整式的加减乘除混合运算总结
整式及其加减知识点总结
第三章 整式及其加减知识点(1)整式知识点1 ．单项式： 在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式 .2 ．单项式的系数与次数： 单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数 .3 ．多项式： 几个单项式的和叫多项式 .4 ．多项式的项数与次数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意： (若 a 、b 、c 、p 、q 是常数) ax 2+bx+c 和 x 2+px+q 是常见的两个二次三项式 .5．整式： 凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式 .( 单项式整式分类为： 整式〈6 ．同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项 .7 ．合并同类项法则： 系数相加，字母与字母的指数不变 .8． 去 (添) 括号法则： 去(添)括号时，若括号前边是 +”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“ - ”“号，括号里的各项都要变号 .9 ．整式的加减： 整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并 .10.多项式的升幂和降幂排列： 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列) .注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列 .11. 列代数式列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等 .抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了 .12.代数式的值根据问题的需要， 用具体数值代替代数式中的字母， 按照代数式中的运算关系计算， 所得的结果是代数式的值 .13. 列代数式要注意多项式 .①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式；③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。
整式的基本概念与运算
括号前面是加 号或乘号时， 去掉括号，括 号内的各项不
变
括号前面是减 号时，去掉括 号，括号内各
项都变号
括号前面是除 号时，去掉括 号，把括号内 各项乘以除数
的倒数
括号在乘方运 算中，先进行 乘方运算，再
去括号
确定未知数： 明确需要解 决的问题， 并确定未知 数。
列出方程： 根据问题描 述，列出整 式方程。
XX,a click to unlimited possibilities
01 整 式 的 定 义 与 分 类 02 整 式 的 加 减 运 算 03 整 式 的 乘 法 运 算 04 整 式 的 除 法 运 算 05 整 式 的 幂 运 算 06 整 式 的 混 合 运 算
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等运算符号和括号组成的代数式
除法运算的注意事项：注意结果的符号，以及余数的次数不能高于除数的次数
除法运算的应用：在代数、几何等领域有广泛的应用
幂的定义：一个数的n次方表示该数与自身相乘n次 幂的性质：a的0次方等于1，a的负数次方等于a的倒数的正数次方，幂的乘法满足结合律和分配律
幂的乘法：同底 数幂相乘时，指 数相加
幂的除法：同底 数幂相除时，指 数相减
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举例：2x^3y与3xy^2相乘得到 6x^4y^3。
运算性质：单项式乘以单项式的 运算是整式运算中的基本运算之 一，掌握其运算法则对于后续学 习多项式乘法、除法等具有重要 意义。
定义：将单项式中 的每一个字母因数 与多项式中的每一 项相乘，得到新的 多项式
举例：如(a+b+c) 乘以x得到 ax+bx+cx
注意事项：注意 符号的运算，负 负得正
专题03 整式的运算与因式分解篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结
知识回顾专题03整式的运算与因式分解2023年中考数学必考考点总结1.合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
2.整式的加减的实质：合并同类项。
3.整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
4.乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a -=-+。
②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。
5.因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则：()()n x m x c bx x ++=++2。
专题练习31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21．【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+b 2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21．【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣＝1+1+2×+﹣1﹣2＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值：（1）（x ﹣x 1）2；（2）x 4+41x ．【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵，∴＝＝＝﹣4x •＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°；（2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。
初中数学中考总复习——整式(合并同类项整式加减乘法除法混合运算分解因式图文详解)
初中数学总复习整式
多项式的项数与次数
例3 下列多项式次数为3的是（ C）
A. 5x 2 6x 1
B.x 2 x 1
C .a 2b ab b2
D.x2 y2 2x3 1
注意（1）多项式的次数不是所有项的次数的和，而是它的最高 次项次数；
（2）多项式的每一项都包含它前面的符号； （3）再强调一次， “π”当作数字，而不是字母
—
~~~——
~~~
一找
＝（4x2－3x2）+ (－8x＋6x)+ (5－4） 二移
＝ x2 －2x ＋1
三并
初中数学总复习整式
合并同类项的步骤：
1、找出同类项 用不同的线标记出各组同类项，注意每一项的符号。 2、把同类项移在一起
用括号将同类项结合，括号间用加号连接。
3、合并同类项 系数相加,字母及字母的指数不变 。
项式，最高次项是____x__23_y_2_，常数项是____13_____；
初中数学总复习整式
易错题
例5 下列各个式子中，书写格式正确的是（ F）
A.a b D.a3
B. 1 1 ab 2
C.a 3
E. 1ab
F. a2b 3
初中数学总复习整式
小结：
1、代数式中用到乘法时，若是数字与数字乘，要用“×” 若是数字与字母乘，乘号通常写成”.”或省略不写，如 3×y应写成3·y或3y，且数字与字母相乘时，字母与 字母相乘，乘号通常写成“·”或省略不写。
初中数学总复习整式
多项式的项数与次数
例4 、请说出下列各多项式是几次几项式，并写出多项式的最高次
项和常数项；
(1)25 x2 y xy3是 __四___次 __三___ 项式，最高次项是_____x_y__3_，常数项是___2__5____；
整式加减题型归纳梳理
整式加减必考点全梳理考点1 代数式的定义及书写（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘 号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在 那个字母前加上“-”号.例题1 在下列各式中（1）3a ，（2）4+8＝12，（3）2a ﹣5b ＞0，（4）0，（5）s ＝πr 2，（6）a 2﹣b 2，（7）1+2，（8）x +2y ，其中代数式的个数是（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个（2）下列各式：①114x ；②2•3；③20%x ；④a ﹣b ÷c ；⑤m−n 3；⑥x ﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有（ ） A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【分析】（1）根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．依此作答即可．（2）根据书写规则，分数不能为带分数，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．【解析】（1）由题可得，属于代数式的有：（1）3a ，（4）0，（6）a 2﹣b 2，（7）1+2，（8）x +2y ，共5个， 故选：C ．（2）①114x 中分数不能为带分数； ②2•3数与数相乘不能用“•”；③20%x ，书写正确； ④a ﹣b ÷c ，除号应用分数线，所以书写错误； ⑤m−n 3书写正确； ⑥x ﹣5应该加括号，所以书写错误；符合代数式书写要求的有③⑤共2个．故选：D ．【小结】（1）代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．（3）注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式． 变式1 在以下各式中属于代数式的是（ ） ①S =12ah ②a +b ＝b +a ③a ④1a⑤0 ⑥a +b ⑦a+b abA ．①②③④⑤⑥⑦B ．②③④⑤⑥C ．③④⑤⑥⑦D ．①②【分析】根据代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式进行分析即可．【解析】③a ，④1a，⑤0，⑥a +b ，⑦a+b ab是代数式，故选：C ．变式2 在式子0.5xy ﹣2，3÷a ，12（a +b ），a •5，﹣314abc 中，符合代数式书写要求的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】直接利用代数式的定义，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式，进而判断即可．【解析】0.5xy ﹣2，3÷a ，12（a +b ），a •5，﹣314abc 中，符合代数式书写要求的有0.5xy ﹣2，12（a +b ）共2个．故选：B ．变式3 进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“•”或者省略不写”．其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“÷”，通常用分数线“﹣”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式（ac ×4﹣b 2）÷4简写为 ．【分析】根据代数式的写法表示即可． 【解析】代数式（ac ×4﹣b 2）÷4简写为：4ac−b 24，考点2 列代数式（和差倍问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范. 例题2 学校举行国庆画展，七（1）班交m 件作品，七（2）班交的作品比七（1）班的2倍少6件，则七（2）班交的作品是 件．【分析】根据“2倍”即乘以2，“少6件”即再减去6即可得． 【解析】根据题意知七（2）班交的作品数量为（2m ﹣6）件，变式4 某校报数学兴趣小组的有m 人，报书法兴趣小组的人数比数学兴趣小组的人数的一半多3人，那么报书法兴趣小组的有 人．【分析】数学兴趣小组的人数的一半是：12m ，则根据“报书法兴趣小组的人比数学兴趣小组的人数的一半多3人”列出代数式．【解析】依题意知，美术兴趣小组的人数是：12m +3．变式5 某学校七年级有m 人，八年级人数比七年级人数的23多10人，九年级人数比八年级人数的2倍少50人，用含m 的式子表示七八九三个年级的总人数为（ ） A ．3mB ．113m ﹣40C ．3m ﹣40D ．3m ﹣20【解析】由题意可得，八年级的人数为：23m +10，九年级人数为：2（23m +10）﹣50， 故七八九三个年级的总人数为：m +23m +10+2（23m +10）﹣50＝3m ﹣20．故选：D ．变式6 我校甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知甲同学捐款x 元，乙同学的捐款金额比甲同学捐款金额的3倍少8元，丙同学的捐款金额是甲、乙两同学捐款总金额的34，用含x 的代数式表示甲，乙、丙三位同学的捐款总金额．【解析】由题意可得，乙同学捐款（3x ﹣8）元，丙同学的捐款金额是：34（x +3x ﹣8）＝3x ﹣6（元），故甲，乙、丙三位同学的捐款总金额为：x +3x ﹣8+3x ﹣6＝7x ﹣14（元）．考点3 列代数式（数字问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范. 例题3 一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为（ ） A ．11a ﹣20B ．11a +20C ．11a ﹣2D ．11a +2【分析】根据一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字少2，可知个位数字为a ﹣2，然后即可用含a 的代数式表示出这个两位数．【解析】由题意可得，这个两位数为：10a +（a ﹣2）＝11a ﹣2，故选：C ．变式7 设a 是一个三位数，b 是一个两位数，如果将这两个数顺次排成一个五位数（a 在左，b 在右），则这个五位数可以表示为 ．【分析】相当于把三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，相加即可．【解析】∵三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，∴这个五位数可以表示为100a +b ．变式8一个三位数为x，一个两位数为y，把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，则M﹣N＝（结果用含x，y的式子表示）．【分析】由于一个两位数为y，一个三位数为x，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M，由此得到M＝100x+y，又把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N，由此得到N＝1000y+x，然后就可以求出M﹣N的值．【解析】依题意得，M＝100x+y，N＝1000y+x，∴M﹣N＝（100x+y）﹣（1000y+x）＝99x﹣999y．变式9用式子表示十位上的数是x，个位上的数是y的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置．求后来所得的数与原来的数的差是多少？【解析】依题意有（10y+x）﹣（10x+y）＝10y+x﹣10x﹣y＝9y﹣9x．故后来所得的数与原来的数的差是9y﹣9x．考点4 列代数式（销售问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题4一件羽毛球拍先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，若这件羽毛球拍的成本价是x元，那么售价可表示为．【分析】直接利用成本与原价以及售价与打折的关系进而得出答案．【解析】由题意可得：（1+50%）x×0.8＝1.2x（元）．故答案为：1.2x元．变式10某商店有一种商品每件成本a元，按成本价增加20%定为售价，售出80件后，由于存积压降价，打八五折出售，又售出120件．（1）求该商品减价后每件的售价为多少元？（2）售完200件这种商品共盈利多少元？【解析】（1）由题意可得，每件商品减价后的售价是：a（1+20%）×0.85＝1.02a（元），即该商品减价后每件的售价为1.02a元；（2）20%a×80+（1.02a﹣a）×（200﹣80）＝16a+0.02a×120＝16a+2.4a＝18.4a（元），答：售完200件这种商品共盈利18.4a元．【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．变式11 小明经销一种服装，进货价为每件a 元，经测算先将进货价提高200%进行标价，元旦前夕又按标价的4折销售，这件服装的实际价格（ ） A ．比进货价便宜了0.52a 元B ．比进货价高了0.2a 元C ．比进货价高了0.8a 元D ．与进货价相同【解析】由题意可得，这件服装的实际价格是：（1+200%）a ×40%＝1.2a 元． 则1.2a ﹣a ＝0.2a （元）比进货价高了0.2a 元．故选：B ．变式12 张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a 元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b 元的价格购进了30件乙种小商品（a ＞b ）．根据市场行情，他将这两种小商品都以a+b 2元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为（ ）A ．赚了（25a +25b ）元B ．亏了（20a +30b ）元C ．赚了（5a ﹣5b ）元D ．亏了（5a ﹣5b ）元 【解析】根据题意可知：总进价为20a +30b ，总售价为a+b 2×（20+30）＝25a +25b∴25a +25b ﹣（20a +30b ）＝5a ﹣5b ，∵a ＞b ，∴5a ﹣5b ＞0，那么售价＞进价，∴他赚了．故选：C ．考点5 列代数式（增长率问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范. 例题5 某校去年初一招收新生a 人，今年比去年增加x %，今年该校初一学生人数用式子表示为（ ） A ．（a +x %）人 B ．ax %人 C ．a(1+x)100人D ．a （1+x %）人【解析】∵去年初一招收新生a 人，∴今年该校初一学生人数为：a （1+x %）人．选：D ．变式13 某校初一年级计划初中三年每年参加植树活动，2019年已经植树a 亩，如果以后每年比上一年植树面积增长20%，那么2021应植树的面积为（ ） A ．a •（1+20%） B ．a •（1+2×20%） C ．a •（1+20%）2D ．2a •（1+20%）【解析】由题意可得，2021应植树的面积为：a （1+20%）2，故选：C ．变式14 某企业今年1月份产值为x 万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则1月份和2月份的产值和是（ ）A ．x +（1﹣10%）x 万元B ．x +（1+10%）x 万元C ．（1﹣10%）x 万元D ．（1+10%）x 万元【分析】根据题意表示出2月份的产值，进而得出答案．【解析】∵今年1月份产值为x 万元，2月份的产值比1月份减少了10%，∴2月份的产量为：（1﹣10%）x ，故1月份和2月份的产值和是：[x +（1﹣10%）x ]万元．故选：A ．变式15裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，则下列各式中，能正确表示这个商店第一季度的总利润的是（）A．50（1+m）万元B．50（1+m）2万元C．[50+50（1+m）]万元D．[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元【解析】∵裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，∴二月份的利润为50（1+m）万元，三月份的利润为50（1+m）2，∴这个商店第一季度的总利润是[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元．故选：D．考点6 列代数式（分段计费问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题6东西湖区域出租汽车行驶2千米以内（包括2千米）的车费是10元，以后每行驶1千米，再加0.7元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥2），则车费是（）A．（10﹣0.7m）元B．（11.4+0.7m）元C．（8.6+0.7m）元D．（10+0.7m）元【解析】由题意可得，车费是：10+（m﹣2）×0.7＝（0.7m+8.6）元，故选：C．变式16为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小刚家用电量最多的是月份，实际用电量为度；（2）小刚家一月份应交纳电费元；（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．【解析】（1）由表格可知，五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8＝25+90+0.8x﹣160＝（0.8x﹣45）元．变式17为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米）价目表每月用水量单价不超过6m3的部分2元/m3超出6m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3请根据上表的内容解答下列问题：（1）填空：若该户居民2月份用水5m3，则应交水费元；3月份用水8m3，则应收水费元；（2）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费多少元（用含a的代数式表示，并化简）？（3）若该户居民5、6两个月共用水14m3（6月份用水量超过了5月份），设5月份用水xm3，直接写出该户居民5、6两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示）．【解析】（1）由表格可得，若该户居民2月份用水5m3，则应交水费：2×5＝10（元），3月份用水8m3，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝12+4×2＝12+8＝20（元），（2）由表格可得，该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费：2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元，（3）由题意可得，x＜14﹣x，得x＜7，当6＜x＜7，该户居民5、6两个月共交水费：[2×6+（x﹣6）×4]+[2×6+（14﹣x﹣6）×4]＝32（元），当4≤x≤6时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（14﹣x）×4]＝（﹣2x+68）（元），当0≤x＜4时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（10﹣6）×4+（14﹣x）×8]＝（140﹣6x）（元）．【小结】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式、利用分类讨论的的方法解答．变式18 滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目 里程费 时长费 远途费 单价1.8元/公里0.45元/分钟0.4元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算： 时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 元；（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a 公里，行车时间为b 分钟，则小明应付车费多少元；（用含a 、b 的代数式表示，并化简）（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？【解析】（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元）， （2）当a ≤10时，小明应付费（1.8a +0.45b ）元；当a ＞10时，小明应付费1.8a +0.45b +0.4（a ﹣10）＝（2.2a +0.45b ﹣4）元； （3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a 分钟、（a ﹣24）分钟， 1.8×9.5+0.45a ﹣[1.8×14.5+0.45（a ﹣24）+0.4×（14.5﹣10）]＝0 因此，小王和小张付费相同．考点7 代数式求值（整体代入法）例题7 已知代数式x ﹣2y 的值是3，则代数式4y +1﹣2x 的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣3C ．﹣1D ．0【解析】∵x ﹣2y ＝3，∴4y +1﹣2x ＝﹣2（x +2y ）+1＝﹣6+1＝﹣5．故选：A ．变式19 当x ＝2时，代数式px 3+qx +1的值为﹣2019，求当x ＝﹣2时，代数式的px 3+qx +1值是（ ） A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【解析】当x ＝2时，代数式px 3+qx +1的值为﹣2019，即8p +2q ＝﹣2020．当x ＝﹣2时，代数式的px 3+qx +1＝﹣8p ﹣2q +1＝﹣（8p +2q ）+1＝2020+1＝2021．故选：D ． 变式20 已知1﹣a 2+2a ＝0，则14a 2−12a +54的值为（ ）A ．32B ．14C ．1D ．5【分析】1﹣a 2+2a ＝0经过整理得：a 2﹣2a ＝1，14a 2−12a +54=14（a 2﹣2a ）+54，把a 2﹣2a ＝1代入代数式14（a 2﹣2a ）+54，计算求值即可．【解析】∵1﹣a 2+2a ＝0，∴a 2﹣2a ＝1， ∴14a 2−12a +54=14（a 2﹣2a ）+54=14×1+54=32，故选：A ．变式21 （1）【探究】若a 2+2a ＝1，则代数式2a 2+4a +4＝2（ ）+4＝2×（ ）+4＝ ． 【类比】若x 2﹣3x ＝2，则x 2﹣3x ﹣5的值为 ．（2）【应用】当x ＝1时，代数式px 3+qx +1的值是5，求当x ＝﹣1时，px 3+qx +1的值；（3）【推广】当x ＝2020时，代数式ax 5+bx 3+cx ﹣5的值为m ，当x ＝﹣2020时，ax 5+bx 3+cx ﹣5的值 为 （含m 的式子表示）【解析】（1）∵a 2+2a ＝1，∴2a 2+4a +4＝2（a 2+2a ）+4＝2×（1）+4＝6； 【类比】若x 2﹣3x ＝2，则x 2﹣3x ﹣5＝2﹣5＝﹣3；故答案为a 2+2a ，1，6；﹣3；、 （2）∵当x ＝1时，代数式px 3+qx +1的值是5，∴p +q +1＝5，∴p +q ＝4， ∴当x ＝﹣1时，px 3+qx +1＝﹣p ﹣q +1＝﹣（p +q ）+1＝﹣4+1＝﹣3； （4）∵当x ＝2020时，代数式ax 5+bx 3+cx ﹣5的值为m ，（5）∴20205a +20203b +2020c ﹣5＝m ，即20205a +20203b +2020c ＝m +5， 当x ＝﹣2020时，ax 5+bx 3+cx ﹣5＝（﹣2020）5a +（﹣2020）3b +（﹣2020）c ﹣5 ＝﹣20205a ﹣20203b ﹣2020c ﹣5＝﹣（20205a +20203b +2020c ）﹣5＝﹣（m +5）﹣5 ＝﹣m ﹣5﹣5＝﹣m ﹣10．故答案为﹣m ﹣10．考点8 代数式求值（程序框图）例题8 根据以下程序，当输入x ＝﹣2时，输出结果为（ ）A ．﹣5B ．﹣16C ．5D ．16【解析】当x ＝﹣2时，9﹣x 2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5＞1， 当x ＝5时，9﹣x 2＝9﹣52＝9﹣25＝﹣16＜1， ∴当输入x ＝﹣2时，输出结果为﹣16．故选：B ．【小结】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简变式22根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣1，则输出结果为（）A．4B．2C．1D．﹣1【解析】当入x＝﹣1时，﹣x2+3＝﹣1+3＝2＞1，当x＝2时，﹣x2+3＝﹣4+3＝﹣1＜1，故选：D．变式23按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为6的是（）A．x＝5，y＝﹣1B．x＝2，y＝2C．x＝2，y＝﹣1D．x＝﹣2，y＝3【解析】A、当x＝5，y＝﹣1时，输出结果为5+1＝6，符合题意；B、当x＝2，y＝2时，输出结果为2﹣4＝﹣2，不符合题意；C、当x＝2，y＝﹣1时，输出结果为2+1＝3，不符合题意；D、当x＝﹣2，y＝3时，输出结果为﹣2﹣9＝﹣11，不符合题意，故选：A．变式24如图是一个运算程序，能使输出结果为﹣1的是（）A．1，2B．﹣1，0C．﹣1，2D．0，﹣1【分析】根据筛选法将各个选项分别代入运算程序即可得结果．【解析】A．当a＝1，b＝2时，输出结果为3，不符合题意；B．当a＝﹣1，b＝0时，输出结果为1，不符合题意；C．当a＝﹣1，b＝2时，输出结果为﹣1，符合题意；根据筛选法C选项正确．故选：C．【小结】本题考查了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解运算程序．考点9 单项式的系数与次数解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字 母的指数的和叫做这个单项式的次数例题9 4πx 2y 4z9的系数是 ，次数是 ． 【解析】4πx 2y 4z9的系数是：4π9，次数是：7．变式25 单项式﹣3πxa +1y 2与−102x 2y 39的次数相同，则a 的值为 ． 【分析】根据单项式的次数相等，得到关于a 的一元一次方程，求解即可．【解析】因为−102x 2y 39的次数是5， 又因为单项式﹣3πxa +1+y 2与−102x 2y 39的次数相同所以a +1+2＝5解得a ＝2 变式26 若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为 ． 【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m 、n 的值，然后求解即可． 【解析】根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9，解得：m ＝﹣1，n ＝1，则m +n ＝﹣1+1＝0． 变式27 已知（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，求m 2﹣2m +2＝ ． 【解析】∵（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式， ∴3+|m |+1＝7且m ﹣3≠0，解得：m ＝﹣3， ∴m 2﹣2m +2＝9+6+2＝17．故答案为：17．考点10 多项式的项与次数解题关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．例题10 关于多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2，下列说法正确的是（ ） A ．三次项系数为3B ．常数项是﹣2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，﹣2D ．这个多项式是四次四项式【解析】A 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意； B 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的项为5x 4y ，﹣3x 2y ，4xy ，﹣2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意； 故选：B ．变式28 多项式 是一个关于x 的三次四项式，它的次数最高项的系数是﹣5，二次项的系数是34，一次项的系数是﹣2，常数项是4．【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【解析】由题意可得，此多项式可以为：﹣5x 3+34x 2﹣2x +4． 变式29 已知关于x 的整式（|k |﹣3）x 3+（k ﹣3）x 2﹣k ． （1）若此整式是单项式，求k 的值； （2）若此整式是二次多项式，求k 的值； （3）若此整式是二项式，求k 的值．【解析】（1）∵关于x 的整式是单项式，∴|k |﹣3＝0且k ﹣3＝0，解得k ＝3，∴k 的值是3； （2）∵关于x 的整式是二次多项式，∴|k |﹣3＝0且k ﹣3≠0，解得k ＝﹣3，∴k 的值是﹣3； （3）∵关于x 的整式是二项式，∴①|k |﹣3＝0且k ﹣3≠0，解得k ＝﹣3； ②k ＝0．∴k 的值是﹣3或0．变式30 已知关于x 、y 的多项式−35x 2y m+1+12x 2y 2−3y 2+8是八次四项式，单项式5x n y 6﹣m的次数与该多项式的次数相同，求m 、n 的值．【解析】∵多项式−35x 2y m+1+12x 2y 2−3y 2+8是八次四项式，所以2+m +1＝8，解得m ＝5 又因为5x n y 6﹣m的次数与该多项式的次数相同，所以n +6﹣m ＝8 即n ＝7．考点11 与数有关的规律探索例题11 根据图中数字的规律，则x +y 的值是（ ）A ．729B ．550C ．593D ．738【解析】∵5＝22+1，12＝5×2+2；17＝42+1，72＝17×4+4；37＝62+1，228＝37×6+6；∴x＝82+1＝65，y＝65×8+8＝528，x+y＝65+528＝593．故选：C．变式31将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（）A．363B．361C．359D．357【解析】观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：第一行的第一个数：1×0+1＝1第二行的第一个数：2×1+1＝3第三行的第一个数：3×2+1＝7…第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1∴第19行的第一个数：19×18+1＝343∴第19行的第11个数：343+10×2＝363 故选：A．变式32将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（）A．位B．位C．位D．位【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2020是第2021个数，∴2021÷4＝505余1，∴2020应位于第506循环组的第1个数，在A位．故选：A．变式33按规律排列的一列数：−12，25，−38，411，−514，…，则第2020个数是．【解析】−12=(−1)1×13×1−1，25=(−1)2×23×2−1，−38=(−1)3×33×3−1，4 11=(−1)4×43×4−1，−514=(−1)5×53×5−1，…由上可知第n个数为：(−1)n×n3n−1，∴第2020个数是：(−1)2020×20203×2020−1=20206059． 故答案为：20206059．考点12 与式有关的规律探索例题12 从2开始，连续n 个偶数相加的合计为S ，它们和的情况如下表： （1）若n ＝8时，则S 的值为 ．（2）根据表中的规律猜想：用n 的式子表示S 的公式为：S ＝2+4+6+8+…+2n ＝ ．加数的个数nS 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 52+4+6+8+10＝30＝5×6（3）根据上题的规律计算2+4+6+8+10+…+2018+2020的值．【解析】（1）当n ＝8时，S ＝2+4+6+…+16＝（2+16）×4＝18×4＝72， （2）由表格中的数据可知，S ＝2+4+6+8+…+2n ＝n （n +1），（3）2+4+6+8+10+…+2018+2020＝（2020÷2）×（2020÷2+1）＝1010×1011＝1021110． 变式34 已知a 是不为1的有理数，我们把11−a称为a 的差倒数，如2的差倒数是11−2=−1．现已知a 1=12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数． （1）求a 2，a 3，a 4的值．（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a 2018•a 2019•a 2020的值． （3）计算：a 1+a 2+a 3+…+a 2018+a 2019． 【解析】（1）∵a 1=12，∴a 2=11−12=2，a 3=11−2=−1，a 4=11−(−1)=12， 即a 2，a 3，a 4的值分别为2，﹣1，12；（2）∵2018÷3＝672…2，∴a 2018•a 2019•a 2020＝2×（﹣1）×12＝﹣1； （3）∵2019÷3＝673，12+2+（﹣1）=32，∴a 1+a 2+a 3+…+a 2018+a 2019=32×673=20192． 变式35 小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：12−13=32×3−22×3=3−22×3=12×3=16，反之，这个式子仍然成立，即：16=12×3=3−22×3=32×3−22×3=12−13（1）问题发现 观察下列等式： ①11×2=2−11×2=21×2−11×2=1−12，②12×3=3−22×3=32×3−22×3=12−13，③13×4=4−33×4=43×4−32×3=13−14，…，猜想并写出第n 个式子的结果：1n(n+1)= ．（直接写出结果，不说明理由）（2）类比探究将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果： ①11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020= ；②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= ；（3）拓展延伸 计算：11×3+13×5+15×7+⋯+199×101． 【解析】（1）由题目中的式子可得1n(n+1)=1n−1n+1，（2）①11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020＝1−12+12−13+13−14+⋯+12019−12020＝1−12020=20192020， ②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)＝1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1＝1−1n+1=nn+1， （3）11×3+13×5+15×7+⋯+199×101=12×（1−13+13−15+15−17+⋯+199−1101）=12×（1−1101）=12×100101 =50101．【小结】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．变式36阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22020的值．设S＝1+2+22+23+24+...+22020，将等式两边同时乘以2得，2S＝2+22+23+24+25+ (22021)将下式减去上式，得2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+24+…+22020＝22021﹣1仿照此法计算：（1）1+3+32+33+ (320)（2）1+12+122+123+⋯+12100．【解析】（1）设S＝1+3+32+33+...+320，则2S＝3+32+33+ (321)∴3S﹣S＝321﹣1，即S=321−12，则1+3+32+33+…+320=321−12；（2）设S＝1+12+122+123+⋯+12100，则12S=12+122+123+⋯+12100+12101，∴S−12S＝1−12101=2101−12101，即S=21101−12100，则S＝1+12+122+123+⋯+12100=21101−12100．考点13 与图形排列有关的规律探索例题13如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（）A．42B．43C．56D．57【分析】设第n个图形中一共有a n个菱形（n为正整数），根据各图形中菱形个数的变化可得出变化规律“a n ＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．【解析】设第n个图形中一共有a n个菱形（n为正整数），∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴a n＝n2+n+1（n为正整数），∴a6＝62+7＝43．故选：B．【小结】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中菱形个数的变化，找出变化规律“a n＝n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．变式37观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第10个图中共有点的个数是（）A．109个B．136个C．166个D．199个【解析】由图可得，第1个图中点的个数为：1+3×1＝4，第2个图中点的个数为：1+3×1+3×2＝10，第3个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3＝19，…，第10个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3+…+3×10＝1+3+6+9+…+30＝166，故选：C．变式38将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，则图4中共有10个正方形，照这个规律剪下去…（1）根据图中的规律补全下表：图形标号123456…n正方形个数14710…（2）求第几幅图形中有2020个正方形？【分析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，计算出结果填上即可；（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出3n﹣2＝2020，解得n＝674．【解析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，∴第5个图形有正方形13个，第6个图形有正方形16个，补全表如下：（2）由第n 个图形有正方形（3n ﹣2）个，得出：3n ﹣2＝2020，解得：n ＝674， ∴第674幅图形中有2020个正方形．变式39 某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐 人；对于方式二，n 张桌子拼在一起可坐 人； （2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，若按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，按方式二的拼法，则40张桌子共可坐多少人？ （4）一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，要求用满座位，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢（不考虑场地等因素）？【分析】（1）根据题意和图形可以解答本题； （2）根据题意和题目中的数据可以解答本题；（3）根据题意和题目中的数据可以解答本题； （4）根据题意可以写出相应的方案，本题答案不唯一，只要符合题意即可．【解析】（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐2+4×4＝18（人）， 对于方式二，n 张桌子拼在一起可坐：（2n +4）人， 故答案为：18；（2n +4）；（2）按方式一，每5张拼成一张大桌子，一个大桌可坐2+4×5＝22（人），则拼成8张大桌子可坐22×8＝176（人），答：按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐176人； （3）按方式二，每8张拼成一张大桌子，一个大桌可坐2×8+4＝20（人），则拼成408=5张大桌子可坐20×5＝100（人），答：按方式二的拼法，则40张桌子共可坐100人；（4）因为一张小桌可坐6人，当n＝25时，共坐6×25＝150＞98，有多空位，以下是几张小桌拼成一张大桌的座位数列表供分析：连拼数目座位2张连拼3张连拼4张连拼5张连拼6张连拼8张连拼方式一101418222634方式二81012141618经分析，用单一方式摆放难以实现要求，所以可考虑两种方式搭配，观察思考可得：将16张桌子按方式一摆成8张连拼的2个大桌，余下9张桌子按方式二摆成3张连拼的3个大桌，2×34+3×10＝98，正好坐满．（方案不唯一，或用以下方案）设用x张桌子连拼成一个大桌摆成方式一，则用（25﹣x）张桌子连拼成一个大桌摆成方式二，则可坐人数为：4x+2+2（25﹣x）+4＝2x+56＝98 可得：x＝21，25﹣x＝4答：按方式一，用21张桌子连拼成一大桌，按方式二，用4张桌子连拼成一大桌，即可坐满98人．考点14 同类项的定义解题关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．例题14下列各组式子中是同类项的是（）A．2x3与3x2B．12ax与8bx C．x4与a4D．23与32【解析】A、2x3与3x2，所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项；B、12ax与8bx，所含字母不相同，不是同类项；C、x4与a4，所含字母不相同，不是同类项；D、23与32，是同类项，故选：D．变式40﹣2a2m+3b5与3a5b m﹣2n是同类项，则（m+n）2020的值是（）A．1B．﹣1C．2D．4【解析】∵﹣2a2m+3b5与3a5b m﹣2n是同类项，∴2m+3＝5，5＝m﹣2n，解得m＝1，n＝﹣2，则（1﹣2）2020＝（﹣1）2020＝1，故选：A．变式41如果单项式﹣3x a y5与x3y a+b的和是单项式，那么a与b的值分别是（）A．a＝3，b＝5B．a＝5，b＝3C．a＝3，b＝2D．a＝2，b＝3【解析】由题意，得a＝3，a+b＝5．所以a＝3，b＝2．故选：C．。
代数式整式的加法和减法
05
整式的加减混合运算
整式的加减混合运算法则
合并同类项
在整式加减混合运算中， 常常需要将同类项进行合 并，以简化运算过程。
括号内的优先运算
在有括号的情况下，括号 内的运算应优先进行，遵 循先小括号后大括号的顺 序。
代数式是数学中基本且重要的概念之一，是数学表达和计算 的基础。
代数式的表示方法
通常使用字母表示未知数，数字和数学符号组成表达式。 例如，x + 3, 4x^2 - 7y, (x+2)^3 等都是代数式。
代数式的分类
整式
只包含加、减、乘、除和乘方运算的代数式 。
多项式
由多个单项式组成的代数式。
分式
代数式整式的加法和减法
2023-11-09
contents
目录
• 代数式的基本概念 • 整式的基本概念 • 整式的加法 • 整式的减法 • 整式的加减混合运算 • 整式的加减法在实际问题中的应用
01
代数式的基本概念
什么是代数式
代数式是由数学符号（加、减、乘、除、乘方等）和数字组 成的数学表达式。
合并同类项：把所有同类项合并起来 。
整式加法的例子
• 同类项：$2x^{2}$ 与 $6x^{2}$，$3x$ 与 $-2x$， $5$ 与 $7$。 • 结果：$(8x^{2} + x + 12)$。
$(2x^{2} + 3x + 5) + (6x^{2} - 2x + 7)$
• 系数相加：$2 + 6 = 8$，$3 - 2 = 1$，$5 + 7 = 12$。
整式其加减知识点总结
整式其加减知识点总结一、整式的基本概念1. 整式：由正整数幂、变量和它们的积（包括系数）以及它们的和或差组成的式子称为整式。
2. 字母的幂：整式中的变量乘方。
3. 项：整式中的单个元素，可以是常数、变量或者它们的乘积。
4. 系数：整式中变量的乘方的系数，可以是数字或者其他变量的多项式。
5. 次数：整式中变量的幂次的最高指数。
二、整式的加法1. 整式的加法公式：将同类项相加，即将具有相同字母幂的项相加，并将结果写成一个整式。
2. 同类项：具有相同字母幂的项即为同类项。
3. 加法运算规则：将同类项的系数相加，并将相同的字母幂保持不变。
三、整式的减法1. 整式的减法公式：与整式的加法类似，只是将同类项相减，并将结果写成一个整式。
2. 减法运算规则：将同类项的系数相减，并将相同的字母幂保持不变。
四、整式的加减混合运算1. 整式的加减混合运算：将整式的加法和减法相结合，首先将同类项相加或相减，然后将结果写成一个整式。
2. 加减混合运算规则：先将同类项相加或相减，然后将结果整理成一个整式。
3. 注意事项：注意符号的加减变换，并且要注意合并同类项时系数的变化。
五、整式加减的化简1. 整式加减的化简：将整式中的同类项相加或相减，然后将结果整理成一个简化的整式。
2. 通常包括的步骤：合并同类项、整理系数、整理变量。
六、整式加减的应用1. 代数方程式的整理：将代数方程式中的整式进行加减混合运算，将同类项进行合并后化简方程式。
2. 代数方程式的解：通过整式的加减混合运算，可以更方便地求解代数方程式，从而得到方程的解。
七、整式加减的补充1. 整式的系数：整式中变量的乘方的系数可以是数字，也可以是其他变量的多项式。
2. 多项式的次数：整式中变量的幂次的最高指数即为整式的次数。
3. 整式的导数：整式的导数表示对整式中的变量求导数。
4. 整式的积分：整式的积分表示对整式中的变量求不定积分。
综上所述，整式的加减是代数中的基础运算，需要掌握多项式的各种形式以及相关运算规则。
整式乘除法的运算技巧
（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和(a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2a^2-2ab+b^2 =(a-b)^2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x^2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)^2＝(y-x)^2，(x-y)^3＝-(y-x)^3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
整式的加减乘除混合运算总结
整式的加减乘除混合运算总结一、整式的加法运算整式的加法运算是指将两个或多个整式相加的过程。
在进行整式的加法运算时，需要注意以下几点：1.对于同类项的合并：同类项是指具有相同字母和字母指数的项。
进行加法运算时，只需要合并同类项，并保留它们的系数，其他不符合同类项条件的项不做处理。
例如，对于表达式3x² + 5x² + 2xy + 4xy + 6y² + 3y²，我们可以合并同类项得到：(3x² + 5x²) + (2xy + 4xy) + (6y² + 3y²) = 8x² + 6xy + 9y²。
2. 对于没有相同字母和字母指数的项，直接相加即可。
例如，对于表达式3x² + 5y² + 2xy + 4z，没有相同字母和字母指数的项只有4z，所以结果为3x² + 5y² + 2xy + 4z。
二、整式的减法运算整式的减法运算是指将两个整式相减的过程。
在进行整式的减法运算时，需要注意以下几点：1.减去一个整式可以通过将其各项的系数取相反数，再进行加法运算来实现。
例如，对于表达式3x² + 5x - 2xy - 4，我们可以先将减数的各项的系数取相反数，得到-3x² - 5x + 2xy + 4，然后使用整式的加法运算规则进行计算，得到3x² + 5x - 2xy - 4 - (-3x² - 5x + 2xy + 4) = 6x²。
2. 有时需要将减法转化为加法运算。
例如，对于表达式3x² - 4xy - 5，可以通过将减号变成加号，然后将被减数的各项的系数取相反数，得到3x² + (-4xy) + (-5)进行计算。
三、整式的乘法运算整式的乘法运算是指将两个或多个整式相乘的过程。
在进行整式的乘法运算时，需要注意以下几点：1.使用分配律进行展开。
七年级第二章整式的加减
合并相同次数项系数
对于次数相同的项，将它们的系 数进行加减运算。
注意保持符号的正确性，确保运 算结果准确无误。
合并后，整式中不再含有次数相 同的项。
检查结果并化简
检查合并后的整式是否符合题目要求。 对于可以化简的项，进行进一步的化简操作。
确保最终的整式结果简洁明了，易于理解。
03 实际应用问题中整式加减
符号处理不当
错误表现
在处理负数或正负数混合运算时，符号处理错误。
避免方法
明确负数的概念，理解负负得正的规则；在运算过程中，注意符号的变化，特别 是去括号和添括号时。
漏项或重复项问题
错误表现
在整式加减过程中，漏掉某些项或重 复计算某些项。
避免方法
在整式加减时，要逐项进行，不要遗 漏；每计算完一项，可以做一个标记， 避免重复计算。
基础练习题答案解析
题目1答案：2a + 3b；解析：根据整式加减法则，去括号后合并同类项 即可得到结果。
题目2答案：35；解析：先将原式去括号、合并同类项化简，再代入 x = -1 求值即可。
答案解析与思路点拨
• 题目3答案：A + B = x^2 - xy - 2y^2；解析：将 A、B 两式相加，去括号后合并同类项即可得到结 果。
06 章节小结与拓展延伸
章节知识点总结回顾
整式的概念
合并同类项
去括号法则
包括单项式和多项式， 是代数式的基础。
将具有相同字母部分的 项进行合并，简化整式。
根据括号前的符号，确 定括号内各项的符号。
整式的加减运算
基于合并同类项和去括 号法则，进行整式的加
减运算。
拓展延伸：多项式乘除运算
多项式乘法
整式的类型题
整式的类型题包括但不限于以下几种：
1. 整式的加减：这类题目通常涉及到合并同类项、去括号等基本运算，需要熟练掌握整式的运算法则。
2. 整式的乘法：包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等类型，需要掌握乘法分配律和结合律。
3. 整式的除法：通常涉及到单项式除以单项式、多项式除以单项式等，需要掌握除法的基本运算和变形。
4. 整式的化简求值：这类题目通常涉及到整式的加减、乘除等基本运算，需要熟练掌握运算法则和代数式的变形技巧。
5. 整式的因式分解：将一个多项式表示为几个整式的积的形式，需要掌握因式分解的基本方法和技巧。
6. 整式的幂的运算：包括幂的乘方、积的乘方等，需要掌握幂的运算法则和运算性质。
7. 整式的混合运算：这类题目通常涉及到加减、乘除、乘方等基本运算，需要熟练掌握运算顺序和运算法则。
以上是常见的整式类型题目，通过练习这些题目，可以加深对整式概念的理解，提高整式运算的能力。
整式加减知识点归纳总结
整式加减知识点归纳总结一、整式的定义整式是由字母和常数以及它们的积和商经过有限次加法运算得到的代数式。
整式是代数式中的一种，代数式是由字母和常数以及它们的积和商经过有限次加法、减法、乘法和乘方运算得到的式子。
整式的定义中包含了常数项、单项式和多项式三种形式。
其中，常数项是只有常数的代数式，如3、5、-2等；单项式是只有一个字母或字母的积的代数式，如2x、-3y、4a²等；多项式是由多个单项式经过有限次加法或减法组成的代数式，如3x²+2x-1、-4y²+3y-2等。
整式包括加减运算和乘除运算，整式加减是代数式中的基本运算之一，下面将对整式加减的运算规则和技巧进行详细介绍。
二、整式加减的运算规则1. 加减法法则（1）同类项的加减法同类项是指字母部分相同，并且相同字母的指数也相同的代数式。
例如2x²、3x²是同类项，但2x²和3y²不是同类项。
同类项的加减法则是合并同类项，即将同类项的系数相加或相减，字母部分保持不变。
比如2x²+3x²=5x²，4y-2y=2y。
（2）非同类项的加减法非同类项指字母部分不同或者字母部分相同但指数不同的代数式。
非同类项无法直接相加或相减，需要先化为同类项再进行加减。
2. 加减法技巧（1）合并同类项在进行整式加减法运算时，首先需要将同类项合并，即将相同字母部分的系数相加或相减，字母部分保持不变。
（2）去括号如果整式中有括号，需要先去括号再进行合并同类项的操作，去括号时需要注意符号的变化。
（3）整理式子在进行整式加减运算时，需要将结果整理成标准形式，即系数按照大小顺序排列，常数项放在最后。
三、整式加减的应用技巧1. 掌握整式的基本形式学习整式加减前，首先需要掌握整式的基本形式，包括常数项、单项式和多项式的定义和特点。
这样能够帮助学生准确区分不同类型的整式，从而更好地进行加减运算。
初中数学计算方法总结
初中数学计算方法总结一、有理数的混合运算1.加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，绝对值大的数是正数，小的数是负数，并用大的绝对值减去小的绝对值。
2.减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3.乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
4.除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
二、实数的运算1.实数的加法、减法、乘法、除法运算规则与有理数相同。
2.实数的乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。
三、整式的运算1.整式的加减法：同类项相加减，保留同类项，并合并同类项的系数。
2.整式的乘法：利用分配律，将每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，然后将结果相加。
四、分式的运算1.分式的加减法：分母不变，分子相加减。
2.分式的乘法：分子相乘，分母相乘。
3.分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
五、方程的解法1.一元一次方程：移项、合并同类项、化简，求解。
2.二元一次方程：利用消元法或代入法求解。
3.一元二次方程：利用公式法或配方法求解。
六、不等式的解法1.一元一次不等式：移项、合并同类项、化简，求解。
2.二元一次不等式：利用消元法或代入法求解。
七、函数的性质1.正比例函数：y=kx（k为常数），k>0时，函数图象经过一、三象限；k<0时，函数图象经过二、四象限。
2.反比例函数：y=k/x（k为常数，k≠0），k>0时，函数图象位于一、三象限；k<0时，函数图象位于二、四象限。
八、几何图形的计算1.平面几何图形的周长、面积计算公式。
2.立体几何图形的表面积、体积计算公式。
九、概率与统计1.概率的计算：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0和1之间。
2.统计量的计算：平均数、中位数、众数、方差等。
以上就是初中数学计算方法的知识点总结，希望对你有所帮助。
习题及方法：一、有理数的混合运算1.计算：-3 + 4 × (-2) - 5 ÷ 2方法：先乘除后加减，同号相加，异号相减。
整式的加减法
整式的加减法在数学中，整式是指由常数、变量及它们的乘积组成的表达式。
整式的加减法是指将两个或多个整式进行相加或相减的运算。
在本文中，我们将详细介绍整式的加减法的定义、性质以及如何进行求解。
一、整式的定义整式是由常数、变量及它们的乘积组成的代数表达式。
常数可以是正数、负数或零，变量通常用字母表示，可以是任意实数。
整式的基本形式为：f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀，其中，aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀是常数系数，n 是整数指数，x 是变量。
二、整式的加法整式的加法是指将同类项进行合并，并将系数相加的运算。
同类项是指含有相同变量的乘积项。
例如，对于整式 f(x) = 3x² + 2x + 5 和 g(x) = 4x² - 3x + 2，它们的和为：f(x) + g(x) = (3x² + 4x²) + (2x - 3x) + (5 + 2) = 7x² - x + 7。
三、整式的减法整式的减法是指将两个整式相减的运算。
减法可以通过将被减数的各项取相反数，然后与减数进行加法运算来实现。
例如，对于整式 f(x) = 3x² + 2x + 5 和 g(x) = 4x² - 3x + 2，它们的差为：f(x) - g(x) = (3x² - 4x²) + (2x + 3x) + (5 - 2) = -x² + 5x + 3。
四、整式的加减混合运算在整式的加减混合运算中，可以先将同类项进行合并，然后再进行加减运算。
例如，考虑整式 f(x) = 3x² + 2x + 5、g(x) = 4x² - 3x + 2 和h(x) = 2x² + x - 1，则它们的和减去差的结果为：(f(x) + g(x)) - (f(x) - h(x)) = (3x² + 4x² - 3x²) + (2x - 3x + x) + (5 + 2 + 1) = 6x² - 2。
整式的加减乘除混合运算总结
整式【课标要求】1．在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义． 2．能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示． 3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．5．能够熟练地通过合并同类项、去括号对代数式进行化简计算．6．了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘、除运算． 7．了解同底数指数幂的意义和基本性质．8．会推导乘法公式22))((b a b a b a -=-+；2222)(b ab a b a ++=+，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算． 【中考动向】近年来，本讲内容除出现在常见的选择、填空题中外，也常出现在化简求值题中，是中考的必考内容，在试卷中主要分布在低中档题目中．第1课时 整式的概念【知识要点】1.用字母可以表示任何数，也可以直观的表示运算律和公式．2.代数式的概念、书写和意义．3.代数式的表示和求值．4.单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，它的数字因数为该单项式的系数，如：单项式－2a 2b 3的系数为－2．5.多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做它的一个项，它的次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.如：－7＋4y 2－3y 有三项，次数为2．6.整式：单项式和多项式统称为整式． 【典型例题】例1 在矩形纸片上截去四个面积相等的 小正方形，小正方形的边长为c ， 如图所示，求阴影部分的面积和周长． 解：⑴面积：24c ab - ⑵周长：)(2b a +例2 某礼堂座位的排数与每排的座位数的关系如下表：⑵利用⑴题中的公式计算当排数为19排时的座位数．解：⑴用排数m 表示座位数n 的公式是：)1(219-+=m n⑵当m =19时，n ==-+)119(21955（个） 答：当排数为19排时，座位数为55个．例3 当x =2时，代数式73-+bx ax 的值等于－19，求当x =－2时代数式的值． 解：∵当x =2时，1973-=-+bx ax则将x =2代入1973-=-+bx ax 得1228-=+b a ∴将x = －2代入73-+bx ax 得：图3－1－1-=---=-+72873b a bx ax （7)28-+b a 5=∴当x = －2时，代数式73-+bx ax 的值等于5． 例4 下列式子中那些是单项式，那些是多项式？3xy，5a ，－34xy 2z ，a ，x －y ，1x ，0，3.14，－m ，－m+1．解：单项式：3xy，5a ，－34xy 2z ，a ，0，3.14，－m ．多项式：x －y ，－m+1．第2课时 整式的加减【知识要点】1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2．合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项.3．去括号：若括号前是“+”号，则去掉括号后，括号里边的各项不变号；若括号前是“－”号，则去掉括号后，括号里边的各项均变号.4．整式的加减：实质上是去括号后合并同类项，运算结果是一个多项式或一个单项式． 【典型例题】例1 先合并同类项，再求值：－3x 2y ＋2x 2y 2＋8x 2y －7x 2y 2＋3， 其中 x=1，y=2．解：原式 =（－3＋8）x 2y ＋（2－7）x 2y 2＋3=5x 2y －5x 2y 2＋3当x=1，y=2时原式=5×12×2－5×12×22+3=10－20+3= －7 例2 已知2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项，求2x+y 2的值． 解：∵2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项∴ ⎩⎨⎧-==xy x 2322 ① ②由①得x=1 ③将③代入②得y=13∴2x+y2=2×1+（1）23=2+19=199例3 计算：5ab c－｛2a2b－［3ab c－（4ab2－a2b）］+3abc｝解：原式=5ab c－［2a2b－（3ab c－4ab2+a2b）+3abc］=5ab c－（ 2a2b－3abc+4ab2－a2b+3abc ）=5ab c－（ a2b+4ab2）=5ab c－ a2b－4ab2例4已知x+y=－5，xy=6，求（－x－3y－2xy）－（－3x－5y+xy）的值.解：（－x－3y－2xy）－（－3x－5y+xy）=－x－3y－2xy+3x+5y－xy=2x+2y－3xy=2（x+y）－3xy将x+y=－5，xy=6代入，则原式=2×（－5）－3×6=－10－18=－28例5 已知A=x3－5x2，B=x2－11x+6，求2A－3B解：2A－3B=2（ x3－5x2）－3（x2－11x+6 ）= 2x3－10x2－3 x2+33x－18= 2x3－13x2+33x－18第3课时整式的乘除［知识要点］1.同底数幂的乘法法则：a m﹒a n=a m+n（m ，n 都是正整数）同底数幂的乘法的逆运算：a m+n= a m﹒a n（m ，n 都是正整数）2.幂的乘方法则：（a m ）n =（a n ）m =a mn （m ，n 都是正整数） 幂的乘方的逆运算：a mn =（a m ）n =（a n ）m （m ，n 都是正整数）3.积的乘方法则：（ab ）n =a n b n （n 为正整数） 积的乘方的逆运算：a n b n =（ab ）n （n 为正整数）4.同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂的除法的逆运算：a m-n= a m÷a n（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ）5.零次幂和负整数指数幂的意义： （1）a 0=1（a ≠0） (2)pp a a 1=-（a ≠0，p 为正整数） 6.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．7.单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．8.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．9.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2 公式也可逆用：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）10.完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 公式也可逆用：a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2 11.单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.12.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.13.探求规律：学会科学的思维方法，探求数量和图形的变化规律.［典型例题］例1 计算：（a m ）2﹒（a 3）m+2﹒a 4m 解：原式=a 2m ﹒a 3（m+2）﹒a 4m = a 2m ﹒a 3m+6﹒a 4m =a 2m+3m+6+4m =a 9m+6例2 计算：（x m ﹒x 2n ）3÷x m+n ﹒［(x －y)m ］0(x ≠y) 解：原式=（x 3m ﹒x 6n ）÷x m+n ﹒1 =x 3m+6n ÷x m+n =x )()63(n m n m +-+ =x 2m+5n 例3 计算：2x 2﹒（12xy 2－y ）－（x 2y 2－xy ）﹒（－3x ） 解：原式=2×12x 2﹒xy 2－2x 2y+3x ﹒x 2y 2－3x ﹒xy =x 3y 2－2x 2y+3x 3y 2－3x 2y =4x 3y 2－5x 2y例4 计算：（x －y+1）（x+y －1）解：原式=［x －（y －1）］［x+（y －1）］ =x 2－（y －1）2 =x 2－（y 2－2y+1） =x 2－y 2+2y －1例5 已知a+b=7，ab=2，求a 2+b 2的值解：∵（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ∴a 2+b 2=（a+b ）2－2ab=72－2×2=49－4=45例6 ［（x+2y）（x－2y）+4（x－y）2］÷6x 解：原式=［x2－4y2+4（x2－2xy+y2）］÷6x =（x2－4y2+4x2－8xy+4y2）÷6x=（5x2－8xy）÷6x=56x－43y。
整式 - 整式加减运算
教案教学内容整式——整式加减运算知识回顾：1．去括号法则是什么？如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．2．如何合并同类项？在整式中，如果出现了同类项，那么就可以把这些同类项合并为一项，即合并同类项．其法则是：把同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数，字母和字母的指数不变．可简记为“一个相加，两个不变”，即系数相加，字母与其指数不变．知识梳理：1．整式加减的运算法则几个整式先加减，如果有括号，先去括号；如果有同类项，再合并同类项．2．整式加减的步骤（1）如果有数字与多项式相乘，先把数字与多项式的各项相乘，放在括号内；（2）去括号：按照先小括号，再中括号，最后大括号的顺序；去括号，看符号，是“+”号，不变号，是“-”号，全变号．（3）计算：①找同类项，做好标记；②利用加法的交换律和结合律把同类项放在一起；③利用乘法分配律计算结果；④按要求按某字母的升幂或降幂排列．3．整式的化简求值整式的化简求值，一般先按照整式的加减运算法则，把原式化简，再代入整式中字母的值，进行计算．单项式：数或字母的乘积叫单项式。
单个的数字和字母也是单项式；单项式的系数：单项式中数字因数角单项式的系数；单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫单项式的次数；多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项；多项式的常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项；多项式的次数：多项式中次数最高项的次数叫做多项式的项；整式：单项式和多项式统称整式。
（一）在研究单项式的系数问题时，要注意：1. 当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。
2．圆周率π是常数。
3.当单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。
4.单项式的系数应包括它前面的性质符号。
（二）规定：单独一个非零数的次数是0。
00是没意义的 例题：1．两个整式的和与差【例1】一个整式减去x 2﹣y 2等于x 2+2y 2，则这个整式是（ ）A ．﹣3y 2B ．2x 2+y 2C ．3y 2﹣2x 2D ．3y 2总结：1. 一般地，求几个整式的和或差，可以把每个整式看做一个整体，用括号把整式括起来，并用加号或减号连接，然后再去括号、合并同类项．2. 特别地，几个整式相减，第一个整式作为被减式出现可以不加括号，但其余的减式一定要加括号.单项式的定义多项式 单项式 整式单项式的次数 单项式的系数 整式的定义 多项式的的次多项式的常数多项式的项 多项式的定义练1．x2+2xy﹣13y2﹣（x2+3xy）=﹣xy﹣13y2．练2．一个多项式加上2x2y﹣3xy2﹣2x+1的2倍等于4x2y+5xy2+3x﹣2y+5，求这个多项式．2．整式的加减混合运算【例2】计算：ab﹣{2ab﹣2[3a2b﹣（4ab2+0.5ab）﹣6ab]}﹣3ab2．总结：整式加减实质上就是去括号、合并同类项．计算过程中需要注意：(1)整式加减的结果是单项式或者是没有同类项的多项式．(2)结果一般按照某个字母的降幂或升幂排列；(3)每一项的数字系数写在字母前面，系数是带分数的，带分数要化成假分数；(4)结果中一般不再有括号．练3．代数式（xyz2﹣1）+（3xy+z2yx）﹣（2xyz2+3xy）的值是（）A．无论x、y取何值，都是一个常数B．x取不同值，其值也不同C．y取不同值，其值也不同D．x、y取值不同，其值也不同练4．计算：﹣2（a2b﹣14ab2+12a3）﹣（﹣2a2b+3ab2）=．3．整式的化简求值——加减混合运算【例3】（1）当32m ，n=-1时，代数式3mn﹣2m2+（2m2﹣2mn）﹣（3mn﹣n2）的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6（2）已知xy+x=﹣1，xy﹣y=﹣2，求代数式﹣x﹣[2y﹣2（xy+x）2+3x]+2[x+（xy﹣y）2]的值．总结：求整式的值，一般先根据整式的加减法则将整式化到最简，再代入求值.（1）如果已知条件给出字母的具体数值，则代入已给的数值，然后按照有理数的运算法则和运算律进行计算；（2）如果已知条件中没有给出具体字母的取值，只给出了某些条件等式，则在整式化简的过程中要想办法将整式变形，化为与条件等式有关的关系式，然后将已知条件整体代入求解．练5．已知A=2x2﹣3xy+2y2，B=2x2+xy﹣3y2，C=x2﹣xy﹣2y2，其中x=﹣1，y=﹣12．求A﹣（B﹣（C﹣（A+B））的值．练6．若m﹣n=2，mn=1，则多项式（﹣2mn+2m+3n）﹣（3mn+2n﹣2m）﹣（m+4n+mn）的值是．练习：一、选择题1．一个整式减去3m，结果等于5m2﹣3m﹣5．这个整式是（）A．5m2﹣5 B．5m2﹣6m﹣5 C．5m2+5 D．﹣5m﹣6m+52．一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，把它们对调后得到另一个两位数，则下列说法正确的是（）A．这两个两位数的和是2a+2b B．这两个两位数的和是9a+9bC．这两个两位数的和11a+11b D．这两个两位数的差是9a﹣9b3．已知a+2b=3，则代数式2（2a﹣3b）﹣3（a﹣3b）﹣b的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．64．当x=2时，多项式﹣（9x3﹣4x2+5）﹣（﹣3﹣8x3+3x2）的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．65．化简x﹣（1﹣2x+x2）+（﹣1+3x﹣x2）所得结果是（）A．2x﹣2 B．﹣2x2+6x﹣2 C．2x D．2x2﹣6x+26．下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xy﹣12y2）﹣（﹣12x2+4xy﹣32y2）=﹣12x2+y2，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（）A．﹣7xy B．﹣xy C．7xy D．+xy二、填空题7．+（4xy+7x2﹣y2）=10x2﹣xy．8．已知a﹣b=4，ab=1，则（2a+3b﹣2ab）﹣（a+4b+ab）﹣（3ab+2b﹣2a）=．9．化简：4a2﹣3a+3﹣3（﹣a3﹣2a3+1）=．三、解答题10．已知a2﹣a﹣4=0，求4a2﹣2（a2﹣a+5）﹣12（a2﹣a﹣4）﹣4a的值．11．一个多项式，当减去2x2﹣3x+7时，因把“减去”误认为“加上”，得5x2﹣2x+4，试求这个多项式．12．先化简，再求值：ab﹣2{ab﹣[3a2b﹣（4ab2+32ab）]﹣4a2b}﹣4ab2，其中a=﹣1，b=1．13．计算：5（mn﹣m2）﹣m2﹣2mn﹣2（mn﹣3m2）．。
《整式的加减》知识点
3）.合并同类项步骤：
a．准确的找出同类项。
b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不
变。
c．写出合并后的结果。
4）.在掌握合并同类项时注意：
a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为 0.
b.不要漏掉不能合并的项。
c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。
叫做多项式。其中
叫做多项式的项，不含字母的项叫做
项。例
如：在多项式 2x-3 中，2x 和-3 是它的项，其中-3 是常数项。
7. 多项式的次数：多项式里
次数，叫做这个多项式的次数。例如：在多项
式 2x-3 中，次数最高的项是一次项 2x，这个多项式的次数是 1；在多项式 x 2 +2x+18
中，次数最高的项是二次项 x 2 ，这个多项式的次数是 2。
n 为指数，an 的结果叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am﹒an=am+n。 4、此法则也可以逆用，即：am+n = am﹒an。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂
再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n 表示 n 个 am 相乘。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n =amn。 3、此法则也可以逆用，即：amn =（am）n=（an）m。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂
例题：多项式 3x 2 y 2xy 4x 1 是
《代数式》整式及其加减
与不等式结合
整式加减法也常常与不等式结合使用，通过不等式的 研究和分析，可以更好地掌握整式的加减法技能。
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整式的乘法运算
3. 多项式与多项式的乘法运算
将每个多项式分别展开，然后根据乘法分配律进行计算。
公式示例
$(2x^2 + 3x) \times (x + 2) = 2x^3 + 4x^2 + 3x^2 + 6x = 2x^3 + 7x^2 + 6x$。
整式的除法运算
• 总结词：整式的除法运算主要涉及单项式与单项式、单项式与 多项式、多项式与多项式的除法运算。
要点二
解决物理问题
整式加减法在解决物理问题中也有很多应用，例如牛 顿第二定律$F=ma$，其中$F$表示力，$m$表示质量 ，$a$表示加速度，通过整式加减法可以方便地求解加 速度。
在日常生活中的应用
计算购物优惠
在日常生活中，整式加减法可以用来计算购物优惠。例 如，如果一件商品的原价为$x$元，折扣为$y$元，那么 实际支付的金额为$(x-y)$元，这个可以通过整式加减法 来计算。
合并同类项
将相同项合并，简化表达式。
平方差公式
利用平方差公式简化表达式。
提取公因数
将公因数提取出来，简化表达式。
完全平方公式
利用完全平方公式简化表达式。
整式的约分技巧
找分子分母的最大公约数
约分的关键是找到分子分母的最大公约数。
将公约数约简
将分子分母同时除以它们的最大公约数。
化简分数
将分子分母化为互质的整数。
去括号、移项等基本技能。
02
提高解题速度
多做习题能够提高解题速度，因为熟能生巧。在面对考试时，能够更加
初三数学下册整式与分式的混合运算
初三数学下册整式与分式的混合运算初三数学下册：整式与分式的混合运算混合运算是指在一个算式中同时出现整式和分式的运算，涉及到整数、有理数、多项式等。
掌握整式与分式的混合运算对于初三数学学习至关重要。
本文将介绍整式与分式的混合运算的基本规则和解题方法。
一、整式与整式的混合运算整式是指仅包含常数、变量及它们之积的表达式，常见形式如下：1. 加减运算在整式与整式相加减时，按照同类项进行合并。
例如：3x + 2y + 5x - 7y = 8x - 5y2. 乘法运算在整式与整式相乘时，使用分配律将每一项相乘后再合并同类项。
例如：(2x + 3)(4x - 5) = 8x² - 10x + 12x - 15 = 8x² + 2x - 15二、整式与分式的混合运算混合运算中，整式与分式的运算方法略有不同。
我们需要先进行分母的通分，然后按照整式的加减乘除规则进行运算。
1. 加减运算在整式与分式相加减时，需要先将分母进行通分，再按照整式加减法进行合并。
例如：2x/(x + 1) + 3/(x + 2) = (2x(x + 2) + 3(x + 1))/(x + 1)(x + 2) = (2x² + 4x+ 3x + 3)/(x + 1)(x + 2) = (2x² + 7x + 3)/(x + 1)(x + 2)2. 乘法运算在整式与分式相乘时，首先将整式与分式的分母进行通分，然后按照整式与整式的乘法规则进行计算。
例如：(2x + 3)/(x + 1) * (x + 2)/(x - 3) = (2x + 3)(x + 2)/(x + 1)(x - 3)乘法运算常常需要化简，通过展开并合并同类项得到简化后的结果。
3. 除法运算在整式除以分式时，需要先将整式与分式的分母进行通分，然后按照整式的除法规则进行计算。
例如：(2x + 3)/(x + 1) ÷ (x + 2)/(x - 3) = (2x + 3)/(x + 1) * (x - 3)/(x + 2) = (2x + 3)(x - 3)/(x + 1)(x + 2)三、实例演练现在我们通过几个实例来演示整式与分式的混合运算的解题过程。
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整式的加减乘除混合运算总
结
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
整式
【课标要求】
1．在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义． 2．能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示． 3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．
4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
5．能够熟练地通过合并同类项、去括号对代数式进行化简计算．
6．了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘、除运算．
7．了解同底数指数幂的意义和基本性质．
8．会推导乘法公式22))((b a b a b a -=-+；2222)(b ab a b a ++=+，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算． 【中考动向】
近年来，本讲内容除出现在常见的选择、填空题中外，也常出现在化简求值题中，是中考的必考内容，在试卷中主要分布在低中档题目中．
4.单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，它的数字因数为该单项式的系数，如：单项式－2a 2b 3的系数为－2．
5.多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做它的一个项，它的次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.如：－7＋4y 2－3y 有三项，次数为2．
6.整式：单项式和多项式统称为整式． 【典型例题】
例1 在矩形纸片上截去四个面积相等的
小正方形，小正方形的边长为c ， 如图所示，求阴影部分的面积和周长． 解：⑴面积：24c ab - ⑵周长：)(2b a + 例2 某礼堂座位的排数与每排的座位数的关系如下表：
图3－1－1
⑵利用⑴题中的公式计算当排数为19排时的座位数． 解：⑴用排数m 表示座位数n 的公式是：)1(219-+=m n
⑵当m =19时，n ==-+)119(21955（个） 答：当排数为19排时，座位数为55个．
例3 当x =2时，代数式73-+bx ax 的值等于－19，求当x =－2时代数式的值． 解：∵当x =2时，1973-=-+bx ax
则将x =2代入1973-=-+bx ax 得1228-=+b a ∴将x = －2代入73-+bx ax 得：
-=---=-+72873b a bx ax （7)28-+b a 5= ∴当x = －2时，代数式73-+bx ax 的值等于5． 例4 下列式子中那些是单项式，那些是多项式？
3
xy ，5a ，－34xy 2z ，a ，x －y ，1
x ，0，3.14，－m ，－m+1．
解：单项式：3
xy ，5a ，－3
4xy 2z ，a ，0，3.14，－m ．
多项式：x －y ，－m+1．
第2课时 整式的加减
【知识要点】
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2．合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项.
3．去括号：若括号前是“+”号，则去掉括号后，括号里边的各项不变号；
若括号前是“－”号，则去掉括号后，括号里边的各项均变号.
4．整式的加减：实质上是去括号后合并同类项，运算结果是一个多项式或一个单项式． 【典型例题】
例1 先合并同类项，再求值：－3x 2y ＋2x 2y 2＋8x 2y －7x 2y 2＋3， 其中 x=1，y=2．
解：原式 =（－3＋8）x 2y ＋（2－7）x 2y 2＋3 =5x 2y －5x 2y 2＋3 当x=1，y=2时
原式=5×12×2－5×12×22+3=10－20+3= －7
例2 已知2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项，求2x+y 2的值． 解：∵2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项
∴ ⎩⎨⎧-==x y x 2322 由①得x=1 ③
① ②
将③代入②得y=1
3
∴2x+y 2=2×1+（1
3
）2
=2+1
9
=19
9
例3 计算：5ab c －｛2a 2b －［3ab c －（4ab 2－a 2b ）］+3abc ｝ 解：原式=5ab c －［2a 2b －（3ab c －4ab 2+a 2b ）+3abc ］ =5ab c －（ 2a 2b －3abc+4ab 2－a 2b+3abc ） =5ab c －（ a 2b+4ab 2 ） =5ab c － a 2b －4ab 2
例4 已知x+y =－5，xy=6，求（－x －3y －2xy ）－（－3x －5y+xy ）的值. 解：（－x －3y －2xy ）－（－3x －5y+xy ） =－x －3y －2xy+3x+5y －xy
=2x+2y －3xy =2（x+y ）－3xy
将x+y =－5，xy=6代入，则
原式=2×（－5）－3×6=－10－18=－28 例5 已知A=x 3－5x 2，B=x 2－11x+6，求2A －3B
解：2A －3B=2（ x 3－5x 2）－3（x 2－11x+6 ） = 2x 3－10x 2－3 x 2+33x －18 = 2x 3－13x 2+33x －18
第3课时 整式的乘除
［知识要点］
1.同底数幂的乘法法则：a m ﹒a n =a m+n （m ，n 都是正整数）
同底数幂的乘法的逆运算：a m+n = a m ﹒a n （m ，n 都是正整数） 2.幂的乘方法则：（a m ）n =（a n ）m =a mn （m ，n 都是正整数） 幂的乘方的逆运算：a mn =（a m ）n =（a n ）m （m ，n 都是正整数） 3.积的乘方法则：（ab ）n =a n b n （n 为正整数） 积的乘方的逆运算：a n b n =（ab ）n （n 为正整数）
4.同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ）
同底数幂的除法的逆运算：a m-n = a m ÷a n
（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ） 5.零次幂和负整数指数幂的意义： （1）a 0=1（a ≠0）
(2)p p a
a 1
=-（a ≠0，p 为正整数）
6.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
7.单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
8.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
9.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2 公式也可逆用：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）
10.完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 公式也可逆用：a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2
11.单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 12.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
13.探求规律：学会科学的思维方法，探求数量和图形的变化规律. ［典型例题］
例1 计算：（a m ）2﹒（a 3）m+2﹒a 4m 解：原式=a 2m ﹒a 3（m+2）﹒a 4m = a 2m ﹒a 3m+6﹒a 4m =a 2m+3m+6+4m =a 9m+6
例2 计算：（x m ﹒x 2n ）3÷x m+n ﹒［(x －y)m ］0(x ≠y) 解：原式=（x 3m ﹒x 6n ）÷x m+n ﹒1 =x 3m+6n ÷x m+n =x )()63(n m n m +-+ =x 2m+5n
例3 计算：2x 2﹒（1
2xy 2－y ）－（x 2y 2－xy ）﹒（－3x ）
解：原式=2×
12
x 2
﹒xy 2－2x 2y+3x ﹒x 2y 2－3x ﹒xy =x 3y 2－2x 2y+3x 3y 2－3x 2y =4x 3y 2－5x 2y
例4 计算：（x －y+1）（x+y －1）
解：原式=［x －（y －1）］［x+（y －1）］ =x 2－（y －1）2 =x 2－（y 2－2y+1） =x 2－y 2+2y －1
例5 已知a+b=7，ab=2，求a 2+b 2的值
解：∵（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ∴a 2+b 2=（a+b ）2－2ab
=72－2×2 =49－4 =45
例6 ［（x+2y）（x－2y）+4（x－y）2］÷6x 解：原式=［x2－4y2+4（x2－2xy+y2）］÷6x =（x2－4y2+4x2－8xy+4y2）÷6x
=（5x2－8xy）÷6x
=5
6
x－
4
3
y。