2018年XX 市高2016届高三第一次诊断考试
数学试题<理科>
第Ⅰ卷〔选择题,共50分
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =∈+-≤Z ,{|22}B x x =-<<,则A B =
〔A {|12}x x -≤
< 〔B {1,0,1}- 〔C {0,1,2} 〔D {1,1}- 2．在ABC ∆中,"4
A π
=
"是"cos A ="的
〔A 充分不必要条件〔B 必要不充分条件 〔C 充要条件〔D 既不充分也不必要条件
3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余部分与挖去部分的体积之比为 〔A 3:1〔B 2:1 〔C 1:1〔D 1:2 4．设14
7
()
9
a -=,15
9()7
b =,2
7
log 9
c =,则a , b , c 的大小顺序是 〔A b a c << 〔B c a b << 〔C c b a <<
〔D b c a <<
5．已知n m ,为空间中两条不同的直线,βα,为空间中两个不同的平面,下列命题中正确的是 〔A 若βα//,//m m ,则βα// 〔B 若,m m n α⊥⊥,则//
n α 〔
C 若n
m m //,//α,则α//n 〔D 若βα//,m m ⊥,则βα⊥
6．执行如图所示程序框图,若使输出的结果不大于50,则输入的整数k
正视图侧视图
俯视图
的最大值为
〔A4 〔B5 〔C6 〔D7 7．已知菱形ABCD 边长为2,3
B π
∠=
,点P 满足AP AB λ=,λ∈R ．若3BD CP ⋅=-,则λ的值为
〔A
12〔B 12- 〔C 13〔D 13
- 8．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点A 作斜率为1的直线,该直线与双曲线两条
渐近线的交点分别为,B C .若1
2
AB BC =,则此双曲线的离心率为
〔A 10〔B 5〔C 3〔D 2
9．设不等式组402020x y x y y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域为D .若指数函数(0x
y a a =>且1)a ≠的
图象经过区域D 上的点,则a 的取值范围是
〔A [2]3，〔B [3,)+∞ 〔C (0]1
3， 〔D 1[,1)3
10．如果数列{}n a 中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长,则称{}n a 为"亚三角形"数列；对于"亚三角形"数列{}n a ,如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个"亚三角形"数列,则称()y f x =是数列{}n a 的一个"保亚三角形函数"〔*n ∈N .记数列{}n c 的前n 项和为n S ,12016c =,且15410080n n S S +-=,若()lg g x x =是数列{}n c 的"保亚三角形函数",则{}n c 的项数n 的最大值为 〔参考数据：lg 20.301≈,lg 2016 3.304≈ 〔A 33〔B 34〔C 35〔D 36
第Ⅱ卷〔非选择题,共100分
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-〔其中i 为虚数单位,则
z =．
12．7
(2)x -的展开式中,2
x 的系数是．
13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示,其中一个数字被污损,记甲,乙的平均成绩分别为x 甲,x 乙,则
x >甲x 乙的概率是．
甲 乙 4 7 5 8 7 6
9
9 2
4
1
14．如图,某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业,阴影部分是不能开发的古建筑群,且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离,古建筑群的边界为曲线2
413
y x =-的一部分,栏栅与矩形区域边界交于点M ,N ．则MON ∆面积的最小值为．
15．已知函数232
log (2),0()33,x x k
f x x x k x a -≤<⎧=⎨-+≤≤⎩
.若存在k 使得函数()f x 的值域为[1,1]-,则实数a 的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．〔本小题满分12分
已知等比数列{}n a 的公比1q >,且212()5n n n a a a +++=． 〔Ⅰ求q 的值；
〔Ⅱ若2
510a a =,求数列{
}3
n
n a 的前n 项和n S ． 17．〔本小题满分12分
某类题库中有9道题,其中5道甲类题,每题10分,4道乙类题,每题5分．现从中任意选取三道题组成问卷,记随机变量X 为此问卷的总分． 〔Ⅰ求X 的分布列； 〔Ⅱ求X 的数学期望()E X ． 18．〔本小题满分12分
已知向量
m 1
(cos 2,
cos )22
x x x =-,
n 1(1,cos )22x x =-,设函数()f x =m n ．
〔Ⅰ求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；
〔Ⅱ设A ,B ,C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =,1
()4
f C =-,求sin A 的值．
19．〔本小题满分12分
如图,菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2,它们所在平面互相垂直,FD ⊥平面
ABCD ,
且FD =．
〔Ⅰ求证：//EF 平面ABCD ；
〔Ⅱ若60CBA ∠=︒,求二面角A FB E --的余弦值．
20．〔本小题满分13分
已知椭圆2
2
:
132x y E +=的左右顶点分别为A ,B ,点P
. 〔Ⅰ求直线PA 与PB 的斜率之积；
A
〔Ⅱ
设(,0)(Q t t ≠,过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ,N 两点.则是否存在实数t ,使得以MN 为直径的圆恒过点A ？若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由．
21．〔本小题满分14分
已知函数2
1()(1)ln ()2
f x ax a x x a =-
++-∈R ． 〔Ⅰ当0a >时,求函数()f x 的单调递减区间；
〔Ⅱ当0a =时,设函数()()g x xf x =.若存在区间1[,][,)2
m n ⊆+∞,使得函数()g x 在
[,]m n 上的值域为[(2)2,(2)2]k m k n +-+-,求实数k 的取值范围．
数学〔理科参考答案及评分意见
第I 卷〔选择题,共50分
一、选择题：<本大题共10小题,每小题5分,共50分>
1.B ；
2.B ；
3.C ；
4.C ；
5.D ；
6.A ；
7.A ；
8.B ；
9.D ； 10.A.
第II 卷〔非选择题,共100分
二．填空题：<本大题共5小题,每小题5分,共25分> 11.15i +； 12.280-； 13.
25; 14.2
3
；
15.[2,1+. 三、解答题：<本大题共6小题,共75分> 16．解：〔Ⅰ
212()5,n n n a a a +++=22()5.n n n a a q a q ∴+=
由题意,得0n a ≠,∴2
2520.q q -+=
2q ∴=或1
.2
1q >， 2.q ∴=……………………6分
〔Ⅱ2510,a a =42911().
a q a q ∴=
12a ∴=.
∴122
[1()]
2332.2313
n n n n S +-==--……………………12分
17．解：〔Ⅰ由题意,X 的所有可能取值为15,20,25,30.
∵34
39C 1(15)=C 21P X ==,214539C C 5(20)=,
C 14P X ⋅==
12
453
9C C 10(25)=C 21
P X ⋅==,35
39C 5(30)=C 42P X ==， ∴X
………………7分 〔Ⅱ()E
X 151051520253021142142=⨯
+⨯+⨯+⨯70.3
= ………………12分 18.解：〔Ⅰ21
()cos 2cos )22
f x x x x =+- 1).23
x π
=
-
……………………3分 要使()f x 取得最大值,须满足sin(2)3
x π
-取得最小值.
∴,12
x k k π
=π-
∈Z.……………………5分 ∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12
x x k k π
=π-
∈Z ……………………6分 〔Ⅱ由题意,得sin(
2)3C π-=
(0,),2C π
∈22(,).333C πππ∴-∈-3C π
∴=. ………………9分
(0,)
2B π∈,4sin .5B ∴=
413525
=
⨯+=………………12分 19.解：〔Ⅰ如图,过点E 作EH BC ⊥于H ,连接.HD
EH
∴=平面ABCD ⊥平面BCE ,EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD
平面BCE 于BC ，
∴EH ⊥平面.ABCD
又
FD ⊥平面ABCD ,FD =
∴四边形EHDF 为平行四边形.
EF ⊄平面ABCD ,HD ⊆平面,ABCD
//EF ∴平面.ABCD ………6分
〔Ⅱ连接.HA 由〔Ⅰ,得H 为BC 中点,又
60CBA ∠=︒,ABC ∆为等边三角形,
∴.HA BC ⊥分别以,,HB HA HE 为,,x y z 轴建立如图所
示的空间直角坐标系H xyz -.
则(1,0,0),(B F E A -
(BF =-
,(BA =-
,(BE =-
设平面EBF 的法向量为1111(,,)x y z =n .由1100BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n
得1111130.0x x ⎧-++=⎪⎨
-+=⎪⎩令11z =,
得1=n .
设平面ABF 的法向量为2222(,,)x y z =n .由2200BF BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n
得2222230
.0x x ⎧-+=⎪⎨
-+=⎪⎩令21y =,
得2,2)=n .
故二面角A FB E --的余弦值是7
8
-
. ………………………12分 20.解
：〔Ⅰ(A B .设点(,)P x y (0)y ≠.
则有22132x y +=,即22
222(1)(3).33
x y x =-=-
2
2
3
PA PB
y k k x ∴⋅==-222
(3)
2
3.33x x -==-- …………………4分 〔Ⅱ令11(,)M x y ,22(,)N x y
.MN 与x 轴不重合,∴设:()MN l x my t m =+∈R .
由22
2360
x my t
x y =+⎧⎨
+-=⎩，得222
(23)4260.m y mty t +++-=
2222122
2122164(23)(26)04.232623m t m t mt y y m t y y m ⎧
⎪∆=-+->⎪
-⎪
∴+=⎨+⎪
⎪-⋅=
⎪+⎩
……〔* 由题意,得AM AN ⊥.即0.AM AN ⋅=
将〔*式代入上式,
得22
222
264(1)((0.2323
t mt
m m t t m m --+++++=++
即
222222222
26264(23)(3)0.t m t m m t t m t -+---++++= 展开,
得2222222222
262642t m t m m t t m t t -+---++ 整理,
得2
530t ++=.
解得5
t =-
或t =〔舍去. 经检验
,t =0∆>成立.
故存在t =. …………………………13分 21.解：〔Ⅰ()f x 的定义域为(0,)+∞,(1)(1)
()(0).ax x f x a x
--'=->
①当(0,1)a ∈时,
1
1a >. 由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈,1
(,)x a
∈+∞时,()f x 单调递减.
∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1
(,)a
+∞.
②当1a =时,恒有()0f x '≤,∴()f x 单调递减.
∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞. ③当(1,)a ∈+∞时,
1
1a
<. 由()0f x '<，得1x >或1x a <
.∴当1
(0,)x a ∈,(1,)x ∈+∞时,()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为1
(0,)a
,(1,)+∞.
综上,当(0,1)a ∈时,()f x 的单调递减区间为(0,1),1
(,)a
+∞；
当1a =时,()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；
当(1,)a ∈+∞时,()f x 的单调递减区间为1(0,)a
,(1,).+∞.………6分
〔Ⅱ当0a =时,2
()ln ,(0,)g x x x x x =-∈+∞,()2ln 1g x x x '=--,1[()]2g x x
''=-
.当1[,)2x ∈+∞时,1[()]20g x x ''=-≥,∴()g x '在1
[,)2+∞上单调递增.
又1()ln 20,2g '=>1()()02g x g ''∴≥>在1
[,)2
+∞上恒成立.
()g x ∴在1
[,)2
+∞上单调递增.
由题意,得22
ln (2)2
.ln (2)2
m m m k m n n n k n ⎧-=+-⎪⎨-=+-⎪⎩ 原问题转化为关于x 的方程2
ln (2)2x x x k x -=+-在1
[,)2
+∞上有两个不相等的实数
根. .……9分
即方程2ln 22x x x k x -+=+在1
[,)2
+∞上有两个不相等的实数根.
令函数2ln 21
(),[,)22
x x x h x x x -+=
∈+∞+. 则22
32ln 4()(2)
x x x h x x +--'=+. 令函数2
1()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=
在1
[,)2+∞上有()0p x '≥.
故()p x 在1
[,)2
+∞上单调递增.
(1)0p =,
∴当1[,1)2
x ∈时,有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；
当(1,)x ∈+∞时,有()0p x >即()0h x '>,∴()h x 单调递增.
19ln 2
()2105
h =+
,(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h , ∴k 的取值范围为9ln 2
(1,].105
+…………14分
数学〔文科参考答案及评分意见
第I 卷〔选择题,共50分
一、选择题：<本大题共10小题,每小题5分,共50分>
1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．A ； 9．D ； 10．B ．
第II 卷〔非选择题,共100分
二．填空题：<本大题共5小题,每小题5分,共25分> 11．15i +； 12．-1； 13．
2
5
； 14．3； 15．1． 三、解答题：<本大题共6小题,共75分> 16．解：〔Ⅰ
212()5,n n n a a a +++=22()5.n n n a a q a q ∴+=
由题意,得0n a ≠,∴2
2520.q q -+=
2q ∴=或1
.2
1q >， 2.q ∴=……………………6分
〔Ⅱ2510,a a =42911().
a q a q ∴=
12a ∴=.
∴1
22
[1()]2332.2313
n n n n
S +-==--……………………12分 17．解：〔Ⅰ记"从9道题中,随机抽取1道为难题"为事件M ,9道题中难题有1A ,4A ,6A ,7A 四道. ∴4
().9
P M =
……………6分 〔Ⅱ记"从难题中随机抽取2道难度系数相等"为事件N ,则基本事件为：
14{,}A A ,16{,}A A ,17{,}A A ,46{,}A A ,47{,}A A ,67{,}A A 共6个；难题中有且仅有6A ,7A 的
难度系数相等. ∴1
().6
P N =
……………12分 18．解
：〔Ⅰ2251()cos cos sin 44
f x x x x x =
--
1).223
x π
=
--……………………3分
要使()f x 取得最大值,须满足sin(2)3
x π-取得最小值.
∴,12
x k k π
=π-∈Z.……………………5分
∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12
x x k k π
=π-∈Z ……………………6分
〔Ⅱ由题意,
得sin(
2)32
C π-=- (0,),2C π∈22(,).333C πππ∴-∈-3C π
∴=. ………………9分
(0,)2B π∈,4sin .5B ∴=
413525=
⨯+= ………………12分 19．解：〔Ⅰ如图,过点E 作EH BC ⊥于H ,连接.HD 平面ABCD ⊥平面BCE ,EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD
平面BCE 于BC ，
∴EH ⊥平面.ABCD
又
FD ⊥平面
ABCD ,FD =
∴四边形EHDF 为平行四边形.
EF ⊄平面ABCD ,HD ⊆平面,ABCD
//EF ∴平面.ABCD ………6分
〔Ⅱ连接,CF HA .由题意
,得HA BC ⊥.
HA ⊆平面,ABCD 平面ABCD ⊥平面BCE 于BC ，
∴HA ⊥平面BCE .
//FD EH ,EH ⊆平面BCE ,FD ⊄平面BCE ，
//FD ∴平面.BCE
同理,由//HB DA 可证,//DA 平面.BCE
FD DA 于D ,FD ⊆平面ADF ,DA ⊆平面ADF ,
∴平面BCE //平面.ADF
F ∴到平面BCE 的距离等于HA 的长. FD 为四棱锥F ABCD -的高,
3.=……………………………12分
20．解
：〔Ⅰ(A B .设点(,)P x y (0)y ≠. 则有22132x y +=,即22222(1)(3).33
x y x =-=-
2
23PA PB y k k x ∴⋅==-222(3)23.33x x -==-- ……………………4分 〔Ⅱ设11(,)M x y ,22(,)N x y
,MN 与x 轴不重合,∴
设直线:)5MN l x ty t =-∈R .
由22,2360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩
得22144(23)0.525t y ty +--= 由题意,可知0∆>成立,
且122122523.1442523y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩
……〔* 将〔*代入上式,化简得
∴AM AN ⊥,即以MN 为直径的圆恒过点A ． ………………13分
21.解：〔Ⅰ()f x 的定义域为(0,)+∞,(1)(1)()(0).ax x f x a x --'=-
> ①当(0,1)a ∈时,11a
>.
由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈,1(,)x a
∈+∞时,()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a
+∞. ②当1a =时,恒有()0f x '≤,∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.
③当(1,)a ∈+∞时,11a
<. 由()0f x '<，得1x >或1x a <
.∴当1(0,)x a
∈,(1,)x ∈+∞时,()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a
,(1,)+∞. 综上,当(0,1)a ∈时,()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a
+∞； 当1a =时,()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；
当(1,)a ∈+∞时,()f x 的单调递减区间为1(0,)a
,(1,)+∞.………6分 〔Ⅱ2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点, 即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2
x ∈+∞上有两个不相等的实数根. 令函数2ln 21(),[,)22
x x x h x x x -+=∈+∞+. 则2232ln 4()(2)
x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2
+∞上有()0p x '≥. 故()p x 在1[,)2+∞上单调递增. (1)0p =,
∴当1[,1)2
x ∈时,有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时,有()0p x >即()0h x '>,∴()h x 单调递增. 19ln 2()2105h =+,(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h , ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105
+…………14分。