陕西省汉中市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析

陕西省汉中市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故632
33a a d -==-，故选：D ．
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
2．已知,m n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的( )条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】B 【解析】 【分析】
根据充分必要条件的概念进行判断. 【详解】
对于充分性：若αβ⊥，则,m n 可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若//m n ，则,n n αβ⊥⊂，可得αβ⊥，必要性成立. 故选：B 【点睛】
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
3．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16
C ．﹣12＜λ＜0
D ．λ＝﹣12
【答案】D
【解析】 【分析】
分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，2
4
4AB k =+，然后计算，可得结果. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，
联立()
22222
12404y k x k x k x k y x
=-⎧⇒-++=⎨=⎩（
） 则21222
244
2k x x k k
++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以122
4
4x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k
=+
， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

4．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<，
所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
5．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B 满足函数定义，故符合；
对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选B ．
6．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．
1
4
B ．
15
C ．
25
D ．
35
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.
【详解】
由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.
则恰好第三次就停止摸球的概率为51204
p ==. 故选：A. 【点睛】
本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题.
7．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22
π
αβ+=
B ．4
π
αβ+=
C ．4
αβ-=π
D ．22
π
αβ+=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫
==+ ⎪-⎝⎭
,即可求得结
果. 【详解】
2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫
====+ ⎪-+--⎝⎭
，
所以4
π
αβ=+，即4
αβ-=
π
. 故选:C. 【点睛】
本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.
8．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）
A ．
3
B ．
C ．
D 【答案】D 【解析】 【分析】
设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得
sin sin120AB AC
α=︒
，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】
设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，
则AC =CD =
由正弦定理得
sin sin120AB AC α=︒，即sin α=，
从而()cos cos 90sin BCD αα∠=︒+=-=
，
在BCD ∆中，由余弦定理得：21349
923
33
BD =+
+⨯=
，
则BD =
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 9．设i 是虚数单位，若复数5i
2i
()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3
C ．1
D ．1-
【答案】D 【解析】 【分析】
整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【详解】
由题,()()()
()5252112222i i i
a a a i a i i i i -+
=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:D 【点睛】
本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.
10．设不等式组20
00x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满
足不等式2
2
2x y +≤的概率为 A ．
π8
B ．
π4
C ．12π
+
D
【答案】A 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到22
2x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案. 【详解】
画出2000x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≥⎩
所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，
所以AOB 的面积为4，
满足不等式2
2
2x y +≤的点，在区域Ω
为半径的14圆面，其面积为2
π， 由几何概型的公式可得其概率为2==
48
P π
π，
故选A 项.
【点睛】
本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.
11．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，
(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】
解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m|＝|x ﹣m|； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；
∴f （x ）＝2x ﹣1；
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ．
本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小． 12．要得到函数()sin(3)3
f x x π
=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）
A ．向右平移3
π
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π
个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π
个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13
倍 D ．向左平移6
π
个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()'
f
x ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】 依题意()'
553cos 33cos 33sin 33626f
x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，所以由()sin(3)3
f x x π
=+向左平移6
π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.
故选：D 【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于
2
3
且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断．
函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26
ln 2ln 4ln
ln(1)44x f x x x x x
+=+--==-+--， 6
14u x
=-+
-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确； 22
116662'()2482(1)993
f x x x x x x =
+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确； 2116
'()2428
f x x x x x =
+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，
显然1x =是()g x 即
'()f x 的极小值点，④错误．
故答案为：①②③. 【点睛】
本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．
14．经过椭圆2
212
x y +=中心的直线与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂
线，垂足为点E .设直线NE 与椭圆的另一个交点为P .则cos NMP ∠的值是________________． 【答案】0 【解析】 【分析】
作出图形，设点()00,M x y ，则()00,N x y --、()0,0E x ，设点()11,P x y ，利用点差法得出1
2
MN MP k k ⋅=-
，利用斜率公式得出1
2
NP MN k k =，进而可得出1MN MP k k =-，可得出MN MP ⊥，由此可求得cos NMP ∠的值. 【详解】
设点()()0000,0,0M x y x y >>，则()00,N x y --、()0,0E x ，设点()11,P x y ，
则22
002211
121
2
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()22
22
101002x x y y -+-=，即221022
1012y y x x -=--， 即22
10101022
10101012
MP NP
y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-， 由斜率公式得000011222NP NE MN y y k k k x x ==
=⋅=，111222
MP NP MP MN MN MP k k k k k k ⎛⎫∴-==⋅= ⎪⎝⎭，1MN MP k k ∴=-，故MN MP ⊥，
因此，cos 0NMP ∠=. 故答案为：0. 【点睛】
本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 15．已知全集为R ，集合{}
{}2
0,1,0A x x x B =-==-，则A
B =___________.
【答案】{}1,0,1- 【解析】 【分析】
先化简集合A,再求A ∪B 得解. 【详解】 由题得A={0,1}, 所以A ∪B={-1,0,1}. 故答案为{-1,0,1} 【点睛】
本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16．已知等边三角形ABC 的边长为1．2AM MB =,点N 、T 分别为线段BC 、CA 上的动点,则
AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅取值的集合为__________．
【答案】{}6- 【解析】 【分析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出NT ,TM ,MN ,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果. 【详解】
解: 以BC 的中点O 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则()
0,3A ,()1,0B -,()1,0C ,23,3M ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
, 则()
1,3AB =--,()2,0BC =,()
1,3CA =-, 设(),0N t , AT AC λ=,
(0,3)(1,3)(,3(1))OT OA AT OA AC λλλλ=+=+=+-=-,
即点T 的坐标为(,3(1))λλ-,
则()
,3(1)NT t λλ=--,23,3(1)33TM λλ⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭,23,33MN t ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
, 所以AB NT BC TM CA MN ⋅+⋅+⋅
231()(3)3(1)203(1)3t λλλλ⎡⎤⎛⎫
=-⨯-+-⨯-+⨯--+⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
23(1)3633t ⎛⎫⎛⎫
-⨯++⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为: {}6-
【点睛】
本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=
，5sin cos 13
BAC B ∠=∠=，13AB =.
（1）求AC ；
（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）12；（2）12330S = 【解析】 【分析】
（1）根据同角三角函数式可求得cos sin BAC B ∠=∠，结合正弦和角公式求得
()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠，即可求得2
BCA π
∠=
，进而由三角函数
（2）设,,AD x DC y ==根据余弦定理及基本不等式，可求得xy 的最大值，结合三角形面积公式可求得
ADC S ∆的最大值，即可求得四边形ABCD 面积的最大值.
【详解】
（1）5
sin cos 13
BAC B ∠=∠=
， 则由同角三角函数关系式可得2
512cos sin 11313BAC B ⎛⎫∠=∠=-= ⎪⎝⎭
，
则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠
sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠
551212
113131313
=
⨯⨯=+， 则2
BCA π
∠=
，
所以12
sin 131213
AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==
在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得
22144x y xy =++，
由基本不等式22
2x y xy +≥可知1442xy xy -≥，
即48xy ≤，当且仅当x y == 由三角形面积公式可得1
sin 2
ADC S xy ADC ∆=
∠
1
482≤
⨯=1
125302
ACB S ∆=⨯⨯=，
所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =. 【点睛】
本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题. 18．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且3(cos cos )b a B b A =+，8b c +=. （1）求,b c ；
（2）若BC 边上的中线7
2
AD =
，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）6b =，2c =（2）4
ABC
S =
【解析】 【分析】
（1）先由正弦定理，得到sin 3sin B C =，进而可得3b c =，再由8b c +=，即可得出结果； （2）先由余弦定理得2222cos c AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，
2222cos b AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，再根据题中数据，可得231a =，从而可求出cos BAC ∠，得
到sin BAC ∠，进而可求出结果. 【详解】
（1）由正弦定理得()sin 3sin cos sin cos B A B B A =+， 所以()sin 3sin B A B =+，
因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=， 即sin 3sin B C =，所以3b c =， 又因为8b c +=，所以6b =，2c =. （2）在ABD ∆和ACD ∆中，由余弦定理得
2222cos c AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，2222cos b AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠.
因为6b =，2c =，2a BD DC ==
，72
AD =， 又因为ADB ADC π∠+∠=，即cos cos ADB ADC ∠=-∠， 所以231a =，
所以2223
cos 28
b c a BAC bc +-∠==，
又因为()0,BAC π∠∈，所以55
sin 8
BAC ∠=
. 所以ABC 的面积1355
sin 2ABC
S bc BAC =
∠=
. 【点睛】
本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型. 19．在平面直角坐标系
中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为
（为参数）
.直线与曲线交于，两点．
（I ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）； （II ）设，若
，，
成等比数列，求的值．
【答案】（I ）
，
；（II ）.
【解析】 【分析】
（I ）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II ）联立直线的参数方程和C 的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案. 【详解】 （I ）曲线：，两边同时乘以
可得
，化简得）
；
直线的参数方程为
（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II ）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得 即
可得
即 解得
【点睛】
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
20．如图为某大江的一段支流，岸线1l 与2l 近似满足1l ∥2l ，宽度为7km ．圆O 为江中的一个半径为2km 的小岛，小镇A 位于岸线1l 上，且满足岸线1l OA ⊥，3OA km =．现计划建造一条自小镇A 经小岛O 至对岸2l 的水上通道ABC （图中粗线部分折线段，B 在A 右侧），为保护小岛，BC 段设计成与圆O 相切．设
02ABC ππθθ⎛
⎫∠=-<< ⎪⎝
⎭．
（1）试将通道ABC 的长L 表示成θ的函数，并指出定义域；
（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？ 【答案】（1）93cos ()sin L θθθ-=，定义域是0,2πθ⎛⎫
⎪⎝⎭
．（2）62
【解析】 【分析】
（1）以A 为原点，直线1l 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设(0)AB a a =>，利用直线与圆相切得到
23cos sin a θ
θ
-=
，再代入L AB BC =+这一关系中，即可得答案；
（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案； 【详解】
以A 为原点，直线1l 为x 轴建立如图所示的直角坐标系．
设(0)AB a a =>，则(,0)B a ，(0,3)O ，2:7l y =．
因为02ABC ππθθ⎛
⎫∠=-<< ⎪⎝
⎭，
所以直线BC 的方程为tan ()y x a θ=⋅-， 即tan tan 0x y a θθ⋅--=，
因为圆O 与BC 2
21tan θ
=+，
即
3cos sin 2cos cos a θθθθ+=，从而得23cos sin a θ
θ
-=，
在直线BC 的方程中，令7y =，得77cos tan sin C x a a θθθ
=+=+， 所以2
17cos 71tan cos sin sin B C BC x θθθθθ=+-=⋅=， 所以793cos sin sin L AB BC a θθθ
-=+=+
= 当0a =时，2
cos 3θ=，设锐角0θ满足02cos 3
θ=，则02πθθ<<，
所以L 关于θ的函数是93cos ()sin L θθθ-=
，定义域是0,2πθ⎛⎫
⎪⎝
⎭．
（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即L 最小．
20223sin (93cos )cos 39cos ()sin sin 2L θθθθπθθθθθ---⎛⎫
'==<< ⎪⎝⎭
令()0L θ'=，得1cos 3θ=
，设锐角1θ，满足112cos 33θ=<，得10,2πθθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭．
列表：
所以
1
θθ
=时，1
min
1
1
93
93cos
[()]
sin
3
L
θ
θ
θ
-⨯
-
===，所以建造此通道的最少费用至少为
元．
【点睛】
本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
21．
已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a
b
+=>>与抛物线24
y x
=有共同的焦点，，设12
,
F F分别是,A B为椭圆的上下顶点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点()
0,2与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点,
M N，当弦MN的中点P落在四边形12
F AF B内（含边界）时，求直线l的斜率的取值范围.
【答案】（1）
2
21
2
x
y
+=（2）1
k≥+1
k≤-
【解析】
【分析】
（1）由已知条件得到方程组，解得即可；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为1122
2,(,),(,)
y kx M x y N x y
=+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由>0
∆得到2k的范围，设弦MN中点坐标为
00
(,)
P x y则12
002
2
,0
221
x x
x y
k
+
==>
+
，所以P在x轴上方，只需位于12
AF F
∆内（含边界）就可以，即满足00
00
10
10
x y
x y
-+≥
⎧
⎨
+-≤
⎩
，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为()1,0
，离心率为2，2221
121
b a a b ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪∴⎨⎝⎭⎪-=⎩
，1a b ⎧=⎪∴⎨
=⎪⎩ 所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+
联立22222
x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消元整理得22
(21)860k x kx +++=，12122286,2121k x x x x k k ∴+=-=++，
由2
264421)60k k ∆=-+⨯>（
，解得2
3
2
k > 设弦MN 中点坐标为00(,)P x y 120022
,0221
x x x y k +∴=
=>+， 所以P 在x 轴上方，只需位于12AF F ∆内（含边界）就可以，
即满足000010
10x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩，即2224102410k k k k ⎧--≥⎨+-≥⎩
，
解得1k ≥+
1k ≤- 【点睛】
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 交C 于,A B 两点（异于坐标原点O ）. （1）若直线l 过点F ,12OA OB ⋅=-，求C 的方程；
（2）当0OA OB ⋅=时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 【答案】（1）2
8y x =（2）直线l 过定点(2,0)p 【解析】 【分析】 【详解】
设1122(,),(,)A x y B x y .
（1）由题意知(,0)2
p F ，22
1212(,),(,)22y y A y B y p p .设直线l 的方程为()2p
x ty t =+∈R ，
由222y px
p x ty ⎧=⎪⎨=+
⎪⎩
得2220y pty p --=，则222440p t p ∆=+>， 由根与系数的关系可得212122,y y pt y y p +==-，
所以22212122
3
44y y OA OB y y p p ⋅=+=-. 由12OA OB ⋅=-，得2
3124
p -
=-，解得4p =. 所以抛物线C 的方程为2
8y x =.
（2）设直线l 的方程为(,0)x ny m n m =+∈≠R ，
由22y px x ny m
⎧=⎨=+⎩得2220y pny pm --=，由根与系数的关系可得122y y pm =-， 所以222
1212121222
(2)2044y y pm OA OB x x y y y y pm p p -⋅=+=
+=-=，解得2m p =. 所以直线l 的方程为2()x ny p n =+∈R ， 所以0OA OB ⋅=时，直线l 过定点(2,0)p .
23．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2
B C
a A B c ++=. （1）求A ；
（2）若ABC ∆5b c +=，求ABC ∆的周长.
【答案】（1）60；（25+. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；
（2）由面积公式，可以求得bc ，再利用余弦定理，即可求得a ，结合b c +即可求得周长. 【详解】
（1）由题设得sin cos
2
A a C c =. 由正弦定理得sin sin sin cos 2A A C C = ∵(0,)C π∈∴sin 0C ≠sin cos 2
A A
=，
2sin cos cos 222A A A =
所以cos 02
A =或1
sin 22A =.
当cos 02
A
=，A π=（舍）
故1sin
22
A =， 解得60A =︒.
（2）1
sin 2
ABC S bc A ∆=4bc =.
由余弦定理得
222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-
22()3()1213b c bc b c =+-=+-=.
解得a =.
∴5a b c ++=.
故三角形ABC 5. 【点睛】
本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.。