新人教版七年级下数学第六章实数导学案

新人教版七年级下数学第六章实数导学案
研究目标：
1.了解算术平方根的概念和形成过程。

2.能够求某些正数（完全平方数）的算术平方根并用符号表示。

自主研究：
XXX要裁剪一块面积为25平方分米的正方形画布，他想知道这块正方形画布的边长应该取多少分米？请计算并回答。

合作探究：
引入新的运算，当一个正数的平方等于a时，我们称这个正数为a的算术平方根。

为了方便书写，我们把a的算术平方根记作a（板书：a的算术平方根记作a）。

例题精讲：
计算以下数的算术平方根：
1) 0.0001
2) 1
课堂小结：
本节课我们研究了算术平方根的概念和求解方法。

我们需要注意解题格式，并且要掌握完全平方数的算术平方根。

过关检测：
1.填空：
1) 因为8²=64，所以64的算术平方根是8，即64=8²。

2) 因为0.5²=0.25，所以0.25的算术平方根是0.5，即
0.25=0.5²。

3) 因为49²=2401，所以2401的算术平方根是49，即
√2401=49.
2.求下列各式的值：
1) 9
2) 1
3) 0.1
4) 3
5) √9=3.
跟踪练：
请填空并记住下列各式：
121=11²，144=12²，169=13²，196=14²，225=15²。

1.256＝16²，289＝17²，324＝18²，361＝19²。

学生应该记住这些数字，老师可以利用卡片进行检查，并要求学生课后记熟。

2.XXX认为，因为(－4)²＝16，所以16的算术平方根是－4.这种看法是错误的，因为算术平方根必须是非负数，即不能是负数。

3.若x-4与4-y互为相反数，则xy的算术平方根为2.
4.若y=3x-9+9-3x+1，则x的算术平方根为1.
5.(-16)²的算术平方根的相反数是4.
6.根号符号叫做根号，a叫做被开方数，a的算术平方根表示为√a。

例如，正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9
的算术平方根，正数4的平方等于16，我们把4叫做16的算术平方根。

7.6和36都是完全平方数，它们的算术平方根分别是2和6.1和1也是完全平方数，它们的算术平方根都是1.
8.5和25都是完全平方数，它们的算术平方根分别是√5和5.同桌之间可以互相交流这些信息。

9.如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作√a。

a的取值范围是非负实数。

一个负数没有算术平方根，因为平方根必须是非负数。

10.下列格式中，5、-3、-3和(-3)²都有意义。

5、-3、-3是具体的数值，(-3)²表示3的平方，是一个完全平方数。

11.5>1.5.1>0.01.810>507>2332.5>1/22.
XXX告诉XXX，她一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，但具体如何需要进一步思考和计算。

在本节课中，学生们研究了算术平方根的概念和计算方法，例如4的算术平方根是2，256的算术平方根是16等等。

学生
们也研究了如何用算术平方根来计算正方形的边长和面积的关系。

在XXX，学生们通过练计算了一些正方形的边长和面积
的关系，例如面积为1的正方形的边长是1，面积为4的正方
形的边长是2等等。

在过关检测中，学生们需要计算一些数的算术平方根，例如0.04的算术平方根是0.2，256的算术平方根是16等等。

同时，他们还需要比较大小、求整数和小数部分等。

在XXX，学生们通过查平方根表或计算器来填表，并发
现了被开方数的小数点每向右（或向左）移动位，则它的算术平方根的小数点向右(或左)移动位的规律。

他们还进行了跟踪练，例如计算5的算术平方根约等于2.236等等。

总的来说，本节课的内容主要涉及算术平方根的概念和计算方法，以及与正方形的边长和面积的关系。

学生们需要通过练来巩固和加深对这些知识的理解和掌握。

标题：平方根
研究目标：
1.了解平方根的概念，掌握求正数的平方根的方法。

2.理解正数有两个平方根，互为相反数，负数没有平方根。

合作探究二：
1.22 = 4
2.√2
自主研究：
1.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的算术平
方根，记作√a。

2.填空：
面积为16的正方形，边长 = 4
3)2 = -3
52 = 25
6)2 = -6.√-6 = √6i
22 = 4.√4 = 2
9 = 3
25 = 5
36 = 6
0 = 0
思考：可以用√a表示a的算术平方根的规律。

跟踪练：
3.14-π)2 = 0.0025
a-b)2 = a2 - 2ab + b2.a < b
10 ≈ 3.16
合作探究一：
如果一个正数的平方等于9，这个正数是3.如果一个数的平方等于9，这个数是3或-3.
研究重点】
1、掌握立方根的概念；
2、学会用根号表示一个数的立方根.
研究内容】
一、引入
我们已经研究了平方根，那么你们知道什么是立方根吗？请看下面的例题：
例题】求下列各数的立方根：
1)8；(2)27；(3)－1；(4)0.125.
从这个例题中，我们可以看出，立方根是一个数的三次方等于这个数，即a³＝a×a×a，那么这个数a的立方根就是b，即b³＝a.
二、探究
1、正数的立方根
1)完全立方数的立方根
完全立方数是指一个数是另一个数的立方，如8、27等，它们的立方根可以用根号表示，如8的立方根为2，27的立方根为3.
2)非完全立方数的立方根
非完全立方数是指一个数不是另一个数的立方，如5、7等，它们的立方根不能用根号表示，需要用近似值表示.
2、负数的立方根
和平方根一样，负数的立方根也不存在，因为负数的奇数次幂仍是负数，而正数的奇数次幂是正数.
三、总结
1、立方根是一个数的三次方等于这个数，即a³＝a×a×a，那么这个数a的立方根就是b，即b³＝a.
2、正数的立方根可以用根号表示，非完全立方数的立方根需要用近似值表示.
3、负数的立方根不存在.
练题】
1、填空：
1)因为7²＝49，所以49的平方根是7；
2)因为³＝，所以的平方根是；
3)因为1.96²＝3.8416，所以1.96的平方根是1.4.
2、求下列各式的值：
1)³＝8；
2)³＝27；
3)(－1)³＝－1；
4)(0.125)³＝0.xxxxxxxx5.
3、判断正误：
1)8的立方根是2；
2)负数的立方根存在；
3)非完全立方数的立方根可以用根号表示；
4)一个数的立方根是它本身.
4、填入适当的符号：
1)－1的立方根是；
2)6根是；
3)0的立方根是；
4)－125的立方根是.
5、解方程：
1)x³＝27；
2)x³＝64；
3)x³＝0.001.
6、应用题：
一块铁块的体积是27立方厘米，它的长、宽、高相等，求它的边长.
2、了解开立方与立方根互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根。

同时体会一个数的立方根的唯一性，分清一个数的立方根与平方根的区别。

研究重点】立方根的概念和求法。

研究难点】立方根与平方根的区别。

自主研究】
1、平方根是如何定义的？平方根有哪些性质？
2、问题：要制作一种容积为27 m³的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
3、思考：(1)是否存在一个数的立方等于-8？(2)如果上面问题中正方体的体积为5 cm³，正方体的棱长又该是多少？
合作探究一】
1、试一试：你能给数的立方根下个定义吗？
如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根或三次方根。

记作∛a，其中，a是立方数，3是指数，且根指数3省略，否则与平方根混淆。

求一个数的立方根的运算叫做开立方，与开立方互为逆运算。

2、立方根的性质
1）教科书第49页探究
1）³＝-1，∴-1是-1的立方根，或-1的立方根是-1；
2³＝8，∴2是8的立方根，或8的立方根是2；
3）³＝-27，∴-3是-27的立方根，或-27的立方根是-3.
2）∛（-8）＝-2，∛8＝2，∛27＝3，∛（-27）＝-3.
思考：针对上面题目的特点，你能用一个式子来表示其中的规律吗？
1) a³=a（a为任意数）(2) ∛a³=|a|（a为任意数）
例题精讲】
例1、计算：（1）∛0.064；（2）32÷33.
1）∛0.064=∛（64÷1000）=0.4.
2）32÷33=3÷3=1.
课堂小结】
本节课研究了立方根的概念和求法，体会了立方根的唯一性，分清了立方根与平方根的区别。

过关检测】
1.判断正误：
1）25的立方根是5；（错误）
2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；（正确）
3）任何数的立方根只有一个；（错误）
4）如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1；（错误）
5）如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一
定是零；（错误）
6）一个数的立方根不是正数就是负数。

（错误）
7）-64没有立方根。

（正确）
2、
1) 64的平方根是8，立方根是4.(2)327的立方根是7.
3)37是-3的立方根。

4)若x=9，则x=-9，若x=9，则x=9.
5)若x2=-x，则x的取值范围是0或-1，若3-x有意义，则x的取值范围是负无穷到3.
3、计算：(1) 31+2=9，3的立方根是1；(2) -3-2=-5，827
的立方根是9.
64-125=-61，8+1=9，100的立方根是10.
4、已知y-8=-x3+64，则3xy=3x(x3-64+8)=3x(x3-56)。

5、已知(x-2)的平方根是±4，2x-y+12的立方根是4，则
x=6，y=2，(x+y)3=1000.
合作探究二】
1)因为3-8=-5，38=5，所以3-8-(-3)=-2；
2)因为27=33，27=3，所以27-(-3)=24.
合作探究三】
a与-a的关系是相反数。

若31-2x与33y-2互为相反数，则31-2x=-(33y-2)，解得
x=16-5y/3，代入1+2x得7/3.
=.xxxxxxxx=.xxxxxxxx000=.3，被开方数的小数点向左或
向右移动偶数位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动偶数位。

研究笔记】
平方根和立方根的定义和性质：
平方根：一个数的平方根是另一个数的平方，即a的平方根是b，当且仅当b=a²且b≥0.
立方根：一个数的立方根是另一个数的立方，即a的立方根是b，当且仅当b=a³。

性质：正数有两个平方根，一个正数和一个负数的立方根，负数没有实数的平方根，每个实数都有一个实数的立方根。

比较有理数或无理数的大小：
1.有理数的大小比较：同号比大小，异号比绝对值大小。

2.无理数的大小比较：通过估算或近似求出它们的大小关系，无法通过比较符号或绝对值来确定大小关系。

1)-8的立方根是-2，2的立方根是1.2599，27的立方根是3，3512的立方根是17.7024.
深入研究】
例2、（1）估计3，4，350的大小。

（2）-342与-3.4的大小比较。

跟踪练：
1、比较下列各组数的大小。

立方根(1)39与3，(2)432与335.
2、估计68的立方根的大小在（）A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间。

例题精讲】
例3、解方程：⑴x=512，⑵(x-1)²=-2163.
平方根。

跟踪练：
解方程：（1）64x-125=0，（2）27(x+1)³+64=0.如果一个数的立方根是2，那么这个数是8.3-125的倒数是-0.008，相反数是0.008.
已知34a-3=-3，则a=0，a-2的立方根为1.
3、过渡：很多有理数的立方根是无限不循环小数，这时
该如何求值呢？
尝试探究】
1、例1、用计算器求：.
按键步骤：显示：
跟踪练：教材第51页练第2题。

2、计算下列各式并探索规律。

3的平方根+1的平方根=2的平方根，2的平方根-1的平方根=1的平方根。

课堂小结】
本节课研究了实数的概念和分类，了解了数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数，以及实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。

能力提升】
1、已知a+64+3b³-27=0，求（a-b）/b的立方根=∛(a-b)/b。

2、3.=3+0.，3.0011=3+0.0011.
XXX一份睿智少一份嬉戏展一份风采第5页共9
审核人：复核人：
仪陇县大罗乡小学校
初中七年级(下)数学导学案
制作人：XXX
组别：初中数学组
制作时间：2014-3-12
课题：6.3.1 实数（1）
研究目标】
1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。

3、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。

研究重点】无理数和实数的概念，实数的分类。

研究难点】对无理数的认识。

自主研究】
1、填空：（有理数的两种分类）整数、分数。

2、什么是无理数？无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。

合作探究二】
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。

无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
1、如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向
右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？
从图中可以看出OO′的长是这个圆的周长π，点O′的坐标
是√2/2，这样，无理数可以用数轴上的点表示出来。

可以在数轴上找到表示2的点，它位于数轴上的2这个位置。

实际上，每一个无理数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数。

当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每个点都是表示一个实数。

与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。

实数不一定是有理数或无理数，还有其他类型的实数。

无限小数不一定是无理数，例如0.5是有理数但也是无限小数。

不是所有的无理数都是无限小数，例如根号2就不是无限小数。

带根号的数也不一定是无理数，例如4是有理数但也可以写成
2的平方。

两个无理数之和不一定是无理数，例如根号2和根
号8之和是有理数。

所有的有理数都可以在数轴上表示，但数轴上的点不一定都表示有理数。

2是有理数，0和2是整数，但 3.5不是整数也不是无理数，所以是有理数。

9/xxxxxxx是无限小数，但不是无理数，
所以有理数和无限小数之间没有必然联系。

比较大小：1.4<4，3<2，绝对值等于-3，绝对值等于3.3的相反数是-3，绝对值是3.整数可以写成小数的形式，例如3可以写成3.0.任何一
个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

无理数包括根号2、根号3、根号5、等。

实数包括有
理数和无理数。

5的数是有理数，7的平方是49，8=-2³，1.4=7/5，3/2=1.5，-3.14≈0.xxxxxxxx。

本节课学到的内容包括实数的分类、集合的概念以及实数的运算。

在实数范围内，我们可以将实数分为正负有理数和正负无理数。

其中，有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数则不能表示为有理数的比值。

我们还研究了实数的集合概念，如正有理数集合、负有理数集合、正无理数集合和负无理数集合等。

此外，我们还研究了实数的运算，包括加减乘除等。

在研究过程中，我收获了对实数的更深刻理解，尤其是对无理数的认识更加清晰。

我也意识到实数运算的重要性，它不仅在数学中有着广泛的应用，还贯穿于我们日常生活中的各个方面。

同时，我也还存在一些困惑，比如如何更好地理解无理数和实数集合的概念等。

过关检测】
1、将给出的数分别归入正有理数、负有理数、正无理数、负无理数集合。

例如，32是正有理数，是正无理数。

32：正有理数
正无理数
5204：负有理数
2：正有理数
5：负有理数
38：负有理数
xxxxxxxx73：正无理数
0016：正无理数
：正无理数
2.xxxxxxxx31：正无理数
：正有理数
25：负有理数
239：正有理数
2、正确的命题有⑵不存在绝对值最小的实数⑶不存在与本身的算术平方根相等的数。

答案：BC
3、⑴3-2的相反数是-1，绝对值是1；⑵2-3=-1.
⑶若x^2=-3，则x不存在实数解；⑷3-+(4-)^2=8-
2+^2.
2x-4+4-2x=0，解得x=2.
答案：⑴-1，1；⑵-1；⑶无解；⑷8-2+^2.
5、无理数是不能表示为有理数的比值的数，因此A和B 是无理数。

答案：A、B。

7、若实数a满足a^2-3a+2=0，则a=1或a=2.
答案：A。

研究反思】
在做本节课的过关检测时，我发现自己对于实数的分类和集合的概念还存在一些模糊的地方，需要进一步加强练和理解。

同时，我也需要更加注重实数的运算，不断练和巩固，以提高自己的数学能力。

本节课主要研究了实数范围内的运算方法和运算顺序，以及如何处理无理数并求出近似值。

在实数运算中，可以用近似有限小数代替无理数，再进行计算。

同时研究了实数的相反数和绝对值的概念，以及实数之间的加、减、乘、除、乘方、开方等运算法则和运算性质，这些规律同样适用于有理数。

在练中，我们填空、计算、讨论和化简等，巩固了实数运算的基本方法和规律。

同时，我们也学会了用字母表示有理数的加法交换律和结合律，以及乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，还研究了有理数的混合运算顺序。

通过本节课的研究，我收获了实数运算的基本方法和规律，同时也感到了一些困惑，需要进一步加强巩固和练。

5.实数的相反数、倒数、绝对值：实数a的相反数为-a；
若a,b互为相反数，则a+b=0；非零实数a的倒数为1/a (a≠0)；若a，b互为倒数，则ab=1.
6.|a|=a (a≥0)；|a|=-a (a<0)
课题：实数复导学案
一、知识结构
二、知识回顾
一）算术平方根的定义：
算术平方根的定义：正数a的算术平方根是另一个正数x，使得x的平方等于a。

平方根的定义：正数a的平方根是另一个数x，使得x的
平方等于a。

负数没有实数平方根。

立方根的定义：正数a的立方根是另一个数x，使得x的立方等于a。

练：1、√8=2√2；√64=8；64=8²；∛-64=-4.
练：有理数：5204；无理数：π、√2、√5、-√5、-38、0.xxxxxxxx73…
三、知识巩固
1、x取何值时，下列各式有意义？
2x+1 ≠ 0，x ≠ -1/2.
x-2 ≠ 0，x ≠ 2.
3² + x + 125 ≠ 0，x ≠ -131.
2、解下列方程：
1) 9(3-y)² = 4，y = 3±2/3.
2) 27(x+3) + 125 = 32，x = -6.
1) 4-x ≠ 0，x ≠ 4.
2) 34+x ≠ 0，x ≠ -34.
3) (x-2)² ≠ 0，x ≠ 2.
四、知识提高
1、已知3≈1.732，30≈5.477，(1) 300≈54.77；(2)
0.3≈0.548；(3) √0.03≈0.1732；(4) 若x≈547.7，则x≈1000.
练：已知33≈1.442，330≈3.107，3300≈6.694，求(1) 3.3≈1.224；(2) 3000的立方根≈14.44；(3) x≈31.07/3≈10.36.
9=3²；9的平方根是3.
2、大于-17而小于11的所有整数为-16，-15， (10)
二）算术平方根、平方根、立方根的区别与联系
算术平方根、平方根、立方根都是求根的概念，但它们的表示方法、a的取值、性质等方面有所不同。

算术平方根是正
数a的算术平方根是另一个正数x，使得x的平方等于a；平
方根是正数a的平方根是另一个数x，使得x的平方等于a；
立方根是正数a的立方根是另一个数x，使得x的立方等于a。

算术平方根、平方根、立方根都有正数和负数的情况，但算术平方根只有正数的情况，平方根只有正数的情况，立方根只有正数的情况。

1、若a,b为实数，则下列命题正确的是（）
A、若a＞b，则a²＞b²
2、已知3-a+a-4=a，求a的值。

化简得2a=7，因此a=7/2.
3、一个正数x的平方根分别是a+1和a-3，则这个正数是。

根据题意，有√x=a+1或√x=a-3，解得x=(a+1)²或x=(a-3)²。

由于x为正数，因此只能取x=(a+1)²。

4、已知y=1+2x-1+1-2x，求2x+3y的平方根。

化简得y=1，因此2x+3y=6x，其平方根为√(6x)。

5、如果一个数的平方根是a+1和2a-7，求这个数。

根据题意，有√x=a+1或√x=2a-7，解得x=(a+1)²或x=(2a-7)²。

由于x为唯一确定的数，因此有(a+1)²=(2a-7)²，解得a=6或a=-4.带回原式可得这个数分别为49和9.。