2022-2023学年上海市浦东新区高二下学期期末考数学试卷含详解

浦东新区2022学年第二学期高二年级数学期末
2023.6
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1.8-
与8的等差中项是______．2.抛物线
()
20y ax a =≠的准线方程是______．
3.
直线的倾斜角为_______．4.函数
()ln f x x x
=的导数
()f x '=
_________________.
5.空间向量()2,2,1a =-
的
单位向量的坐标是__________．
6.已知曲线22
1
21x y m m +=++是焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是__________．
7.过点
()
23A ,且与直线260x y +-=平行的直线方程是______．
8.直线10x y +-=与直线20x y -=的夹角是___________（用反三角表示）
9.圆
22
2210x y x y +-++=的圆心到直线10x y ++=的距离是______．10.在等比数列
{}n a 中，其前n 项和为n S ，若
372S =
，
663
2S =
，则n a =______．11.若双曲线的一条渐近线为
3
4y x =
，且右焦点与抛物线2
20y x =的焦点重合，则该双曲线的标准方程为______．
12.已知空间三点(1,3,1)A -，(2,4,0)B ，(0,2,4)C ，则以AB 、AC
为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题选对得3分，否则一律得零分．
13.“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（）
A.充分非必要条件；
B.必要非充分条件；
C.充要条件；
D.既不充分又非必要条件．
14.直线1:70l x my ++=和直线()2:2320l m x y m -++=互相垂直，则实数m 的值为（）
A.3
m =- B.1=
2
m C.=1m 或=3m D.1m =-或=3
m 15.
直线0x -=绕原点按逆时针方向旋转30︒后所得的直线l 与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（
）
A.直线l 过圆心
B.直线l 与圆相交，但不过圆心
C.直线l 与圆相切
D.直线l 与圆无公共点
16.在区间(0,1)上，若()1f x '>，则下列四个图中，能表示函数()y f x =的图像的是（
）
A. B.
C
.
D.
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17.
已知()1,4,2a =-
，()2,2,4b =- .
（1）若12c b = ，求cos ,a c <>
的值；
（2）若()(
)
3ka b a b +-∥
，求实数k 的值.
18.已知圆2
2:8C x
y +=内有一点()1,2P -，直线l 过点P 且和圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α.
（1）当135α= 时，求弦AB 的长；
（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．
19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2n n S a n n =-∈N )
*
（1）求证:数列{}1n a +是等比数列;
（2）数列()2log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.20.已知函数()3
1443
f x x x =
-+（1）求出函数()f x 的单调区间
（2）求函数()f x 在区间[]
3,4-上的最大值和最小值.
21.椭圆C ：22
142
x y +=．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若1F 、2F 分别是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，且121PF PF ⋅=
，求点P 的坐标；
（3）如果l ：y x m =+被椭圆C 截得的弦长45
3
，求该直线的方程．
浦东新区2022学年第二学期高二年级数学期末
2023.6
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1.8-与8的等差中项是______．【答案】8
【分析】根据等差中项的定义求解即可.
【详解】设8-与8的等差中项是x ，
则28816x =-+，
8x =.
故答案为：8
2.抛物线()20y ax a =≠的准线方程是______．【答案】4
a x =-
【分析】根据抛物线的方程即得.
【详解】因为抛物线的方程为()20y ax a =≠，所以抛物线()20y ax a =≠的准线方程是4
a x =-.故答案为：4
a x =-
.3.直线的倾斜角为_______．
【答案】
【详解】试卷分析：由直线方程
可知直线的斜率为
，根据直线斜率与倾斜角的关系可知
，所以
，因为
，所以
．
考点：直线的斜率与倾斜角．
4.函数()ln f x x x =的导数()f x '=_________________.【答案】ln 1x +.
【分析】根据初等函数的导数法则和导数的四则运算法则，准确运算，即可求解.【详解】由题意，函数()ln f x x x =，可得()ln (ln )ln 1f x x x x x x '''=+⋅=+.故答案为：ln 1x +.
5.空间向量()2,2,1a =-
的单位向量的坐标是__________．【答案】22
1,,33
3⎛⎫- ⎪
⎝⎭【分析】单位向量只需根据a
e a
=
即可求出.
【详解】()2,2,1a =- ，3a ∴= ，
a e a ∴== 221,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭
.故答案为：22
1,,33
3⎛⎫- ⎪
⎝⎭6.已知曲线22
121
x y m m +=++是焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是__________．
【答案】21m -<<-．
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.
【详解】22
121x y m m +=++ 是焦点在x 轴的双曲线，
20,10m m ∴+>+<，即21m -<<-；
故答案为：21m -<<-.
7.过点()23A ,且与直线260x y +-=平行的直线方程是______．【答案】280
x y +-=【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】设与直线260x y +-=平行的直线方程是20(6)x y m m +-=≠，依题意，2230m +⨯-=，解得8m =，所以所求直线方程是280x y +-=.故答案为：280
x y +-=8.直线10x y +-=与直线20x y -=的夹角是___________（用反三角表示）【答案】arctan 3
【分析】由两直线的夹角公式12
12
tan 1k k k k θ-=
+，将两直线的斜率代入运算即可得解.
【详解】解：因为直线10x y +-=与直线20x y -=的斜率分别为121,2k k =-=设直线10x y +-=与直线20x y -=的夹角为θ，则
121212
tan 311(1)2
k k k k θ---=
==++-⨯，
即arctan 3θ=，
即直线10x y +-=与直线20x y -=的夹角是arctan 3，故答案为arctan 3.
【点睛】本题考查了两直线的夹角公式，重点考查了运算能力，属基础题.9.圆222210x y x y +-++=的圆心到直线10x y ++=的距离是______．
【答案】
2
【分析】根据圆的方程和点到直线的距离公式求解即可.【详解】222210x y x y +-++=，即：()()2
2
111x y -++=，故圆心为：()
1,1
-所以圆心到直线10x y ++=
的距离：2
d =
=.
故答案为：
2
10.在等比数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若372
S =，6632S =，则n a =______．
【答案】2
2n -【分析】根据等比数列求和公式列方程组解得首项与公比，再代入等比数列通项公式得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，显然不符合题意；
当1q ≠时，316
1(1)7
12(1)6312a q q a q q ⎧-=⎪
-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1
122
a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以12
1222
n n n a --=⨯=．
故答案为：22n -.
11.若双曲线的一条渐近线为3
4
y x =
，且右焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则该双曲线的标准方程为______．
【答案】22
1169
x y -
=【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(5,0)，根据条件可得2
223,54
b a b a =+=，进而即得.【详解】 抛物线220y x =的焦点为(5,0)，
∴双曲线的右焦点为(5,0)，可设双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
又双曲线的一条渐近线方程为3
4y x =，
∴
2
223,54
b a b a =+=，所以2216,9a b ==，双曲线的方程是22
1169x y -
=.故答案为：22
1169
x y -
=.12.已知空间三点(1,3,1)A -，(2,4,0)B ，(0,2,4)C ，则以AB 、AC
为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．
【答案】【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求出BAC ∠，再利用三角形面积公式计算作答.
【详解】依题意，(3,1,1),(1,1,3)AB AC =-=- ，||||AB AC ==
1
cos cos ,
11||||AB AC BAC AB AC AB AC ⋅∠=〈〉==-
，而0BAC π<∠<，则230sin 11
BAC ∠=，
所以以AB 、AC
为一组邻边的平行四边形的面积122||||sin 2
ABC S S AB AC BAC ==⨯∠= .
故答案为：二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题选对得3分，否则一律得零分．
13.“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（）
A.充分非必要条件；
B.必要非充分条件；
C.充要条件；
D.既不充分又非必要条件．【答案】B
【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合等比数列的概念即得.
【详解】由“一个数列是常数列”推不出“这个数列是公比为1的等比数列”，如常数列0,0,0，显然不是等比数列，由“数列是公比为1的等比数列”可推出“这个数列是常数列”，
故“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的必要非充分条件.故选：B.
14.直线1:70l x my ++=和直线()2:2320l m x y m -++=互相垂直，则实数m 的值为（）
A.3m =-
B.1=
2
m C.=1m 或=3m D.1m =-或=3
m 【答案】B
【分析】由两直线互相垂直，直接列方程求解即可.
【详解】因为直线1:70l x my ++=和直线()2:2320l m x y m -++=互相垂直，所以230m m -+=，解得1=2
m ，故选：B
15.
直线0x -=绕原点按逆时针方向旋转30︒后所得的直线l 与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（）
A.直线l 过圆心
B.直线l 与圆相交，但不过圆心
C.直线l 与圆相切
D.直线l 与圆无公共点
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线l 的方程，再求出圆心到直线l 的距离判断作答.
【详解】直线0x -=过原点，斜率为3
3
，倾斜角为30︒，依题意，直线l 的倾斜角为60︒
，而l 过原点，
因此，直线l 的
0y -=，又圆22(2)3x y -+=的圆心为(2,0)
于是得点(2,0)到直线l
=l 与圆相切.
故选：C
16.在区间(0,1)上，若()1f x '
>，则下列四个图中，能表示函数
()y
f
x =的图像的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断.
【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间(0,1)上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD 不合题意，
对A 选项，函数在(0,0)处的切线斜率等于1，且在(0,1)上，切线斜率不断增大，则()1f x '>恒成立，故A 正确.故选：A.
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17.已知()1,4,2a =-
，()2,2,4b =- .
（1）若12c b = ，求cos ,a c <>
的值；
（2）若()(
)
3ka b a b +-∥
，求实数k 的值.
【答案】（1）1442
-（2）1
3
-
【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【小问1详解】
由已知可得()11,1,22
c b ==-
，()1,4,2a =- ，
∴
114122cos ,42
a c a c a c
⨯-+⨯+-⨯⋅<>==-
.【小问2详解】
()2,42,24ka b k k k +=-+-+ ，()37,2,14a b -=--
，∵()()3ka b a b +-∥ ，∴存在实数m 使得()
3ka b m a b +=- ，
∴27k m -=，422k m +=-，2414k m -+=-，联立解得13
k =-.18.已知圆2
2:8C x
y +=内有一点()1,2P -，直线l 过点P 且和圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α.
（1）当135α= 时，求弦AB 的长；
（2
）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．【答案】（1（2）250
x y -+=【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长；
（2）根据直线垂直斜率乘积为1-，即可得直线AB 的斜率，进而根据点斜式即可求方程，【小问1详解】
当135α= 时，直线l 的方程为：()21y x -=-+，即10x y +-=，圆心()0,0到直线l
的距离22
d ==
，
又圆的半径r =
所以
AB ==；【小问2详解】
当弦AB 被()1,2P -平分时，OP AB ⊥，∵221
=
=--OP k ，∴12l k =，
∴直线l 的方程为：()1
212
y x -=
+，即250x y -+=.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(2n n S a n n =-∈N )
*
（1）求证:数列{}1n a +是等比数列;
（2）数列()2log 1n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）证明见解析（2）()12
n n n
S +=
【分析】（1）利用n a 与n S 的关系以及等比数列的定义即可证明；
（2）求出数列{}n a 的通项公式可判断数列{}n b 为等差数列，利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【小问1详解】
令1n =时，11121a S a ==-，解得11a =，
由已知得2n n S a n =-①，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①②两式相减得()1212n n a a n -=+≥，∴()1121n n a a -+=+，∴
11
21
n n a a -+=+，∴可知数列的首项为112a +=∴数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，
【小问2详解】
数列{}1n a +的通项公式为11222n n n a -+=⨯=，则21n n a =-，
∴()2log 1n n b a n =+=，
∴数列{}n b 是以1首项，1为公差的等差数列，
∴数列{}n b 的前n 项和()2122n n n b b n n T ++=
=.20.已知函数()31443
f x x x =-+（1）求出函数()f x 的单调区间
（2）求函数()f x 在区间[]3,4-上的最大值和最小值.
【答案】（1）增区间为：(),2-∞-，()2,∞+，减区间为：()2,2-；（2）最大值为
283，最小值为43
-.【分析】
（1）利用导数求函数的单调区间即可.
（2）根据（1）的单调性求最值即可.
【详解】（1）()()()2422f x x x x =-=+-'，
令()0f x '=，解得12x =-，22x =.(),2x ∈-∞-，()0f x ¢>，()f x 为增函数，
()2,2x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，
()2,x ∈+∞，()0f x ¢>，()f x 为增函数.
所以()f x 的增区间为()(),2,2,-∞-+∞，减区间为()2,2-.
（2）由（1）知：[]3,2x ∈--，()f x 为增函数，[]2,2x ∈-，()f x 为减函数，[]2,4x ∈，()f x 为增函数.
()37f -=，()2823f -=
，()423f =-，()3428=f .所以()f x 在区间[]3,4-上的最大值为283，最小值为43-.【点睛】本题第一问考查利用导数研究函数的单调性，第二问考查函数的最值，属于简单题.
21.椭圆C ：22142
x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若1F 、2F 分别是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，且121PF PF ⋅= ，求点P 的坐标；
（3）如果l ：y x m =+被椭圆C 截得的弦长453
，求该直线的方程．【答案】（1）2
2e =
（2
）()
1
P ±（3）1y x =±【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解即可；
（2）设P 点坐标，由121PF PF ⋅= 列出一个方程，再结合P 在椭圆C 上，联立方程即可求解；
（3）联立直线l 与椭圆的方程，可得两根之和及两根之积，利用弦长公式列出方程即可解出m .
【小问1详解】
椭圆C ：22
142
x y +=，222422c a b ∴=-=-=，
22
c e a ==【小问2详解】
由（1
）可知：(
))
120 0F F ，，，，设()00 ，P x y ，121PF PF ⋅=
，
(
))00001x y x y --⋅
-=，，，可得220021x y -+=，且2200142
x y +=，
联立解得：001,y x =±=，
所以)P
或)1-
或()
或()
1-【小问3详解】
设直线l 与椭圆的交点分别为()()1122,,,A x y B x y ,联立2214
2y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：2234240x mx m ++-=，
()2221634240,6m m m ∆=-⨯⨯-><；
21212424,,33
m m x x x x -+=-=
所以弦长||3AB =，解得:1m =±，
所以直线的方程：1y x =±。