人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型
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分析：随机射箭，射落在箭靶 内任何一点是等可能的，且箭 所在的位置有无限多个，符合 几何概型。
射中黄心的概率等于黄心 的面积与箭靶的面积的比，即 两者直径之比的平方。
图3.3-2
例3 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一 个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有 这个细菌的概率.
分析：细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的，取得0.1 升水可作为事件的区域。
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
考：还有其它方法吗？
探究规律：
几何概型公式（1）：
公式（1）： P(A)=
构成事件 A 的区域长度 全结果所构成的区域长度
练习1（口答）
一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒， 黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。 当你到达路口时，看见下列三种情况的 概率各是多少？
例2:如图，在边长为2的正方形中随机撒一粒 豆子，则豆子落在圆内的概率是________。
分析：随机撒一粒豆子，豆子落在 正方形内任何一点是等可能的，且 豆子所在的位置有无限多个，符合 几何概型。 求解：利用几何概型求出豆子撒在 圆内的概率为：
圆的面积 ＝ 正方形的面积 4
探究规律：
几何概型公式（2）：
公式（2）： P(A)=
构成事件 A 的区域面积 全结果所构成的区域面积
练习3
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 那么射中黄心的概率是多少?
• 几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型的特点： 古典概型的特点:
a) 试验中所有可能出现 的基本事件有无限个
b) 每个基本事件出现的 可能性相等
a)试验中所有可能出现的
基本事件只有有限个. b)每个基本事件出现的可 能性相等.
小结：
⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有 关，而与区域的位置无关。
(2)转转盘时，指针指向圆弧上哪一点都是等可能 的。不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜 的概率是不变的。
(3)甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关， 与图形的大小无关。
几何概型的定义
• 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几 何概率模型,简称为几何概型.
探究规律：
公式（1）： P(A)=
构成事件 A 的区域长度 全结果所构成的区域长度
公式（2）： P(A)=
构成事件 A 的区域面积 全结果所构成的区域面积
公式（3）： P(A)=
构成事件 A 的区域体积 全结果所构成的区域体积
P(A)=
构成事件 A 的区域长度（面积或体积） 全结果所构成的区域长度（面积或体积）
复习提问：
1、古典概型的两个特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限 个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2、计算古典概型的公式：
事件 A 所包含基本事件的个数
P(A)=
基本事件的总数
创设情境：
甲乙两赌徒掷色子，规定掷一次谁掷出6点朝 上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？
1 5
构成事件 A 的区域长度（面积或体积）
P(A)= 全结果所构成的区域长度（面积或体积）
• 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 • 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几
何概型公式求解。 • 作业:142页 A组1、2题
3
色子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可 能性的，因而可以利用古典概型；
解： P（甲）=1/6， P（乙）=1/6。
创设情境：
问题:图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规 定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
(1)
(2)
(3)
(4)
思考: 甲获胜的概率与区域的位置有关吗？与图形的大 小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的？
解题方法小结：
对于复杂的实际问题，解题的 关键是要建立概率模型，找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域，把问题转化为 几何概型的问题，利用几何概 型公式求解。
课堂小结
• 1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发 生的概率类型。
• 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目。
古典概型与几何概型的区别
相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型
要求基本事件有无限多个。
下列概率问题中哪些属于几何概型？ ⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的 概率。 ⑵箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意 向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ ⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上 的概率。 ⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定 先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会 面的概率。
解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事 件记为A,则
探究规律：
几何概型公式（3）：
公式（3）： P(A)= 构成事件 A 的区域体积 全结果所构成的区域体积
练习4
1．在500ml的水中有一个草履虫， 现从中随机取出2ml水样放到显微镜 下观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
分析：对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）
（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型。
那么对于有无限多个试验结果的情况相应 的概率应如何求解呢?
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打 开收音机，想听电台报时，求他等待的 时间不多于10分钟的概率。
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间 段内，因此由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6
（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯。
练习2.取一根长为3米的绳子,拉直后在 任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少 于1米的概率有多大?
1m
1m
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m” 为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在 中间一段上时，事件A发生，有无限多个，属几 何概型。由于中间一段的长度等于绳子长的三 分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。
射中黄心的概率等于黄心 的面积与箭靶的面积的比，即 两者直径之比的平方。
图3.3-2
例3 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一 个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有 这个细菌的概率.
分析：细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的，取得0.1 升水可作为事件的区域。
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
考：还有其它方法吗？
探究规律：
几何概型公式（1）：
公式（1）： P(A)=
构成事件 A 的区域长度 全结果所构成的区域长度
练习1（口答）
一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒， 黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。 当你到达路口时，看见下列三种情况的 概率各是多少？
例2:如图，在边长为2的正方形中随机撒一粒 豆子，则豆子落在圆内的概率是________。
分析：随机撒一粒豆子，豆子落在 正方形内任何一点是等可能的，且 豆子所在的位置有无限多个，符合 几何概型。 求解：利用几何概型求出豆子撒在 圆内的概率为：
圆的面积 ＝ 正方形的面积 4
探究规律：
几何概型公式（2）：
公式（2）： P(A)=
构成事件 A 的区域面积 全结果所构成的区域面积
练习3
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 那么射中黄心的概率是多少?
• 几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
几何概型的特点： 古典概型的特点:
a) 试验中所有可能出现 的基本事件有无限个
b) 每个基本事件出现的 可能性相等
a)试验中所有可能出现的
基本事件只有有限个. b)每个基本事件出现的可 能性相等.
小结：
⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有 关，而与区域的位置无关。
(2)转转盘时，指针指向圆弧上哪一点都是等可能 的。不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜 的概率是不变的。
(3)甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关， 与图形的大小无关。
几何概型的定义
• 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几 何概率模型,简称为几何概型.
探究规律：
公式（1）： P(A)=
构成事件 A 的区域长度 全结果所构成的区域长度
公式（2）： P(A)=
构成事件 A 的区域面积 全结果所构成的区域面积
公式（3）： P(A)=
构成事件 A 的区域体积 全结果所构成的区域体积
P(A)=
构成事件 A 的区域长度（面积或体积） 全结果所构成的区域长度（面积或体积）
复习提问：
1、古典概型的两个特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限 个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2、计算古典概型的公式：
事件 A 所包含基本事件的个数
P(A)=
基本事件的总数
创设情境：
甲乙两赌徒掷色子，规定掷一次谁掷出6点朝 上则谁胜，请问甲、乙赌徒获胜的概率谁大？
1 5
构成事件 A 的区域长度（面积或体积）
P(A)= 全结果所构成的区域长度（面积或体积）
• 3.注意理解几何概型与古典概型的区别。 • 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几
何概型公式求解。 • 作业:142页 A组1、2题
3
色子的六个面上的数字是有限个的，且每次都是等可 能性的，因而可以利用古典概型；
解： P（甲）=1/6， P（乙）=1/6。
创设情境：
问题:图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规 定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
(1)
(2)
(3)
(4)
思考: 甲获胜的概率与区域的位置有关吗？与图形的大 小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的？
解题方法小结：
对于复杂的实际问题，解题的 关键是要建立概率模型，找出 随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域，把问题转化为 几何概型的问题，利用几何概 型公式求解。
课堂小结
• 1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发 生的概率类型。
• 2.几何概型主要用于解决长度、面积、体积有关的题目。
古典概型与几何概型的区别
相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的； 不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型
要求基本事件有无限多个。
下列概率问题中哪些属于几何概型？ ⑴从一批产品中抽取30件进行检查,有5件次品，求正品的 概率。 ⑵箭靶的直径为1m，其中，靶心的直径只有12cm，任意 向靶射箭，射中靶心的概率为多少？ ⑶随机地向四方格里投掷硬币50次，统计硬币正面朝上 的概率。 ⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定 先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会 面的概率。
解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事 件记为A,则
探究规律：
几何概型公式（3）：
公式（3）： P(A)= 构成事件 A 的区域体积 全结果所构成的区域体积
练习4
1．在500ml的水中有一个草履虫， 现从中随机取出2ml水样放到显微镜 下观察，则发现草履虫的概率是（ ） A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
分析：对比古典概型和几何概型的特点，判断（1）
（3）属于古典概型；（2）（4）属于几何概型。
那么对于有无限多个试验结果的情况相应 的概率应如何求解呢?
例1 某人午觉醒来，发现表停了，他打 开收音机，想听电台报时，求他等待的 时间不多于10分钟的概率。
解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间 段内，因此由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6
（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯。
练习2.取一根长为3米的绳子,拉直后在 任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少 于1米的概率有多大?
1m
1m
3m
解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m” 为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在 中间一段上时，事件A发生，有无限多个，属几 何概型。由于中间一段的长度等于绳子长的三 分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。