2024长沙中考数学一轮复习 第28课时 切线的判定与性质(课件)
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第 3 题图
考点 3 *切线长和切线长定理
切线长
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长
从圆外一点可以引圆的__两__条切线，它们的切 线长__相__等__，这一点和圆心的连线平分两条切 切线长定理 线的夹角．如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B
两点，则有 PA___＝___PB，∠APO＝∠BPO＝12∠APB
解得 n＝3±2
5 .
∵3＋2 5与3－2 5都是正数，
∴均符合题意．(8 分)
又∵在 Rt△DEC 中，tan∠ACB＝DECE＝n，
∴tan∠ACB＝n＝3±2
5 .(9
分)
第2题图
3. (2023 长沙 24 题 9 分)如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点 O(0， 0)，点 A( 6，0)与点 B(0，－ 2)，点 D 在劣弧O︵A上，连接 BD 交 x 轴 于点 C，且∠COD＝∠CBO. (1)求⊙M 的半径；
是( B )
A. 相交
B. 相切
切线的性质与判定
概念 直线和圆只有___一__个___公共点时，这条直线叫做圆的切线 性质 圆的切线___垂__直___于经过切点的半径
1．定义：与圆只有一个交点的直线是圆的切线； 判定 2．定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
第2题图
(2)若 AB＝3DE，求 tan∠ACB 的值． (2)解：如解图，连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴AD⊥BC. ∴∠ADC＝90°. ∴∠ADB＝∠ADC. 又∵D 是 BC 的中点， ∴BD＝DC.
第2题图
∵AD＝AD， ∴△ADB≌△ADC(SAS)． ∴AB＝AC.(5 分) ∵AB＝3DE， ∴AC＝3DE. ∵DE⊥AC， ∴∠ADC＝∠DEC＝∠DEA＝90°.
【初高中衔接】 1．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这一点到割线与圆交点 的两条线段长的比例中项．即如图①，PT2＝PA·PB；
图①
2．割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条 线段长的积相等，即如图②，PA·PD＝PB·PC
图②
针对训练
4. 如图，PA，PB 与⊙O 分别相切于点 A，B，PA＝3，∠P＝60°，则 AB＝____3____．
角度关系 ∠BOC＝90°＋12∠A
【满分技法】1. 直角三角形内切圆的半径：r＝12(a＋b－c)，a，b 为两直角边长，c 为斜边长；
2. 若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆的半径为 r，则 S△ABC＝12(a＋b＋c)r
针对训练
6. 如图，⊙O 为等边△ABC 的内切圆，⊙O 的半径 OD＝1，则 AB 的值为( B )
第2题图
∵∠CAD＋∠C＝∠EDC＋∠C＝90°，
∴∠CAD＝∠EDC.
∴△ADE∽△DCE.
∴DAEE＝DCEE，即 DE2＝AE·CE.(6 分)
第2题图
设 DE＝nEC，则 AC＝3nEC，AE＝AC－EC＝(3n－1)EC，
∴(nEC)2＝(3n－1)EC·EC，(7 分)
即 n2－3n＋1＝0，
公共点个数
图示
相离
d＞r
没有公共点
相切
有 且 只 有 _一__个___ 公 d＝r
共点
相交
d___＜___r
有两个公共点
针对训练
1. 已知⊙O 的半径是 4，OP＝3，则点 P 与⊙O 的位置关系是( A )
A．点 P 在圆内
B．点 P 在圆上
C．点 P 在圆外
D．不能确定
2. 已知⊙O 的半径为 3，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与⊙O 的位置关系
考点 1 与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系(设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d)
位置关系
d 与 r 的关系
图示
点在 圆内
d___<___r
位置关系 点在 圆上
点在 圆外
d 与 r 的关系
d＝r d＞r
图示
2. 直线与圆的位置关系(设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d)
位置关系
d 与 r 的关系
1 考点精讲 2 长沙10年真题及拓展 3 重难点分层练
点与圆的位置关系
直线与圆 的位置关系
与圆有关的 位置关系
*切线长和 切线长定理
切线长 切线长定理
概念
性质 判定
切线的 判定与性质
切线的性 质与判定
三角形的 内切圆
定义 圆心 性质 角度关系
考点精讲
【对接教材】人教：九上第二十四章P92～P104
第 6 题图
A. 2
B. 2 3
C. 3
D. 3
长沙10年真题及拓展
命题点 切线的相关证明与计算(10年9考)
类型一 与切线性质有关的证明与计算(10 年 6 考)
1. (2022 长沙 18 题 3 分)如图，点 A，B，D 在
⊙O 上，∠A＝20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切
点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则∠OCB＝ ___5_0____度．
3．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
【满分技法】1．“连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点 和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直； 2．“作垂直，证相等”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆 心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径
针对训练
3. 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 P，连接 OP，OA，若∠A＝50°，则∠POA 的 度数为__4_0_°__．
第 4 题图
5. 如图，⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于点 E，AC 和 DB 的延长线交于点 P，若 PC ＝2，PB＝BD＝3，则 PA＝____9____．
第 5 题图
考点 4 三角形的内切圆
定义
与三角形各边都相切的圆
圆心
三角形的内心，三角形三条角平分线的交点
性质
三角形的内心到三角形三边的距离相等
第1题图
2. (2023 长沙 24 题 9 分)如图，以△ABC 的一边 AB 为直径作⊙O，⊙O 与 BC 边的交点恰好为 BC 的中点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E. (1)求证：DE⊥AC；
第2题图
(1)证明：如解图，连接 OD ，
∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD⊥DE.(1 分) 又∵点 O 是 AB 的中点，点 D 是 BC 的中点， ∴OD 是△ABC 的中位线．(2 分) ∴OD∥AC.(3 分) ∴DE⊥AC；(4 分)
考点 3 *切线长和切线长定理
切线长
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长
从圆外一点可以引圆的__两__条切线，它们的切 线长__相__等__，这一点和圆心的连线平分两条切 切线长定理 线的夹角．如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B
两点，则有 PA___＝___PB，∠APO＝∠BPO＝12∠APB
解得 n＝3±2
5 .
∵3＋2 5与3－2 5都是正数，
∴均符合题意．(8 分)
又∵在 Rt△DEC 中，tan∠ACB＝DECE＝n，
∴tan∠ACB＝n＝3±2
5 .(9
分)
第2题图
3. (2023 长沙 24 题 9 分)如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点 O(0， 0)，点 A( 6，0)与点 B(0，－ 2)，点 D 在劣弧O︵A上，连接 BD 交 x 轴 于点 C，且∠COD＝∠CBO. (1)求⊙M 的半径；
是( B )
A. 相交
B. 相切
切线的性质与判定
概念 直线和圆只有___一__个___公共点时，这条直线叫做圆的切线 性质 圆的切线___垂__直___于经过切点的半径
1．定义：与圆只有一个交点的直线是圆的切线； 判定 2．定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
第2题图
(2)若 AB＝3DE，求 tan∠ACB 的值． (2)解：如解图，连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴AD⊥BC. ∴∠ADC＝90°. ∴∠ADB＝∠ADC. 又∵D 是 BC 的中点， ∴BD＝DC.
第2题图
∵AD＝AD， ∴△ADB≌△ADC(SAS)． ∴AB＝AC.(5 分) ∵AB＝3DE， ∴AC＝3DE. ∵DE⊥AC， ∴∠ADC＝∠DEC＝∠DEA＝90°.
【初高中衔接】 1．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这一点到割线与圆交点 的两条线段长的比例中项．即如图①，PT2＝PA·PB；
图①
2．割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条 线段长的积相等，即如图②，PA·PD＝PB·PC
图②
针对训练
4. 如图，PA，PB 与⊙O 分别相切于点 A，B，PA＝3，∠P＝60°，则 AB＝____3____．
角度关系 ∠BOC＝90°＋12∠A
【满分技法】1. 直角三角形内切圆的半径：r＝12(a＋b－c)，a，b 为两直角边长，c 为斜边长；
2. 若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆的半径为 r，则 S△ABC＝12(a＋b＋c)r
针对训练
6. 如图，⊙O 为等边△ABC 的内切圆，⊙O 的半径 OD＝1，则 AB 的值为( B )
第2题图
∵∠CAD＋∠C＝∠EDC＋∠C＝90°，
∴∠CAD＝∠EDC.
∴△ADE∽△DCE.
∴DAEE＝DCEE，即 DE2＝AE·CE.(6 分)
第2题图
设 DE＝nEC，则 AC＝3nEC，AE＝AC－EC＝(3n－1)EC，
∴(nEC)2＝(3n－1)EC·EC，(7 分)
即 n2－3n＋1＝0，
公共点个数
图示
相离
d＞r
没有公共点
相切
有 且 只 有 _一__个___ 公 d＝r
共点
相交
d___＜___r
有两个公共点
针对训练
1. 已知⊙O 的半径是 4，OP＝3，则点 P 与⊙O 的位置关系是( A )
A．点 P 在圆内
B．点 P 在圆上
C．点 P 在圆外
D．不能确定
2. 已知⊙O 的半径为 3，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与⊙O 的位置关系
考点 1 与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系(设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d)
位置关系
d 与 r 的关系
图示
点在 圆内
d___<___r
位置关系 点在 圆上
点在 圆外
d 与 r 的关系
d＝r d＞r
图示
2. 直线与圆的位置关系(设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d)
位置关系
d 与 r 的关系
1 考点精讲 2 长沙10年真题及拓展 3 重难点分层练
点与圆的位置关系
直线与圆 的位置关系
与圆有关的 位置关系
*切线长和 切线长定理
切线长 切线长定理
概念
性质 判定
切线的 判定与性质
切线的性 质与判定
三角形的 内切圆
定义 圆心 性质 角度关系
考点精讲
【对接教材】人教：九上第二十四章P92～P104
第 6 题图
A. 2
B. 2 3
C. 3
D. 3
长沙10年真题及拓展
命题点 切线的相关证明与计算(10年9考)
类型一 与切线性质有关的证明与计算(10 年 6 考)
1. (2022 长沙 18 题 3 分)如图，点 A，B，D 在
⊙O 上，∠A＝20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切
点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则∠OCB＝ ___5_0____度．
3．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
【满分技法】1．“连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点 和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直； 2．“作垂直，证相等”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆 心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径
针对训练
3. 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 P，连接 OP，OA，若∠A＝50°，则∠POA 的 度数为__4_0_°__．
第 4 题图
5. 如图，⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于点 E，AC 和 DB 的延长线交于点 P，若 PC ＝2，PB＝BD＝3，则 PA＝____9____．
第 5 题图
考点 4 三角形的内切圆
定义
与三角形各边都相切的圆
圆心
三角形的内心，三角形三条角平分线的交点
性质
三角形的内心到三角形三边的距离相等
第1题图
2. (2023 长沙 24 题 9 分)如图，以△ABC 的一边 AB 为直径作⊙O，⊙O 与 BC 边的交点恰好为 BC 的中点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E. (1)求证：DE⊥AC；
第2题图
(1)证明：如解图，连接 OD ，
∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD⊥DE.(1 分) 又∵点 O 是 AB 的中点，点 D 是 BC 的中点， ∴OD 是△ABC 的中位线．(2 分) ∴OD∥AC.(3 分) ∴DE⊥AC；(4 分)