绝对值基础知识讲解学习资料

绝对值（基础）知识讲
解
绝对值(基础)
【学习目标】
1掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2 •进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题
.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1. 定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：
(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离, 离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.
(3 )一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的. 2.
性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0.
要点二、有理数的大小比较
1. _________________________________________________________________________ 数
轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右 ____________________________________________
■
上
a
b
边的数小.女口： a 与b 在数轴上的位置如图所示，则 avb .
2. 法则比较法:
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:
要点诠释:
(1)绝对值的代数意义：一个
一个负数的绝对值是它的相反
|a|
正数的绝对值是它本身;
(a 0)
(a 0) a (a 0)
数；0的绝对值是0.即对
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值; (2)比较绝对值的大小；(3)判定两数的大小.
3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b >0,贝U a >b ;若a- b = 0,则a = b ;若a- bv0, avb ；反之成立.
4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若—1，则a b ；若-1，则a b ；若
b
b
a 1,则
a b ;反之也成立.若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反.
b
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】 类型一、绝对值的概念
1.求下列各数的绝对值.
1
1
1 -，-0. 3，0
，
3~
2
2
1
1
【思路点拨】1丄，-0.3，0，
3丄在数轴上位置距原点有多少个单位长 2
2
度，这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解. 【答案与解析】
因为-0.3到原点距离是0. 3个单位长度，所以卜0.3|= 0.3.
因为0到原点距离为0个单位长度，所以| 0| = 0.
1 1
因为
3-到原点的距离是32
个单位长度，所以
解法
1 1
因为右到原点距离是1-个单位长度，所以
3-
2 2
因为-0.3V0,所以 |- 0. 3| = -(- 0.3) = 0.3. 因为0的绝对值是它本身，所以I 0| = 0.
解法二：因为
11
2 1
0,所以12
11
2
12.
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求
解（如方法1），一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2），后种方法的具体 做法为：首先判断这个数是正数、负数还是 0•再根据绝对值的意义，确定去 掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是 0•从而求出该数的绝对
值.
C>2.已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是 ____________________________ .
【答案】2009或-2009
【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是 2009的点有两个，从原点向左侧 移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位 长度，得到表示数2009的点. 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；（2）利用数形结合法在 数轴上表示出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有 两个，且互为相反数. 举一反三：
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3. 【高清课堂：绝对值比大小 356845 典型例题3】
【变式2】如果丨x | = 2，那么x = _______________ ;如果丨一x |= 2，那么x= ___________________ . 如果| x — 2 | = 1，那么x = __________________________ ; 如果| x | > 3，那么x 的范围 是 ______________ .
【答案】2或-2 ; 2或-2 ; 1或3; x>3或x<- 3
【变式3】数轴上的点A 到原点的距离是6,则点A 表示的数为 _______________________
因为
1
32
°，所以
32 -
⑵先化简卜3|= 3,负数小于正数，所以-2V3,即-2v|-3| ;
在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对
值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出 正确的判断. 举一反三:
【高清课堂：绝对值比大小 356845典型例题2】
【变式1】比大小：
5 6
3》 _______ 3—；
-卜3.2| _______ -(+3.2)
； 0.0001 ________ — 1000;
6
7
1.38 ________ — 1.384 ; —n __________ — 3.14 . 【答案】>;=;>;>;<
【答案】 6或-6
比较大小
比较下列有理数大小：(1)- 1和0;
(2)- 2和卜3| ; (3)
(4) 0.1
【答案】 (1)0大于负数，即-1v0;
(3)先化简
1 1 1
1
1 1 -，即卩
2
2
2 3
3
2
(4)先化简
0.1
0.1，而 1 0.1 ,
因为
所以
0.1，即
0.1
【解析】 ⑵、 (3)、( 4)
先化简，再运用有理数大小比较法则.
【点评】 类型二、 3. 1 2
0.1
0.1,这是两个负数比较大小:
1 1 3
3
【变式2】(山东临沂)下列各数中，比一1小的数是( )
A. 0
B. 1
C.—2
D. 2
【答案】C
【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a, -a, -1的大小关系是
().
■■ _ 11 I 1 .
日7 0
A. - a v av -1
B. -1 v - a v a
C. av -1 v - a
D. a v - av -1
【答案】C
类型三、绝对值非负性的应用
4.已知| 2- m| +| n-3| = 0,试求m-2n 的值.
【思路点拨】由| a |> 0即绝对值的非负性可知，| 2-m |>0,| n-3 | >0, 而它们的和为0.所以| 2-m |= 0, |n-3| = 0.因此，2-m= 0, n-3 = 0,所以m =2, n= 3. 【答案与解析】因为| 2-m| +| n-3| = 0
且| 2-m| >0, | n-3| >0
所以|2-m| = 0, | n-3| = 0
即2-m = 0, n-3 = 0
所以m = 2, n = 3
故m-2n = 2-2X3= -4.
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…
+| m| = 0时，贝U a= b=・・・=m = 0.
类型四、绝对值的实际应用
e>5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数•检测结果（单位：克）：-25，+10,-20, +30,
+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢？请说明理由.
【答案】因为丨+10 | <| +15 | <| -20 | <| -25 | <| +30 | <| -40 丨，所以检测结果为+10的足球的质量好一些•所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好•这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.
【点评】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.002L的误差•现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数•检查结果如下表：
请用绝对值知识说明：
（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？
（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】（1）绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018,-
0. 0015，+0. 0012, +0. 0010 的这四瓶.
（2）第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量.
【变式2】一只可爱的小虫从点0出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行
的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5,-3, +10,-8, -6，+12, -10，在爬行过程中，如果小虫每爬
行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻？
【答案】小虫爬行的总路程为：
| +5| +|- 3| +| +10| +|- 8| +|- 6| +| +12| +|- 10| = 5+3+10+8+6+12+10=
54（ cm）.
小虫得到的芝麻数为54X2= 108（粒）.。