现代控制工程第2章状态空间数学模型课件

性变换 x(t) Px(t) x(t) P1x(t)
系统的状态空间模型变换为
x(t) Ax(t) Bu(t)
y Cx
Px APx Bu
y CPx
x P 1 APx y CPx
P 1Bu
A P 1 AP , B P 1 B , C CP
P? 第5章介绍
可选择物体在某一时刻的位移及速度 为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态
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2.1 状态与状态空间的概念
状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部 输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为 是充分且必要的。
系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统 各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为 状态变量。
状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些 状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相 似意义下是唯一的。 可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范 的标准型，从而简化系统的分析和设计。
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2.3.3 状态方程的线性变换
设状态变量取为x时，系统的状态空间模型为
x(t) Ax(t) Bu(t)
x
0
2
0
x
1u
0 0 3 0.521
2.4 控制系统的实现
2.4.1 系统的实现问题 由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变 量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等 价的状态空间等内部数学模型称为系统的实现。
系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构 ，要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统 的内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的， 有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。
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2.1 状态与状态空间的概念
例：图2.1所示弹簧-阻尼器系统
在外作用力F(t)已知的情况下，如果 知道了物体在某一时刻的位移及速度, 就能确定系统未来的动态响应。
如果仅知道物体的位移或速度，就不 能确定系统未来的动态响应。
物体的位移、速度及加速度这三个量 显然是不独立的，可以根据其中两个 量确定另外一个量，因此这个量对于 描述系统状态是多余的。
经非奇异线性变换后，状态方程的特征值不变，所 以，一般称特征值是系统的不变量。
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2.3.3 状态方程的线性变换
例2.6 已知系统的状态方程为
x1 0 1 0 x1 0
x 2
0
0
1
x2
0u
x3 6 11 6x3 1
取线性变换为
x1 1 1 1 x1
x2
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2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型
多输入多输出线性系统的状态方程可以表示为
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur
x2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b21u1
b22u2
b2r ur
xn an1 x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bn2u2 bnr ur
A PAP 1 , B PB , C C P 1
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2.3.3 状态方程的线性变换
考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。
| I A || I P 1 AP || P 1P P 1 AP |
| P1IP P1AP || P1(I A)P |
| P 1 || I A || P || P 1 || P || I A | | P 1P || I A || I A |
x1 x2
0 1
L
u
y
q C
x1 C
1 C
0
x1 x2
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2.2.1 建立状态空间模型的方法
从上面例题可以看出： （1） 状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯 一（但在相似意义下是唯一的）； （2）状态变量的个数一定； （3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是 没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量， 也可以是不可测的量。 很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形 式的数学模型。
b2u
xn an1 x1 an2 x2 ann xn bnu
a11
x
a
21
an1
a12 a22
an2
a1n b1
a
2n
x
b2
u
ann bn
y c1x1 c2 x2 cn xn du
y c1 c2 cn x du
x Ax Bu
y Cx du
K M
x1
f M
x1
1 M
F
微分方程为
y f y K y 1 F
MM M
11
2.2.2 由状态空间模型求微分方程
例2.5 对于例2.2所示的RLC网络，若选状态变量为电 感中的电流和电容上的电压，则状态空间模型为
x1
R L
x1
1 L
x2
1 L
u
x2
1 C
x1
y x2
Cy RC y 1 y 1 u L LL
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2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型
多输入多输出线性系统的状态方程矩阵形式为
a11 x a21
a n1
a12 a22
an2
a1n b11
a
2n
x
b21
ann bn1
b12 b22
bn2
b1r
b2r
u
bnr
c11
y
c 21
c m1
c12 c22
xn a0 x1 a1x2 an1xn bu
系统的状态方程为
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2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
x1 x2
x2
x3
xn
1
xn
xn a0x1 a1x2 an1xn bu
y x1
表达为矩阵形式
x1
x 2
0 0
x
n
0 a0
1 0 0 a1
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2.2.2 由状态空间模型求微分方程
如果已经得到了系统的状态空间模型，只要消除状态 空间模型中的状态变量，即可得到系统输出变量与输 入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。
例2.4 例2.1所示弹簧-阻尼器系统的状态空间模型为
x1 x2
y x1
x 2
K M
f x1 M
x2
1 M
F
x1
（2）选择系统的输出变量及其阶导数作为状态变量 （为系统独立储能元件的个数）；
（3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作 为状态变量。
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2.2.1 建立状态空间模型的方法
例2.1 建立图示质量-弹簧-阻尼器系统的状态空间模型。
选取状态变量为 根据牛顿定律得
x1 y(t), x2 y(t)
M
1
0 a2
0
x1
x2
0 u
1 a n 1
xn
0 b
x1
y 1
0
0
x2
xn
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2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现
含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bnu (n) b1u b0u
cm2
c1n d11
c2n
x
d 21
c
mn
d m1
d12 d 22
dm2
d1r
d 2r
u
d
mr
简记为 x Ax Bu
y Cx Du
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2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型
多输入多输出系统的矩阵方框图
D
u B
x
x
C
A 图2.4 线性系统的一般结构
y
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2.3.3 状态方程的线性变换
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2.2.1 建立状态空间模型的方法
选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先检查是否 相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查 是否充分，即是否完全决定了系统的状态。
状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数 。
选择状态变量一般有三条途径(不限于)： （1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变 量；
输出方程表示为
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur
y2 c21 x1 c22 x2 c2n xn d 21u1 d 22u2 d 2r ur
ym cm1 x1 cm2 x2 cmn xn d m1u1 d m2u2 d mr ur
这时，不能选输出及其各阶导数，否则状态变量中包含 输入信号的导数，使得当输入信号出现阶跃时，状态变 量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求。
（1）方法一: 选取系统的状态变量为
x1 y h0u x2 x1 h1u y h0u h1u x3 x2 h2u y h0u h1u h2u
本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的 建立方法，然后介绍系统的状态空间模型的实 现，为系统分析与设计奠定基础。
2
第2章 状态空间数学模型
2.1 状态与状态空间的概念 2.2 系统的状态空间模型 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换 2.4 控制系统的实现 2.5 多变量系统的传递矩阵 2.6 控制系统的离散状态空间模型
1
2
3
x2
x3 1 4 9 x3
求变换后的系统的状态方程。
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2.3.3 状态方程的线性变换
解：取
1 1 1 P 1 2 3
1 4 9
3 2.5 0.5 P1 3 4 1
1 1.5 0.5
3 2.5 0.5 0 1 0 1 1 1 A P1 AP 3 4 1 0 0 1 1 2 3
1 1.5 0.5 6 11 6 1 4 9
3 2.5 0.51 2 3 1 0 0
3 4 1 1 4
9
0
2
0
1 1.5 0.51 8 27 0 0 3
3 2.5 0.50 0.5
B P 1B 3
4
10
1
1 1.5 0.51 0.5
1 0 0 0.5
xn1 xn2 hn2u y (n2) h0u (n2) h1u (n3) hn2u xn xn1 hn1u y (n1) h0u (n1) h1u (n2) hn2u hn1u25
以n个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状 态空间。
状态轨迹：以 X (t) X (t0 ) 为起点，随着时间的
推移，X (t) 在状态空间绘出的一条轨迹。
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2.2 系统的状态空间模型
2.2.1 建立状态空间模型的方法 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方 程组称为状态方程。 描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关 系的方程称为输出方程。 系统的状态方程和输出方程组成系统的状态空间模型 ，或称为动态方程。 状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出 之间的关系，所以又称为内部描述模型。它比输入输 出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
例2.2 建立图示RLC网络的状态空间模型。
选取状态变量为 x1 q, x2 i
根据电压电流定律得
iRddqtLidi 1 q u
dt C
dq
dt di
i
1
q Ri 1u
dt LC L L
x1
x
2
x2 1
LC
x1
R L
x2
1 L
u
x1
x 2
0 1
LC
1 R
L
d2y dt 2
F
Fk
Ff
Fk (t) Ky(t)
系统的状态方程
Ff
(t)
f
dy(t) dt
x1 x2
x 2
K M
x1
f M
x2
1 M
F
系统的输出方程为 y x1
状态空间表达式
x Ax BF
y Cx
x
x1
x2
0 1
A
K M
f M
0
B 1 C 1 0 M
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2.2.1 建立状态空间模型的方法
22
2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现
不含有输入导数项的微分方程的一般描述为
y (n)
a y (n1) n 1
a1 y
a0 y
bu
若将状态变量选为
x1 y x2 y
xn y (n1)
x1 x2 x2 x3
xn1 xn
xn y (n)
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
LCy RCy y u
微分方程为 1 2 y 1 y y u
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2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换
2.3.1 SISO线性系统的状态空间模型
状态空间模型的一般表示式（1）
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u
x
2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
Modern Control Engineering
第 2 章 状态空间数学模型
教材：
王万良，现代控制工程，高等教育出版社， 2011
第2章 状态空间数学模型
状态空间方法是基于状态空间模型分析与设计 自动控制系统。状态空间模型描述了系统内部 状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输 出模型更深入地揭示了系统的动态特性。