上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案

第一章
行列式
1.1
计算以下排列的逆序数，判别其奇偶性。

（1） 365247； （2） 5216743； （3） 7654321； （4） 12)1(⋅−⋅L n n ； （5） 24)22()2()12(531⋅−⋅⋅−⋅⋅L L n n n 。

1.2
选择 与 ，使下列排列（1）成为奇排列；使（2）成为偶排列。

i k （1） 75132⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i ； （2） 76532⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i 。

1.3 写出把排列 1356742 变换成排列 4132567 的对换。

1.4 分别写出4级行列式和5级行列式中所有带有负号且包含因子的项。

2312a a 1.5 按定义计算下列行列式的值。

（1）
1
210511
03
−−， （2） 4
300
2100
1011
002−， （3） 0
001
0000
2000
010L L L L L L L L L n n −。

1.6 按定义写出行列式
x
x x x x 1111231112
12−中 与 的系数。

4x 3
x 1.7 按定义说明 级行列式
n λ
λλ−−−nn n na
n n a a a a a a a a a L L L L L L L 22222111211是一个关于
λ 的 次多项式。

n
1.8 计算下列行列式的值。

（1）
3
62
1−； （2） |2|−；
（3）
bi
a i b
bi a −+；
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《线性代数》分章节习题及答案
（4）
λλ−−−113
2； （5）
θ
θθ
θsin cos cos sin −； （6） θ
θ
θ
θsin 0cos 010cos 0sin −；
（7）
691051203
−； （8） 1
421513
22−−−−； （9） 5
14202200
0120
003
−−−；
（10）
2
000130021403121
； （11） 514212200
0120023−−； （12）
3
24
240205
2121303−−−；
（13）
1
01200211
05
2014−−−−； （14） d
c b a 000000000000。

1.9 利用行变换把下列行列式化至上三角行列式，进而计算出行列式的值。

（1）
6
910512
03
−； （2） 2
605232112131412−； （3）
1
14110131
1043102−−−；
（4）
i
i i
i −−−−−−111111111
111，其中是虚数单位。

i 1.10 已知 阶行列式 的元素为
n n D （1） ； （2） ；
⎩⎨
⎧≤>−=j i j
i a ij ,1,1⎩⎨⎧≤>−=j
i j j i a ij ,,1计算 时的行列式值；并推测一般 时 的值。

4,3,2=n n n D 1.11 利用展开定理，计算下列行列式的值。

（1） 1
10843100102814
1
0000
01054−； （2） d
c b a 0
010
000
001
00； a a a a 0010
000
001
00L L L L L L L L L ；（3） d
c c
d c d c b a b a b a D 000
000000000
000
000000006=
；
d
c
d c b a b a D n L L L O L L N L L L L L L N L L O L L L 0
0000
002=
；
1.12 利用展开定理，
（1） 建立三对角行列式的递推关系式，
n
n n n n n n n a c b a c b a a c b a c b a c b a D 0
0000000000000000000000000001112244333
222
11L L L L
L
L
L
L L L L L L
L L −−−−−=
，
（2） 证明
.0
00100000000100011
1b
a b a b
a a
b b
a b
a a
b b
a a
b b
a D n n n −−=
+++++=
++L L L L L L L L L L
L
1.13 证明下列结论。

（1）
0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
22222
2222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ；
（2）
))()()()()()((11113
3
3
32
222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d
c b a +++−−−−−−=； （3） n n n n n n n
n a x a x a x a x a a a a x
x x D ++++=+−−−=−−−−1111
221100000
10
0001L L L L L L L L L
L
L .
（4）
∑=−⋅⋅⋅⋅=n
i i
n n
a a a a a a a a a 102121
0)1
(0
1
0010
1
111L L L L L L L L L
L
1.14 用Cramer 法则计算下列方程组的解。

（1） ； （2）
； ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+−=−2
20339532132121x x x x x x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=−+=−+1
54310325
321
321321x x x x x x x x x （3） ； （4）。

⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧−=+−=++−=+++=−++21353522
323214314
3214321x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧−=++−=+−+=−−−=−++8
232422383226
232432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 1.15 当λ取何值时，下列方程能运用Cramer 法则求解，并写出此解。

⎩⎨
⎧=−=+22
11
2124b x x b x x λ1.16 讨论µλ,取何值时，下列齐次方程组可能有非零解，并求出其中一组非零解。

（1） ； （2） ；
⎩⎨⎧=−+=+−0)2(302)1(2121x x x x λλ⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++0
)1(0)1(0)1(321321321x x x x x x x x x λλλ（3）
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
200
321
321321x x x x x x x x x µµλ1.17 设水银密度
ρ 与温度 的关系为
t。

332210t a t a t a a +++=ρ由实验测得以下数据：
52
.1355.1357.1360.13:3020100:0
000ρt 求出 时水银密度（取小数两位）。

0
15=t
第二章
矩阵
2.1
（1） 把下列方程组写成矩阵形式 B AX =
⎩⎨
⎧=++=++2
651
32321321x x x x x x （2） 矩阵 对应于某一方程组，写出该方程组。

⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−1211001111232.2 设 ， ， ，
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211313212A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=122361292B ⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=121110032C （1） 计算 C B A B A C B A 23,2,
++−−+−；
（2） 求矩阵 X ，使得 O X I B A =++−10；
（3） 求矩阵 ，使得 。

Y X ,⎩⎨
⎧=+=−B
Y X C
X A 2.3 设 ， ， 求数 ，使得 。

⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1105421A ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−−=330151263B k kA B =2.4 设 ， ，
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121211012A ⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=153423113B （1） 计算 BA AB −； （2） 计算 I A A −−2
；
2.5 设 ， ，，， ，
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=121031112A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=123C ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=301012122D ⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321x x x X （1） 计算 ； 乘积 BC 是否可以运算，为何？ T T T BC C B A B AB ;;;（2） 计算 ，
DX X AX T ;
2.6 用 的矩阵，说明下列结论不成立。

22×
（1） 若，则 ，或 O AB =O A =O B =。

（2） BA AB =。

（3） 若，则 。

O A =2
O A =（4） 若，则 ，或 A A =2O A =I A =。

（5） 若，则 ，或 AC AB =O A =C B =。

2.7 计算矩阵的 次幂。

n （1） ； （2）
； （3） ； （4） 。

n
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛1011n
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛−θθθθ
cos sin sin cos n
⎟
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛000100010n
⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛1001100112.8 求与下列矩阵A 可交换的所有矩阵。

（1） ； （2） ； ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛=1011A ⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛0001000102.9 (1) 设，其中 ),,(1n a a diag A L =j i a a j i ≠≠, 。

证明与A 可交换的矩阵一定是
对角矩阵。

(2) 证明：与任意（同阶）矩阵可交换的矩阵一定是数量矩阵， 2.10 证明：
（1） 若B 与A 可交换，则 k
B 与A 也可交换； （2） 若B ，
C 与A 可交换，则 BC C B ,+与A 也可交换。

2.11 证明：
（1） 若对任意 1×n 矩阵X 成立 AX = O ， 则 A = O ； （2） 若对任意 1×n 矩阵X 成立 AX = X ， 则 A = I 。

2.12 设 A 是 阶矩阵，证明 A = O 的充分必要条件是 。

n O A A T
=2.13 证明：
T
T
T
A B AB =)(
2.14 设 A 是方矩阵，
（1） 证明 均是对称矩阵； A A AA A A T
T T ,,+（2） 若A 是对称矩阵，则 AB B T
也是对称矩阵。

2.15 设 A ，B 是对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB = BA 。

2.16 求 。

1
−A （1） ； （2） ； （3） ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=5321A ⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=312021001A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=25
00
3800
0012
0025A （4） 。

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎝⎛−=3100000
520000000100000001000
000010000000210000031A 2.17 求矩阵 X ，使得
（1） ； （2） ； ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛12643152X ⎟
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−01551050
2131X （3）
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛021102341010100001100001010X 2.18 求 的逆矩阵，其中A ，B 是可逆矩阵。

⎟⎟⎠
⎞
⎜
⎜⎝⎛O B A O 2.19 设 ，其中 ⎟⎟⎟⎟⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎜⎜⎜
⎝⎛=−00
000000000
012
1L
L L L L
L L L L n n a
a a a A n i a i ,,1,0L =≠。

求。

1−A 2.20 利用求逆矩阵的方法，求下列方程组的解。

（1） ； （2）
⎪⎩⎪
⎨⎧−=++−=++=++2
321220321
321321x x x x x x x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧−=−=+−−=+−1
2021
232
32121x x x x x x x 2.21 设A 是非奇上三角矩阵，证明也是上三角矩阵，且 1
−A ii
ii A A )(1
)(1
=
−。

2.22 设A ，B 是 阶矩阵。

证明：
n B A B A A
B B
A −+=。

2.23 设A 是三阶矩阵，是A 的伴随矩阵，*
A 2
1=
A 求*
12)3(A A −−。

2.24 设A 是 阶矩阵，是A 的伴随矩阵。

证明： n *
A 1
*
−=n A
A。

2.25 设方阵A 满足。

试问矩阵A 是否可逆？若可逆，写出 的表
达式。

O I A A =−−232
1
−A 2.26 设方阵A 满足。

证明A + I 非奇；并写出 的表达式。

O I A A =−−422
1
)3(−−I A 2.27 设方阵A ，B 满足，且B 非奇。

证明A 与A + B 均非奇。

O B AB A =++2
2
2.28 用Gauss 消元法求解下列线性方程组：
（1）； （2）
； ⎪⎩⎪
⎨⎧=−−=+−=−+0
470274072321321321x x x x x x x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧=+−+=+−+−=−+−0
24303420
234321
43214321x x x x x x x x x x x x （3）； （4）；
⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−+−=−−+8
2226353634321
43214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−−=−+−=−+−=+−−0411221023443
21
3432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x （5）.
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧−=+−+−−−=−+−+−=+−+−−−=−+++=−+−+6
5544
3731245524234854
223543215
4321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2.29 用矩阵的初等行变换化下列矩阵为行阶梯形矩阵，并进一步化为行最简形矩阵：
（1） ； （2） ；
⎟
⎟⎟⎟
⎟⎠⎞
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎝⎛3177117
4018107188411040⎟
⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−−−−815111*********
53012
（3） ； （4）
.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−−−−−−−72751361931
331121220301
4102
123⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−−−−139873125851
3112102112
432
112.30 用矩阵的初等行变换求下列矩阵的标准形：
（1） ； （2）
； ⎟⎟⎟
⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛132213321⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−1111680434
32 （3） .
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎛−−−−−−−−−1243302322145
33343
11
2.31 设，试验证：
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=321941111A （1） 若，则⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=830210111B A I I I B ))1(1,2())1(1,3()3,2(−−=；
（2） 若，则⎟
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100210111C B I I C ))3(2,3(21
(3(−=.
2.32 设A 、B 都是3阶方阵，将A 中第3行的)2(−倍加到第2行得矩阵；将B 的第2列
加到第1列得矩阵. 已知，试求.
1A 1B ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=30022011111B A AB 2.33 试判断下列矩阵是否可逆？若可逆，则求出其逆阵：
（1）； （2）； ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛3253⎟
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−111211120 （3）； （4）； ⎟⎟⎟⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎜⎜⎝
⎛−−−620111112132
4321
n n ×⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜
⎜⎜⎜⎜⎜
⎜
⎝
⎛0111110111110111110111110L L L L L L L L L L L （5），其中n
n n
n a a a a ×−⎟⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛000000000
000121L L L L L L L
L L ),,2,1(0n i a i L =≠.
2.34 求解下列矩阵方程：
（1） ;95534321⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛X （2）
;87107210031012423321⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−X （3） .
⎟⎟
⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎛10
002100
121032
1
10
001100
11101111M M O M M M
L L L
M M O M M M L L L n n n X 2.35 已知B AX X +=，其中，求矩阵X .
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=350211,101111010B A 2.36 设A 、X 均是n 阶方阵，其中A 的元素全是1，试证明矩阵方程XA AX X +=只有零
解。

第三章 向量的线性相关性与矩阵的秩
3.1 设
()()()T T T 110,011,111321−=−==ααα。

（1） 计算 32121322;
2ααααα+−+−。

（2） 求满足方程的向量ξ： ξαξααξ23)(3)(321+=+−− 。

（3） 计算
.
T T T T T T a a a a a a 1321322121;;;αααα3.2 设n 阶矩阵 ()⎟⎟⎟⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==
T n T T
n A ααααααM L 212
1
，n αα,,1L 和T n T ααL L ,,1分别称作
矩阵A 的列向量组和行向量组，见（2.13）和（2.14）。

利用 A A I I A ==，证明： ，
n i A A T i T i i i ,,1,;
L ===αεαε其中
i ε是单位向量组。

3.3 把向量β表示成向量组 i α的线性组合。

（1） ()()()()T T T T 110,101,011,011321===−=αααβ；
（2）
()()(),1111,1111,112121T T T −−===ααβ
()()T T 1111,111143−−=−−=αα；
（3）
()()(),1312,1011,100021T T T ===ααβ
()()T T 1110,001143−−==αα。

3.4 判别下列向量组是否线性相关。

（1） ；
()(T T 642,32121−−−==αα)（2） ()()()T T T 621,520,111321===ααα；
（3） ()(),0130,421121T T =−=αα()T 47033=α； （4）
()(),3122,625421T T −=−=αα
()()T T 6514,933643−=−=αα。

3.5 求数，使得 l k ,（1） ()()()T T T k 910,203,154321===ααα线性相关；
（2） ()(),0123,111221T T −==αα()T k 0213−=α 线性无关； （3）
()()()T T T l k 10,00,321321===ααα线性无关。

3.6 设
θ=⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛411210312321k k k ， 证明 0321===k k k 。

3.7 下列命题是否正确？若正确，证明之；若不正确，举反例。

（1） 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关。

（2） 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关的充分必要条件是有某1−m 个向量线性相关。

（3） 若向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关，则1α可由m αα,,2L 线性表示。

（4） 若有不全为零的数，使得
m k k k ,,,21L θββαα=+++++m m m m k k k k L L 1111，
则m αα,,1L 线性相关，m ββ,,1L 也线性相关。

（5） 若向量组21,αα线性相关，21,
ββ线性相关，则2211,βαβα++线性相关。

（6） 若向量组321,,ααα线性无关，则 321211,,αααααα−−−线性无关。

3.8 证明维向量组
n ()()()T n T T 111,,011,00121L L L L ===ηηη 线性无关。

3.9 证明：对任意向量321,,ααα，向量组
3133221,,αααααα+++ 线性相关。

3.10 设向量组4321,,,αααα线性相关，但其中任何三个向量都线性无关。

证明必存在一
组全不为零的数 ，使得
4321,,,k k k k θαααα=+++44332211k k k k ，
3.11 设
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=23211,111,111,111k k k k k βααα，
试问取何值时， k β可由321,,ααα线性表示。

3.12 设向量组m ααα,,,21L 线性无关，且21,
ββ均可由m ααα,,,21L 线性表示。

证明
m ααα,,,21L 21ββ+k 线性无关，其中 是任意常数。

k 3.13 设向量组321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关。

问 （1） 1α能否由32,αα线性表示？证明你的结论。

（2）
4α能否由321,,ααα线性表示？证明你的结论。

3.14 求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组。

（1） ()()()T T T 300,020,011321===ααα； （2） ()(),2130,421121T T =−=αα
()()T T 6512,1470343==αα。

3.15 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组。

3.16 设向量组
()(),2130,421121T T =−=αα ()()T T 0211,1470343−==αα。

（1） 证明21,αα线性无关；
（2） 把21,αα扩充成一个极大线性无关组。

3.17 已知向量组 m A ααα,,,:21L 的秩为 r ， 证明向量组A 中任意r 个线性无关的向
量组都构成了一个极大线性无关组。

3.18 设m ααα,,,21L 是一组维向量，已知单位向量组n m εεε,,,21L 可由其线性表示。

证明m ααα,,,21L 线性无关。

3.19 设m ααα,,,21L 是一组维向量。

证明n m ααα,,,21L 线性无关的充分必要条件是任
一维向量都可被其线性表示。

n 3.20 已知向量组A 与向量组B 有相同的秩，且向量组A 可由向量组B 线性表示。

证明向
量组A 与B 等价。

3.21 设向量组s ααα,,,21L ；t βββ,,,
21L 和t s ββαα,,,,,11L L 的秩分别为
321,,r r r 。

证明 21321),(max r r r r r +≤≤
3.22 求下列矩阵的秩：
（1） ； （2）；
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−101012111⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−102517245341302 （3）； ⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎛−−−10
030116030242
201211（4） ，
()n m b b b a a a C ,,,2121L M ⎟⎟⎟⎟
⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=其中不全为零，),,2,1(m i a i L =),,2,1(n j b j L =不全为零。

3.23 设为实系数矩阵，已知n n ij a A ×=)(),,,2,1(,0n i a ii L =>
),,,2,1,(,0j i n j i a ij ≠=<L ，且，求A 的秩。

),,2,1(,01
n i a n
j ij L ==∑=3.24 求),,,,(54321ααααα的秩，其中：
（1）
,)0,2,2,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T
T
T
T
−=α=α=α−=αT )10,5,1,2(5=α；
（2） ,)0,1,0,0,1(,)0,1,1,1,0(,)1,0,1,0,1(321T
T T −−=α−=α=α .
T
T
)1,1,1,0,1(,)1,0,0,1,0(54=α−−=α3.25 （1）设矩阵，且⎟⎟⎟⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎜⎜⎝
⎛=k k k k A 1
11111111
1113)(=A r ，求常数k 的值； （2）设n 阶矩阵，且⎟
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛=1111L L L L L L L L L a a a a a a a a a a a a A 1)(−=n A r ，求常数a 的值。

3.26 试用矩阵的初等变换的方法判断下列向量组的线性相关性： （1）；
T
T
T
)2,0,1(,)5,2,0(,)3,2,1(321−=α−=α−=α （2）； T
T
T
)1,3,4,2(,)0,2,3,0(,)1,1,1,2(321−−=α−=α−−=α （3）. T
T
T
)1,0,1,3,1(,)1,1,0,2,1(,)0,1,1,4,2(321=α−=α=α3.27 设向量组
,)2,1,2,3(,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(321T
T
T
p +−=α−−=α=α,),10,6,2(4T p −−=α
（1）p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用
T
)10,6,1,4(=α4321,,,αααα线性表示；
（2）p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组。

3.28 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为，证明.
*A ⎪⎩
⎪
⎨⎧−<−===1
)(01)(1
)(*)(n A r n A r n A r n A r 3.29 证明矩阵添加一列（或一行），则其秩或不变；或增加1。

3.30 设A 是n 阶矩阵，证明：
（1） 如果A A =2
，则n I A r A r =−+)()(； （2） 如果I A =2，则n I A r I A r =−++)()(.
3.31 设A 为秩是r 的矩阵，证明：
n m ×r m −行全为0； （1）存在m 阶可逆矩阵P ，使P A 的后（2）存在n 阶可逆矩阵Q ，使A Q 的后r n −行全为0。

3.32 证明 .
)()(B r A r B O O A r +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛3.33 设证明.
,)(n m ij a A ×=,)(n k ij b B ×=)()()}(),(max{B r A r B A r B r A r +≤⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛≤3.34 设证明,)(n s ij a A ×=,)(m n ij b B ×=n B r A r AB r −+≥)()()(.
第四章 线性方程组理论
4.1 求解下列线性方程组：
（1）； （2）；
⎪⎩⎪⎨⎧=+++=−++=−++0
22202024321
43214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+−=+−+=−++=+−+074206340
7230
532432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x （3）； （4） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++−=−+=+−=−+−0370330
4324324214
324321x x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−=+−0
424524132321
321321x x x x x x x x x （5）； （6）； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧−=−++−=−−−−=+++=+++1022534233
25321
32432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+−7
5243132321
31321x x x x x x x x （7）.
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+=+−22
2243132321
31321x x x x x x x x 4.2 求下列齐次线性方程组的基础解系和通解：
（1）； （2）；
⎪⎩⎪⎨⎧=+−+=++++=++++0
255022207224321
5432154321x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−++=+−+=−++=−++0192453032540
46530
342432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x （3）； （4）；
⎪⎩⎪⎨⎧=++−=++−=++−01117840246303542432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧=−+=++=++0
405740
253321321321x x x x x x x x x （5）. ⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=−=−0
4321
4231x x x x x x x x 4.3 求解下列非齐次线性方程组：
（1）； （2）.
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=++=−+−=−+−537763343424313214314321x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−−+=−+++=−+++=+−++5
10175322222632123254321543215
432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 4.4 问a 取何值时，方程组有惟一解、无穷多解、无解；在有解的情况下，求出所有的解：
（1）； （2）.
⎪⎩⎪
⎨⎧=++++=++++=++3)2(3)12(22)1()1(1
321321321x a x x a x x a x a x x ax ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2
3213213211a
ax x x a x ax x x x ax 4.5 试就a ，b 的各种情况，讨论下列线性方程组是否有解；若有解，则求出其解：
.
⎪⎩
⎪
⎨⎧−=++−=+−++=−+3
)2(33)2()2(21
31321321x b a ax x b x a x x x x 4.6 将军点兵，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问兵几何（求在500到1000
范围内的解）？
4.7 设A 是4阶矩阵，且，已知
1)(=A r ,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(21T
T
−−=α=αT T T p p )11,6,1,4(,),10,6,2(,)2,1,2,3(543=α−−=α+−=α均是齐次线性方程组
A x =的解向量。

试求p 并求出方程组的一个基础解系和通解。

θ4.8 设，且齐次线性方程组x =⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101102121t t t A A θ的基础解系中有2个解向量。

试求
A x =的一个基础解系和通解。

θ4.9 设有四元齐次线性方程组（I ），又另一线性齐次方程组（II ）的通解为
⎩⎨
⎧=−=+0
4221x x x x .)1,2,2,1()0,1,1,0(21T T k k −+ 问方程组（I ），（II ）有无公共非零解，如有求所有的公共非
零解。

4.10 设有四元齐次线性方程组（I ），已知另一个齐次线性方程组
（II ）的一个基础解系为；
⎩⎨
⎧=−++=−+0
20
324321321x x x x x x x T
T
a a )8,4,2,1(,)1,2,1,2(21+−=ξ+−=ξ
（1） 求线性方程组（I ）的一个基础解系；
（2） 当a 为何值，方程组（I ）与（II ）有非零公共解；在有非零公共解时，求全部
非零公共解。

4.11 设s ααα,,,21L 为齐次线性方程组x =A θ的一个基础解系。

,22111α+α=βt t 12132212,,α+α=βα+α=βt t t t s s L ，其中为实常数。

试问满足什么关系
时，也是x =21,t t 21,t t s βββ,,,21L A θ的一个基础解系。

4.12 已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ，其中四维列向量432,,ααα线性无关，
3212α−α=α，如果43211α+α+α+α=β，求线性方程组A 的通解。

β=x 4.13 设 是非齐次线性方程组A *ξβ=x 的一个特解，而r n −αα,,1L 是其导出组x =A θ
的一个基础解系；
（1） 试证, 线性无关； *ξr n −αα,,1L （2） 试证：非齐次线性方程组
A β=x 的1+−r n 个解向量
r n −α+ξα+ξξ*,,**,1L 线性无关；
（3） 写出A 的通解；
β=x （4） 试证：非齐次线性方程组A β=x 的2+−r n 个解向量线性相关。

4.14 设A 是三阶方阵，且三元非齐次线性方程组A β=x 的系数矩阵的秩为1，已知
是它的三个解向量，且
321,,ηηη,)1,1,2(,)3,2,1(3221T T −=η+η=η+η
,)0,2,0(13T
=η+η（1） 试求出方程组A 的通解；
β=x （2） 试求出方程组A .（即求出A 和β=x β）
4.15 设，证明这个方程组有解的充要条件是⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=−=−=−=−=−5
154
54343232121a x x a
x x a x x a x x a x x 054321=++++a a a a a ，并
求其通解。

4.16 已知平面上三条不同直线的方程分别为： ;032:;032:;
032:321=++=++=++b ay cx l a cy bx l c by ax l
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为0=++c b a .
第五章 线性空间
5.1 判别下列集合是否是3
R 中的一个子空间。

（1） 三维空间中的X 轴： ()}|00{111
1R x x W T
∈=；
（2） 三维空间中的XOY 坐标平面： ()},|0{212
12R x x x x W T
∈=；
（3） 三维空间中的过原点平面： ()}0|{3213213=++=x x x x x x W T
； （4） 三维空间中的过原点平面： ()}2|{21332
1
4x x x x x x W T
−==；
（5） 三维空间中平行于YOZ 坐标平面的平面： ()},|1{3232
5R x x x x W T ∈=；
（6） 三维空间中的单位球体： ()}1|{2
32
22
132
16≤++=x x x x x x W T
；
（7） 三维空间中的过原点直线： ()}3
2|{3
2132
17x x x x x x W T
==
=； （8） 三维空间中的直线： ()}0,02|{3232132
1
8=−=++=x x x x x x x x W T
；
（9） 三阶齐次线性方程组解的全体： ()}0|{32
1
9===Ax x x x x W T
；
（10） 三阶非齐次线性方程组解的全体： ()}|{32
1
10β===Ax x x x x W T。

5.2 找出上述子空间的一组基以及维数。

874321,,,,,W W W W W W 5.3 考虑三维空间 3
R 中的平面 ，()}02|{32132
1
=+−=x x x x x x S T
()}02|{32132
1
=++−=x x x x x x T T。

找出子空间 的一组基以及维数。

T S T S T S ∪∩,,,5.4 判别向量 是否属于子空间
(T
111)}213,104,431{⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛span
5.5 设 。

⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0421********A （1） 能否找到一个4维向量，使其不属于由矩阵行向量张成的子空间，为什么？
（2） 能否找到一个3维向量，使其不属于由矩阵列向量张成的子空间，为什么？ 5.6 设()()(),2,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1321T
T
T
−=−=−−=ααα求
1）32132αα−+
；
2）1α与2α的夹角以及3α与2α的夹角； 3）与321,,ααα都正交的单位向量。

5.7 设，证明：
n
R ∈βα,1）)(22
2
2
2
βα
βαβ
α+=−++；
2）
)(4
1,2
2
βαβαβα−−+=；
5.8 设m ααα,,,21L 是正交向量组，证明：
2
2
2
2
1
2
21m m
αααααα+++=+++L L .
5.9 若n
R 中向量β与m ααα,,,21L 中的每个向量都正交。

证明：
对},,,{21m span αααηL ∈∀，都有ηβ⊥.
5.10 设n ααα,,,21L 是n
R 的一个基，，证明：若n
R ∈αα与n ααα,,,21L 中的每个向
量都正交，则θα=.
5.11 设n εεε,,,21L 是n R 的一个标准正交基，，求
∑∑====
n
i i
i
n i i
i b a 1
1
,ε
βεαβα,和
α.
5.12 βαβα−=
),(d 称为α与β的距离。

证明： ),(),(),(γββαγαd d d +≤.
5.13 设∗
.n
R 中的向量121,,,−n αααL 线性无关，
而21,ββ 都和121,,,−n αααL 中的任一个向量都正交，证明：21,ββ线性相关。

5.14 证明：，有R a a a n ∈∀,,,21L )()(
222211
n n
i i
a a a n a
+++≤∑=L .
5.15 设是任意个正实数，证明：
n a a a ,,,21L n
22121)111)(
(n a a a a a a n
n ≥++++++L L 5.16 设都是正交阵，且n n n n B B A A ××==,B A −=，证明：0=+B A . 5.17 设是正交阵，为n n A A ×=ij A A 中元素的代数余子式，证明：. ij a ij ij a A ±=5.18 设，且满足ⅰ）∗
.)3(,≥∈×n R
A n
n ),,2,1,(n j i a A ij ij L ==（其中为ij A A 中的元的代数余子式）;ⅱ)中至少有一个元ij
a A 0≠ij a ，证明：为正交阵。

A 5.19 检验下列集合对于各自指定的加法和数乘两种运算，是否构成实数域R 上的线性空 间。

1） 次数等于的)1(≥n n x 的一元实系数多项式的全体的集合，对于多项式的加法
和实数与多项式的数乘； )(x f 2） 设nxn
R
A ∈，A 的实系数多项式的全体的集合，对于矩阵的加法和实数与矩阵
的数乘；
)(A f 3） 全体3阶实对称阵的集合⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤=∈⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛=j i i R a a a a a a a a a a Sy ij ,3,2,1,3323
13
232212
131211
对于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘；
4） 全体3阶实上三角阵的集合⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤=∈⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=j i i R a a a a a a a Ut ij ,3,2,1,0
00
332322131211
对
于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘；
5） 平面上不平行于某一个向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和实数与向量的
数乘；
6） 全体正实数的集合+
R ，对于如下定义的加法和数乘：
k
a
a k a
b b a ==⊕o
7） 3
3x R
中全体迹为0的矩阵（即满足0=trA 的矩阵）的集合，对于矩阵的加法和实数
与矩阵的数乘。

5.20 设V 是数域上的线性空间，证明：F V ∈∀γβα,,，γβα=+当且仅当βγα−=. 5.21 n
R 的下列子集合对于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘，是否构成n
R 的子空间。

}0,,,,),,,({2121211=+++∈=n n T n x x x R x x x x x x V L L L 且 }1,,,,),,,({2121212=+++∈=n n T n x x x R x x x x x x V L L L 且
5.22 证明：数域上的线性空间V 中的两个向量组
F Ⅰ=},,,{21s αααL 和Ⅱ=},,,{21t βββL
等价的充要条件是
},,,{},,,{2121t s span span βββαααL L =.
5.23 证明：若W 是线性空间V 的子空间，且V W dim dim =，则V W =.
5.24 1）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎟
⎟⎠⎞⎜
⎜⎝⎛=R e c a e c a W ,,0001 和 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛=R f d b f d b
W ,,0
002 都是实数域R 上的线性空间3
2×R
的子空间；
2）分别求出的一个基和的一个基。

并求和； 1W 2W 1dim W 2dim W 3）求 在2）中所求出的的一个基下的坐标。

⎟
⎟⎠
⎞⎜
⎜⎝⎛−0402011W 5.25 1）证明：全体3阶实对称阵的集合
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤=∈⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=j i i R a a a a a a a a a a Sy ij ,3,2,1,3323
13
232212
131211
是实数域R 上的线性空间3
3×R
的子空间；
2）求出的一个基，并求；
Sy Sy dim 3）求 在2）中所求出的的一个基下的坐标。

⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−130311012Sy
5.26 证明：为全体),,1;,,1(n j m i E ij L L ==n m ×实矩阵的集合对于矩阵的加法和实数
与矩阵的数乘构成的实数域R 上的线性空间n
m R ×的一个基。

5.27 1）ⅰ)求从3
R 的基Ⅰ:
()()()T T T 1,0,0,0,1,0,0,0,1321===εεε 到
3R 的基Ⅱ:()()()T
T
T
0,0,1,0,1,1,1,1,0321=−=−=ηηη的过渡矩阵T .
ⅱ) 求在基Ⅱ：(T
b b b ,,,=β)321,,ηηη下的坐标。

2)ⅰ）求从4
R 的基
Ⅰ:()()()()T
T
T
T
1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,14321====εεεε
到4
R 的基
Ⅱ:()()()(),1,2,3,4,0,1,2,3,0,0,1,2,0,0,0,14321T
T
T
T
====αααα
的过渡矩阵T .
ⅱ）求()T
a a a a ,,,=α在基Ⅱ：4321,,,αααα下的坐标。

5.28 已知
和
是⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1111,0111,0011,00014321B B B B 2
2×R 的两个基，求从基 到基 的过渡矩阵22211211,,,E E E E 4321,,,B B B B T ，并求 在基 下的坐标。

⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎝⎛=d c b a A 4321,,,B B B B 5.29 在次数不大于3的实系数多项式的全体添上零多项式对于多项式的加法和实数与多项
式的数乘构成的实数域R 上的线性空间中定义映射
][3x R ][)(),())((3x R x f a x f x f T ∈∀+=,（其中实数0≠a ）
1） 证明：T 是中的线性变换； ][3x R 2） 求T 在基下的矩阵.
3
2
,,,1x x x A 5.30 在次数小于等于的多项式，再添上零多项式构成的实线性空间中, 定
)1(≥n n ][x R n
义求导映射如下：
D ][)(),(')())((x R x p x p x p dx
d
x p D n ∈∀==
. 1）证明：是中的线性变换；
D ][x R n 3）当时，求在基下的矩阵. 3=n D 3
2
,,,1x x x A 5.31 在2
2×R
对于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘构成实数域R 上的线性空间中定义
变换T 如下：取定，⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=22
11
P 2
2×∈∀R A ，定义AP A T =)( 1) 验证：T 为2
2×R
上的线性变换；
2) 求T 在基下的矩阵； 22211211,,,E E E E A 求T 在基下的矩阵⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛=1111,0111,0011,00
014321B B B B B .
第六章 矩阵特征值问题及二次型
6.1 求下列矩阵的特征值与特征向量：
1）； 2）； 3）； ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛4221⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−6123020663⎟
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−32023000
54）； 5）. ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛422242224⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎜⎜⎝
⎛00
01100001000010
6.2 设，证明：和有完全相同的特征值。

n n A A ×=T
A A 6.3 设12=λ为方阵的特征值，求满足的关系式。

⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=a b A 4417447
b a ,6.4 设，证明：若有一个常数项不为零的多项式n n A A ×=)(x ϕ使得0)(=A ϕ，则的特征值必全不为零。

A 6.5 设λ为阶可逆方阵的特征值,证明：n A 12
+⎟⎠
⎞⎜⎝⎛λA 是()I A +∗2
的特征值。

6.6 设21,λλ是方阵的两个互异的特征值，A 21,ξξ分别是的属于特征值A 21,λλ的特征向量，证明：21ξξ+不是的特征向量。

A 6.7 设321,,λλλ是方阵的三个互异的特征值，A 321,,ξξξ分别是的属于特征值A 321,,λλλ的特征向量，证明：321ξξξ++不是的特征向量。

A 6.8 设均为阶方阵且可逆，证明：～
B A ,n A AB .BA 6.9 设；求.
⎟
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛−−−−=163053064
A 10
A 6.10 设为2阶实方阵，且A 0<A ，证明：相似于对角阵。

A 6.11∗
. 设2阶实方阵，且⎟⎟⎠
⎞
⎜
⎜⎝⎛=d c b a A 1=−=bc ad A ，若2>trA ，则相似于对角阵A
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−100λλ. （其中1,1,0−≠λ） 6.12 设为4阶方阵，且～B A ,A B .若已知的特征值为A 4
1,31,21,1，求1
−+B I .
6.13. 已知，且33×=A A I A I A A +−,,均不可逆。

1） 证明：I A 2+可逆。

2）求A 和.
trA 3）问相似于对角阵吗？为什么？
A 6.14. 设为3阶方阵，A ()()()T
T
T
1,1,1,0,1,1,0,0,1321===ααα，且有
)3,2,1(,==i i A i i αα，试求.
A 6.15∗
. 设为3阶实方阵，若对于A 3
R ∈α，有线性无关且满足
ααα2
,,A
A ααα23A A A +=
1）记，求3阶实方阵(ααα2
,,A
A P =)
B ，使得1−=PBP A ；
2）求行列式I A +.
6.16∗
. 设若的个特征值互异，且,,n n n n B B A A ××==A n BA AB =，证明：B 相似于对角
阵。

6.17 设为正交阵，证明：若n n A A ×=1=A ，且为奇数，则1是的特征值。

n A 6.18 设实对称阵，求正交矩阵，使得为对角阵。

⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011101110A Q Λ=−AQ Q 1
6.19 已知实对称阵的特征值为33×=A A 8,2321===λλλ，且()T
1,1,1=ξ是的属于
特征值A 83=λ的特征向量，
(1) 求，问是否唯一确定？并说明理由。

A A (2) 若是的属于特征值()T
1,1,1=ξA 21=λ的特征向量，则是否可以唯一确定？
并说明理由。

A
6.20 证明：实反对称阵的特征值为0或纯虚数。

6.21 设为实对称阵，证明：对于任意正奇数，必存在实对称阵n n A A ×=m B ，使得m
B A =.（即实对称阵可以开正奇数次方幂）
6.22 设均为阶实对称阵，证明：存在正交矩阵，使得的充要条件是有相同的特征值。

B A ,n Q B AQ Q =−1
B A ,6.23 设均为n 阶实对称阵，且存在正交矩阵Q ，使得和都是对角阵。

证明：也是实对称阵。

B A ,AQ Q 1
−BQ Q 1
−AB 6.24∗
. 设为实对称阵，且n n A A ×=A A =2
，若r A r =)(.求A I +3. 6.25 写出下列二次型的矩阵，设
（1）； 32212
32
22
114432x x x x x x x f −−++=（2）；
312
32
22
122x x x x x f −++=（3）； 3231212
32
22
13222333x x x x x x x x x f −−−++=（4）4342324131214222222x x x x x x x x x x x x f ++−−+=.
6.26 用正交变换将上题中的各个二次型分别化为标准形，并求出相应的正交矩阵Q . 6.27 用配方法将下列二次型化为标准形，并求所用变换的矩阵P .
1）； 3231212
32
22
162252x x x x x x x x x f +++++=2）; 31212
32
22
14242x x x x x x x f ++++=3) ; 323121622x x x x x x f −+=4) .
433221x x x x x x f ++=6.28 若二次型，经正交变换后化为标准形。

求t 和正交变换)0(2332322
32
22
1>+++=t x tx x x x f 23222152y y y ++βαQ =，并在条件 下的最大值。

322
322212332x tx x x x f +++=1232221=++x x x
6.29 证明：当
1=α时，实二次型的最小值等于的最小特征值。

αααA f T =)(A 6.30 当λ取何值时，为正定二次型？3231212
32
22
1222x x x x x x x x x f +++++=λλλ6.31 设 为正定阵，证明： （为正整数）也都是正定阵。

n n A A ×=k
A A A ,,1
∗
−k 6.32 设实二次型的矩阵的3个特征值之和为7，的3个特征值之积为8。

)0(222)(312
32221>+++==a x ax bx x x A f T αααA A （1） 求的值； b a ,（2） 问是否正定二次型？
f 6.33 设为正定阵，是实可逆阵，证明：是实对称阵，且也为正定阵。

n n A A ×=n n C C ×=AC C T
6.34 设 均为正定阵，均为正实数，证明：也为正定阵。

,,n n n n B B A A ××==l k ,lB kA +6.35 证明： 为负定阵的充要条件是，存在可逆阵n n A A ×=B ，使得B B A T
−=. 6.36 设 为实对称阵，证明：当实数 充分大时，n n A A ×=t tI A + 为正定阵。

6.37 证明：若 n n A A ×=为正定阵，则存在正定阵B ，使得2
B A =.
6.38 设 均为正定阵，且,,n n n n B B A A ××==BA AB =，证明： 也为正定阵。

AB
参考答案
习题一（行列式）：
1.1 （1） 6，偶； （2） 10，偶； （3） 21，奇； （4）
2
)1(n
n −，当k n 4= 或时，偶；当 或 14+=k n 24+=k n 34+=k n 时，奇； （5） n n )1(−，偶。

1.2 （1） ； （2） 4,6==k i 4,1==k i 。

1.3 67;57;26;35;13;
41↔↔↔↔↔↔
1.4 4级：； 5级：
41342312a a a a .
,,514435231255413423125445312312a a a a a a a a a a a a a a a 1.5 （1） -6； （2） 14； （3）
!)1(1
n n +−1.6 ；
4
2x 3
x −1.7 由于行列式中有一项是：)()()(2211λλλ−−−nn a a a L ，其关于λ是次的。

n 1.8 （1） 5； （2） -2； （3） ； （4）
； （5） 1；
bi b a −+2
2
532+−λλ（6） 1； （7） 62； （8） 6； （9） 30； （10） 24； （11） 77； （12） 0； （13） 0； （14） 。

d c b a 1.9 （1） 62； （2） 0； （3） 30； （4） 16 i 1.10 （1） ； （2） 1
2
−=n n D !n D n =
1.11 （1） -72； （2） ； （3） ；
bc abcd −1
−−n n
a
a （4） ，
3
6)(bc ad D −=n
n bc ad D )(2−=1.12 按最后一行展开。

111−−−⋅−⋅=n n n n n n D c b D a D 。

1.13 略。

1.14 （1） （2） （3） （4）
⎪⎩⎪⎨⎧=−==541321x x x ⎪⎩⎪⎨⎧−===2
21321x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1010
432
1x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−===2
121
432
1x x x x
1.15 当2−≠λ时。

此解是 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+−=++=λλλ22)
2(221
2211b b x b b x 。

1.16 （1） 当4=λ时，有非零解 ；当⎩⎨⎧==3221x x 1−=λ时，有非零解 ；
⎩⎨⎧−==11
2
1x x （2） 当0=λ时，有非零解 ；当⎪⎩⎪
⎨⎧=−==011321x x x 3−=λ时，有非零解
； ⎪⎩⎪
⎨⎧===1113
21x x x （3） 当1=λ时，有非零解 ；当⎪⎩⎪
⎨⎧−===1013
21x x x 0=µ时，有非零解。

⎪⎩⎪
⎨⎧−=−==1113
21x x x λ1.17 当 时， 0
15=t 56.13=ρ。

习题二（矩阵）：
2.1 （1） ； （2）
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛21615321321x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧−=+−=+−=++1
2012332
121321x x x x x x x x 2.2 （1） ； ；
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=+−412184052C B A ⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−355313521722B A 。

⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=++−311941764320
23C B A （2） 。

⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=133301740810
X （3） ， 。

⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=132403224X ⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=2541640112Y
2.3
3=α。

2.4 （1） ； （2） O BA AB =−=−−I A A 2
⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛310240222
2.5 （1） ；
()⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−==−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=000000123;3;112;112T
T T BC C B A B AB 乘积 BC 不可以运算，因为矩阵 B 的列数与矩阵 C 的行数不相同。

（2） 。

2
3
22312121321
213213242;
232x x x x x x x DX X x x x x x x x x AX T ++−+=⎟
⎟⎟
⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+=2.6 （1）和 （2） ； （3） ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜
⎜⎝⎛−−=1111;1111B A ;1111⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−−=A （4） （5） ;0001⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛=A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=0110;1001;1111C B A 2.7 （1） ； （2） ； ⎟⎟⎠⎞
⎜
⎜⎝⎛101n ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−θθθθn n n n cos sin sin cos （3） ； （4） )2(,000000000;)2(,000000100>⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n ⎟
⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜
⎜⎜⎜
⎜⎝
⎛
−1001
02)1(1n n n n 。

2.8 （1） ，其中 是任意的数； ⎟⎟⎠
⎞
⎜
⎜⎝⎛a b a 0b a ,（2） ，其中是任意的数。

⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛a b a c b a 000c b a ,,2.9 提示：根据BA AB =，写出对应元素关系，证明B 只能是对角矩阵。

2.11提示：分别取X 为单位矩阵I 的每一列。

2.16 （1） ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−13251111A ； （2） ⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−
−=−31112
12
11
0001A ； （3） ； （4） ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−85003200005200211
A ⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
⎛−−−=210000053
00
0001000000010000000100000000000051
5153
5
2A 。

2.17 （1） ； （2） ； （3） ； ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛−=80232X ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=965511X ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2014310102X 2.18 。

⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛−−−O A B O O B A O 111
2.19 。

⎟⎟⎟⎟⎟
⎟⎠
⎞⎜
⎜⎜
⎜⎜⎜⎝⎛=−−−−−−000
00000000
01
1
1
2
1
1
1
1n n a a a a A L L L
L
L L L L L 2.20 （1） ； （2） 。

⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101x ⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111x 2.21 提示：设，根据}{1
ij x A
=−I AA =−1，证明 j i x ij >=,0，且ii
ii a x 1
=。

2.22 略。

2.23 27
16−
2.24 – 2.27 略。