湖北省襄阳市枣阳市白水高中2015-2016学年高二数学下学期3月月考试卷 文(含解析)

2015-2016学年某某省襄阳市枣阳市白水高中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．13．已知f（x）=x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值X围是（）A．B．C．D．4．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．25．若x∈R，则“x=0”是“x2﹣2x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．7．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10D．128．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．39．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．﹣2C．﹣D．10．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形11．已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支12．函数在上的最大值为2，则实数a的取值X围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=．15．设双曲线﹣y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、P n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|P k F|的长度为a k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a n}成等差数列且公差d ∈（，），则n最大取值为．16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为．三、解答题17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？19．设数列{a n}的前n项的和S n与a n的关系是S n=﹣a n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2a3并归纳出数列{a n}的通项（不需证明）；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．20．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值X围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值X围．21．如图所示，离心率为的椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）若点P（1，1），求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN．22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省襄阳市枣阳市白水高中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．设＜＜＜1，那么（）A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a【考点】指数函数单调性的应用．【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到0＜a＜b＜1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解．【解答】解：∵＜＜＜1且y=（）x在R上是减函数．∴0＜a＜b＜1∴指数函数y=a x在R上是减函数∴a b＜a a∴幂函数y=x a在R上是增函数∴a a＜b a∴a b＜a a＜b a故选C．2．给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【考点】命题的否定；正弦函数的单调性．【分析】①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论即可；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可进行判断．【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b ﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的命题的个数是：2．故选C．3．已知f（x）=x3﹣ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数a的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】求导函数，利用f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，可得f′（x）=0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1，由此可得结论．【解答】解：由题意，f′（x）=3x2﹣2ax+4∵f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，∴f′（x）=0的两个根中：x1∈（0，1），x2＞1∴f′（0）=4＞0，f′（1）=7﹣2a＜0，解得故选A．4．已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】本题处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选D．5．若x∈R，则“x=0”是“x2﹣2x=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义去判断．【解答】解：由x2﹣2x=0，得x=0或x=2，所以“x=0”是“x2﹣2x=0”的充分不必要条件．故选A．6．已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数的图象．【分析】先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的X围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【解答】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=﹣cosx，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．故选：A．7．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴=4×（4a1+），解得a1=．则a10==．故选：B．8．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．9．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．﹣2C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．10．若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理．【分析】对（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2﹣bc+c2=a2，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得b=c，结合A=60°，进而可判断三角形的形状．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc∴=3bc∴（b+c）2﹣a2=3bc，b2﹣bc+c2=a2，根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA即bc=2bccosA即cosA=，∴A=60°又由sinA=2sinBcosC，则=2cosC，即=2•，化简可得，b2=c2，即b=c，∴△ABC是等边三角形．故选B．11．已知M（﹣2，0）、N（2，0），|PM|﹣|PN|=4，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支【考点】双曲线的定义．【分析】由于动点P满足|PM|﹣|PN|=4|=|MN|，那么不符合双曲线的定义（定义要求||PM|﹣|PN||＜|MN|），则利用几何性质易得答案．【解答】解：因为|MN|=4，且|PM|﹣|PN|=4，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C．12．函数在上的最大值为2，则实数a的取值X围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．【考点】分段函数的应用．【分析】当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，从而解得a的X围．【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在上导数为负，函数为减函数，在上导数为正，函数为增函数，故函数在上的最大值为f（﹣1）=2；又有x∈（0，3]时，f（x）=e ax，分析可得当a＞0时是增函数，当a＜0时为减函数，故要使函数在上的最大值为2，则当x=3时，e3a的值必须小于等于2，即e3a≤2，解得a∈（﹣∞，ln2]．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为 2 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意f（x）=t+g（x），其中g（x）=是奇函数，从而2t=4，即可求出实数t的值．【解答】解：由题意，f（x）==t+，显然函数g（x）=是奇函数，∵函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4，∴M﹣t=﹣（N﹣t），即2t=M+N=4，∴t=2，故答案为：2．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30°．【考点】正弦定理．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°15．设双曲线﹣y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、P n是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|P k F|的长度为a k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a n}成等差数列且公差d ∈（，），则n最大取值为14 ．【考点】双曲线的简单性质；等差数列的通项公式．【分析】根据双曲线的第二定义，可得|P k F|的长度a k=x k﹣2，结合题意2≤x k≤2得n取最大值时d=，再解不等式＜＜，找出它的最大整数解，即得n的最大值．【解答】解：由题意，得a2=4，b2=1，c==，可得双曲线的右准线为：x=，即x=设P k坐标为（x k，y k），P k到右准线的距离为d k（k=1，2，3，…，n），根据双曲线的第二定义，得=e=，∴|P k F|=d k=（x k﹣）=x k﹣2∵|P k F|的长度为a k，∴a k=x k﹣2∵数列{a n}成等差数列，且公差d∈（，），∴=∈（，），∵2≤x k≤2，（k=1，2，3，…，n），公差d是正数∴0＜x n﹣x1≤2﹣2，得n取最大值时d==∴＜＜，解之得5﹣4＜n＜26﹣5因为26﹣5≈14.82，所以满足条件的最大整数n=14故答案为：1416．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为②③④．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆；②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．【解答】解：①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确；②正确，双曲线与椭圆有相同的焦点，焦点在x 轴上，焦点坐标为（±，0）；③方程2x2﹣5x+2=0的两根为或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5．故答案为：②③④．三、解答题17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA （1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．18．已知集合，又A∩B={x|x2+ax+b＜0}，求a+b等于多少？【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；指数型复合函数的性质及应用．【分析】先根据指数函数、对数函数的性质，将A，B化简，得出A∩B，再根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出a，b．得出a+b．【解答】解：由题意，A∩B=（﹣1，2）方程x2+ax+b=0的两个根为﹣1和2，由韦达定理则a=﹣1，b=﹣2，∴a+b=﹣319．设数列{a n}的前n项的和S n与a n的关系是S n=﹣a n+1﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2a3并归纳出数列{a n}的通项（不需证明）；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【分析】（Ⅰ）根据已知条件，利用递推思想依次求出a1，a2a3，总结规律能归纳出数列{a n}的通项．（Ⅱ）由，利用错位相减法能求出，再利用错位相减法能求出数列{S n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=﹣a n+1﹣，n∈N*，∴，解得，S2==﹣a2+1﹣，解得a2==，=﹣a3+1﹣，解得，由此猜想．用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=，成立，②假设n=k时成立，即，则当n=k+1时，S k+1=+a k+1=﹣a k+1+1﹣，设S=，①则=，②①﹣②，得=+++…+﹣=﹣=，∴S=1﹣，∴2a k+1=1﹣﹣1+=，∴，成立，∴．（Ⅱ）∵，∴S n=，③S n=+++…+，④③﹣④得：==﹣=，∴，∴T n=n﹣（++…+），⑤=（+…+），⑥⑤﹣⑥，得=（﹣）=[+﹣]=﹣++=+，∴T n=n﹣2+．20．已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值X围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值X围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值X围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值X围．【解答】解：（1）若p为真：…解得m≤﹣1或m≥3…若q为真：则…解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…若“p且q”是真命题，则…解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…即或t≥4…解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…21．如图所示，离心率为的椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）若点P（1，1），求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由离心率为的椭圆Ω：+=1（a＞b＞0）上的点到其左焦点的距离的最大值为3，联立a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）方法一：由可得C的坐标．利用C，A在椭圆上，可得，同理可得：，求出AB的斜率，可得MN的斜率与方程，与椭圆方程联立，即可得到结论；方法二：求出AB的斜率，可得MN的斜率与方程，与椭圆方程联立，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题得，a+c=3，联立a2=b2+c2，解得a=2，，c=1，∴椭圆方程为…（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得．∵点C在椭圆上，故整理得：…又点A在椭圆上可知，故有…①由，同理可得：…②②﹣①得：3（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，即…又AB∥MN，故∴直线MN的方程为：，即3x+4y﹣7=0．由可得：21x2﹣42x+1=0⇒x M+x N=2=2x P∴P是MN的中点，即点P平分线段MN…（Ⅱ）方法二：∵，，∴，即AB∥CD在梯形ABCD中，设AB中点为M1，CD中点为M2，过P作AB的平行线交AD，BC于点R，S∵△APD与△BPC面积相等，∴RP=PS∴M1，M2，P三点共线…设A（x1，y1），B（x2，y2）∴，，两式相减得，∴3（x2﹣x1）（x2+x1）+4（y2﹣y1）（y2+y1）=0显然x2≠x1，（否则AB垂直于x轴，∵P（1，1）不在x轴上，此时CD不可能垂直于x轴保持与AB平行）且x1+x2≠0（否则AB平行于x轴或经过原点，此时M1，M2，P三点不可能共线）∴设直线AB斜率为k AB，直线OM1斜率为∴，即…①设直线CD斜率为k CD，直线OM2斜率为同理，，又k AB=k CD，∴，即O，M1，M2三点共线…∴O，M1，M2，P四点共线，∴，代入①得…∴直线MN的方程为，即3x+4y﹣7=0联立3x2+4y2=12得21x2﹣42x+1=0⇒x M+x N=2=2x P∴点P平分线段MN…22．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可某某数a的取值X围．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）令f'（x）＞0得：，∴f（x）的单调递增区间是（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，∴a≥lnx﹣x﹣恒成立①设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣=﹣令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h'（x）＜0∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2若①恒成立，则a≥﹣2，即a的取值X围是[﹣2，+∞）．。