广东省六校(东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中)2024届高三上第一次联考 数学答案

东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学
2024届高三第一次六校联考数学参考答案
一､单选题，二多选题：
三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）
13.7.85
14.6
240x 15.-2
16.223,55x y r +=-≤≤四､解答题
17.解：（1）解法一：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以1
3
n n b -=，因为()2
18n n a n n k +=-+，所以12371215
,,234
k k k a a a ---=
==.因为数列{}n a 是等差数列，所以2132a a a =+，即12715
2324
k k k ---⨯
=+，解得9k =-所以()()()2
18919n n a n n n n +=--=+-，所以9n a n =-.
解法二：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以1
3
n n b -=，
因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()111n a a n d dn a d =+-=+-.所以()()()2
2
111118n n a n dn a d dn a n a d n n k +=++-=++-=-+，
所以11
8,9d a k =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
所以9
n a n =-（2）因为193
n n n n a n c b --=
=，当8n ≤时，0n c <；当9n =时，0n c =；当10n 时，0n c >.当10n
时，11891920333
n n n n n n n n
c c +-----=-=<，即，1n n c c +<.所以数列{}n c 的最大项是第10项109
1
3c =
18.解：（1）在BCD
中，2,3,BD BC CD ===，
由余弦定理可知2224971cos 22322
BC BD CD B BC BD +-+-===⨯⨯⨯⨯，
因为0B π<<，所以3
sin 2
B =
，
所以1
sin 2
ABC S AB BC B =
⨯⨯= ；（2）在ACD 中，设,2ACD BAC ∠θ∠θ==，则由正弦定理
sin2sin CD AD
θθ
=，即
722sin cos sin θθθ=，得()
7
cos ,0,4
θθπ=∈ ，所以3sin 4θ=，2371
sin22sin cos 2cos 188
θθθθθ==
=-=-，所以2ADC ∠πθθ=--，所以()377139
sin sin 2848416
ADC ∠θθ=+=
⨯=
，.由正弦定理得：
sin sin AC AD
ADC ACD
∠∠=9
2316324
AC ⨯=
=.19.解：（1）证明：因为BC ∥平面,PAD BC ⊂平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以
BC AD ∥.
取PA 的中点F ，连接BF EF ､，
因为E 是棱PD 的中点，所以，EF AD ∥且1
2
EF AD =
，因为BC AD ∥且1
2
BC AD =
，所以，EF BC ∥且EF BC =，所以，四边形BCEF 为平行四边形，则CE BF ∥，
因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB ..（2）取AD 的中点O ，连接PO .因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥.
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以，PO ⊥平面,.ABCD .因为1
,,2
BC AD BC AD O =
∥为AD 的中点，所以，BC AO ∥且BC AO =，所以，四边形ABCO 为平行四边形，则CO AB ∥，因为AB AD ⊥，则CO AD ⊥，
以点O 为坐标原点，OC OD OP ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则
()(
)(()0,1,01,0,00,1,0A C P D -､､､，所以()1,1,0AC =
，
设(
(
)0,0,DE DP λλλ==-=-
，其中01λ
，则(
)(
)()
0,2,00,0,2AE AD DE λλ=+=+-=-
，
设平面ACE 的法向量()111,,n x y z =
，
所以(
)11110
20
n AC x y n AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12z λ=-
，得)
,,2n λ=-
，设点B 到平面ACE
距离为,d d ==
当0λ=时，0d =；
当01λ<≤时，
1
1λ
≥
，则2107d <=
=
，
当且仅当1λ=时等号成立.
综上，点B 到平面ACE
距离的取值范围是0,7⎡⎢⎣⎦
.
20.解：（1）由题意得列联表如下：
一等品
非一等品合计甲7525100乙483280合计
123
57
180
()()()()
22
2
()180(75324825) 4.621
1235710080n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯0.05
4.621 3.841x >= 依据小概率值0.05α=的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为
2328243
1004
++=，
任取一个乙生产线零件为一等品的概率为
1517163805
++=，
ξ的所有可能取值为0,1,2，则
()()()122113239339
0,1,24520104554204520P P P ξξξ==⨯====⨯+⨯===⨯=
ξ∴的分布列为：
ξ
012
P
110920920
()19927012.10202020
E ξ=⨯
+⨯+⨯=（3）由已知零件为三等品的频率为
42211
18020
+++=，
设余下的40个零件中三等品个数为X ，则140,
20X B ⎛
⎫~ ⎪⎝
⎭
，()1
402,20
E X ∴=⨯
=设检验费用与赔偿费用之和为Y ，若不对余下的所有零件进行检验，则205120Y X =⨯+，所以
()()100120100240340E Y E X =+⨯=+=，
若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为605300⨯=元，
340300,>∴ 应对剩下零件进行检验..
21.解：
（1）由题意知3
2
c e a ==
，四边形1122B F B F
为菱形，面积为
2bc =，又222a c b =+，解得2224,1,3a b c ===，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）设(),0M m ，直线AB 的方程为()()1122,,,,x ty m A x y B x y =+，
由2AM MB = 得122y y =-，联立22
1,4,x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()
2224240t y tmy m +++-=，
()()()
22222Δ(2)444164
tm t m m t =-+-=---则2121222
24,44
tm m y y y y t t -+=-=++，由2
122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-，得()()2
2
12121222y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，
所以2
22242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪
++⎝⎭
，
化简得()()
2222
448m t t m -+=-，易知原点O 到直线AB
的距离d =
又直线AB 与圆22
4
:7
O x y +=
相切，
=
2
271,4
t m =-由()()
2222
2
244871
4m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩
，得422116160m m --=，即(
)(
)
2
2
34740m m -+=，
解得2
43m =，则2
43t =，满足Δ0>，所以23,03M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭
，在Rt OMN
中，42121
MN =
=
.
22.解：（1）由题意，当1a =时，设()()()h x f x g x =-，
则()2
2
1ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，
()()()221112121x x x x h x x x x x
'+---=--==
，令()0h x '=，得1x =（舍负），.
所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，
()min ()10h x h ∴==.
根据题意t 的取值范围为(]
0,1（2）设函数()f x 在点()()
11,x f x 处与函数()g x 在点()()
22,x g x 处有相同的切线，
则()()()()
121212
,
f x
g x f x g x x x -='-'=
21121212
1ln 12x ax x a
x a x x x -+--∴-==
-，
12122a
x x ∴=
+，代入2121122
1ln .x x x ax x a x -=+--.得2
22221ln 20424
a a x a x x +
+++-=∴问题转化为：关于x 的方程2
21ln 20424
a a
x a x x ++++-=有解，
设()2
2
1ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点，()2
11ln 24F x a x a x ⎛⎫
=+++- ⎪⎝⎭
，
当2a x e -=时，(
)2ln 20,e
0a
x a F -+-=∴>.
∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.
()2323
1121
222a x ax F x x x x x
--=--+='，设()2
0002100x ax x --=>，则
当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.
()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，
()F x ∴的最小值为()2
002001ln 2424
a a F x x a x x =++++-.
由2
00210x ax --=知00
12a x x =-
，故()2
00000
1
2ln 2F x x x x x =+-
+-.设()2
1
2ln 2(0)x x x x x x
ϕ=+-
+->，则()211
220x x x x
ϕ=++
+>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()10,ϕ=∴ 当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤，()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤.
又 函数1
2y x x
=-
在(]0,1上单调递增，(]00
1
2,1.a x x ∞∴=-
∈-。