中考数学培优综合训练(四)
2024年中考数学复习-因式分解的多种方法考点培优练习
因式分解的多种方法考点培优练习 考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三 角形或直角三 角形 解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。
初中数学中考复习 2020年中考数学一轮复习培优训练：《四边形》
2020年中考数学一轮复习培优训练：《四边形》1．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．2．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．3．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝5，DC＝3，点E在边BC 上，tan∠AEC＝3，点M是射线DC上一个动点（不与点D、C重合），联结BM交射线AE于点N，设DM＝x，AN＝y．（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM 的长．5．如图1，已知直角梯形ABCO中，∠AOC＝90°，AB∥x轴，AB＝6，若以O为原点，OA，OC所在直线为y轴和x轴建立如图所示直角坐标系，A（0，a），C（c，0）中a，c满足|a+c﹣10|+＝0（1）求出点A、B、C的坐标；（2）如图2，若点M从点C出发，以2单位/秒的速度沿CO方向移动，点N从原点出发，以1单位/秒的速度沿OA方向移动，设M、N两点同时出发，且运动时间为t秒，当点N从点O运动到点A时，点M同时也停止运动，在它们的移动过程中，当2S△ABN ≤S△BCM时，求t的取值范围：（3）如图3，若点N是线段OA延长上的一动点，∠NCH＝k∠OCH，∠CNQ＝k∠BNQ，其中k＞1，NQ∥CJ，求的值（结果用含k的式子表示）．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置？7．实践与探究在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．（1）如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H．①求证：△ADB≌△AOB；②求点H的坐标．8．实践与探究在综合实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的探究．如图1，△ABC≌△DEF，其中∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4．（1）请直接写出EF＝；（2）新星小组将这两张纸片按如图2所示的方式放置后，经过观察发现四边形ACBF是矩形，请你证明这个结论．（3）新星小组在图2的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至如图3的位置，其中点E与AB的中点重合，连接CE，BF．请你判断四边形BCEF的形状，并证明你的结论．9．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，则BE，EF，DF之间的数量关系是．（2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF之间的数量关系是什么？请说明理由．（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O连线的夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．10．平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，b），C（0，c），且满足：+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足∠DBE＝45°．（1）求A、B、C三点坐标；（2）如图1，若D为线段OC中点，求E点坐标；（3）当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究CD、DE和AE之间的关系．11．【操作】如图①，在矩形ABCD中，E为对角线AC上一点（不与点A重合）．将△ADE 沿射线AB方向平移到△BCF的位置，E的对应点为点F，易知△ADE≌△BCF（不需要证明）【探究】过图①的点E作BG∥BC交FB延长线于点G，连结AG，其它条件不变，如图②．求证：△EGA≌△BCF【拓展】将图②中的△BCF沿BC翻折得到△BCF′，连结GF′，其它条件不变，如图③当GF′最短时，若AB＝4，BC＝2，直接写出FF′的长和此时四边形BFCF′的周长．12．如1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E为AD上一点且AE＝6，连接BE．（1）将△ABE绕点B逆时针旋转90°至△ABF（如图2），且A、B、C三点共线，再将△ABF沿射线BC方向平移，平移速度为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t≥0），当点A与点C重合时运动停止．①在平移过程中，当点F与点E重合时，t＝（s）．②在平移过程中，△ABF与四边形BCDE重叠部分面积记为S，求s与t的关系式．（2）如图3，点M为直线BE上一点，直线BC上有一个动点P，连接DM、PM、DP，且EM＝5，试问：是否存在点P，使得△DMP为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段BP的长；若不存在，请说明理由．13．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．（1）如图1，连接AC，求证：AB∥CD；（2）如图2，在CB的延长线上取一点M，连接DM，在DM上取一点L，连接BL，当∠CBL＝2∠M时，求证：LB＝MB；（3）如图3，在（2）条件下，CE平分∠ACB交DM于E点，连接AE，当AE⊥CE，BL＝8时，求AC的长．14．阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图1，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连结EM，易证△ABM≌△EBM（），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠＝∠；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．问题：如图3，四边形ABCD的四条边都相等，四个角都等于90°，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是四边形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，且AM＝MN．求∠AMN的度数．15．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E 沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3，∴AB＝3，过点C作CM⊥AB于M，连接CF，∴CM＝AM＝AB＝，∵四边形AGEF是正方形，∴AF＝EF＝，∴MF＝AM﹣AF＝﹣，在Rt△CMF中，CF＝＝＝；（2）CM＝FM，CM⊥FM，理由：如图2，过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，∴∠BHM＝∠EFM，∵四边形AGEF是正方形，∴EF＝AF∵点M是BE的中点，∴BM＝EM，在△BMH和△EMF中，，∴△BMH≌△EMF（AAS），∴MH＝MF，BH＝EF＝AF∵四边形AGEF是正方形，∴∠FAG＝90°，EF∥AG，∵BH∥EF，∴BH∥AG，∴∠BAG+∠ABH＝180°，∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CBH+∠CAG＝90°，∵∠CAG+∠CAF＝90°，∴∠CBH＝∠CAF，在△BCH和△ACF中，，∴△BCH≌△ACF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，∴△FCH是等腰直角三角形，∵MH＝MF，∴CM＝FM，CM⊥FM；2．解：（1）如图1中，∵MN∥B′D′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°，∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°，∴∠C′MN＝∠C′NM，∴C′M＝C′N，∵C′B′＝C′D′，'∴MB′＝ND′，∵AB′＝AD′，∠AB′M＝∠AD′N＝90°，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠B′AD′＝90°，∠MAN＝45°，∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAB′＝22.5°，∴α＝22.5°．（2）①如图2中，∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°，AQ＝AQ，AB′＝AD，∴Rt△AQB′≌Rt△AQD（HL），∴∠QAB′＝∠QAD，∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AD＝30°，∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．②如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AE＝EP，连接EP．设PB＝a．∵∠ABP＝∠AB′P＝90°，AP＝AP，AB＝AB′，∴Rt△APB≌Rt△APB′（HL），∴∠BAP＝∠PAB′＝15°，∵EA＝EP，∴∠EAP＝∠EPA＝15°，∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°，∴PE＝AE＝2a，BE＝a，∵AB＝6，∴2a+a＝6，∴a＝6（2﹣）．∴PB＝6（2﹣），∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6（2﹣）＝6﹣6，∵∠CPQ+∠BPB′＝180°，∠BAB′+∠BPB′＝180°，∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°，∴PQ＝＝＝12﹣2．3．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①证明：由（1）得：△BCP≌△DCQ，∴BP＝DQ，∠QDC＝∠PBC＝∠PBM＝30°．在CD上取点E，使QE＝QN，如图2所示：则∠QEN＝∠QNE，∴∠QED＝∠QNC＝∠PMB，在△PBM和△QDE中，，∴△PBM≌△QDE（AAS），∴PM＝QE＝QN．②解：由①知PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，则PC＝2，BC＝2PC＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2××42＝8；故答案为：8．4．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠AHC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形AHCD是矩形，∴AD＝CH＝2，AH＝CD＝3，∵tan∠AEC＝3，∴＝3，∴EH＝1，CE＝1+2＝3，∴BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2．（2）延长AD交BM的延长线于G．∵AG∥BC，∴＝，∴＝，∴DG＝，AG＝2+＝，∵＝，∴＝，∴y＝（0＜x＜3）．（3）①如图3﹣1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°，∵△EBN∽△EAB，∴EB2＝EN•AE，∴，解得x＝．②如图3﹣2中，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，∵△B NA∽△EBA，∴AB2＝AE•AN，∴（3）2＝•[+解得x＝13，综上所述DM的长为或13．5．解：（1）∵|a+c﹣10|+＝0，∴a+c﹣10＝0，且c﹣7＝0，∴c＝7，a+c＝10，∴c＝3，∴A（0，3），C（7，0），∵AB∥x轴，AB＝6，∴B（6，3）；（2）∴A（0，3），C（7，0），∴OA＝3，OC＝7，由题意得：ON＝t，CM＝2t，∴AN＝3﹣t，∵2S△ABN≤S△BCM，∴2××（3﹣t）×6≤×2t×3，解得：t≥2，∵当点N从点O运动到点A时，点M同时也停止运动，∴0≤t≤3，∴t的取值范围为2≤t≤3；（3）设AB与CN交于点D，如图3所示：∵AB∥OC，∴∠BDC＝∠OCD，∵∠BDC＝∠BND+∠ABN，∠CNQ＝k∠BNQ，∠NCH＝k∠OCH，∴∠BDC＝（k+1）∠BNQ+∠ABN，∠OCD＝（k+1）∠OCH，∴（k+1）∠BNQ+∠ABN＝∠OCD＝（k+1）∠OCH，∴∠ABN═（k+1）∠OCH﹣（k+1）∠BNQ＝（k+1）（∠OCH﹣∠BNQ），∵NQ∥CJ，∴∠NCJ＝∠CNQ＝k∠BNQ，∵∠HCJ+∠NCJ＝∠NCH＝k∠OCH，∴∠HCJ＝k∠OCH﹣∠NCJ＝k∠OCH﹣k∠BNQ＝k（∠OCH﹣∠BNQ），∴＝＝．6．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝AB，∵∠DEB＝90°，∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，在Rt△BDE中，BE＝BD，∵∠EDF＝120°，∠BDE＝30°，∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝30°，∵∠C＝60°，∴∠DFC＝90°，在Rt△CFD中，CF＝CD，∴BE+CF＝BD+CD＝BC＝AB，∵BE+CF＝nAB，∴n＝，故答案为：；（2）如图2，①，连接AD，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴∠DGB＝∠AGD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠GDH＝360°﹣∠AGD﹣∠AHD﹣∠A＝120°，∵∠EDF＝120°，∴∠EDG＝∠FDH，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG＝DH，在△EDG和△FDH中，，∴△EDG≌△FDH（ASA），∴DE＝DF，即DE始终等于DF；②同（1）的方法得，BG+CH＝AB，由①知，△EDG≌△FDH，∴EG＝FH，∴BE+CF＝BG﹣EG+CH+FH＝BG+CH＝AB，∴BE与CF的和始终不变；（3）由（2）知，DE＝DF，BE+CF＝AB，∵AB＝8，∴BE+CF＝4，∴四边形DEAF的周长为L＝DE+EA+AF+FD＝DE+AB﹣BE+AC﹣CF+DF＝DE+AB﹣BE+AB﹣CF+DE＝2DE+2AB﹣（BE+CF）＝2DE+2×8﹣4＝2DE+12，∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，此时，BE＝BD＝2，当点F和点C重合时，DE最大，此时，∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°＝60°，∵∠B＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE＝BD＝4，综上所述，周长L取最大值时，BE＝4，周长L取最小值时，BE＝2．7．解：（1）∵A（5，0），B（0，3），∴OA＝5，OB＝3，∵四边形AOBC是矩形，∴OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，∴AD＝OA＝5，在Rt△ACD中，CD＝＝＝4，∴BD＝5﹣4＝1，∴D（1，3）；（2）①由旋转可知，OA＝DA，∠AOB＝∠ADE＝90°，∴∠AOB＝∠ADB＝90°，在Rt△AOB与Rt△ADB中，，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）；②∵△ADB≌△AOB，∴BD＝BO＝AC，在△BDH与△ACH中，，∴△BDH≌△ACH（AAS），∴DH＝CH，∵DH+AH＝AD＝5，∴CH+AH＝5，设CH＝x，则AH＝5﹣x，在Rt△ACH中，（5﹣x）2＝x2+32，解得，x＝，∴BH＝5﹣＝，∴点H的坐标为（，3）．8．（1）解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE＝4，∠D＝∠A＝30°，∠ACB＝∠DFE＝90°，∴EF＝DE＝2；故答案为：2；（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF＝BF，BC＝EF＝AF，在四边形ACBF中，AC＝BF，BC＝AF，∴四边形ACBF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBF是矩形；（3）解：四边形BCEF是菱形；理由如下：由（2）可知：四边形ACBF是平行四边形，∴EF∥BC，EF＝BC，∵△DEF是沿AB方向平移的，∴EF∥BC，EF＝BC，∴四边形BCEF是平行四边形，∵点E是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝AB＝2，∴CE＝EF＝2，∴四边形BCEF是菱形．9．解：（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，如图1所示：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；（2）BE，EF，DF之间的数量关系是：EF＝BE﹣DF；理由如下：在CB上截取BM＝DF，连接AM，如图2所示：∵∠B+∠D＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠MAF＝2∠EAF，∴∠MAE＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE﹣BM＝BE﹣DF，即EF＝BE﹣DF；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，如图3所示：∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合（1）中的条件，即结论EF＝AE+BF成立，∴EF＝1.5×（60+80）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．10．解：（1）∵+（2b﹣a﹣c）2+|b﹣c|＝0，∴a＝4，b＝c，2b﹣a﹣c＝0，∴b＝4，c＝4，∴点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4）；（2）如图1，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∵点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4），∴OA＝OC＝BC＝AB＝4，∵D为线段OC中点，∴CD＝DO＝2，∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH＝2，∵∠DBE＝45°，∴∠CBD+∠EBA＝45°，∴∠EBA+∠ABH＝45°＝∠HBE＝∠DBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∵OH＝OA+AH＝4+2＝6，∴DE＝EH＝6﹣OE，∵DE2＝OD2+OE2，∴（6﹣OE）2＝4+OE2，∴OE＝，∴点E坐标为（，0）；（3）如图1，若点E在x轴正半轴，点D在y轴正半轴上，由（2）可知：DE＝EH，AH＝CD，∴DE＝AE+AH＝AE+CD，如图2，点E在x轴负半轴，点D在y轴正半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH＝90°，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH，∵∠DBE＝45°，∴∠DBE＝45°＝∠HBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∴AE＝AH+EH＝CD+DE；如图3，点E在x轴正半轴，点D在y轴负半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH＝90°，∴BD＝BH，∠CBD＝∠HBA，CD＝AH，∵∠DBE＝45°，∴∠DBE＝45°＝∠HBE，且BD＝BH，BE＝BE，∴△DBE≌△HBE（SAS）∴DE＝EH，∴CD＝AH＝AE+EH＝AE+DE．11．解：【探究】由平移可知：AE＝BF，AE∥BF，∴∠CBF＝∠ACB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ACB，∴∠AEG＝∠CBF，∵GE∥BC，AC∥BG，∴四边形EGBC是平行四边形，∴EG＝BC，∴△EGA≌△BCF（SAS）．【拓展】如图3中，连接BD交AC于点O，作BK⊥AC于K，F′H⊥BC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵•AB•CB＝•AC•BK，∴BK＝，∴OK＝＝＝，由题意四边形AGFC是平行四边形，∴GF＝AC＝2，∵BF＝BF′，可以假设BF＝x，则BG＝2﹣x，∵AC∥GF，∴∠BOK＝∠HBF′，∵∠BKO＝∠F′HB＝90°，∴△F′HB∽△BKO，∴＝＝，∴＝＝，∴F′H＝x，BH＝x，GH＝BG﹣BH＝2﹣x﹣x＝2﹣x，∴GF′＝＝＝，∵＞0，∴当x＝﹣＝时，GF′的值最小，此时点F′与O重合，可得FF′＝4，四边形BFCF′的周长为4．12．解：（1）①如图1中，连接EF．由题意EF＝AB＝BF＝6，∴t＝6时，点F与点E重合，故答案为6．②如图2﹣1中，当0＜t≤6时，重叠部分是△BMB′，S＝t2．如图2﹣2中，当6＜t≤10时，重叠部分是△AFB′，S＝×6×6＝18．如图2﹣3中，当10＜t≤16时，重叠部分是△AMC，S＝（16﹣t）2，综上所述，S＝．（2）如图3中，总MH⊥AD于H，交BC于G．∵AB＝AE＝6，∠A＝90°，∴BE＝6，∵EM＝5，∴BM＝，∴BG＝MG＝AH＝1，HM＝HE＝5，DH＝AD﹣AH＝9，∴DM＝＝＝，当DM＝DP时，可得CP1＝CP2＝＝＝，∴BP1＝10﹣，BP2＝10+．当MD＝MP时，可得GP3＝GP4＝＝＝，∴BP3＝﹣1，BP4＝+1，当PM＝PD时，设GP5＝x，则＝，解得x＝，∴BP5＝1+＝．13．解：（1）证明：在△ADC与△CBA中，，∴△ADC≌△CBA（SSS），∴∠A CD＝∠BAC，∴AB∥CD；（2）∵∠CBL＝∠M+∠BLM，∠CBL＝2∠M，∴∠M+∠BLM＝2∠M，∴∠M＝∠BLM，∴BM＝BL；（3）延长AE交CM于H，∵CE平分∠ACB交DM于E点，∴∠ACE＝∠HCE，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠HEC＝90°，在△ACE与△HCE中，，∴△ACE≌△CHE（ASA），∴AE＝EH，AC＝CH，∵AD∥CM，∴∠ADE＝∠M，在△ADE与△HME中，，∴△ADE≌△HME（AAS），∴AD＝HM，∵AD＝BC，∴HM＝BC，∴CH＝BM，∴CH＝BM＝8，∴AC＝CH＝8．14．解：点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连结EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．问题：延长AB至E，使EB＝AB，连接EMC、EC，如图所示：则EB＝BC，∠EBM中＝90°＝∠ABM，∴△EBC是等腰直角三角形，∴∠BEC＝∠BCE＝45°，∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，∴∠MCN＝90°+45°＝135°，∴∠BCE+∠MCN＝180°，∴E、C、N，三点共线，在△ABM和△EBM中，，∴△ABM≌△EBM（SAS），∴AM＝EM，∠1＝∠2，∵AM＝MN，∴EM＝MN，∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，∴∠1＝∠2＝∠5，∵∠1+∠6＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．故答案为：SAS，3，4，5．15．解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∴∠ADE＝∠OAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示，①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M 为CE的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴M'F＝，FN＝4﹣M'F＝，OF＝2+＝，∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）．。
九年级中考数学综合训练题(4)
九年级中考数学综合训练题（4）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）＝（）A．B．C．D．2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（）A．40°B．50°C．65°D．130°4．（3分）为了比较某校同学汉字听写谁更优秀，语文老师随机抽取了10次听写情况，发现甲乙两人平均成绩一样，甲、乙的方差分别为2.7和3.2，则下列说法正确的是（）A．甲的发挥更稳定B．乙的发挥更稳定C．甲、乙同学一样稳定D．无法确定甲、乙谁更稳定5．（3分）如图所示，三角形ABC中，∠BAC＝90°，过点A画AD⊥BC，则下列说法不正确的是（）A．线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的B．线段AB是点B到直线AD的垂线段C．点A到直线BC的距离是线段AD的长D．点C到直线AB的距离是线段AC的长6．（3分）某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、b，都有a+b≥2成立．某同学在做一个面积为3 600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备xcm．则x的值是（）A．120B．60C．120D．607．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在边DC中点E处，若BC＝2，则线段AB的长为（）A．2B．C．2D．8．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞9．（3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（）A．B．C．D．110．（3分）如图，反比例函数（k＞0）与一次函数的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1﹣x2|＝2且AC＝2BC时，k、b的值分别为（）A．k＝，b＝2B．k＝，b＝1C．k＝，b＝D．k＝，b＝11．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）交y轴于点A，交x轴于点B，且（AB+OA）（AB ﹣OA）＝，则不等式kx+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＞3C．x＜D．x＜312．（3分），，，＝﹣…从计算结果中找出规律，并用这一规律计算：（+++…+）（+1）结果为（）A．2005B．2006C．2007D．2008二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）如图，海平面上灯塔O方圆100千米范围内有暗礁．一艘轮船自西向东方向航行，在点A处测量得灯塔O在北偏东60°方向，继续航行100千米后，在点B处测量得灯塔O在北偏东37°方向．请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？．（填“是”或“否”，参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536，cot37°≈1.327，≈1.732）．14．（3分）不等式组的整数解的积为．15．（3分）+（b+2）2+|c﹣2022|＝0，则（a+b）c的值为．16．（3分）定义新运算“*”．规则：a*b＝a（a≥b）或者a*b＝b（a＜b）如1*2＝2，（﹣3）*2＝2．若x2+x﹣1＝0的根为x1、x2，则x1*x2的值为：．17．（3分）如图，已知矩形DEFG内接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC 上，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，，则矩形的边长DG＝．18．（3分）已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过O的直线OM经过点A（6，6），过A作正方形ABCD，在直线OA上有一点E，过E作正方形EFGH，已知直线OC经过点G，且正方形ABCD的边长为2，正方形EFGH的边长为3，则点F的坐标为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（6分）化简求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．20．（8分）阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是．（2）三角形的“二分线”可以是．（3）在图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．21．（10分）掷①②两枚正六面体骰子，它们的点数和可能有哪些值？请在下表中列出来，并用表中的信息求：（1）“点数和为7点”的概率P1；（2）“两颗骰子点数相同”的概率P2；（3）“两颗骰子点数都是相同偶数”的概率P3．22．（10分）已知关于x的方程（a+c）x2+bx﹣（a+2c）＝0的两根之和为1，两根的倒数和为﹣2．（1）求这个方程的两根之积；（2）求a：b：c．23．（10分）采购员用一张1万元支票去购物．购单价为590元的A种物品若干件，又购单价为670元的B种物品若干件，其中B种件数多于A种件数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）．如把购A种物品和B种物品的件数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反，则原来购B种物品多少件？24．（10分）如图，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．（1）在图（a）中，能否在AB上确定一点E，使得AC2＝AE•AB，为什么？（2）在图（b）中，在条件（1）的结论下延长EC到P，连接PB，如果PB＝PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由．25．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠OAC、∠ABC、∠ACB的对边为a1，b1，c1．若关于x的方程a1（1﹣x2）+2b1x+c1（1+x2）＝0有两个相等实数根，且a1＝b1；（1）试判定△ABC的形状；（2）当时求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使S△ABP＝S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。
2013年中考数学三轮复习每天30分综合训练(04)
2013年中考数学三轮复习每天30分综合训练（04）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（烟台）|﹣3|的相反数是（）A．3B．﹣3 C．D．﹣2．（4分）（烟台）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（）A．平移B．旋转C．对称D．位似3．（4分）（烟台）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”．小明的做法是：原式=；小亮的做法是：原式=（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4；小芳的做法是：原式=．其中正确的是（）A．小明B．小亮C．小芳D．没有正确的4．（4分）（烟台）设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2006 B．2007 C．2008 D．20095．（4分）（烟台）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（）A．6B．8C．12 D．246．（4分）（枣庄）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．﹣2﹣B．﹣1﹣C．﹣2+D．1+7．（4分）（烟台）某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不完全相同，下列说法正确的是（）A．全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间B．将六个平均成绩之和除以6，就得到全年级学生的平均成绩C．这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩D．这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩8．（4分）（烟台）如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x 过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜09．（4分）（烟台）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种10．（4分）（2009•烟台）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．11．（4分）（兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．12．（4分）（ 烟台）利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A ． 73cmB ． 74cmC ． 75cmD ． 76cm二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）（ 衡阳）若3xm+5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m = _________ ．14．（4分）（ 烟台）设a ＞b ＞0，a 2+b 2﹣6ab=0，则的值等于 _________ ．15．（4分）（ 烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 _________ cm ．16．（4分）（ 烟台）如果不等式组的解集是0≤x ＜1，那么a+b 的值为 _________ ．17．（4分）（ 东营）观察下表，回答问题，第 _________ 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍．18．（4分）（ 烟台）如图，△ABC 与△AEF 中，AB=AE ，BC=EF ，∠B=∠E ，AB 交EF 于D ．给出下列结论：①∠AFC=∠C ； ②DE=CF ； ③△ADE ∽△FDB ； ④∠BFD=∠CAF 其中正确的结论是 _________ ．三、解答题（共3小题，满分28分）19．（9分）（烟台）化简：20．（9分）（烟台）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是_________；（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是_________；（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．21．（10分）（烟台）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中a的值，并求出该校初一学生总数；（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图；（3）求出扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数；（4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？（5）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人？。
备考2019年中考数学压轴题专项培优训练：四边形(附解析)
备考2019年中考数学压轴题专项培优训练：四边形1．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF ＝10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝（用含t的代数式表示）；当点D落在Rt△ABC的边AC上时，求t的值．（2）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值；②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G．若正方形的边长为4（1）求证：AE⊥BF；（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求AQ的长；（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM （如图3），若AM和BF相交于点N，求四边形MNGH的面积．3．如图1，已知三角形纸片△AB C和△DEF重合在一起，AB＝AC，DE＝DF，△ABC ≌△DEF．数学实验课上，张老师让同学们用这两张纸片进行如下操作：【操作探究1】保持△ABC不动，将△DEF沿射线BC方向平移至图2所示位置，通过度量发现BE：CE＝1：2，则S△CGE：S△CAB＝；【操作探究2】保持△ABC不动，将△DEF通过一次全等变换（平移、旋转或翻折后和△ABC拼成以BC为一条对角线的菱形，请用语言描述你的全等变换过程．（友情提醒：描述过程要完整）【操作探究3】将两个三角形按图3所示放置：点C与点F重合，AB∥DE．保持△ABC不动，将△DEF沿射线DA方向平移．若AB＝13，BC＝10，设△DEF 平移的距离为m．①当m＝0时，连接AD、BE，判断四边形ABED的形状并说明理由；②在平移的过程中，四边形ABED能否成为正方形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．4．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC 上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①点O与△APE的位置关系是，并说明理由；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP ＝，AE达到最大值，最大值是．5．问题背景：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1：将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，问题解决：（1）将图1中的△ACD以点为A旋转中心，按逆时针方向能转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG、C'G，得到四边形ACGC'，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：（3）创新小组在缜密小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC'相交于点H，如图4所示，连接CC'，试求tan∠C'CH的值．6．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P、E分别是直线BD、BC上的动点，且PE＝PC，过点E作EF∥AC交直线BD于点F（1）如图1，当∠COD＝90°时，△BEF的形状是（2）如图2，当点P在线段BO上时，求证：OP＝BF（3）当∠COD＝60°、CD＝3时，请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积．7．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）：①求证：△BOG≌△POE；②猜想：＝；（2）当点P与点C不重合时，如图②，的值会改变吗？试说明理由．8．在矩形ABCD中，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连接DE．（1）如图1，若E在线段BC上，且CE＝EF，求证：AD＝AE；（2）若AB＝6，AD＝10，在点E的运动过程中，连接BF．①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；②当BF∥DE时，若S△ADF＝m，S△DCE＝n，探究m﹣n的值并简要说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（8，0）．（1）当α＝60°时，△CBD的形状是；（2）设AH＝m①连接HD，当△CHD的面积等于10时，求m的值；②当0°＜α＜90°旋转过程中，连接OH，当△OHC为等腰三角形时，请直接写出m的值．10．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）①当t为时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）；②当t为时，S△ACE＝2S△FCE．（直接写出结果）11．如图，四边形AOBC中，点C到直线OA，OB的距离相等为m，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，OB长为n，且m＝++4，四边形AOBC的面积为6．（1）求线段OA的长；（2）P为AB延长线上一点，PQ∥OC，交CB延长线于Q，探究∠OAP、∠ABQ、∠Q的数量关系并说明理由；（3）作AD平行CB交CO延长线于D，BE平分∠CBH，BE反向延长线交CO延长线于F，若设∠ADO＝α，∠F＝β，试求α+2β的值．12．（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF的长．13．如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的关系（位置关系及数量关系），请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后（0°＜α＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜360°）过程中，当BG为最小值时，求AF的值．14．综合与实践：问题情境：（1）如图1，点E是正方形ABCD边CD上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．①线段BE和BF的数量关系是；②写出线段DE、DF和BD之间的数量关系，并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边CD所在直线上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．①如图2，点E在线段DC上时，请探究线段DE、DF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明．②如图3，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若DE＝DC＝2a，直接写出线段FM和AG的长度．15．如图O为坐标原点，四边形ABCD是菱形，A（﹣8，8），B点在第一象限，AB＝10，AB与y轴交于点F，对角线AC交y轴于点E（1）直接写出B、C点的坐标；（2）动点P从C点出发以每秒2个单位的速度沿折线段C﹣D﹣A运动，设运动时间为t秒，请用含t的代数式表示△EDP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在一点P，使△APE沿其一边翻折构成的四边形是菱形？若存在，请直接写出当t为多少秒时存在符合条件的点P；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点A（a，0），B（b，0）在坐标轴上，C的纵坐标是2，且a，b满足式子：（1）求出点A、B、C的坐标．（2）连接AC，在y轴上是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．（3）若点P是边CD上一动点，点Q是CD与y轴的交点，连接OP，OE平分∠AOP交直线CD于点E，OF⊥OE交直线CD于点F，当点P运动时，探究∠OPD 和∠EOQ之间的数量关系，并证明．参考答案1．解：（1）如图1，△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝t；当D在AC上时，如图2，∵DE＝DF，∴EC＝CF＝EF＝5，∴t＝5．故答案为：t；（2）①如图3，过点P作PM⊥BC于M，∴∠BMP＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△PBM，∴，∴，∴PM＝8﹣t，又∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∴∠EQC＝∠DEF＝45°，∴CE＝CQ＝t，∴y＝S△ACB﹣S△ECQ﹣S△PBE＝AC•BC﹣EC•CQ﹣BE•PM，＝×8×6﹣×t×t﹣（6﹣t）（8﹣t），＝﹣t（0＜t≤5），∵a＝﹣＜0，∴当x＝﹣＝﹣＝时，y最大值＝﹣×+×＝，②存在．i）当∠PQE＝90°时，如图4，过点P作PH⊥BE于H，过点P作PW⊥AC于W，∴△ABC∽△APW，∴，即，∴PW＝t，AW＝t，∴QW＝8﹣t﹣t＝8﹣t，EH＝t﹣t＝t，由①可得：CE＝CQ＝t，PH＝8﹣t∴PQ2＝PW2+QW2＝（t）2+（8﹣t）2＝t2﹣t+64，PE2＝PH2+EH2＝（8﹣t）2+（t）2＝t2﹣t+64，EQ2＝CE2+CQ2＝t2+t2＝2t2∵∠PQE＝90°，在Rt△PEQ中，PQ2+EQ2＝PE2，即：（t2﹣t+64）+（2t2）＝t2﹣t+64解得：t1＝0（舍去）t2＝；当∠PEQ＝90°，PE2+EQ2＝PQ2即：（t2﹣t+64）+（2t2）＝t2﹣t+64解得：t1＝0（舍去）t2＝20（舍去）∴此时不存在；当∠EPQ＝90°时PQ2+PE2＝EQ2，即：（t2﹣t+64）+（t2﹣t+64）＝2t2，t1＝（舍去）t2＝4，综合上述：当t＝或t＝4时，△PQE是直角三角形．2．解：（1）证明：如图1，∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF；（2）如图2，根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，∵PF＝FC＝2，PB＝BC＝4，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣2）2+42，∴x＝5，∴AQ＝BQ﹣AB＝5﹣4＝1；（3）∵正方形边长为4，∵∠BAE＝∠EAM，AE⊥BF，∴AN＝AB＝4，∵∠AHM＝90°，∴GN∥HM，…（8分）∴△AGN∽△AHM∴＝（）2，∴＝（）2，∴S△AGN＝，∴S四边形GHMN＝S△AHM﹣S△AGN＝4﹣＝，∴四边形GHMN的面积是．3．解：（1）如图2，由题意知DE∥AB，∴△CGE∽△CAB，∴＝（）2，∵＝，∴＝，则＝（）2＝，故答案为：4：9；（2）将△DEF沿EF翻折或绕BC中点旋转180°；（3）①∵AB∥DE且AB＝BC＝DC＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，∵∠DEC+∠CEB+∠CBE+∠ABC＝180°，且∠DEC＝∠ABC，∠CEB＝∠CBE，∴∠DEC+∠CEB＝90°，即∠BED＝90°，∴四边形ABED是矩形；②能，如图，过点A作AG⊥BC，过点C作CH⊥BE，CM⊥AB，∴BG＝BC＝5，∴AG＝＝12，∵S△ABC＝AB•CM＝BC•AG，∴CM＝＝，则BH＝CM＝，BE＝2BH＝，∵四边形ABED是正方形，∴平移后BE＝AB，则m＝+13＝或m＝﹣13＝．4．解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE＝；故答案为：；（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：证明：如图1，取PE的中点Q，连接A Q，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ＝PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ＝PE，∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），故答案为：点O在△APE的外接圆上；②连接OA、AC，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，即点O经过的路径长为2；（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，∴，∴AE＝（x﹣2）2+1，∴x＝2时，AE的最大值为1，即当AP＝2时，AE的最大值为1．故答案为：2，1．5．解：（1）在如图1中，∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，∴∠BAC＝∠AC'D，∵∠CAC'＝∠BAC，∴∠CAC'＝∠AC'D，∴AC∥C'E，∵AC'∥CE，∴四边形ACEC'是平行四边形，∵AC＝AC'，∴▱ACEC'是菱形，故答案为：菱形；（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，∴∠ACB＝∠DAC'，∴∠BAC+∠DAC'＝90°，∵点D，A，B在同一条直线上，∴∠CAC'＝90°，由旋转知，AC ＝AC '，∵点F 是CC '的中点，∴AG ⊥CC '，CF ＝C 'F ，∵AF ＝FG ，∴四边形ACGC '是平行四边形，∵AG ⊥CC '，∴▱ACGC '是菱形，∵∠CAC '＝90°，∴菱形ACGC '是正方形；（3）在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝8，∴AC '＝AC ＝8，AD ＝BC ＝4，sin ∠ACB ＝＝，∴∠ACB ＝30°，由（2）结合平移知，∠CHC '＝90°，在Rt △BCH 中，∠ACB ＝30°，∴BH ＝BC •sin30°＝2，∴C 'H ＝BC '﹣BH ＝8﹣2，在Rt △ABH 中，AH ＝AB ＝2，∴CH ＝AC ﹣AH ＝8﹣2＝6，在Rt △CHC '中，tan ∠C ′CH ＝＝．6．解：（1）△BEF 是等腰直角三角形，理由是：如图1，∵∠COD ＝90°，∴AC ⊥BD ，∴矩形ABCD 是正方形，∴∠ACB ＝45°，∵EF ∥AC ，∴∠FEB ＝∠ACB ＝45°，∠F ＝∠BOC ＝90°，∴△BEF 是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝∠FBE，∵∠FBE＝∠BEP+∠EPB，∠OCB＝∠PCB+∠OCP，∵PE＝PC，∴∠BEP＝∠PCB，∴∠EPB＝∠OCP，∵EF∥AC，∴∠COP＝∠BFE，∴△PEF≌△CPO（AAS），∴OC＝PF＝OB，∴OB﹣PB＝PF﹣PB，即OP＝BF；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，∴OD＝OC，∵∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OC＝CD＝3，如图3，当∠PEF＝90°时，∵EF∥AC，∴∠POC＝∠OFE＝60°，∴∠BFE＝120°，∴OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB ＝∠FEB ＝30°，∵∠FEP ＝90°，∴∠PEC ＝60°，∵PE ＝PC ，∴△PEC 是等边三角形，∴∠PCB ＝60°，∴∠PCO ＝60°﹣30°＝30°＝∠FPE ，∴△PFE ≌△COP （ASA ），∴PF ＝OC ＝3，Rt △PFE 中，EF ＝，PE ＝，∴S △PEF ＝＝＝；∴当△PEF 成为直角三角形时的面积是．7．（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，P 与C 重合，∴OB ＝OP ，∠BOC ＝∠BOG ＝90°，∵PF ⊥BG ，∠PFB ＝90°，∴∠GBO ＝90°﹣∠BGO ，∠EPO ＝90°﹣∠BGO ，∴∠GBO ＝∠EPO ，在△BOG 和△POE 中，∵，∴△BOG ≌△POE （ASA ）；②由①知，△BOG ≌△POE ，∴BG ＝PE ，∵∠BPE ＝∠ACB ，∠BPF +∠GPF ＝∠ACB ，∴∠BPF ＝∠GPF ，∵BF⊥PE，∴BF＝BG，∴＝，故答案为：；（2）解：猜想．证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB．∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠NBP＝∠NPB．∴NB＝NP．∵∠MBN＝90°﹣∠BMN，∠NPE＝90°﹣∠BMN，∴∠MBN＝∠NPE，在△BMN和△PEN中，∵，∴△BMN≌△PEN（ASA），∴BM＝PE．∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB，∴∠BPF＝∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP＝∠MFP＝90°．在△BPF和△MPF中，，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF＝MF．即BF＝BM．∴BF＝PE．即．8．（1）证明：在矩形ABCD中，∠DCE＝90°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠DCE＝∠DFE＝90°，∵CE＝EF，DE＝DE，∴△CED≌△FED（HL），∴∠CED＝∠FED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE；（2）①分两种情况：当点E在线段BC上时，AF＝BF，如图 1 所示：∴∠ABF＝∠BAF，∵∠ABF+∠EBF＝90°，∠BAF+∠BEF＝90°，∴∠EBF＝∠BEF，∴EF＝BF，∴AF＝EF，∵DF⊥AE，∴DE＝AD＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∴CE＝8，∴BE＝10﹣8＝2；当点E在BC延长线上时，AF＝BF，如图 2 所示：同理可证AF＝EF，∵DF⊥AE，∴DE＝AD＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∴CE＝8，∴BE＝10+8＝18，综上，BE的长是2或8；②m﹣n＝0，理由如下：当BF∥DE时，延长BF交AD于G．如图3：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠BAG＝∠DCE＝90°，∵BF∥DE，∴四边形BEDG是平行四边形，∴BE＝DG，∴S△DEF＝，AG＝CE，▱BEDGS △BEF +S △DFG ＝S ▱BEDG ，∵△ABG ≌△CDE ，∴S △ABG ＝S △CDE ，∵S △ABE ＝S ▱BEDG ，∴S △ABE ＝S △BEF +S △DFG ，∴S △ABF ＝S △DFG ，∴S △ABF +S △AFG ＝S △DFG +S △AFG ，即S △ABG ＝S △ADF ，∴S △CDE ＝S △ADF ，即m ﹣n ＝0．9．解：（1）∵矩形COAB 绕点C 顺时针旋转60度的角，得到矩形CFED ， ∴∠BCD ＝60°，CB ＝CD ，∴△CBD 为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）①∵四边形CFED 是矩形，∴∠DCH ＝90°，∵△CHD 的面积等于10，∴CD •CH ＝10，∵CD ＝4，∴，CH ＝5，Rt △BCH 中，由勾股定理得：BH ＝＝＝3， ∴AH ＝8﹣3＝5，即m ＝5；②当△OHC 为等腰三角形时，分三种情况：i ）当OH ＝CH 时，如图2，∵OA＝BC，∴Rt△AOH≌Rt△BCH（HL），∴AH＝BH＝4，即m＝4；ii）当OH＝OC＝8时，如图3，∵OA＝4，由勾股定理得：AH＝＝＝4，即m＝4；iii）当OC＝CH＝8时，如图4，此时F与H重合，则BH＝4，∴m＝8﹣4，综上，m的值是4或4或8﹣4．10．（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∵在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣2t，解得：t＝；当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t＝或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为或8s．②∵AG∥BC，∴当AE＝2CF时， S△AEC＝S△EFC，∴t＝2（8﹣2t）或t＝2（2t﹣8），解得t＝或，故答案为：或．11．解：分别以OB、OA所在的直线为x、y轴建立平面直角坐标系．（1）由题意，解得n＝2，∴m＝4，∴B（2，0），C（4，4）．如图1中，∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，∴×2×4+×OA×4＝6，∴OA＝1．（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．理由如下：∵OC∥PQ，∴∠Q＝∠OCB，∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB ﹣45°＝135°﹣∠OAB，∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．（3）如图3中，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB＝α，∵BE平分∠CBx，∴∠CBE＝∠EBx，∵∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，∴∠OBF＝∠EBx＝α+β，∵C（4，4），∴OC平分∠AOB，∴∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），∴α+2β＝45°．12．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由是：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝AD，∴2AD2＝BD2+CD2；（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，则△FAG是等腰直角三角形，∴∠AFG＝45°，∵∠AFC＝45°，∴∠GFC＝90°，同理得：△BAF≌△CAG，∴CG＝BF＝13，Rt△CGF中，∵CF＝5，∴FG＝12，∵△FAG是等腰直角三角形，∴AF＝＝6．13．解：（1）结论：BG＝AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE＝DG．在△BDG和△ADE中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG＝AE．（2）①成立BG＝AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB＝90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，∴∠ADG+∠ADE＝90°，∴∠BDG＝∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG＝AE；②如图③中，连接AF．如图②中，在△BDG中，∵BD＝1，DG＝2，∴2﹣1≤BG≤1+2，∴GB的最小值为1，此时如图③中，G，B，D共线，在Rt△AEF中，AF＝＝＝．14．解：（1）①∵∠DBE绕点B顺针旋转90°，如图（1）由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵∠DBG＝90°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠BDG，∴GB＝BD，∴△GBF≌△DBE（SAS），∴BE＝BF；故答案为：BE＝BF②DF+DE＝BD，理由如下：由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵∠DBG＝90°，∴∠G＝45°，∴∠G＝∠BDG，∴GB＝BD，∴△GBF≌△DBE（SAS），∴DE＝GF，∴DF+DE＝DG，∵DG＝BD，即DE+DF＝BD；（2）①DF+DE＝BD，理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝，由旋转120°得∠EBF＝∠DBG＝120°，∠EBD＝∠FBG，在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠BDG＝∠G＝30°，∴BD＝BG，∴△EBD≌△FBG（ASA），∴DE＝FG，∴DE+DF＝DF+FG＝DG，过点B作BM⊥DG于点M，如图（2）∵BD＝BG，∴DG＝2DM，在Rt△BMD中，∠BDM＝30°，∴BD＝2BM．设BM＝a，则BD＝2a，DM＝，∴DG＝2a，∴，∴DF+DE＝BD，②过点B作BM⊥DG，BN⊥DC，如图（3）∵DE＝DC＝2a，由①中同理可得：FM＝7a，AG＝4a．15．解：（1）如图1中，作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝BC＝10，CD∥AB，∵A（﹣8，8），∴AH＝OH＝8，DH＝＝6，∴OD＝2，OC＝8，∴B（2，8），C（8，0）．（2）如图2，连接DE，作EK⊥AD于K．设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣8，8），C（8，0），∴，∴，∴直线AC地方解析式为y＝﹣x+4，∴E（0，4），∴EF＝OE＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EAF＝∠EAK，∵AE＝AE，∠AFE＝∠AKE＝90°，∴△AEF≌△AEK（AAS），∴EF＝EK＝4，当0≤t＜5时，S＝×4（10﹣t）＝﹣2t+20．当5＜t≤10时，S＝×4（t﹣10）＝2t﹣20．（3）①如图3中当点P在AD上，AP＝AE时，沿PE翻折，可得四边形PAEA′为菱形，在Rt△AEF中，AE＝＝＝4，∴AP＝AE＝4，∴t＝20﹣4②如图4中，当点P在AD上，PA＝PE时，沿AE翻折，可得四边形PAP′E是菱形，设PA＝PE＝EP′＝AP′＝x，在RtEFP′中，则有x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴PA＝5，∴t＝20﹣5＝15，综上所述，满足条件的t的值为20﹣4或15s．16．解：（1）∵又∵≥0，|b﹣4|≥0，∴a+b﹣2＝0，b﹣4＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0）．B（4，0），∵四边形ABCD是矩形，点C的纵坐标为2，∴C（4，2）．（2）设M（，t），∵S△ABC＝×（4+2）×2＝6，△COM的面积＝△ABC的面积，∴•|t|•4＝6，解得t＝±3，∴M点坐标为（0，3）或（0，﹣3）；（3）结论：∠OPD＝2∠EOQ．∵OE平分∠AOP，∴∠AOE＝∠POE＝∠1+∠2，∵OF⊥OE，∴∠1+∠2+∠3＝90°，∠4+∠AOE＝90°，∴∠3＝∠4，∵CD⊥y轴，∴CD∥AB，∴∠OPD＝∠POB＝2∠3，∵∠1+∠2+∠3＝90°，∠2+∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝∠2+2∠3，∴∠1＝∠3，∴∠OPD＝2∠EOQ．。
初中数学中考培优题（含答案）
1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m.()()28.122.122=--x x028.06.12=+-x x()36.08.02=-x2.01=x ，4.12=x （舍去）答：花边的宽度是0.2 m.2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。
调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。
⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得[(600－10³(x －40))](x －30)＝10000解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时进台灯数为600－10³(x －40)＝200当x ＝50时600－10³(x －40)＝500⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为yy ＝［600－10（x －40）］²（x －30）答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。
⑵3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。
若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8,x =9, x =10不到50人一共4x +15＜50 所以x =8所以应该是4³8+15=47人4、某商场销售某种彩电，每台进价为2500元，市场调查表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每台降低50元时，平均每天就能多售出4台。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用一、单选题1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数（为y =x 2−x +c c 常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）−2<x <4c A ．B ．C ．D ．−2<c <14−4<c <94−4<c <14−10<c <942．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点y =kx +2y =kx +2y =x 2−2x +3个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个3．抛物线 （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y =x 2+bx +c （ ）有交点，则c 的值不可能是（ ） y =2x−11≤x <3A ．5B ．7C ．10D ．144．函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知0＜x ＜1，10＜y ＜20，且y 随x 的增大而增大，则y 与x 的关系式不可以是（ ）A ．y ＝10x+10B ．y ＝﹣10（x﹣1）2+20C ．y ＝10x 2+10D ．y ＝﹣10x+206．在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax+a （a ＜0）的图象的大致位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于题目“一段抛物线L ：y=﹣x （x﹣3）+c （0≤x≤3）与直线l ：y=x+2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确8．将二次函数 的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图y =−x 2+2x +3所示.当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）y =x +bA ． 或B ． 或 −214−3−134−3C ． 或D ． 或 214−3134−39．已知抛物线 与直线 相交，若 ，则 的取值范围是（ y 1=−2x 2+2y 2=2x +2y 1>y 2x ）.A ．B ．x >−1x <0C ．D ． 或 −1<x <0x >0x <−110．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y= x 2的切线；14②直线x=﹣2与抛物线y= x 2 相切于点（﹣2，1）；14③若直线y=x+b 与抛物线y= x 2相切，则相切于点（2，1）；14④若直线y=kx﹣2与抛物线y= x 2相切，则实数k= ．142其中正确命题的是（ ）A ．①②④B ．①③C ．②③D ．①③④11．一次函数与二次函数的图象交点（ ）y =2x +1y =x 2−4x +3A ．只有一个B ．恰好有两个C ．可以有一个，也可以有两个D ．无交点12．将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）A ．（0，3）或（﹣2，3）B ．（﹣3，0）或（1，0）C ．（3，3）或（﹣1，3）D ．（﹣3，3）或（1，3）二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交y 轴于点A ，直线AB 交x 轴正半轴于y =x 2−2x +2点B ，交抛物线的对称轴于点C ，若 ，则点C 的坐标为 .OB =2OA14．函数 与 的图象如图所示，有以下结论：① ，②y =x 2+bx +c y =x b 2−4c >0 ，③ ，④当 时， ．则正确的个数为 b +c +1=03b +c +6=01<x <3x 2+(b−1)x +c <0个．15．已知一次函数y 1＝kx+m （k≠0）和二次函数y 2=ax 2+bx+c （a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是 ．y=ax2+c y=mx+n A(−1,p)B(3,q)16．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式ax2+mx+c<n的解集是 ．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 ．y=ax+b(a<0，b>0)18．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函y=−kx+k(k>0)数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是y=mx2+2mx+c m≠0（），那么这个一次函数的解析式为 ．三、综合题19．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．过点P 作PD ⊥OB 于D 点（1）直接写出BD 的长并求出点C 的坐标（用含t 的代数式表示）（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（3）点P 从点O 运动到点A 时，点C 运动路线的长是多少？20．如图，函数 的图象与函数 ( )的图象相交于点P （3，k ），Q 两点.y =2x y =ax 2−3a ≠0（1） = ， = ；a k （2）当 在什么范围内取值时， ＞ ；x 2x ax 2−3（3）解关于 的不等式： ＞1.x |ax 2−3|21．如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的y =3+3x 2+bx +c x A B A B 左、右两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， BO =3AO =3B y C D .BC =3CD（1）求 ， 的值；b c （2）求直线 的函数解析式；BD 22．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 的图像过点A(-1，0)、C(0，3)，顶点为M 。
中考数学培优(含解析)之平行四边形含答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．（1）①猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求BE2+DG2的值．【答案】（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b==，DC CE a又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．2．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证．试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，∵OE⊥AB，∴OE=12 AB，∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H∴∠BHE=∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠BFE=∠OEF=90°∴四边形EFBH为矩形∴BF=EH，EF=BH∵四边形ABCD为正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°∴∠AOE=∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE=OH，OE=BH∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．②AF﹣BF=2OE证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H∴∠EHB=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°∴四边形HBFE为矩形∴BF=HE，EF=BH∵四边形ABCD是正方形∴OA=OB，∠AOB=90°∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH∴∠AOE=∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）∴AE=OH，OE=BH，∴AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，∴∠AOE+∠AOG=90°．在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOG+∠BOG=90°，∴∠AOE=∠BOG．∵OG⊥BF，OE⊥AE，∴∠AEO=∠BGO=90°．∴△AOE≌△BOG（AAS），∴OE=OG，AE=BG，∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，∴BF﹣AF=2OE．3．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=33，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=33OE=33，综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形ADBC=32．【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=12AB，BE=12AB，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E为AB的中点，∴AE=BE，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC，在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=12AB，BE=12AB，∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC∥BD，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=33∴S平行四边形BCFD=3×3393，S△ACF=12×3×3332，S平行四边形ADBC=32．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.5．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．【答案】(1)见解析；（2）43；（3）见解析【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.试题解析：（1）证明：连接AC，∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=∠ADC=60°∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∴△ABC、△ACD为等边三角形∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF．（ASA）∴BE=CF．（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF．故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值．作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC===；（3）解：由“垂线段最短”可知，当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣=．点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．6．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度7．（感知）如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．（拓展）如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．（应用）如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_______．（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，利用SAS 易证得△BCE ≌△DCG ，则可得BE=DG ；应用：由AD ∥BC ，BE=DG ，可得S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，又由AE=3ED ，可求得△CDE 的面积，继而求得答案．试题解析：探究：∵四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，∴BC=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠A ，∠ECG=∠F ．∵∠A=∠F ，∴∠BCD=∠ECG ．∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD ，即∠BCE=∠DCG ．在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCG CE CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴BE=DG ．应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∵BE=DG ，∴S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，∵AE=3ED ，∴S △CDE =1824⨯= , ∴S △ECG =S △CDE +S △CDG =10∴S 菱形CEFG =2S △ECG =20.8．（1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB的位置关系为 ； （2）深入探究：如图②，在等腰三角形ABC 中，BA=BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC=∠AMN ，AM=MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在正方形ADBC 中，AD=AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC=10，CN=2，试求EF 的长．【答案】（1）NC ∥AB ；理由见解析；（2）∠ABC=∠ACN ；理由见解析；（3）241；【解析】分析：（1）根据△ABC ，△AMN 为等边三角形，得到AB=AC ，AM=AN 且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM ，即∠BAM=∠CAN ，证明△BAM ≌△CAN ，即可得到BM=CN ．（2）根据△ABC ，△AMN 为等腰三角形，得到AB ：BC=1：1且∠ABC=∠AMN ，根据相似三角形的性质得到AB AC AM AN＝，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN ，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）如图3，连接AB ，AN ，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出BM AB CN AC＝，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案． 详解：（1）NC ∥AB ，理由如下：∵△ABC 与△MN 是等边三角形，∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN =60°，∴∠BAM=∠CAN ，在△ABM 与△ACN 中， AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠B=∠ACN=60°，∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，∴CN ∥AB ；（2）∠ABC=∠ACN ，理由如下： ∵AB AM BC MN==1且∠ABC=∠AMN ， ∴△ABC ～△AMN ∴AB AC AM AN＝， ∵AB=BC ， ∴∠BAC=12（180°﹣∠ABC ）， ∵AM=MN∴∠MAN=12（180°﹣∠AMN ）， ∵∠ABC=∠AMN ，∴∠BAC=∠MAN ，∴∠BAM=∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴∠ABC=∠ACN ；（3）如图3，连接AB ，AN ， ∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，∴∠BAC ﹣∠MAC=∠MAN ﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN ，∵AB AM BC AN == ∴AB AC AM AN＝， ∴△ABM ～△ACN ∴BM AB CN AC ＝，∴CN AC BM AB ==cos45°=2，∴=， ∴BM=2，∴CM=BC ﹣BM=8，在Rt △AMC ，==，∴EF=AM=241．点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．9．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.10．如图1，若分别以△ABC 的AC 、BC 两边为边向外侧作的四边形ACDE 和BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C =90°时，求证：△ABC 与△DCF 的面积相等．（2）引申：如果∠C ≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC 的三边为边向外侧作的四边形ACDE 、BCFG 和ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC 中，AC =3，BC =4．当∠C =_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC ，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC ，所以△ABC ≌△DFC ，从而△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ．得到四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，AC=CD ，BC=CF ，∠ACP=∠DCQ ．所以△APC ≌△DQC ．于是AP=DQ．又因为S△ABC=12 BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵{AC DCACB DCFBC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC与△DFC的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴{APC DQCACP DCQAC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．考点：四边形综合题。
2023年九年级数学中考专题培优训练实际问题与二次函数 应用题【含答案】
2023年九年级数学中考专题培优训练实际问题与二次函数应用题1．某商场销售一批拜年服，平均每天可售出40件，每件盈利60元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件拜年服每降价1元，商场平均每天可多售出2件，(1)写出商场每天的利润W元与每件拜年服降价x元之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）．(2)若商场平均每天销售这种拜年服的盈利要达到3000元，则每件拜年服应降价多少元?(3)每件拜年服降价多少元时，商场每天盈利最多?最多盈利为多少元?2．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等．设BC的长为m x，矩形区域ABCD的面积为2m y(1)由图中三个长方形面积相等，得到长方形AEFD面积是长方形BCFE面积的倍．故AE长是BE长度倍．(2)用含x的代数式表示y，并求出自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？3．超市销售某种商品，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该商品每件利润不能超过60元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加x元，每天售出y件．(1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围．(2)当x为多少时，超市每天销售这种商品可获利润2250元？(3)设超市每天销售这种商品可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？4．万德隆超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本价．(1)求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）(2)若使该商品每月的销售利润为3375元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？(3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？5．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．(1)求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？(2)调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．①求W1，W2关于x的函数关系式；②当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？6．小强经营的网店以特色小吃为主，其中一品牌茶饼的进价为6元/袋，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：袋）与线下的售价x（单位：元/袋，1016≤≤，且x为整数）满足一次函数的关系，部分数据如下表所示．xx（元/袋）1011121314y（袋）10090807060(1)求y与x的函数关系式．(2)若线上的售价始终比线下的售价每袋便宜1元，且线上的月销量固定为60袋．问当x为多少时，线上和线下的月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．7．冬至吃汤圆是我国南方的一项传统民俗，既代表着团圆，又寓意着添岁．为了迎接冬至的来临，瑞安市某商家向广大市民出售肉馅汤圆，已知该汤圆的成本价为20元/盒，经调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（盒）与售价x（元/盒）成一次函数关系．其对应关系如下表：售价（元/盒）253035日销售量（盒）110a90(1)根据以上信息，填空：表中a的值是___，y关于x的函数关系式是___；(2)若根据市场的定价规则，该汤圆的售价不得高于40元/盒，求售价为多少时，日销售利润w最大，最大利润是多少？(3)在（1）的条件下，为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动．顾客每购买一盒肉馅汤圆可以获得m元的现金奖励0m ，商家想在日销售量不少于60盒的基础上，日销售最大利润为1650元，求出此时m的值．8．“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．当销售单价定为46元时，每天可售出400个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，且规定利润率不得高于50%．设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利4800元；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？9．某小区计划新建A、B两型停车位共50个，已知新建1个A型停车位和1个B型停车位共需32万元；新建3个A型停车位和2个B型停车位共需76万元，预销售过程中发现：A型停车位的销售单价yA（单位：万元）与其销量xA（单位：个）有如下关系：yA＝﹣xA+40，B型停车位的销售单价yB（单位：万元）与其销量xB（单位：个）有如下关系：yB＝﹣xB+80，且两种车位全部预售出．(1)该小区新建1个A型停车位和1个B型停车位各需多少万元？(2)若B型停车位的销售单价至少比A型停车位贵10万元，求预售完后B型停车位的总利润比A型停车位的总利润至少多多少万元？(3)现小区进行促销，决定把B型停车位每个降低m（m为正整数）万元，结果发现当xA≤18时，销售总利润随x的增大而增大，直接写出m的最小值．10．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？(3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．11．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元/556070…件）销售量y（件）706040…(1)求y（件）与x（元/件）之间的函数表达式；(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)销售过程中要求卖出的商品数不少于50件，问销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？12．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间天x（天）1≤x＜99≤x＜15售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80﹣3x120﹣x13．某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x＋20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：(1)求每天销售这种水果的利润W （元）与x （天）之间的函数关系式；(2)求x 为何值时，日销售利润为900元？(3)直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？14．为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x （单位：万条100x ≥）的行业数据库，经过调研发现；运行总成本y （单位1万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x 成正比例，维护成本与x 的平方成正比例，运行中得到如下数据，x （单位：万条）200300y （单位：万元）700860(1)求y 与x 之间的函数关系式，(2)该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q 与x 之间的关系式为Q mx n =+，且600x =时，1000Q =，且此时公司的利润W （单位：万元）最大，求m 、n 的值（利润=会员费-运行总成本）．15．某地积极响应国家乡村振兴的号召，决定成立草莓产销合作社，负责对农户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y （万元）与产量x （吨）之间的关系如图所示（0＜x ≤100）．已知草莓的产销投入总成本p （万元）与产量x （吨）之间满足p ＝x +1．(1)直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式．(2)为提高农户种植草莓的积极性，合作社决定按每吨0.3万元的标准奖励种植户，为确保合作社所获利润w（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？16．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．17．某电商准备销售甲，乙两种特色商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价多20元，用5000元购进甲型商品的数量与用4500元购进乙商品的数量相等．甲，乙两种商品的销售单价分别为在其进价基础上增加60%和50%．(1)求甲、乙两种商品每件进价分别为多少元？(2)该电商平均每天卖出甲商品200件，乙商品100件，经调查发现，甲，乙两种商品销售单价都降低1元，这两种商品每天都可多销售2件，为了使每天获取更大的利润，该电商决定把甲，乙两种商品的销售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲，乙两种商品获取的总利润最大？18．受境外疫情的影响，让跨省旅游成为障碍，本地游成为“新宠”．素有“香格里拉”之称的黄林古村在春节期间更是受到游客的青睐．古村内某民宿有50个房间供游客居住．当每个房间的定价为210元时，每天都住满．市场调查表明每间房价在350元到520元之间（含350元，520元）浮动时，每提高10元，日均入住客房减少1间，但对有游客入住的房间，需对每个房间每天支出30元的各种费用．设每个房间每天的定价提高x元．(1)求房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；(2)求该民宿客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间每天的定价提高多少元时，w有最大值？(3)由于疫情影响，入住房间不能超过30个，当每个房间每天的定价多少元时，该民宿客房部每天的利润w最大，并求出最大值．19．某文具店计划在40天内销售一种成本为15元本的笔记本，该种笔记本的日销售量p（本）和销售天数x（单位：天，1≤x≤40，且x为正整数）之间满足一次函数关系，且其图象经过点（10，40），（40.10），当1≤x≤20时，销售单价q（元）和销售天数x（天）之间的部分对应值如表所示．销售天数x/天12345678..．销售单价q/元30.53131.53232.53333.534..．当21≤x≤40时，销售单价q（元）和销售天数x（天）之间满足52520 qx=+(1)求销售到第几天时，该种笔记本的销售单价为45元(2)求出日销售量P与销售天数x的函数解析式(3)设该文具店第x天获得的利润为y元，请求出y关于x的函数解析式(4)在这40天中，该文具店第几天能够获利870元？20．某宾馆共有80个房间可供顾客居住．宾馆负责人根据前几年的经验作出预测：今年5月份，该宾馆每天的房间空闲数y（间）与每天的定价x（元/间）之间满足某个一次函数关系，且部分数据如表所示．每天的定价x（元/间）208228268…每天的房间空闲数y（间）101525…(1)该宾馆将每天的定价x（元/间）确定为多少时，所有的房间恰好被全部订完？(2)如果宾馆每天的日常运营成本为5000元，另外，对有顾客居住的房间，宾馆每天每间还需支出28元的各种费用，那么单纯从利润角度考虑，宾馆应将房间定价确定为多少时，才能获得最大利润？并请求出每天的最大利润．参考答案：1．(1)W ＝−2x 2＋80x ＋240(2)30元(3)每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利3200元2．(1)2，2(2)2330(040)4y x x x =-+<<(3)x =20时，y 有最大值，最大值为2300m ．3．(1)y ＝﹣12x +50（0＜x ≤20）(2)10(3)当x 为20时w 最大，最大值是2400元4．(1)y 与x 的函数关系式为5550y x =-+；(2)当该商品每月销售利润为3375，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为65元；(3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．5．(1)1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元(2)①W 1=－2x 2+40x +7000，W 2=1000－20x ；②当x =5时，W 取得最大值，Wmax =80506．(1)10200y x =-+(2)当x 为16时，线上和线下的月利润总和达到最大，此时的最大利润为940元7．(1)100，y =-2x +160（20＜x ＜80）(2)售价取40时有最大利润，最大利润1600元(3)m =2.5．8．(1)当每个纪念品的销售单价是56元时，商家每天获利4800元；(2)当x ＝60时，符合题意，且利润最大，且最大利润为5200元9．(1)该小区新建1个A 型停车位需12万元，新建1个B 型停车位需20万元(2)620万元(3)410．(1)y =﹣10x +740（44≤x ≤52）(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大，最大利润是2640元(3)为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x 的范围是50≤x ≤5211．(1)y =-2x +180；(2)60元或80元．(3)当销售单价定为65元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是750元12．(1)10%(2)第9天时销售利润最大13．(1)()214565030221≤≤-+=+x x x W ；(2)当x 为20或25时，日销售利润为900元；(3)第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为903元．14．(1)20.0020.6500y x x =++(2)110m =，940n =15．(1)y ＝2.4(030)0.01 2.7(3070)2(70100)x x x x ≤≤⎧⎪-+<≤⎨⎪<≤⎩(2)产量至少要达到80吨16．(1)w ＝﹣10x 2+700x ﹣10000(2)当单价为35元时，该文具每天的利润最大(3)A 方案利润更高，理由见解析17．(1)一件甲，乙商品的进价分别为200元和180元(2)1518．(1)5010x y =-；(2)2132900010w x x =-++，每天定价提高160元时，w 有最大值；(3)每个房间每天的定价410元时，该民宿客房部每天的利润w 最大，最大值为11400元19．(1)21(2)p =-x +50(3)y ＝2110750(120)2262505275(2140)x x x x x x⎧-++⎪⎪⎨⎪--⎪⎩ (4)2120．(1)168(2)宾馆应将房间定价确定为256或260元。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练：整式与因式分解【含答案】
九年级数学下册2023年中考专题培优训练：整式与因式分解一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A ．的项是，2B ．是二次三项式3x−23x 2x 2y +xy 2−x C ．与是同类项D ．单项式的系数是3x 2y −4yx 2−3πx 2y −32．若5x =125y ，3y =9z ，则x ：y ：z 等于（ ）A ．1：2：3B ．3：2：1C ．1：3：6D ．6：2：13．下列叙述中，正确的是（ ）A ．单项式 的系数是0，次数是3x 2y B ．a 、 、0、 都是单项式π22C ．多项式 是六次三项式3a 3b +2a 2+1D ． 是二次二项式m +n24．如图，7张全等的小长方形纸片(既不重叠也无空隙)放置于矩形ABCD 中，设小长方形的长为a ，宽为b(a>b)，若要求出两块黑色阴影部分的周长和，则只要测出下面哪个数据（ ）A ．aB ．bC ．a+bD ．a-b5．下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．a 2•a 3=a 6C ．（a 2）3=a 8D ．a 3÷a 2=a6．下列运算正确的是（ ）A ．（x 3）3=x 9B ．（﹣2x ）3=﹣6x 3C ．2x 2﹣x=xD ．x 6÷x 3=x 27．下列单项式中，与 是同类项的是( )0.3ab 2A ．B ．C ．D ．2a 2ba 2b 2−14b 2a 3ab8．下列计算错误的是（ ）A ．3 =2B ．﹣2+|﹣2|=0C ．x 2•x 3=x 6D ．（﹣3）2=93−339．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A ．B ．a 2−2ab +b 2−1=(a−b)2−1x 4−1=(x 2+1)(x +1)(x−1)C ．D ．(x +2)(x−2)=x 2−42x 2+2x =2x 2(1+1x )10．长方形的一边为2a﹣3b ，另一边比它小a﹣b ，则此长方形的另一边为（ ）A ．3a﹣4bB ．3a﹣2bC ．a﹣2bD ．a﹣4b11．下列说法中，正确的是（ ） A ．单项式 的系数 12πxy 212B ．单项式 的次数为2−5x 2y C ．多项式x 2+2xy+18是二次三项式D ．多项式 x 3 - x 2y 2-1次数最高项的系数是 12231212．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S 1+S 2＝9，且AC+BC ＝10，则AB 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．62二、填空题13．已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ．14．分解因式：x 3-4x 2+4x= ．15．若 ，则 的值为 ．2x =2,4y =4216．七年级一班有2a﹣b 个男生和3a+b 个女生，则男生比女生少 人．三、计算题17．计算： (26−5)2019×(26+5)202018．计算：（1）（﹣2）+（﹣3）﹣（+1）﹣（﹣6）；（2）﹣22﹣（﹣2）2×0.25÷；12（3）（3x﹣2）﹣（x﹣3）；（4）5﹣2（a 2b﹣ab 2）+（3a 2b+ab 2）．19．利用乘法公式计算：5002-499×501．20．已知，求代数式的值．x 2+2x−4=0x (x−2)2−x 2(x−6)−3四、综合题21．如图①是一个长为2m ，宽为2n 的长方形（m ＞n ），用剪刀沿图中虚线剪开，把得到的四块相同的长方形按图2那样拼成一个正方形．（1）图②中，中间的小正方形（阴影部分）的边长为 （用含m 、n 的式子表示）；（2）观察图②，可得到（m+n ）2、（m﹣n ）2和4mn 之间的等量关系，请直接写出这个等量关系式；（3）若m+n ＝5，mn ＝，利用（2）的关系式求（m﹣n ）2的值．9422．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m ，宽为n 的长方形盒子底面（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．（1）求图2中阴影部分图形的周长；（用含m 、n 的式子直接写出答案）（2）求图3中两个阴影部分图形的周长和．（用含有m 、n 的式子表示）23．已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根．（1）求x 1，x 2 的值；（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．24．黑板上有一个正确的整式加法式，小明不小心擦去了前面的多项式，如下：+ (x 2-124xy+2y 2)=3x 2-xy.（1）求出擦去的多项式；（2）当x=-1，y=2时，求擦去的多项式的值.答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C13．【答案】a ＞b ＞c ＞d 14．【答案】x （x-2）215．【答案】1216．【答案】a+2b17．【答案】解：原式 =[(26−5)(26+5)]2019×(26+5)=(−1)2019(26+5)=−26−518．【答案】（1）解：原式＝﹣2﹣3﹣1+6＝0；（2）解：原式＝﹣4﹣4××214＝﹣4﹣2＝﹣6；（3）解：（3x﹣2）﹣（x﹣3）＝3x﹣2﹣x+3＝2x+1；（4）解：5﹣2（a 2b﹣ab 2）+（3a 2b+ab 2）＝5﹣2a 2b+2ab 2+3a 2b+ab 2＝a 2b+3ab 2+5．19．【答案】解：原式=5002-（500+1）（500-1）=5002-5002+1=1．20．【答案】解：原式=x(x 2−4x +4)−x 3+6x 2−3=x 3−4x 2+4x−x 3+6x 2−3=2x 2+4x−3∵，∴x 2+2x−4=0x 2+2x =4原式=2(x 2+2x)−3=2×4−3=521．【答案】（1）解：由图②可知，中间的小正方形（阴影部分）的边长为；m−n （2）解：由图②可得，大正方形的边长为，m +n ∴大正方形的面积可以表示为，(m +n)2又∵大正方形由4个小长方形和一个小正方形组成，∴大正方形的面积还可以表示为，(m−n)2+4mn ∴．(m +n)2=(m−n)2+4mn （3）解：∵，(m +n)2=(m−n)2+4mn ∴把m+n ＝5，mn ＝代入得：，94(m +n)2=(m−n)2+4mn 52=(m−n)2+4×94解得：．(m−n)2=1622．【答案】（1）解：图2中阴影部分图形的周长是：2m ＋2n（2）解：设小长方形的宽为x ，长为y ，根据题意得：2x ＋y ＝m ， PF ＝y ，EQ ＝2x ，PQ ＝EQ ＋PF﹣EF ＝y ＋2x﹣n ＝m﹣n ，EP ＋FQ ＝n﹣（m﹣n ）＝2n﹣m ，则两个阴影部分图形的周长和是：2m ＋2（2n﹣m ）＝4n23．【答案】（1）解：原方程变为：x 2－（m + 2）x + 2m = p 2－（m + 2）p + 2m ，∴x 2－p 2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，（x －p ）（x + p ）－（m + 2）（x －p ）= 0，即 （x －p ）（x + p －m －2）= 0，∴x 1 = p ， x 2 = m + 2－p ．（2）解：∵ 直角三角形的面积为 x 1x 2= p(m+2-p)1212= −12p 2+12(m +2)p= −12[p 2−(m +2)p +(m +22)2−((m +2)24)]= ，−12(p−m +22)2+(m +2)28∴ 当且m ＞－2时，以x 1，x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为 p =m +22 （或 ）．(m +2)2812p224．【答案】（1）解：(3x 2−xy)−12(x 2−4xy +2y 2)=3x 2−xy−12x 2+2xy−y 2= 52x 2+xy−y 2（2）解：当x=-1，y=2时，原式= = = 52×(−1)2+(−1)×2−2252−2−4−72。
初三数学培优专题(4) 托勒密定理巧解四边形对角互补问题
托勒密定理巧解四边形对角互补问题托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆，求证：AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅．证明 ：如图，在BD 上取一点P ，使其满足12∠=∠．∵34∠=∠，∴ACD BCP △∽△，AC ADBC BP=， 即AC BP AD BC ⋅=⋅ ① 又ACB DCP ∠=∠，56∠=∠，∴ACB DCP △∽△，AB ACDP CD=，AC DP AB CD ⋅=⋅． ② ①+②，有．即()AC BP PD AD BC AB CD +=⋅+⋅，故AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅．定理推广-托勒密不等式推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD ，AC ·BD ≤AB ·CD+AD ·BC证明：如图1，在平面中取点E 使得∠BAE=∠CAD ，∠ABE=∠ACD ， 易证△ABE ∽△ACD ，∴AB:AC=BE:CD ， 即AC ·BE=AB ·CD ①，D C A B D C126345P A B连接DE ，如图2，∵AB/AC=AE/AD ，∴AB/AE=AC/AD ，∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE ，∴△ABC ∽△AED ，∴AD/AC=DE/BC ，即AC ·DE=AD ·BC ②，将①+②得：AC ·BE+AC ·DE=AB ·CD+AD ·BC ，∴AC ·BD ≤AC(BE+DE)=AB ·CD+AD ·BC 即AC ·BD ≤AB ·CD+AD ·BC ，当且仅当A 、B 、C 、D 共圆时取到等号．下列四边形对角互补问题，题目均可巧解（自己试一试）【例1】（1）如图2-1，点P 为等边ABC △外接圆的BC 上一点，线段PA 、PB 、PC 间的数量关系为____．（2）如图2-2，AB 为⊙O 的直径，∠ABD =45°，点C 为ABD △外接圆的AB 上一点，线段CA 、CB 、CD 间的数量关系为____________．（3）如图2-3，30ABC ACB ∠=∠=︒，点D 为ABC △外接圆的BC 上一点，线段DA 、DB 、DC 间的数量关系为_____________．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）PA PB PC =+；（2）CA CB +；（3）DB DC +=．ABCP ODAOC【例2】（2013成都中考）如图4-2，A ，B ，C 为O 上相邻的三个n 等分点，AB BC =，点E在弧BC 上，EF 为O 的直径，将O 沿EF 折叠，使点A 与A'重合，点B 与B'重合，连接EB'，EC ，EA'.设EB'b =，EC c =，EA'p =．先探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当3n =时，p b c =+．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当4n =时，p =__________； 当12n =时，p =__________．（参考数据：sin15cos75︒=︒=cos15sin 75︒=︒=）图4-1 图4-2【解析】（1）A ；（2）p c =+；2p c =+． 【例3】(2013成都27改)如图3，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，在ABC ∠内作射线BM ， 作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①证明CEF ∆是等边三角形；②若5AE =，2CE =，求BF 的长．解：①证明：如图3中，作BH AE ⊥于H ，连接BE ．四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒， ABD ∴∆，BDC ∆是等边三角形，A'F AB OB'C E A BO P CBA BD BC ∴==，E 、C 关于BM 对称，BC BE BD BA ∴===，FE FC =， A ∴、D 、E 、C 四点共圆， 120ADC AEC ∴∠=∠=︒， 60FEC ∴∠=︒，EFC ∴∆是等边三角形，②解：5AE =，2EC EF ==， 2.5AH HE ∴==， 4.5FH =， 在Rt BHF ∆中，30BFH ∠=︒， ∴cos30HF BF=︒，BF ∴==【例4】（2019•天门）已知ABC ∆内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=︒时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ； （2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若5BC =，4BD =，求ADAB AC+的值．解：（1）如图①在AD 上截取AE AB =，连接BE ， 120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交O 于点D ，60DBC DAC ∴∠=∠=︒，60DCB BAD ∠=∠=︒，ABE ∴∆和BCD ∆都是等边三角形，DBE ABC ∴∠=∠，AB BE =，BC BD =， ()BED BAC SAS ∴∆≅∆， DE AC ∴=，AD AE DE AB AC ∴=+=+；故答案为：AB AC AD +=．（2）AB AC +=．理由如下：如图②，延长AB 至点M ，使BM AC =，连接DM ， 四边形ABDC 内接于O ， MBD ACD ∴∠=∠，45BAD CAD ∠=∠=︒， BD CD ∴=，()MBD ACD SAS ∴∆≅∆，MD AD ∴=，45M CAD ∠=∠=︒，MD AD ∴⊥．AM ∴，即AB BM +，AB AC ∴+；（3）如图③，延长AB 至点N ，使BN AC =，连接DN ， 四边形ABDC 内接于O ， NBD ACD ∴∠=∠， BAD CAD ∠=∠， BD CD ∴=，()NBD ACD SAS ∴∆≅∆，ND AD ∴=，N CAD ∠=∠，N NAD DBC DCB ∴∠=∠=∠=∠， NAD CBD ∴∆∆∽， ∴AN AD BC BD =， ∴AD BD AN BC=， 又AN AB BN AB AC =+=+，5BC =，4BD =，∴45AD BD AB AC BC ==+． 【例5】（2019•威海） （1）方法选择 如图①，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+． 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ⋯小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN AD=⋯请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，AB AC=．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，30∠=︒，ABC则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，=，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．::::BC AC AB a b c【解答】解：（1）方法选择：AB BC AC==，ACB ABC∴∠=∠=︒，60=，连接AM，如图①，在BD上截取DM AD∠=∠=︒，60ADB ACB∴∆是等边三角形，ADM∴=，AM ADABM ACD∠=∠，∠=∠=︒，AMB ADC120∴∆≅∆，ABM ACD AAS()∴=，BM CDBD BM DM CD AD∴=+=+；（2）类比探究：如图②，BC是O的直径，∴∠=︒，BAC90=，AB AC∴∠=∠=︒，ABC ACB45⊥交BD于M，过A作AM AD45∠=∠=︒，ADB ACB∴∆是等腰直角三角形，ADM∴=，45AM AD∠=︒，AMD∴=，DM∴∠=∠=︒，135AMB ADC∠=∠，ABM ACD()ABM ACD AAS ∴∆≅∆， BM CD ∴=，BD BM DM CD ∴=+=+；【探究2】如图③，若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒， 90BAC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒， 过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， 60ADB ACB ∠=∠=︒， 30AMD ∴∠=︒， 2MD AD ∴=，ABD ACD ∠=∠，150AMB ADC ∠=∠=︒， ABM ACD ∴∆∆∽，∴BM AB CD AC==，BM ∴=，2BD BM DM AD ∴=++；故答案为：2BD AD +；（3）拓展猜想：c aBD BM DM CD AD b b=+=+；理由：如图④，若BC 是O 的直径， 90BAC ∴∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， 90MAD ∴∠=︒， BAM DAC ∴∠=∠， ABM ACD ∴∆∆∽， ∴BM AB c CD AC b==， cBM CD b∴=，ADB ACB ∠=∠，90BAC MAD ∠=∠=︒， ADM ACB ∴∆∆∽， ∴AD AC b DM BC a==， aDM AD b∴=，c aBD BM DM CD AD b b ∴=+=+．故答案为：c aBD CD AD b b=+【例6】（2017•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若60∠=∠=∠=∠=︒，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？ACB ACD ABD ADB经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE CD=，连接AE，证得=+．=，所以AC BC CD ABE ADC∆≅∆，从而容易证明ACE∆是等边三角形，故AC CE小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC∆绕着点A逆时针旋转60︒，使AB与AD重合，从而容易证明ACF=，所以AC BC CD=+．∆是等边三角形，故AC CF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“60∠=∠=∠=∠=︒”ACB ACD ABD ADB改为“45∠=∠=∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间ACB ACD ABD ADB有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“60ACB ACD ABD ADB∠=∠=∠=∠=︒”改为“ACB ACD ABD ADBα∠=∠=∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【解答】解：（1）BC CD+=；理由：如图1，延长CD 至E ，使DE BC =，连接AE ， 45ABD ADB ∠=∠=︒，AB AD ∴=，18090BAD ABD ADB ∠=︒-∠-∠=︒， 45ACB ACD ∠=∠=︒， 90ACB ACD ∴∠+∠=︒， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒， 180ADC ADE ∠+∠=︒， ABC ADE ∴∠=∠，在ABC ∆和ADE ∆中，AB AD ABC ADE BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴∆≅∆，45ACB AED ∴∠=∠=︒，AC AE =， ACE ∴∆是等腰直角三角形，CE ∴，CE CD DE CD BC =+=+，BC CD ∴+=；（2）2cos BC CD AC α+=．理由：如图2，延长CD 至E ，使DE BC =， ABD ADB α∠=∠=，AB AD ∴=，1801802BAD ABD ADB α∠=︒-∠-∠=︒-， ACB ACD α∠=∠=， 2ACB ACD α∴∠+∠=， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒， 180ADC ADE ∠+∠=︒， ABC ADE ∴∠=∠，在ABC ∆和ADE ∆中，AB AD ABC ADE BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴∆≅∆，ACB AED α∴∠=∠=，AC AE =， AEC α∴∠=，过点A 作AF CE ⊥于F ，2CE CF ∴=，在Rt ACF ∆中，ACD α∠=，cos cos CF AC ACD AC α=∠=， 22cos CE CF AC α∴==， CE CD DE CD BC =+=+， 2cos BC CD AC α∴+=． 【例7】（2016•淮安）问题背景：如图①，在四边形ADBC 中，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将BCD ∆绕点D ，逆时针旋转90︒到AED ∆处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图②)，易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且CDE ∆是等腰直角三角形，所以CE =，从而得出结论：AC BC +=．简单应用：（1）在图①中，若AC =BC =CD = ．（2）如图③，AB 是O 的直径，点C 、D 在上，AD BD =，若13AB =，12BC =，求CD 的长． 拓展规律：（3）如图④，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，若A C m =，()BC n m n =<，求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）（4）如图⑤，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 为AB 的中点，若点E 满足13AE AC =，CE CA =，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是 ．解：（1）由题意知：AC BC +，∴+=， 3CD ∴=；（2）连接AC 、BD 、AD ， AB 是O 的直径， 90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD BD =，AD BD ∴=，将BCD ∆绕点D 顺时针旋转90︒到AED ∆处，如图③，EAD DBC ∴∠=∠，180DBC DAC ∠+∠=︒，180EAD DAC ∴∠+∠=︒，E ∴、A 、C 三点共线，13AB =，12BC =，∴由勾股定理可求得：5AC =，BC AE =，17CE AE AC ∴=+=，EDA CDB ∠=∠，EDA ADC CDB ADC ∴∠+∠=∠+∠， 即90EDC ADB ∠=∠=︒，CD ED =，EDC ∴∆是等腰直角三角形，CE ∴，CD ∴=；（3）以AB 为直径作O ，连接OD 并延长交O 于点1D ， 连接1D A ，1D B ，1D C ，如图④由（2）的证明过程可知：1AC BC C +=，1D C ∴=， 又1D D 是O 的直径， 190DCD ∴∠=︒，AC m =，BC n =，∴由勾股定理可求得：222AB m n =+， 22221D D AB m n ∴==+，22211D C CD D D +=，22222()()22m n m n CD m n +-∴=+-=， m n <，CD ∴=；（4）当点E 在直线AC 的左侧时，如图⑤，连接CQ ，PC ，AC BC =，90ACB ∠=︒，点P 是AB 的中点，AP CP ∴=，90APC ∠=︒，又CA CE =，点Q 是AE 的中点， 90CQA ∴∠=︒，设AC a =， 13AE AC =， 13AE a ∴=， 1126AQ AE a ∴==，由勾股定理可求得：CQ =，由（2）的证明过程可知：AQ CQ +=，∴16a =，∴=；当点E 在直线AC 的右侧时，如图⑥，连接CQ 、CP ，同理可知：90AQC APC ∠=∠=︒，设AC a =，1126AQ AE a ∴==，由勾股定理可求得：CQ =，由（3）的结论可知：)PQ CQ AQ =-，∴AC =．综上所述，线段PQ 与AC 16AC +=16AC -=．。
2021年中考复习数学专题训练：《平面直角坐标系》填空题专项培优(四)
2021年中考复习数学专题训练： 《平面直角坐标系》填空题专项培优（四）1．若点P （2a +1，1﹣a ）在第二象限，则a 的取值范围是 ．2．已知平面内有一点A 的横坐标为﹣6，且到原点的距离等于10，则A 点的坐标为 ． 3．点A （3a ﹣1，1﹣6a ）在y 轴上，则点A 的坐标为 ． 4．写出一个第四象限的点的坐标 ．5．如图，规定列号写在前面，行号写在后面，如用数对的方法，棋盘中“帅”与“卒”的位置可分别表示为（e ，4）和（g ，3），则“炮”的位置可表示为 ．6．若4排3列用有序数对（4，3）表示，那么表示2排5列的有序数对为 ． 7．如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣3，﹣2），“炮”位于点（﹣2，0），则“兵”位于的点的坐标为 ．8．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，若两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），所连线段AB 的中点是M ，则M 的坐标为（，），例如：点A （1，2）、点B （3，6），则线段AB 的中点M 的坐标为（，），即M （2，4）请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E （a ﹣1，a ），F （b ，a ﹣b ），线段EF 的中点G 恰好位于x 轴上，且到y 轴的距离是2，则2a +b 的值等于 ． 9．某玩具标价100元，打8折出售，仍盈利25%，这件玩具的进价是 元． 10．有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是元．11．小麦在磨成面粉后，质量要减少25%，为了得到600kg面粉，需要小麦kg．12．三个连续奇数的和是75，这三个数分别是．13．某书店在促销活动中，推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．有一次，李明同学到该书店购书，结账时，他先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币12元，那么，李明同学此次购书的总价值是人民币元．14．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．小李两次购物分别付款80元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，应付款元．15．已知某种商品的售价每件为150元，即使促销降价20%后，扣除成本仍有20%的利润，那么该商品每件的成本价是元．16．一件服装进价200元，按标价的8折销售，仍可获利10%，该服装的标价是元．17．由于人民生活水平的不断提高，购买理财产品成为一个热门话题．某银行销售A，B，C 三种理财产品，在去年的销售中，稳健理财产品C的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A，B两种理财产品的销售金额都将比去年减少20%，因而稳健理财产品C是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年稳健理财产品C的销售金额应比去年增加%18．某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是%（注：利润率＝×100%）．19．如图，点A1（1，）在直线y＝x上，A1B1⊥OA1交x轴于B1，A2B1⊥x轴交直线y＝x于A2，A2B2⊥OA2交x轴于B2，A3B2⊥x轴交直线y＝x于A3，…，A n B n⊥OA n交x轴于B n，A n+1Bn⊥x轴交直线y＝x于A n+1，A n+1Bn+1⊥OA n+1交x轴于B n+1，则四边形A n B n B n+1An+1的面积为．20．如图，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内依次作等边三角形△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…，点A 1，A 2，A 3，…，在x 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，在射线OM 上，若∠B 1OA 1＝30°，OA 1＝1，则点B 2019坐标是 ．21．已知点A （4，3），AB ∥y 轴，且AB ＝3，则B 点的坐标为 ．22．已知平面直角坐标系中的点P （a ﹣3，2）在第二象限，则a 的取值范围是 ． 23．一只电子跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动，且每秒跳动一个单位，那么第2020秒时电子跳蚤所在位置的坐标是 ．24．如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，﹣1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2017的坐标为 ．25．如图，在直角坐标系xOy 中，边长为1的正方形A 1B 1C 1D 1（称为第1个正方形）的顶点A 1在原点处，点B 1在y 轴上，点D 1在x 轴上，点C 1在第一象限内，现以点C 1为顶点做等边三角形C 1A 2B 2，使得点A 2落在x 轴上，且A 2B 2⊥x 轴；以A 2B 2为边做正方形A 2B 2C 2D 2（称为第2个正方形），且正方形的边A 2D 2落在x 轴上…如此类推，则第2020个正方形的边长为 ．参考答案1．解：∵点P（2a+1，1﹣a）在第二象限，∴解得：a＜﹣，故答案为：a＜﹣．2．解：∵点A的横坐标为﹣6，到原点的距离是5，∴点A到x轴的距离为＝8，∴点A的纵坐标为8或﹣8，∴点A的坐标为（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）．故答案为：（﹣6，8）或（﹣6，﹣8）．3．解：∵点A（3a﹣1，1﹣6a）在y轴上，∴3a﹣1＝0，解得a＝，所以，1﹣6a＝1﹣6×＝1﹣2＝﹣1，所以，点A的坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．4．解：写出一个第四象限的点的坐标（1，﹣1），故答案为：（1，﹣1）．5．解：根据题意知“炮”的位置可表示为（h，4），故答案为：（h，4）．6．解：若4排3列用有序数对（4，3）表示，那么表示2排5列的有序数对为（2，5），故答案为：（2，5）．7．解：如图所示：“兵”位于的点的坐标为：（﹣5，1）．故答案为：（﹣5，1）8．解：∵点E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），∴中点G（，），∵中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，∴，解得：，，∴2a+b＝或﹣4；故答案为：或﹣4．9．解：设该玩具的进价为x元．根据题意得：100×80%﹣x＝25%x．解得：x＝64．故答案是：64．10．解：设所购商品的标价是x元，则①所购商品的标价小于90元，x﹣20+x＝150，解得x＝85；②所购商品的标价大于90元，x﹣20+x﹣30＝150，解得x＝100．故所购商品的标价是100或85元．故答案为：100或85．11．解：设需要小麦xkg，依题意得：x（1﹣25%）＝600解得：x＝800∴需要小麦800kg．12．解：设最小的奇数为x，则其他的为x+2，x+4∴x+x+2+x+4＝75解得：x＝23这三个数分别是23，25，27．故填：23，25，27．13．解：设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，则有：20+0.8x＝x﹣12解得：x＝160故填160．14．解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝252，解得：x＝280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝252，解得：x＝315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280＝360或80+315＝395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款：360×0.8＝288元395×0.8＝316元故填288元或316元．15．解：设该商品的进价为x 元， 根据题意得：150×80%＝（1+20%）x ， 解之得x ＝100，即该商品的进价为100元． 16．解：设该服装的标价是x 元．x ×80%＝200×（1+10%），解得x ＝275， 故答案为275．17．解：设今年产品C 的销售金额应比去年增加x ， 根据题意得：0.4（1+x ）+（1﹣40%）（1﹣20%）＝1， 解得x ＝30%． 故答案为：30．18．解：设原利润率是x ，进价为a ，则售价为a （1+x ）， 根据题意得：﹣x ＝8%，解之得：x ＝0.17所以原来的利润率是17%． 19．解：过A 1作A 1C ⊥x 轴于点C ，∵点A 1（1，），∴，OC ＝1，∵A 1B 1⊥OA 1交x 轴于B 1， ∴∠A 1CO ＝∠OA 1B 1＝90°，∴∠OA 1C +∠A 1OC ＝∠OA 1C +∠CA 1B 1＝90°， ∴∠A 1OC ＝∠B 1AO ， ∴△A 1OC ∽△B 1A 1O ，∴，即，∴B 1C ＝2，∴OB 1＝OC +B 1C ＝3， ∴，同理可得OB 2＝9，，OB 3＝27，∴＝， ＝＝9×，同理可得，，…， 由规律可得，．故答案为：．20．解：根据题意，得等边三角形△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4…， ∵∠B 1OA 1＝30°，OA 1＝1，∠B 1A 1A 2＝∠A 1A 2B 1＝∠A 2B 1A 1＝60°， ∴∠OB 1A 1＝30°， ∴∠OB 1A 2＝90°，∴A 1A 2＝A 2B 1＝A 1B 1＝OA 1＝1， 所以B 1 的横坐标为1+＝，纵坐标为×tan30°＝×＝；同理可得：B 2 的横坐标为2+1＝3，纵坐标为3×＝；B 3 的横坐标为4+2＝22+21， B 4 的横坐标为8+4＝23+22， B 5 的横坐标为16+8＝24+23，…Bn的横坐标为2n﹣1+2n﹣2＝2n﹣2（2+1）＝3×2n﹣2，纵坐标为3×2n﹣2×tan30°＝×2n﹣2．所以B2019的坐标为（3×22017，×22017）21．解：∵A（4，3），AB∥y轴，∴点B的横坐标为4，∵AB＝3，∴点B的纵坐标为3+3＝6或3﹣3＝0，∴B点的坐标为（4，0）或（4，6）．故填（4，0）或（4，6）．22．解：∵平面直角坐标系中的点P（a﹣3，2）在第二象限，∴a的取值范围是：a﹣3＜0，解得：a＜3．故答案为：a＜3．23．解：由图可得，（0，1）表示1＝12秒后跳蚤所在位置；（0，2）表示8＝（2+1）2﹣1秒后跳蚤所在位置；（0，3）表示9＝32秒后跳蚤所在位置；（0，4）表示24＝（4+1）2﹣1秒后跳蚤所在位置；…∴（0，44）表示（44+1）2﹣1＝2024秒后跳蚤所在位置，则（4，44）表示第2020秒后跳蚤所在位置．故答案为：（4，44）．24．解：∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点，A5是第二与第三个等腰直角三角形的公共点，A7是第三与第四个等腰直角三角形的公共点，A9是第四与第五个等腰直角三角形的公共点，…，∵2017＝1008×2+1，∴A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点，∴A2017在x轴正半轴，∵OA5＝4，OA9＝6，OA13＝8，…，∴OA 2017＝（2017+3）÷2＝1010， ∴点A 2017的坐标为（1010，0）．故答案为：（1010，0）．25．解：∵正方形A 1B 1C 1D 1（称为第1个正方形）的边长为1， ∴C 1D 1＝1，∵C 1A 2B 2为等边三角形，∵∠B 2A 2C 1＝60°，∵A 2B 2⊥x 轴，∴∠C 1A 2D 1＝30°，∴A 2B 2＝2C 1D 1＝2＝22﹣1，同理得A 3B 3＝4＝23﹣1，A 4B 4＝8＝24﹣1，…由上可知第n 个正方形的边长为：2n ﹣1， ∴第2020个正方形的边长为：22020﹣1＝22019． 故答案为：22019．。
2020年中考数学知识点过关培优训练：四边形(附答案)
2020年中考数学知识点过关培优训练：四边形1．已知，如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x≤8），点E在边CD上，且CE＝CB，以AE为对角线作正方形AGEF．设正方形AGEF的面积y．（1）当点F在矩形ABCD的边上时，x＝4．（2）求y与x的函数关系式及y的取值范围．（3）当矩形ABCD的一条边将正方形AGEF的面积分为1：3两部分时，直接写出x的值．解：（1）点F在矩形ABCD的边上时，AF＝EF＝FG＝BC，∵EC＝BC，∴AF＝FB＝4，∴BC＝EC＝BF＝4，故答案为4．（2）y＝AE2＝（AD2+DE2）＝＝x2﹣8x+32＝（x﹣4）2+16．∵0＜x≤8，∴16≤y≤32．（3）①如图1中，设CD交AG于Q，当AQ＝GQ时，长方形ABCD的边CD将正方形AFEG的面积分成1：3两部分．则∵tan∠QEG＝tan∠QAD，∴＝＝，∵AD＝BC＝x，∴DQ＝x，AQ＝GQ＝xEG＝x，∴EQ＝x，∵DQ+QE+CE＝8，∴x+x+x＝8，∴x＝2．②如图2中，设AD交EG于Q，当GQ＝EG时，长方形ABCD的边AD将正方形AFEG 的面积分成1：3两部分．设DQ＝m，同法可得DE＝2m，QE＝GQ＝m，AQ＝5m，∴6m＝x，∴DE＝，∵DE+CE＝8，∴x+x＝8，∴x＝6，∴满足条件的x的值为2或6．2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠OAC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．3．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO．（2）求证：四边形ABCD是菱形．（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．解：（1）证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，在△AOD和△COB中，，∴△ADO≌△CBO（ASA）；（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB，又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB，又DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB，∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝，∴．4．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝4，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路线运动，设△ABP的面积为S，点P走过的路程为x．（1）当点P在CD边上运动时，△ABP的面积是否变化，请说明理由；（2）求S与x之间的函数关系式；（3）当S＝2时，求x的值．解：（1）结论：不变化．理由：因为，所以不变化．（2）当0≤x≤4时，．当4＜x≤6时，．当6＜x≤10时，AP＝10﹣x，．综上所述，S＝．（3）当0≤x≤4时，x＝2当4＜x≤6时，4≠2，∴不存在（此步不写不扣分）当6＜x≤10时，﹣x+10＝2，解得x＝8．5．在四边形ABCD中，E为BC边中点．（Ⅰ）已知：如图1，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD＝AB+CD；（Ⅱ）已知：如图2，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，点F，G均为AD上的点，AF＝AB，GD＝CD．求证：（1）△GEF为等边三角形；（2）AD＝AB+BC+CD．（Ⅰ）证明：（1）如图1中，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SAS），（2）∵△ABE≌△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝BF，∵AE平分BC，∴BE＝CE，∴FE＝CE，∵∠AED＝∠AEF+∠DEF＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEF＝∠DEC，在△DEF和△DEC中，，∴△DEF≌△DEC（SAS），∴DF＝DC，∵AD＝AF+DF，∴AD＝AB+CD；（Ⅱ）证明：（1）如图2中，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC，同（1）得：△ABE≌△AFE（SAS），△DEG≌△DEC（SAS），∴BE＝FE，∠AEB＝∠AEF，CE＝EG，∠CED＝∠GED，∵BE＝CE，∴EF＝EG，∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，∴∠AEF+∠GED＝60°，∴∠FEG＝60°，∴△FEG是等边三角形．（2）由（1）可知FG＝GE＝EF＝BC，∵AD＝AG+GH+HD，∴AD＝AB+CD+BC．6．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN ＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠F AN＝45°，在△MAN和△F AN中，，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN＝＝＝6，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴＝＝＝＝，∴＝，∴AQ＝AN＝2；由（2）得：DN﹣BM＝MN．设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC 至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是50．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AO＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D 在AB边上，EF在BC边上，点G在AC边上，设EF＝x，矩形DEFG的面积为y．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）直接写出自变量x的取值范围0＜x＜6；（3）若DG＝2DE，则矩形DEFG的面积为．解：（1）如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AN⊥BC，∴BN＝CN＝3，AN＝＝＝4，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝4﹣x．∴y＝EF•MN＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x，即y＝﹣x2+4x：（2）0＜x＜6；故答案为：0＜x＜6；（3）若DG＝2DE，则EF＝2MN，∴x＝2（4﹣x），解得：x＝，当x＝时，y＝﹣×（）2+4×＝；故答案为：．9．（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD ＝2，AE＝，则的值是；（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE 和BD，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．解：（1）∵DE∥BC，∴＝＝＝；故答案为：；（2）的值不变化，值为；理由如下：由（1）得：DE∥B，∴△ADE∽△ABC，∴＝，由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝；（3）作AE⊥CD于E，DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图3所示：则四边形DMCN是矩形，∴DM＝CN，DN＝MC，∵∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，∴＝，＝，∴＝，∴AE＝AD＝×3＝，DE＝AE＝，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣＝，∴AC＝＝＝，∴BC＝AC＝，∵△ACD的面积＝AC×DM＝CD×AE，∴CN＝DM＝＝，∴BN＝BC+CN＝，AM＝＝＝，∴DN＝MC＝AM+AC＝，∴BD＝＝＝．10．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝7cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．11．如图，在直角坐标系中，长方形ABCD（每个内角都是90°）的顶点的坐标分别是A （0，m），B（n，0），（m＞n＞0），点E在AD上，AE＝AB，点F在y轴上，OF＝OB，BF的延长线与DA的延长线交于点M，EF与AB交于点N．（1）试求点E的坐标（用含m，n的式子表示）；（2）求证：AM＝AN；（3）若AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，动点P从B出发，以2cm/s的速度沿BC向C运动的同时，动点Q从C出发，以vcm/s的速度沿CD向D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v值；若不存在，请说明理由．解：（1）过E作EG⊥AO于G．∵∠EGA＝∠EAB＝∠AOB＝90°，∴∠EAG+∠AEG＝90°，∠EAG+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠AEG，∵AE＝AB，∴△EGA≌△AOB（AAS），∴EG＝OA＝m，AG＝OB＝n∴E（m，m+n）．（2）∵OB＝OF，∠BOF＝90°，∴∠OFB＝∠OBF＝45°，∵△EGA≌△AOB，∴AG＝OB＝OF，∴OA＝FG＝EG，∴∠GFE＝45°，∴∠EFB＝90°，∴∠NAE＝∠NFB＝90°，∵∠ANE＝∠FNB，∴∠AEN＝∠ABM，∵∠EAN＝∠BAM＝90°，EA＝BA，∴△EAN≌△BAM（ASA），∴AN＝AM．（3）如图，∵△ABP与△PCQ全等，∠ABP＝∠PCQ＝90°∴有两种情形：①当AB＝CD，PB＝CP时，t＝＝5（s），∴v＝（cm/s），②当AB＝PC，CQ＝PB时，PB＝20﹣12＝8，∴t＝＝4（s），∴v＝＝＝2（cm/s）．12．已知，如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．（1）DE的长为5．（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；否则，说明理由．解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC在Rt△DCE中，DE＝＝＝5故答案为5．（2）若△ABP与△DCE全等∴BP＝CE或AP＝CE当BP＝CE＝3时，则t＝＝3秒当AP＝CE＝3时，则t＝＝13秒∴求当t为3秒或13秒时，△ABP和△DCE全等．（3）若△PDE为等腰三角形则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE当PD＝DE时，∵PD＝DE，DC⊥BE∴PC＝CE＝3∵BP＝BC﹣CP＝3∴t＝＝3当PE＝DE＝5时，∵BP＝BE﹣PE∴BP＝9﹣5＝4∴t＝＝4当PD＝PE时，∴PE＝PC+CE＝3+PC∴PD＝3+PC在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2∴PC＝∵BP＝BC﹣PC∴BP＝∴t＝＝综上所述：当t＝3秒或4秒或秒时，△PDE为等腰三角形．13．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，ED平分∠BEC交BC于点D，F 在DE延长线上且AF＝AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）如图2，若四边形ACEF是菱形，连接FC，BF，FC与AB交于点H，连接DH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形．（1）证明：∵∠ACB＝90°，E是BA的中点，∴CE＝AE，∵AF＝AE，∴AF＝CE，∵ED平分∠BEC，∴∠1＝∠2，∵AF＝AE，∴∠F＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠F，∴CE∥AF，又∵CE＝AF，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：△AFE，△AEC，△HDC，△CFB．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点O是边AC的中点．（1）在图1中，将△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A1B1C1，使边A1B1经过点C．求n的值．（2）将图1向右平移到图2位置，在图2中，连结AA1、AC1、CC1．求证：四边形AA1CC1是矩形；（3）在图3中，将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A2B2C2，使边A2B2经过点A，连结AC2、A2C、CC2．①请你直接写出m的值和四边形AA2CC2的形状；②若AB＝，请直接写出AA2的长．（1）解：如图1中，由旋转可知：△A1B1C1≌△ABC，∴∠A1＝∠A＝30°，∵OC＝OA，OA1＝OA，∴OC＝OA1，∴∠OCA1＝∠A1＝30°，∴∠COC1＝∠A1+OCA1＝60°，∴n＝60°．（2）证明：如图2中，∵OC＝OA，OA1＝OC1，∴四边形AA1CC1是平行四边形，∵OA＝OA1，OC＝OC1，∴AC＝A1C1，∴四边形AA1CC1是矩形．（3）如图3中，①∵OA＝OA2，∴∠OAA2＝∠OA2A＝30°，∴∠COC2＝∠AOA2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴m＝120°，∵OC＝OA，OA2＝OC2，∴四边形AA2CC2是平行四边形，∵OA＝OA2，OC＝OC2，∴AC ＝A 2C 2，∴四边形AA 2CC 2是矩形．②∵AC ＝A 2C 2＝AB •cos30°＝4×＝6，∴AA 2＝A 2C 2•cos30°＝6×＝3． 15．在平面直角坐标系中，A （0，1），B （5，0）将线段AB 向上平移到DC ，如图1，CD 交y 轴于点E ，D 点坐标为（﹣2，a ）（1）直接写出点C 坐标（C 的纵坐标用a 表示）；（2）若四边形ABCD 的面积为18，求a 的值；（3）如图2，F 为AE 延长线上一点，H 为OB 延长线上一点，EP 平分∠CEF ，BP 平分∠ABH ，求∠EPB 的度数．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵点A 向上平移a ﹣1个单位，向左平移2个单位得到点D ，∴点B （5，0）向上平移a ﹣1个单位，向左平移2个单位得到点C ，∴C （3，a ﹣1）．（2）如图1中，如图1中，作DH ⊥x 轴于H ．连接CH ，AH ．∵S 平行四边形ABCD ＝S △CDH +S △CBH ﹣S △ADH ﹣S △AHB ，∴•a•5+×7•（a﹣1）﹣•a•2﹣×7×1＝18，解得a＝5．（3）如图2中作AM∥EP交BP于M．∵EC∥AB，∴∠FEC＝∠F AB，∵PE∥AM，∴∠FEP＝∠F AM，∵EP平分∠FEC，∴∠FEP＝∠FEC，∴∠F AM＝∠F AB，∵BP平分∠ABH，∴∠ABP＝∠ABH，∴∠MAB+∠ABM＝（∠F AB+∠ABH）＝（∠AOB+∠ABO+∠OAB+∠AOB）＝（180°+90°）＝135°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝45°，∵AM∥PE，∴∠EPB＝∠AMB＝45°．。
人教中考数学培优(含解析)之平行四边形附答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：S△ABC=12BC•AD=12AB•CE．从而得2AD=CE，∴12 AD CE请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在▱ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA•PB=2AB．（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B，AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求△DEM与△CEN的周长之和．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．同理：EM+EN=AB详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABF=S▱ABCD，S△BCE=S▱ABCD，∴S△ABF=S△BCE，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH，∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH，∴OB平分∠AOC，（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC，∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB，∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB，∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB，∴AB=AP×PB，即：PA•PB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B，∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2，∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），∴DE+CE=AF=5，在Rt△ADE中，点M是AE的中点，∴AE=2DM=2EM，同理：BE=2CN=2EN，∵AB=AE+BE，∴2DM+2CN=AB，∴DM+CN=AB，同理：EM+EN=AB ∴△DEM与△CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN=（DE+CE）+[（DM+CN）+（EM+EN）]=（DE+CN）+AB=5+．点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系．2．已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由：∵△DOE≌△BOF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵∠EOD=90°，∴EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，FBC BFDDCB CDFDE EC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB223BD AD-，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF22AB AF+3．4．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=12MC，∴EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．5．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE＝BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE＝AE＝BE，∵AE＝BD，∴DE＝BD＝BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB＝∠DBE＝60°，∵AB∥DC，∴∠DBC＝∠DBE＝60°，∴∠EDF＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度6．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，分别延长AC至E，BC至F，且CE＝EF，延长FE交AD的延长线于G．（1）求证：AE＝EG；（2）如图2，分别连接BG，BE，若BG＝BF，求证：BE＝EG；（3）如图3，取GF的中点M，若AB＝5，求EM的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5 2【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：∠CAD＝∠G，可得AE＝EG；（2）作辅助线，证明△BEF≌△GEC（SAS），可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建平行线，证明四边形DMEN是平行四边形，得EM＝DN＝12AC，计算可得结论．【详解】证明：（1）如图1，过E作EH⊥CF于H，∵AD⊥BC，∴EH∥AD，∴∠CEH＝∠CAD，∠HEF＝∠G，∵CE＝EF，∴∠CEH＝∠HEF，∴∠CAD＝∠G，∴AE＝EG；（2）如图2，连接GC，∵AC ＝BC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AG 是BC 的垂直平分线，∴GC ＝GB ，∴∠GBF ＝∠BCG ，∵BG ＝BF ，∴GC ＝BE ，∵CE ＝EF ，∴∠CEF ＝180°﹣2∠F ，∵BG ＝BF ，∴∠GBF ＝180°﹣2∠F ，∴∠GBF ＝∠CEF ，∴∠CEF ＝∠BCG ，∵∠BCE ＝∠CEF+∠F ，∠BCE ＝∠BCG+∠GCE ，∴∠GCE ＝∠F ，在△BEF 和△GCE 中，CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△GEC （SAS ），∴BE ＝EG ；（3）如图3，连接DM ，取AC 的中点N ，连接DN ，由（1）得AE＝EG，∴∠GAE＝∠AGE，在Rt△ACD中，N为AC的中点，∴DN＝1AC＝AN，∠DAN＝∠ADN，2∴∠ADN＝∠AGE，∴DN∥GF，在Rt△GDF中，M是FG的中点，∴DM＝1FG＝GM，∠GDM＝∠AGE，2∴∠GDM＝∠DAN，∴DM∥AE，∴四边形DMEN是平行四边形，∴EM＝DN＝1AC，2∵AC＝AB＝5，∴EM＝5．2【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助线，并熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．7．（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8或16﹣8【解析】【分析】（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC 垂直平分BD；（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．【详解】（1）∵AB=AD，CB=CD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，故答案为：AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形．理由：如图2，连接AF，∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，∴AF=CF=BF，又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，∴AD=DB，AE=CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，又∵∠BAC=90°，∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，∴四边形AMFN是矩形；（3）BD′的平方为16+8或16﹣8．分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，由旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠EAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴D'E=AD'=，AE=，∴BE=2+，∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，如图所示：过B作BF⊥AD'于F，旋转可得，∠DAD'=60°，∴∠BAD'=30°，∵AB=2=AD'，∴BF=AB=，AF=，∴D'F=2﹣，∴Rt△BD'F 中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8综上所述，BD′平方的长度为16+8或16﹣8．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．8．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒，又∵OC BE ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠，∴COE COA ∠=∠，又∵OC=OC ，OA=OE ，∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒，又∵AB 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形，∴OF=OB=BF=EF ，∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形，∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥，∴30D ∠=︒．故答案为30．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.9．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BC仍然成立；（3）EF=BC【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可．试题解析：（1）连接AH，如图1，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，∴AH==BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF⊥BC，EF=BC；（3）如图3，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=BC，OH=HF，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=kBC，AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC）2=（k2-）BC2，∴AH=BH=BC，∵OA=AE，OH=HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH=EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，BC=EF，∴EF=BC．考点：四边形综合题．10．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．证明见解析；【解析】试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90°，利用HL即可证明；（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90°，所以有△ABM≌△AFN，从而得AB=AF，因此当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC．∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四边形AMCN是平行四边形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN．（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°．∴∠BAD－∠NAM＝∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形．考点：1．矩形的性质；2．三角形全等的判定与性质；3．菱形的判定．。
中考数学一轮培优第四节 代数式及整式(含因式分解).pptm.
四川其他地市真题
10．(2019达州8题3分)a是不为1的有理数，我们把 1 称为a的差倒数，如2的差倒
1a
数为
1 1
2＝－1，－1的差倒数为
1＝ 1 （-1）
1 2
，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2
的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，a2019的值是( D )
A. 5 B. － 1 C. 4
公式法
a2-b2 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 _(_a_＋___b_)_·_(_a_－___b_)_ a2±2ab+b2 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 _(_a_±___b_)_2
1.如果多项式各项有公因式，应先提取公因式 2.如果各项没有公因式，考虑用公式法：若含有两项且符号相反， 用平方差公式;若含有三 项，用完全平方公式 3.检查因式分解是否彻底
D. 4
4．(2018绵阳17题3分)已知a>b>0，且
2 a
1 b
b
3
a
＝0，则
b a
3－1 ＝___2_____．
四川其他地市真题
5．(2018乐山8题3分)已知实数a，b满足a＋b＝2，ab＝ 3 ，则a－b＝( C )
A. 1
B. － 5 C. 5 D. ±1
4
2
2
6．(2019雅安7题3分)若a∶b＝3∶4，且a＋b＝14，则2a－b的值是( A )
3 a b c －1
2…
命题点 2 整式的相关概念(绵阳：2019.15)
13．(2019绵阳15题3分)单项式x－|a－1|y与 2x b1 y是同类项，则ab＝__1____．
命题点 3 整式的运算(绵阳：4考；眉山：必考)
2021年中考复习数学专题训练：《圆周角定理》选择题专项培优(四)
中考复习数学专题训练：《圆周角定理》选择题专项培优（四）1．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°2．如图，AC、BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的直径是（）A．2 B．4 C．D．23．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD＝CB，CD与AB交于点E，连接OD，若∠AOD＝80°，则∠B的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°4．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（）A．33°B．57°C．67°D．66°5．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°9．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠A＝∠B＝20°，则∠AOB等于（）A．40°B．60°C．80°D．100°10．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（）A．26°B．38°C．52°D．64°11．如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°12．如图，AB为⊙O直径，已知圆周角∠BCD＝30°，则∠ABD为（）A．30°B．40°C．50°D．60°13．如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（）A．70°B．110°C．120°D．140°14．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（）A．2 B．C．1 D．15．如图，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°16．如图，⊙O中，∠ABC＝45°，则∠AOC等于（）A．55°B．80°C．90°D．135°17．如图，⊙O上A、B、C三点，若∠B＝50°，∠A＝20°，则∠AOB等于（）A．30°B．50°C．70°D．60°18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C＝5：7，则∠C＝（）A．210°B．150°C．105°D．75°20．下列语句中，正确的是（）①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①②B．②③C．②④D．④21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°22．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A．1：3：2：4 B．7：5：10：8 C．13：1：5：17 D．1：2：3：4 23．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是（）A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2 24．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：5，则∠D等于（）A．60°B．120°C．140°D．150°25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在边CD的延长线上，若∠ABC＝110°，则∠ADE的度数为（）A．55°B．70°C．90°D．110°参考答案1．解：∵半径为R，长度为R的弦，∴这条弦和两条半径组成了一个等边三角形，∴该弦所对的圆心角是60°，①当圆周角的顶点在优弧上时，得此圆周角等于30°；②当圆周角的顶点在劣弧上，得此圆周角等于150°．故选：B．2．解：连接OB，作OE⊥BC于E，如图所示：∵∠A＝∠CDB＝60°，∠ACB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∴BC＝AC＝2，∠OBE＝30°，∵OE⊥BC，∴BE＝BC＝，∴OE＝BE＝1，OB＝2OE＝2，∴⊙O的直径＝2OB＝4；故选：B．3．解：连接BD，∵∠AOD＝80°，∴∠OBD＝∠AOD＝40°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣80°＝100°，∴＝50°，∵DC＝CB，∴∠CDB＝∠CBD＝＝65°，∴∠CBA＝∠CBD﹣∠OBD＝65°﹣40°＝25°．故选：B．4．解：连结CD，如图，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，而∠DBC＝33°，∴∠D＝90°﹣33°＝57°，∴∠A＝∠D＝57°．故选：B．5．解：连接OB，OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°．故选：B．6．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．7．解：∵OB＝OC∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°故选：B．8．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．9．解：连接OC．∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，同理，∠A＝∠ACO∴∠ACB＝∠A+∠B＝40°，∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．故选：C．10．解：连接OC，如图，∵∠A＝26°，∴∠BOC＝2∠A＝52°，∵AB⊥CD，∴∠OCD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣52°＝38°，∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD＝38°．故选：B．11．解：∵BC＝CD，∴＝，∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝35°，∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣45°＝65°．故选：C．12．解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠BCD＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°．故选：D．13．解：作所对的圆周角∠ADB，如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．故选：D．14．解：∵OD⊥弦BC，∴∠BDO＝90°，∵∠BOD＝∠A＝60°，∴OD＝OB＝1，故选：C．15．解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB＝90°，又∵AB＝2，弦AC＝1，∴sin∠CBA＝，∴∠CBA＝30°，∴∠A＝∠D＝60°，故选：C．16．解：∵∠ABC与∠AOC是一条弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×45°＝90°．故选：C．17．解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠B＝50，∠A＝20°，∴∠ACB＝∠AOB．∴180°﹣∠AOB﹣∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B，即180°﹣∠AOB﹣20°＝180°﹣∠AOB ﹣50°，解得∠AOB＝60°．故选：D．18．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．19．解：∵∠A+∠C＝180°，∠A：∠C＝5：7，∴∠C＝180°×＝105°．故选：C．20．解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．21．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．22．解：A、1+2≠3+4，所以A选项不正确；B、7+10≠5+8，所以B选项不正确；C、13+5＝1+17，所以C选项正确；D、1+3≠2+4，所以D选项不正确．故选：C．23．解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：3：1：2．故选：C．24．解：∵四边形ABCD圆内接四边形，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：5：4，∴∠D＝180°×＝120°．故选：B．25．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADE＝∠ABC＝110°，故选：D．。
2009年中考数学综合训练试题(四)及答案
2009年中考复习数学综合训练试题（四）(考试时间120分钟，满分：150分)姓名：班级：学号.一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内.1.21−＝（）A．21−B．21C．2−D．22.若23(2)0m n −++=，则2m n +的值为（）A．4−B．1−C．0D．43.2008年5月12日，在我国四川省汶川县发生里氏8.0级强烈地震．面对地震灾害，中央和各级政府快速作出反应，为地震灾区提供大量资金用于救助和灾后重建，据统计，截止5月31日，各级政府共投入抗震救灾资金22600000000元人民币，226000000000用科学记数法表示为（）A．1022.610×B．112.2610×C．102.2610×D．822610×4.下列说法中，不正确...的是()．A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法.B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一.C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度.D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差.5.已知圆锥的侧面积为8πcm 2,侧面展开图的圆心角为45,则该圆锥的母线长为（）Ａ.8cm B.64cmC.22cmD.42cm 6.一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的（）Ａ.只有图①Ｂ．图①、图②Ｃ．图②、图③Ｄ．图①、图③③②①BCDa=，则a的取值范围是（）A．0a≤B．0a<C．01a<≤D．0a>8.已知△ABC的三边之比为3∶4∶5，如果△ABC∽△A1B1C1，且△A1B1C1的最短边长为6，那么△A1B1C1的周长为（）A.36B.24C.18D.129.下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A.水中捞月B.拔苗助长C.守株待免D.瓮中捉鳖10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）A B C D二、填空题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）请将答案直接填写在题后的横线上.11.方程x+1=0的解是．12.分解因式：21x−=．13.不等式：xx<−64的解集是．14.如图，梯形ABCD中，AD BC∥，90C∠=o，4AB AD==，6BC=，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是．15.如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是．°16.若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为（结果保留根号的形式）17.分式方程3221+=xx的解为.18.在一次爱心捐款活动中，九年级2班的50名同学人人拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的.小军将20元44%10元20%50元16%100元12%5元8%4132EPDCBA10本班的捐款情况收集整理后制成了下统计图，那么该班同学平均每人捐款元.19.用同样大小的黑色围棋棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，那么第n 个图形需围棋棋子枚（用含n 的代数式表示）.第1个图2个图3个图…20.如图，在Rt△ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ;②△ABE ∽△ACD ;③BE DC DE +=;④222BE DC DE +=其中正确的是.三、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分）解答下列各题时必须给出必要的演算过程或推理步骤.21.(每小题5分，共10分)⑴计算：20)21(8)21(3−−+−+−⑵解方程：0122=+−x x 22.(10分)正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图①、图②补成既是..轴对称图形，又是..中心对称图形，并画出..一条对称轴；把图③补成只是..中心对称图形，并把中心标上..字母P ．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）BCDEFA图图23.（10分）先化简，再求值：)252(23−−+÷−−x x x x ，其中x ＝6－3.24.(10分）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数xky =的图象上．（1）求m，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．25.(10分）在一个纸箱中装有5个只有颜色不同的小球，其中2个白球，3个红球．（1）求从箱中随机取出一个球是白球的概率是多少？（2）若往装有5个球的原纸箱中，再放入x个白球和y个红球，从箱中随机取出一个白球的概率是13，请你写出y与x的关系式．26.(10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F．⑴求证：CF=AD；⑵若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？AEBCF D四、解答题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）解答下列各题时必须给出必要的演算过程或推理步骤.27.(10分）商场正在销售“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，已知购买1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；购买2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元.（1）一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格各是多少元？（2）某公司准备购买这两种奥运商品共20盒送给幼儿园（要求每种商品都要购买），且购买总金额不能超过450元，请你帮公司设计购买方案.28.(10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？（编：蔡春洪审：余华海）参考答案一、选择题1.B 2.B 3.B4.A5.Ａ6.Ｄ7.C8.B9.D10.C二、填空题11.x＝-112.（x+1）（x-1）13.x＜214.4π15.130°16.33417.x＝118.31．219.1+3n20.①④三、解答题21.⑴.22⑵.1x ＝2x ＝122.23.原式=31+x ，当x=6－3，原式=6624.（1）m=3，k=12（2）直线MN 的函数表达式：y=-32x±225.（1）取出一个白球的概率P=52．(2)∵取出一个白球的概率25xP x y+=++，∴3152=+++y x x ．∴x y x 365+=++，即：12+=x y ．∴y 与x 的关系式是12+=x y （x 为正整数）．26.（1）证明：∵AD∥BC∴∠F＝∠DAE 又∵∠FEC＝∠AEDCE＝DE∴△FEC≌△AED ∴CF＝AD（2）当BC＝6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上其理由是：∵BC＝6，AD＝2，AB＝8∴AB＝BC＋AD又∵CF＝AD，BC＋CF＝BF ∴AB＝BF∴点B 在AF 的垂直平分线上.四、解答题27.（1）设一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别为x 元和y 元.依题意，得⎩⎨⎧=+=+280321452y x y x 解得⎩⎨⎧==10125y x （2）设购买“福娃”玩具m 盒，则购买徽章（20-m ）盒125m +10（20-m ）≤450m ≤2.17m 可取1，2方案一：购买“福娃”玩具1盒，徽章19盒，需315元；方案二：购买“福娃”玩具2盒，徽章18盒，需430元.28.（1）设抛物线的表达式为2y ax =点(6 5.6)B −，在抛物线的图象上．∴ 5.636a−=745a =−∴抛物线的表达式为：2745y x =−（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点，D 点坐标为（k ，t ）已知窗户高1.6m，∴ 5.6( 1.6)4t=−−−=−27445k −−=125.07 5.07k k −≈，≈（舍去）∴ 5.07210.14CD =×≈（m）又设最多可安装n 扇窗户∴1.50.8(1)10.14n n ++≤∴ 4.06n ≤．答：最多可安装4扇窗户．（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）。
2022年中考数学总复习考点培优 第四章三角形 第5节等腰三角形与直角三角形
1.(2021·内蒙古赤峰)如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD＝CE.
若∠ABC＝30°,则∠D的度数为( B )
A.85°
B.75°
C.65°
D.30°
第1题图
基础过关
能力提升
-2-
4.5 等腰三角形与直角三角形
2.(2021·辽宁大连)如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠BAC＝α,
3
CF＝2,则CG的长为 2 .
基础过关
能能力力提提升升
基础过关
能力提升
-10-
4.5 等腰三角形与直角三角形
8.(2021·杭州)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线BD交AC边于 点D,AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°,∠C＝45°. (1)求证:AB＝BD; (2)若AE＝3,求△ABC的面积.
基础过关
能力提升
-11-
4.5 等腰三角形与直角三角形
基础过关
能力提升
-8-
4.5 等腰三角形与直角三角形
7.如图,AC⊥BC,垂足为 C,AC＝4,BC＝3 3,将线段 AC 绕点 A 按 逆时针方向旋转 60°,得到线段 AD,连接 CD,BD.
(1)线段 CD＝ 4 ;
(2)线段 BD＝ 7 .
基础过关
能力提升
-9-
4.5 等腰三角形与直角三角形
2
D.4 5
基础过关
能能力力提提升升
-16-
4.5 等腰三角形与直角三角形
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,AD＝BC,AB＝CD, 由折叠的性质得∠EFC＝∠AEF＝∠AFE,∴AE＝AF＝5, FC＝AF,OA＝OC,∴BC＝3+5＝8. 在 Rt△ABF 中,AB＝ 52－32＝4, 在 Rt△ABC 中,AC＝ 42+82＝4 5,∴OA＝OC＝2 5.
【中考数学培优专题】专题4“点动成线”之一次函数(教师版)
专题4“点动成线”之一次函数知识要点1．理解一次函数y＝kx＋b中的参数k与b的意义，以及一次函数和一元一次方程、一元一次不等式的关系．2．理解一次函数图象与参数（k与b）的取值之间的对应关系及其变化规律．3．理解一次函数图象上点的坐标特征与意义，在本专题中灵活应用“数形结合”数学思想．【知识点拨】1．对于一次函数（或直线）y＝kx＋b．⑴改变常数k时，其图象（直线）恒经过点________，相当于直线绕点________旋转；⑵改变常数b时，其图象（直线）恒与直线________平行，相当于将直线________进行上下平移，因此解析式中的k，b的值的变化问题，对应于直线的平移和旋转问题．2．相关定点问题：⑴不论k为何值，直线y＝kx＋4均经过一定点，这个定点坐标为________；⑵不论k为何值，直线y＝kx＋k＋4＝k（x＋1）＋4均经过一定点，这个定点坐标为________．【参考答案】1．⑴（0，b）（0，b）⑵y＝kx y＝kx2．⑴（0，4）⑵（－1，4）典例赏析类型一直线的相交与方程、不等式的关系例1如图4－1，已知直线l：y＝x＋n＋2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，3），D（1，3），若直线l与矩形ABCD的边相交，求n的取值范围．【分析】画出相应的符合条件的图（如图4－2），从图中不难得到：由于直线l是由直线y ＝x（一三象限角平分线）上下平移得到的，因此只需将两“极端点”B和D代入直线l的解析式，求出相应的n的值，即可得到n的取值范围．【解】当直线l 经过B 点时，1＝4＋n ＋2，解得n ＝－5；当直线l 经过D 点时，3＝1＋n ＋2，解得n ＝0．∴当直线l 与矩形ABCD 的边相交时，－5≤n ≤0．【点评】由于直线l 的特殊性，可以通过数形结合，从直线与矩形间的“形”的关系，探索出“量”的关系，这也是函数类（特别是含参娄）试题的常用解题方法．拓展与变式1如图4－3，已知直线l ：y ＝（m －1）x ＋n ＋2，矩形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （4，1），C （4，3），D （1，3）．⑴当n ＝－3时，若直线l 与矩形ABCD 的边相交，则m 的取值范围为________；⑵如图4－4，连接OB ，若直线l 将矩形ABCD 的面积平分，且与线段OB 相交，则m 的取值范围为________；⑶若直线l 继续过点C ，则随着m ，n 的值的变化，点M （2m －3，1＋2n ）会在相应的一个函数图象上运动，度确定这个函数的解析式；⑷如图4－5，作直线AC ，若直线l 经过点B ，N 是直线l 上的动点，过点N 作直线NE ∥y 轴交直线AC 于点E ．设N （a ，b ），E （c ，d ），当a ≤6时，恒有b ≤d ，当a ≥6时，恒有b ≥d ，求直线l 的解析式．【答案】⑴1.5≤m ≤5⑵1935m ≤≤⑶把C （4，3）代入直线l 的解析式y ＝（m －1）x ＋n ＋2，得3＝4（m －1）＋n ＋2，整理，得n ＝－4m ＋5，∴()121245811M y n m m =+=+-+=-+．由23M x m =-，得23M m x =+，代入811M y m =-+，得()811431141M M M y m x x =-+=-++=--，∴点M （2m －3，1＋2n ）的坐标满足y ＝－4x －1．因此，随着m ，n 的值的变化，点M 必在直线y ＝－4x －1上运动．⑷画出符合题意的图（如图D 4－1），由点A （1，1），C （4，3）可求得直线AC 为2133y x =+．当x ＝6时，133y =，得直线AC 和直线l 的交点F 的坐标为1363,⎛⎫ ⎪⎝⎭．依题意，当直线l 经过点1363F ,⎛⎫ ⎪⎝⎭时，符合“当a ≤6时，恒有b ≤d ，当a ≥6时，恒有b ≥d ”，分别将B （4，1）和交点1363,⎛⎫ ⎪⎝⎭代入直线解析式，可得到直线l 的解析式为51733y x =-．类型二直线上的点的特征与参数的取值例2若直线y ＝kx ＋k ＋1经过点（m ，n ＋3）和（m ＋1，2n －1），且0＜k ＜2，则n 的值可以是（）．A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据题意，可将点（m ，n ＋3）和（m ＋1，2n －1）分别代入y ＝kx ＋k ＋1，得n ＋3＝km ＋k ＋1，2n －1＝km ＋2k ＋1，因题目所给条件与结论均与m 的取值无关，因此将m 消去可以得到n 与k 的关系，结合已知条件“0＜k ＜2”，进行k 到n 的转化．【解】依题意，得()312111n km k n k m k +=++⎧⎪⎨-=+++⎪⎩，即312121n km k n km k +=++⎧⎨-=++⎩①②由②－①，得n －4＝k ，∵0＜k ＜2，得0＜n －4＜2，4＜n ＜6．故本题应选C ．【点评】此题主要考查了一次函数背景下的点的坐标特征、参数的取值范围的确定，难度不大，但考查的隐藏知识点和解题技巧、试题本身特点（解析式与点的构造），值得深思与借鉴．拓展与变式2已知直线y ＝kx ＋k ＋1经过点（2m ，n ＋3）和（m ＋1，1－3n ），且0＜n ＜2，求k 的取值范围．【答案】依题意，得3211321n km k n km k +=++⎧⎨-=++⎩①②由②×2－①得－7n －1＝3k ＋1，即327k n +=-．代入0＜n ＜2，得32027k +<-<，解得16233k -<<-．拓展与变式3已知直线y ＝kx －2m ＋1经过点（2，5）和（0，2n －1），且0＜n ＜2，求k 的取值范围．【答案】依题意得52212121k m n m =-+⎧⎨-=-+⎩①②将②整体代入①得5＝2k ＋2n －1，n ＝3－k ，代入0＜n ＜2得1＜k ＜3．拓展与变式4若不论k 为何值，直线y ＝（2k －1）x ＋k ＋1均经过一定点，求这个定点坐标．【答案】解法一：将原解析式化简，得y ＝k （2x ＋1）－x ＋1，即y ＋x －1＝k （2x ＋1），依题意，得10210y x x +-=⎧⎨+=⎩解得1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求的定点坐标为1322,⎛⎫- ⎪⎝⎭．解法二：分别取k ＝0和1，得两直线方程，联立解得此时两直线交于点1322,⎛⎫- ⎪⎝⎭，验证直线y ＝（2k －1）x ＋k ＋1，当12x =-时，32y =，∴所求的定点坐标为1322,⎛⎫- ⎪⎝⎭．对接中考【同步练习】1．已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2:y ＝kx ＋b （k ≠0）在第一象限交于点M ，若直线l 2与x 轴的交点为A （－2，0），则k 的取值范围为（）．A ．－2＜k ＜2B ．－2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜2【答案】D2．定义：直线y ＝ax －b 与直线y ＝bx －a 互为“反对换直线”．如：直线y ＝2x －1与直线y ＝x －2互为“反对换直线”．⑴若点M （m ，3）在直线y ＝－x ＋2的“反对换直线”上，则m ＝________．⑵对于直线y ＝ax －b 上的任意一点M （m ，n ），都有点N （2m ，m －3n ）在它的“反对换直线”上，求直线y ＝ax －b 的解析式．【答案】⑴点M 在y ＝－2x ＋1上，3＝－2m ＋1，m ＝－1．⑵解法一：∵点M （m ，n ）在直线y ＝ax －b 上，∴n ＝am －b ．对于点N （2m ，m －3n ），有x ＝2m 且y ＝m －3n ＝m －3（am －b ）＝（1－3a ）m ＋3b ，消元得，1332a y x b -=+，即点N 恒在直线1332a y xb -=+上．又∵点N 恒在直线y ＝ax ＋b 的反对换直线y ＝bx －a 上，∴1323a b b a -⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得3717a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴所求直线的解析式为3177y x =-．解法二：易知直线y ＝ax －b 过()10M ,b -，则对应点()103N ,b 在直线y ＝bx －a 上，代入得a＝－3b ，直线y ＝ax －b ＝－3bx －b ，可知过2103M ,⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点22133N ,⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线y ＝bx －a ＝bx ＋3b 上，解得17b =-，37a =．∴所求直线的解析式为3177y x =-．【压轴挑战】3．已知点A （m ，n ），B （p ，q ）（m ＜p ）在直线y ＝kx ＋b 上．⑴若m ＋p ＝2，2264n q b b +=++，试比较n 和q 的大小，并说明理由；⑵若k ＜0，过点A 与x 轴平行的直线和过点B 与y 轴平行的直线交于点C （1，1），AB ＝5，且△ABC 的周长为12，求k ，b 的值．【答案】⑴∵点A （m ，n ），B （p ，q ）在直线y ＝kx ＋b 上．∴n ＝km ＋b ，q ＝kp ＋b ．∴n ＋q ＝k （m ＋p ）＋2b ．∵m ＋p ＝2，∴226422b b k b ++=+．∴()2222110k b b b =++=++>．又∵()()0n q k m p m p -=-<<，∴n ＜q ．⑵∵AC ∥x 轴，BC ∥y 轴，C （1，1），∴n ＝1，p ＝1.∴A （m ，1），B （1，q ），有1＝km ＋b ，q ＝k ＋b ，联立得1－q ＝k （m －1）．∵k ＜0，m ＜p ＝1，m －1＜0，∴1－q ＞0．∴q ＜1，m ＜1，∴AC ＝1－m ，BC ＝1－q .∴()()()()22112511512m q m q ⎧-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎩，整理得2560m m ++=，解得12m =-，23m =-．当12m =-时，13q =-此时A （－2，1），B （1，－3），代入直线y ＝kx ＋b 得143k =-，153b =-；当23m =-时，22q =-此时A （－3，1），B （1，－2），代入直线y ＝kx ＋b 得234k =-，254b =-；综上所述，当143k =-时，153b =-；当234k =-时，254b =-．。
2020年中考数学专题培优平行四边形综合运用培优
2020中考数学 平行四边形综合运用培优一、单选题（共有9道小题）1.如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是( )A ．AE ＝EFB ．AB ＝2DEC ．△ADF 和△ADE 的面积相等D ．△ADE 和△FDE 的面积相等2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A ．20B ．24C ．40D ．483.矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）cm ． A.12 B.10 C.7.5 D.54.下列命题的逆命题不正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线互相平分B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．对顶角相等5.如图，下列哪个条件能使□ABCD 成为菱形的（ ）①AC ⊥BD ②AB ∥CD ③AB=BC ④AB=CDA. ①③B.②③C.③④D.①②③ 6.如果三角形的两边长分别是方程28150x x -+=的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A ．5.5B ．5C ．4.5D ．47.在数学课上，某学习小组采取了一下方法判断一个四边形是不是矩形，正确的是（ ） A ．测量对角线是否互相平分BF CADEOABCDA BCDB ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角线是否互相垂直D ．测量其中三个角是否都为直角8.如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界)，设1＝PADθ∠，2＝PBA θ∠，3＝PCB θ∠，4＝PDC θ∠，若∠APB ＝80°，∠CPD ＝50°，则( )A ．1423()()30＋－＋＝θθθθ︒B ．2413()()40＋－＋＝θθθθ︒C ．1234()()70＋－＋＝θθθθ︒D ．1234()()180＋＋＋＝θθθθ︒9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB=BC 时，它是菱形B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=90°时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正方形二、填空题（共有7道小题）10.折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上，若AB ＝AD ＋2，EH ＝1，则AD ＝ ．11.如图，E 是矩形ABCD 中BC沿AE 折叠到△AEF ，F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交DC 于G 点，若∠AEB=550, 则∠DAF=12.四边形ABCD 是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm ，则∠ABD 的度数为_____，•∠DAB 的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD 的面积为_____OD B A13.菱形的两条对角线分别是方程214480x x -+=的两实根，则菱形的面积为 14.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=8cm ，BD=6cm ，DH 垂直AB 于点H ，则DH= 。
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中考数学培优综合训练（四）
1.若不等式组20
0x b x a -⎧⎨+⎩
≥≤的解集为34x ≤≤，则不等式a x + b < 0的解集为 .
2.在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a △b =2a －b .已知不等式x △k ≥1的解集在
数轴上如图表示，则k 的值是
1
–1
–2 x
y
E
O
D
C
A
B
第2题图 3题图
3.如图，△ACE 是以□ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称.若E 点的坐标是（7，－33），则D 点的坐标是 .
4.甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m ，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n 。
若m 、n 满足1m n -≤，则称甲、乙两人“心有灵犀”。
则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 .
5.如右图，在边长为3的正方形ABCD 中，圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 分别与DA 、DC 边相切，圆2O 分别与BA 、BC 边相切，则圆心距12O O 为 .
6. 如右图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y ax b a =+≠的图像与反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图像交于二、四象限的A 、B 两点，与x 轴交于C 点。
已知(2,)A m -，(,2)B n -，
2
tan 5
BOC ∠=
，则此一次函数的解析式为 .
7．若抛物线c bx x y ++=2
与x 轴只有一个交点，且过点)(n m A ，，)6(n m B ，+.
则=n .
O
A
y
C
B
x
C
D
O 2
O 1
A
B
8. 小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s （米）与小文出发时间t （分）之间的函数关系如图所示．下列说法： ①小亮先到达青少年宫；
②小亮的速度是小文速度的2.5倍； ③24=a ；④480=b ． 其中正确的是 A ．①②③ B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
9.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y(千米)与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x(小时)之间的 函数关系.请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD 对应的函数解析式.
（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速
度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）. ·
（第8题图）
t /分
9 a 720
O
b
19
15 s /米
H
G F
E D
O
C
B
A
10.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、2y 关于x 的函数图像如右图所示：
（1）根据图像，直接写出1y 、2y 关于x 的函数关
系式； （2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x
的函数关系式；
（3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离.
11. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE =EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H . （1）求证：AH=HD ；
（2）若cos ∠C =4
5
，DF =9，求⊙O 的半径.
y （千米）
x (小时)
10 6 O 600
出租车 客车
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂
AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若25
24
sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
第22题图②
O
P
C
B
A
O
P
第22题图①
C
B
A。