北师大版七年级数学上册：期末压轴题综合专题复习 (含答案)

北师大版七年级数学上册期末压轴题综合专题复习题
1、如图，A，B，C三棵树在同一直线上，若小明正好站在线段的AC中点Q处，BC＝
2BQ．
（1）填空：AQ＝＝AC，AQ﹣BC＝．
（2）若BQ＝3米，求AC的长．
2、如图，已知线段60
AC CD DB=，AB=，点C、D分别是线段AB上的两点，且满足::3:4:5点K是线段CD的中点，求线段AK的长．
3、如图，直线AB、CD相交于O，OD平分AOF
∠、
∠=︒，求COB
⊥于点O，150
∠，OE CD
∠的度数．
BOF
4、如图，已知点C为AB上一点，15
AC cm
=，
3
5
CB AC
=，D，E分别为AC，AB的中
点，求DE的长．
5、如图，已知射线OC在∠AOB内，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）若∠AOC＝50°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数．
（2）探究∠MON与∠AOB的数量关系．
6、如图，点B、O、C在一条直线上，OA平分BOC
∠，90
DOE
∠=︒，OF平分AOD
∠，36
AOE
∠=︒．
（1）求COD
∠的度数；
（2）求BOF
∠的度数．
7、已知：如图，120AOB ∠=︒，过点O 作射线OP ，若OM 平分AOP ∠，ON 平分
BOP ∠， AOP α∠=．
（1）如图1，补全图形，直接写出MON ∠= ° ； （2）如图2，若4BOM BON ∠=∠，求α的值．
8、已知点A ，B ，C 在同一条直线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点． （1）如图，若点C 在线段AB 上，6AC cm =，4CB cm =，求线段MN 的长； （2）若点C 在线段AB 上，且AC CB acm +=，试求MN 的长度，并说明理由；
（3）若点C 在线段AB 的延长线上，且AC BC bcm -=，猜测MN 的长度，写出你的结论，画出图形并说明理由．
B
A
O
P
图1
B
A
O
P
M
N
图2
9、如图，已知点O 为直线AB 上一点，将一直角三角板MON 的直角顶点放在O 处． （1）如图1，将三角板的一边ON 与射线OB 重合，过点O 在三角板的内部做射线OC ，使2NOC MOC ∠=∠，求AOC ∠的度数；
（2）如图2，将三角板绕点O 逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O 在三角板MON 的内部作射线OC 使得OC 恰好是MOB ∠的角的平分线，此时AOM ∠与NOC ∠满足怎样的关系？并说明理由．
10、已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为a 和b ，且a ，b 满足等式2(9)|7|0a b ++-=，
p 为数轴上一动点，对应的数为x ．
（1）a = ，b = ，线段AB = ．
（2）数轴上是否存在点p ，使3PA PB =？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若M ，N 分别是线段AB ，PB 的中点，试求线段MN 的长．
11、如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC =2BC ，则称点C 是线段AB
的内二倍分割点；如图2，如果BC =2AC ，则称点C 是线段BA 的内二倍分割点．
图1 图2
例如：如图3，数轴上，点A 、B 、C 、
D 分别表示数-1、2、1、0，则点C 是线段AB 的内二倍分割点；点D 是线段BA 的内二倍分割点.
图3
（1）如图4，M 、N 为数轴上两点，点M
所表示的数为-2，点N 所表示的数为7．
图4
（2）数轴上，点A 所表示的数为-30，点B 所表示的数为20．点P 从点B 出发，以2个单
位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t （t >0）秒． ②求当t 为何值时，P 、A 、B 三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
12、已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且21
(100)|10|02
ab a ++-=．P 是数
轴的一动点．
（1）在数轴上标出A 、B 的位置，并求出A 、B 之间的距离；
（2）数轴上一点C 距A 点24个单位的长度，其对应的数c 满足||ac ac =-，当P 点满足
2
=时，求P点对应的数
PB PC
（3）动点M从原点开始第一次向左移动1个单位，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，⋯⋯点M能移动到与A或B重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由．
13、数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A，
B在数轴上分别对应的数为a，()
<，则AB的长度可以表示为AB b a
b a b
=-．
请你用以上知识解决问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动3个单位长度到达B点，然后向右移动5个单位长度到达C点．
（1）请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒．
①当2
t=时，求AB和AC的长度；
②试探究：在移动过程中，34
-的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明
AC AB
理由；若不变，请求其值．
14、阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我
们就称点C是【A，B】的好点．
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D【A，B】的好点，但点D【B，A】的好点．（请在横线上填是或不是）知识运用：
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
15、对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到另外两个点的距离恰好满足n(n是大于1的整数)倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“n倍和谐点”.
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，2，4，此时点B是点A，C的“2倍和谐点”；
(1)若点A表示数是-1, 点C表示的数是5，点B1，B2，B3，依次表示-4，1
，7各数，其
2
中是点A，C的“3倍和谐点”的是；
(2)点A表示的数是-20，点C表示的数是40，点Q是数轴上一个动点.
①若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，求此时点Q表示的数；
①若点Q在点A的右侧，且点Q是点A，C的“n倍和谐点”，用含有n的式子直接写出此时点Q所表示的数.
参考答案
1、如图，A，B，C三棵树在同一直线上，若小明正好站在线段的AC中点Q处，BC＝
2BQ．
（1）填空：AQ＝CQ＝AC，AQ﹣BC＝BQ．
（2）若BQ＝3米，求AC的长．
【解答】解：（1）∵O是线段AC的中点，
∴AQ＝CQ＝AC，
AQ﹣BC＝CQ﹣BC＝QB，
故答案为；
（2）∵BQ＝3米，BC＝2BQ，
∴BC＝2BQ＝6米，
∴CQ＝BC+BQ＝6+3＝9（米），
∵Q是AC中点，
∴AQ＝QC＝9（米），
∴AC＝AQ+QC＝9+9＝18（米），
∴AC的长是18米．
2、如图，已知线段60
AB=，点C、D分别是线段AB上的两点，且满足::3:4:5
AC CD DB=，点K是线段CD的中点，求线段AK的长．
【解答】解：设3AC x =，则4CD x =，5DB x =， 60AB AC CD DB =++= 34560AB x x x ∴=++=．
5x ∴=．
点K 是线段CD 的中点． 1
102
KC CD ∴==．
25AK KC AC ∴=+=．
3、如图，直线AB 、CD 相交于O ，OD 平分AOF ∠，OE CD ⊥于点O ，150∠=︒，求COB ∠、BOF ∠的度数．
【解答】解：OE CD ⊥于点O ，150∠=︒， 90140AOD ∴∠=︒-∠=︒， BOC ∠与AOD ∠是对顶角，
40BOC AOD ∴∠=∠=︒． OD 平分AOF ∠， 40DOF AOD ∴∠=∠=︒， 180BOF BOC DOF ∴∠=︒-∠-∠
1804040100=︒-︒-︒=︒．
4、如图，已知点C 为AB 上一点，15AC cm =，3
5
CB AC =，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，求DE 的长．
【解答】解：
15AC cm =，3
5
CB AC =
， 3
1595
CB cm ∴=⨯=，
15924AB cm ∴=+=．
D ，
E 分别为AC ，AB 的中点，
1122AE BE AB cm ∴==
=，1
7.52
DC AD AC cm ===， 127.5 4.5DE AE AD cm ∴=-=-=．
5、如图，已知射线OC 在∠AOB 内，OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ． （1）若∠AOC ＝50°，∠BOC ＝30°，求∠MON 的度数． （2）探究∠MON 与∠AOB 的数量关系．
【解答】解：（1）∵OM ，ON 分别平分∠AOC 、∠BOC ， ∴
．
∵∠AOC ＝50°，∠BOC ＝30°， ∴∠COM ＝25°，∠CON ＝15°，
∴∠MON ＝∠COM +∠CON ＝25°+15°＝40°． （2）∵OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ， ∴
，
∴＝
即：．
6、如图，点B 、O 、C 在一条直线上，OA 平分BOC ∠，90DOE ∠=︒，OF 平分AOD ∠，36AOE ∠=︒．
（1）求COD ∠的度数； （2）求BOF ∠的度数．
【解答】解：（1）90DOE ∠=︒，36AOE ∠=︒， 903654AOD DOE AOE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
点B 、O 、C 在一条直线上，OA 平分BOC ∠， 1
180902
AOB AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒，
5490144COD AOD AOC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
（2）OF 平分AOD ∠， 1
54272
AOF ∴∠=⨯︒=︒，
90AOB ∠=︒，
902763BOF AOB AOF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
7、已知：如图，120AOB ∠=︒，过点O 作射线OP ，若OM 平分AOP ∠，ON 平分
BOP ∠， AOP α∠=．
（1）如图1，补全图形，直接写出MON ∠= ° ； （2）如图2，若4BOM BON ∠=∠，求α的值．
解：（1）补全图形如图1所示，直接写出MON ∠= 60 ° ；
B
A
O
P
图1
B
A
O
P
M
N
图
2
（2）∵ OM 平分AOP ∠，AOP α∠=， ∴1
2
AOM α∠=
， ∵120AOB ∠=︒， ∴11202
BOM α∠=︒- 120BOP α∠=-︒． ∵ON 平分BOP ∠，
∴1202
BON α-︒
∠=
∵ 4BOM BON ∠=∠， ∴11201204()2
2
αα-︒
︒-=⋅．
解得
144α=︒．
8、已知点A ，B ，C 在同一条直线上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点． （1）如图，若点C 在线段AB 上，6AC cm =，4CB cm =，求线段MN 的长； （2）若点C 在线段AB 上，且AC CB acm +=，试求MN 的长度，并说明理由；
（3）若点C 在线段AB 的延长线上，且AC BC bcm -=，猜测MN 的长度，写出你的结论，画出图形并说明理由．
【解答】解：（1）6AC cm =，点M 是AC 的中点，
0.53CM AC cm ∴==，
4CB cm =，点N 是BC 的中点，
0.52CN BC cm ∴==， 5MN CM CN cm ∴=+=，
∴线段MN 的长度为5cm ，
（2）1
2
MN a =，
当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在1
2
MN a =，
（3）当点C 在线段AB 的延长线时，如图：
则AC BC >，
M 是AC 的中点，
1
2
CM AC ∴=
， 点N 是BC 的中点， 1
2
CN BC ∴=
， 11
()22
MN CM CN AC BC b ∴=-=-=．
9、如图，已知点O 为直线AB 上一点，将一直角三角板MON 的直角顶点放在O 处． （1）如图1，将三角板的一边ON 与射线OB 重合，过点O 在三角板的内部做射线OC ，使
2NOC MOC ∠=∠，求AOC ∠的度数；
（2）如图2，将三角板绕点O 逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O 在三角板MON 的内部作射线OC 使得OC 恰好是MOB ∠的角的平分线，此时AOM ∠与NOC ∠满足怎样的关系？并说明理由．
【解答】解：（1）2NOC MOC ∠=∠， 1
903021
MOC ∴∠=︒⨯
=︒+， 9030120AOC AOM MOC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
（2）2AOM NOC ∠=∠，
令NOC ∠为β，AOM ∠为γ，90MOC β∠=︒-， 180AOM MOC BOC ∠+∠+∠=︒，
9090180γββ∴+︒-+︒-=︒， 20γβ∴-=，即2γβ=， 2AOM NOC ∴∠=∠．
10、已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为a 和b ，且a ，b 满足等式2(9)|7|0a b ++-=，
p 为数轴上一动点，对应的数为x ．
（1）a = 9- ，b = ，线段AB = ．
（2）数轴上是否存在点p ，使3PA PB =？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若M ，N 分别是线段AB ，PB 的中点，试求线段MN 的长．
【解答】解：（1）由2(9)|7|0a b ++-=，得 90a +=，70b -=．
解得9a =-，7b =．
线段7(9)16AB b a =-=--=；
（2）当P 在AB 上时，PA PB AB +=，即3PB PB AB +=， 即4PB =， 74x -=，
解得3x =；
当P 在线段AB 的延长线上时，PA PB AB -=， 3PB PB AB -=， 8PB =， 7815x =+=；
（3）当P 在AB 上时，如图1；
，
点M 、点N 分别是线段AB ，PB 的中点，得 182MB AB =
=，1
22
BN PB ==． 由线段的和差，得
826MN MB NB =-=-=；
当P 在AB 的延长线上时，如图2；
，
点M 、点N 分别是线段AB ，PB 的中点，得 182MB AB =
=，1
42
BN PB ==． 由线段的和差，得
8412MN MB NB =-=+=．
综上所述：MN 的长为6或12． 故答案为：9-，7，16．
11、如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC =2BC ，则称点C 是线段AB 的内二倍分割点；如图2，如果BC =2AC ，则称点C 是线段BA 的内二倍分割点．
图1 图2
例如：如图3，数轴上，点A 、B 、C 、
D 分别表示数-1、2、1、0，则点C 是线段AB 的内二倍分割点；点D 是线段BA 的内二倍分割点.
图3
（1）如图4，M 、N 为数轴上两点，点M
所表示的数为-2，点N 所表示的数为7．
图4
（2）数轴上，点A 所表示的数为-30，点B 所表示的数为20．点P 从点B 出发，以2个单
位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t （t >0）秒．
②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．
【解答】（1
（2）①则线段BP
②当P在线段AB上时，有以下两种情况：
如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP，
所以50-2t = 2×2t，
解得t=25
3
；
如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP，所以2t=2（50-2t），
解得t=50
3
；
当P在点A左侧时，有以下两种情况：
如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA，所以50=2（2t-50）
解得t=75
2
；
如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA，所以2t-50=2×50，
解得t=75；
综上所述：当t 为
253
，
503，75
2
，75时，P 、A 、B 中恰有 一个点为其余两点的内二倍分割点。

12、已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且21
(100)|10|02
ab a ++-=．P 是数
轴的一动点．
（1）在数轴上标出A 、B 的位置，并求出A 、B 之间的距离；
（2）数轴上一点C 距A 点24个单位的长度，其对应的数c 满足||ac ac =-，当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数
（3）动点M 从原点开始第一次向左移动1个单位，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，⋯⋯点M 能移动到与A 或B 重合的位置吗？若能，请探究第几次移动是重合；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）根据平方与绝对值的非负性：|10|0a -=，21(100)02
ab +=：得10a =，
20b =-，故点A 表示10，点B 表示20-
在数轴上表示如图：
则|||10(20)|30AB =--= （2）||ac ac =-，100a => 0c ∴<，又||24AC = 14c ∴=- 6BC =
①P 在BC 之间时，点P 表示6-， ②P 在C 点右边时，点P 表示2．
（3）第一次点M 表示1-，第二次点M 表示2，依次3-，4，5-，6⋯则第n 次为(1)n n -
点A表示10，则第10次M与A重合；点B表示20
-，点M与点B不重合．
13、数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A，
B在数轴上分别对应的数为a，()
<，则AB的长度可以表示为AB b a
b a b
=-．
请你用以上知识解决问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动3个单位长度到达B点，然后向右移动5个单位长度到达C点．
（1）请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒．
①当2
t=时，求AB和AC的长度；
②试探究：在移动过程中，34
-的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明
AC AB
理由；若不变，请求其值．
【解答】解：（1）A，B，C三点的位置如图所示：
（2）①当2
-，B点表示的数为5，C点表示的数为12，t=时，A点表示的数为4
AC=--=．
∴=--=，12(4)16
5(4)9
AB
②34
-的值不变．
AC AB
当移动时间为t秒时，A点表示的数为2
t+，
t--，B点表示的数为21
t+，C点表示的数为36
则(36)(2)48
=+---=+，
AB t t t
=+---=+，(21)(2)33
AC t t t
343(48)4(33)AC AB t t ∴-=+-+
12241212t t =+--
12=
即34AC AB -的值为定值12．
∴在移动过程中，34AC AB -的值不变．
14、阅读理解：若A 、B 、C 为数轴上三点，若点C 到A 的距离是点C 到B 的距离2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的好点．
（1）如图1，点A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，那么点D 不是 【A ，B 】的好点，但点D 是 【B ，A 】的好点．（请在横线上填是或不是）知识运用：
（2）如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为4，点N 所表示的数为﹣2．数 0或﹣8 所表示的点是【M ，N 】的好点；
（3）如图3，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为﹣20，点B 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A 停止．当经过 5或7.5或10 秒时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的好点？
【解答】解：（1）如图1，∵点D 到点A 的距离是1，到点B 的距离是2，
根据好点的定义得：DB ＝2DA ，
那么点D 不是【A ，B 】的好点，但点D 是【B ，A 】的好点；
（2）如图2，4﹣（﹣2）＝6，6÷3×2＝4，
即距离点M4个单位，距离点N2个单位的点就是所求的好点0；
∴数0所表示的点是【M，N】的好点；
4﹣（﹣8）＝12，﹣2﹣（﹣8）＝6，
同理：数﹣8所表示的点也是【M，N】的好点；
∴数0或﹣8所表示的点是【M，N】的好点；
（3）如图3，由题意得：PB＝4t，AB＝40+20＝60，P A＝60﹣4t，
点P走完所用的时间为：60÷4＝15（秒），
分四种情况：
①当P A＝2PB时，即2×4t＝60﹣4t，t＝5（秒），P是【A，B】的好点，
②当PB＝2P A时，即4t＝2（60﹣4t），t＝10（秒），P是【B，A】的好点，
③当AB＝2PB时，即60＝2×4t，t＝7.5（秒），B是【A，P】的好点，
④当AB＝2AP时，即60＝2（60﹣4t），t＝7.5（秒），A是【B，P】的好点，
∴当经过5秒或7.5或10秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点；
故答案：（1）不是，是；（2）0或﹣8；（3）5或7.5或10．
15、对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到另外两个点的距离恰好满足n(n是大于1的整数)倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“n倍和谐点”.
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，2，4，此时点B是点A，C的“2倍和谐点”；
(1)若点A表示数是-1, 点C表示的数是5，点B1，B2，B3，依次表示-4，1
，7各数，其
2
中是点A，C的“3倍和谐点”的是；
(3)点A表示的数是-20，点C表示的数是40，点Q是数轴上一个动点.
①若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，求此时点Q表示的数；
①若点Q在点A的右侧，且点Q是点A，C的“n倍和谐点”，用含有n的式子直接写出此时点Q所表示的数.
【解答】
(1)B1，B2；
(2)① 设点Q表示的数为x，
①. 如图，当点Q1在点A，C之间，且靠近点A时，4AQ1=Q1C.
则4[ x－(-20)]＝40－x，
解得x＝－8.
所以点Q1表示的数为－8.
①.如图，当点Q2在点A，C之间，且靠近点C时，4Q2C=AQ2.
则4(40-x)＝x-(-20)，
解得x＝28.
所以点Q2表示的数为28.
①. 如图，当点Q3在点A左侧时，4Q3A=CQ3.
则4(-20-x)＝40-x，
解得x＝－40.
所以点Q3表示的数为－40.
①. 如图，当点Q3在点C右侧时，4CQ4=AQ4.
则4(x-40)＝x-(-20)，
解得x＝60.
所以点Q4表示的数为60.
综上所述，若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，此时点Q表示的数-40，-8，28，60.
① -20+60
1
n+（或2040
1
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-+
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1
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（或4020
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）。