清城区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

清城区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（
）A ．6B ．9C ．36D ．72
2． 已知，，则“”是“”的（ ）
α[,]βππ∈-||||βα>βαβαcos cos ||||->-A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
3． 已知点P （x ，y ）的坐标满足条件
，（k 为常数），若z=3x+y 的最大值为8，则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣6
D ．6
4． 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，0）
C ．
D ．5． 向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．7．下列结论正确的是（）
A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．
B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．
C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2
D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）
A．3B．4C．5D．6
9． 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，C 1D 1上的动点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面ABB 1A 1的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（
）
A ．5
B ．4
C ．4
D ．2
10．已知命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0””若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（1，4]
B ．（0，1]
C ．[﹣1，1]
D ．（4，+∞）
11．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（
）A ．﹣1
B ．1
C ．6
D ．12
12．设是等差数列的前项和，若，则（ ）n S {}n a 5359a a =95S S =A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题13．设O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ，过F
斜率为
的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，直线AO 与l 相交于D ，若|AF|＞|BF|，则
= ．
14．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称；
③y=（）﹣x 是增函数；
④定义在R 上的奇函数f （x ）有f （x ）•f （﹣x ）≤0．
15．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．
16．已知、、分别是三内角的对应的三边，若，则a b c ABC ∆A B C 、、C a A c cos sin -=
的取值范围是___________．3cos(4A B π-+
【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、
转化思想．17．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．18．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．
三、解答题
19．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

20．已知函数f （x ）=lg （x 2﹣5x+6）和
的定义域分别是集合A 、B ，
（1）求集合A ，B ；
（2）求集合A ∪B ，A ∩B ．
21．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．
22．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
23．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+，数列{b n}满足b n=
（Ⅰ）证明：b n∈（0，1）
（Ⅱ）证明：=
（Ⅲ）证明：对任意正整数n有a n．
24．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．
（I）求p的值；
（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．
清城区第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴3（1+q 2+q 4）=21，解得q 2=2．
则a 2a 6=9×q 6=72．
故选：D ．
2． 【答案】A.
【解析】，设，，
||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-()||cos f x x x =-[,]x ππ∈-显然是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减，∴，()f x [0,]π()f x [,0]π-()()||||f f αβαβ>⇔>故是充分必要条件，故选A.
3． 【答案】 B
【解析】解：画出x ，y 满足的可行域如下图：z=3x+y 的最大值为8，由
，解得y=0，x=，（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
故选B ．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．
4． 【答案】C
【解析】解：抛物线y=4x 2的标准方程为 x 2=y ，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，
），故选C ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x 2的方程化为标准形式，是解题的关键．
5． 【答案】B
【解析】解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr 2h ，r 不变，V 是h 的正比例函数，
其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D 错；
由已知函数图可以看出，随着高度h 的增加V 也增加，但随h 变大，
每单位高度的增加，体积V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，
其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A 、C 错．
故选：B ．
6． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长，宽的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为62，故选C.123123
1=⨯⨯7． 【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确；
B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交．
故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
8． 【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=0
满足条件n ＜i ，s=2，n=1
满足条件n ＜i ，s=5，n=2
满足条件n ＜i ，s=10，n=3
满足条件n ＜i ，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，
有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4，
则F（0，b，4），E（4，a，0），=（﹣x，b﹣y，0），
∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，
∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时，
PE取最小值，
此时，P（2，2，4），E（4，2，0），
∴|PE|min==2．
故选：D．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
10．【答案】A
【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，
则a＞lne=1，
若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，
则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，
若命题“p ∧q ”为真命题，
则p ，q 都是真命题，则，
解得：1＜a ≤4．
故实数a 的取值范围为（1，4]．
故选：A ．
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．
11．【答案】C
【解析】解：由题意知
当﹣2≤x ≤1时，f （x ）=x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）=x 3﹣2，
又∵f （x ）=x ﹣2，f （x ）=x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=23﹣2=6．
故选C ．
12．【答案】A
【解析】1111]试题分析：．故选A ．111]199515539()
9215()52
a a S a a a S a +===+考点：等差数列的前项和．二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ，
过F 斜率为的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，
直线AO 与l 相交于D ，∴直线AB 的方程为y=
（x ﹣），l 的方程为x=﹣，联立，解得A （﹣
， P ），B （，﹣）∴直线OA 的方程为：y=
，
联立，解得D（﹣，﹣）
∴|BD|==，
∵|OF|=，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．　
14．【答案】　②④　
【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确；
③y=（）﹣x是减函数，故错误；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确．
故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．　
15．【答案】　4　．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，
直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．【答案】
【解析】
17．【答案】　3x﹣y﹣11=0　．
【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y12=6x1，y22=6x2，
相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），
即有k AB====3，
则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），
即为3x﹣y﹣11=0．
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得
9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x﹣y﹣11=0．
故答案为：3x﹣y﹣11=0．
18．【答案】　5﹣4　．
【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：﹣4=5﹣4．
故答案为：5﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）点P在直线上
（2）
【解析】（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
，20．【答案】
【解析】解：（1）由x2﹣5x+6＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0，
解得：x＞3或x＜2，即A={x|x＞3或x＜2}，
由g（x）=，得到﹣1≥0，
当x＞0时，整理得：4﹣x≥0，即x≤4；
当x＜0时，整理得：4﹣x≤0，无解，
综上，不等式的解集为0＜x≤4，即B={x|0＜x≤4}；
（2）∵A={x|x＞3或x＜2}，B={x|0＜x≤4}，
∴A∪B=R，A∩B={x|0＜x＜2或3＜x≤4}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB=，又∵B为锐角，
∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，
∴a2+c2﹣ac=36，
∵a+c=8，
∴ac=，
∴S△ABC==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，
10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，
解得a=0.005．
∴图中a的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05
=73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由b n=，且a n+1=a n+，得，
∴，下面用数学归纳法证明：0＜b n＜1．
①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1，
②假设0＜b k＜1，则，
∵0＜b k＜1，∴，则0＜b k+1＜1．
综上，当n∈N*时，b n∈（0，1）；
（Ⅱ）由，可得，，
∴==．
故；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，
故．
由知，当n≥2时，
=．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．　
24．【答案】
【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．
所以，直线l的方程为…
由消y并整理，得…
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则x1+x2=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…
由方程组（1）
可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y2=2x，得．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．
由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．
解得．
于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m的取值范围是．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。