【中考数学复习】一次函数与反比例函数知识

【中考数学复习】一次函数与反比例函数
知识提要
初中代数中涉及的函数有：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数.每种函数一般从下面四个方面研究：定义，图象，性质，求解析式.本讲研究一次函数和反比例函数.
一、一次函数
1、定义：函数)0(≠+=k b kx y 称为一次函数，若0=b 则称函数为正比例函数.
2、图象：一次函数是过点（0，b ）和点（k
b -，0）的直线.当b=0时的正比例函数)0(≠=k kx y 是过原点的一条直线，若k 与b 的符号不同，则直线经过的象限也不同，如图所示：
3、性质：当0>k 时，y 随x 的增大而增大；
当0<k 时，y 随x 的增大而减小.
（此性质为一次函数的单调性）
另外，正比例函数关于原点O 中心对称
4、求解析式：求一次函数的解析式，一般需要两个条件，求出表达式b kx y +=中的k 及b 的值，常用待定系数法来求一次函数.
而正比例函数的解析式只需要一个条件.
二、反比例函数
1、定义：形如)0(≠=k x k y 形式称为反比例函数，定义域为0≠x 的所有实数.
2、图象：反比例图象为双曲线，如图所示：
3、性质：反比例函数x k y =在0>k 且0>x 时，函数值y 随x 的增大而减小；在0>k 且0<x 时，函数值y 随x 的增大而减小.即：当0>k 时，反比例函数x k y =分布在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，如图（1）所示.当0<k 时，反比例函数x
k y =
分布在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如图（2）所示.反比例函数x k y =图象上的点关于原点O 成中心对称的.当0>k 时，函数的图象关于直线x y =成轴对称；当0<k 时，函数的图象关于直线x y -=成轴对称.
4、求解析式：反比例函数的解析式，只需要一个条件，求出x
k y =
)0(≠k 中的k 即可.
在解决有关一次函数及反比例函数的问题时，常运用数形结合及分类讨论的思想方法.待定系数法是研究函数表达式的基本方法，同时紧密结合图象寻求思路，是处理这类问题的重要方法.
例1、已知正比例函数x y =和)0(>=a ax y 的图象与反比例函数x
k
y =（k>0）的图象在第一象限内分别相交于A 、B 两点，过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设△AOC 和△BOD 的面积分别为1S 、2S ，则1S 与2S 的大小关系怎样？
例2、两个反比例函数x y 3=，x y 6=在第一象限内的图象如图所示，点1P ，2P ，3P ，…2005P 在反比例函数x y 6=图象上，它们的横坐标分别是1x ，2x ，3x ，…2005x ，纵坐标
分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点1P ，2P ，
3P ，…2005P 分别作y 轴的平行线，与x
y 3=
的图象交点依次是)(111y x Q ，，)(222y x Q ，，)(333y x Q ，，…)(200520052005y x Q ，，则_________2005=y .
例3、平面直角坐标系内有A （2，－1）、B （3，3）两点，点P 是y 轴上一动点，求P 到A 、B 距离之和最小时的坐标.
例4、已知一次函数的图象经过点（2，2），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式.
例5、已知A （-2，0）、B （4，0），点P 在直线22
1+=
x y 上，若△PAB 是直角三角形，求点P 的坐标.例6、已知两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供两个方面的信息，如图所示，请根据图中提供的信息，求：
（1）第2年全县生产甲鱼的只数及甲鱼池的个数；
（2）到第6年，这个县的甲鱼养殖规模比第1年是扩大了还是缩小了，请说明理由.
例7、如图，已知C 、D 是双曲线x
m y =在第一象限内的分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，设C 、D 的坐标分别是（11y x ，）、（22y x ，），连接OC 、OD.
（1）求证：1
11y m y OC y +<<；（2）若α=∠=∠AOD BOC ，31tan =
α，10=OC ，求直线CD 的解析式.
（3）在（2）的条件下，双曲线是否存在一点P ，使
POD POC S S ∆∆=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说
明理由.
例8、有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、
出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进
水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时
间x （分）与水量y （升）之间的关系如图所示，若
20分钟后只放水不进水，求多长时间能将水放完？
例9、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，
已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）
与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例
（如图），观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立
方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息解答下列
问题：
（1）药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为__________，自变量x 的取值范围是___________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为____________.
（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室.
（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
例10、某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表所示：
家电名称空调器彩电冰箱
工时/个
21314
1产值/千元
432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）
练习
1、已知0≠abc 并且
p b a c a c b c b a =+=+=+而直线p px y +=一定通过（）A 第一、二象限
B 第二、三象限
C 第三、四象限
D 第一、四象限
2、函数kx y =和)0(<=k x k y 在同一坐标系中的图象是（）
3、一次函数b kx y +=过点)(11y x ，和)(22y x ，，且0>k ，b<0，当210x x <<时，有（）
A 21y b y >>
B 2
1y b y <<C b y y <<<210D 0
12<<<y b y 4、若点（-2，1y ），（1，2y ），（2，3y ）在反比例函数x y 21=
的图象上，则下列结论正确的是（
）A 1
23y y y >>B 312y y y >>C 1
32y y y >>D 321y y y >>5、反比例函数x k y =
的图象是轴对称图形，它的一条对称轴是下列正比例函数图象中的（
）A kx
y -=B x k y =C x k k y =D kx
y =6、一个一次函数图象与直线4
9545+=
x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（-1，-25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（）
A 4个
B 5个
C 6个
D 7个
7、如图，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数x
k y =（0>k ）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为1S ，2S ，…20S ，则__________2021=+++S S S .
8、不论k 为何值，解析式0)11()3()12(=--+--k y k x k 表示函数的图象都经过一定点，则这个定点是_________.
9、如图所示，直线l 和双曲线
x k y =
（0>k ）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x
轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP.设△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ，△POE 的面积为3S ，则
321S S S 、、的大小关系是______________.
10、甲、乙两车出发后再同一条公路行驶，行驶路程与时间的
关系如图所示，那么可以知道：
（1）出发行驶在前面的车是_________，此时两车相隔
_________；
（2）两车的速度分别为甲：___________千米/小时，乙：
_________千米/小时，经过___________小时，快车追上慢车；
（3）甲、乙两车均行驶600千米时各用的时间分别是：甲用
_________小时，乙用__________小时.
11、如图，函数2
2
1+-=x y 的图象交y 轴于M ，交x 轴于N ，MN 上两点A ，B 在x 轴上射影分别为11B A 、，若411>+OB OA ，则
A OA 1∆的面积1S 与
B OB 1∆的面积2S 的大小关系是_____________.
12、已知非负数x 、y 、z 满足323=++z y x ，433=++z y x ，则z y x w 423+-=的最大值为_________，最小值为__________.
13、在直角坐标系中，有四个点：A （-8，3），B （-4，5），C （0，n ），D （m ，0）,当四边形ABCD 的周长最短时，求n
m 的值.14、设直线1)1(=++y k kx （k 是自然数）与两坐标轴所围成的图形的面积为1S ，2S ，…，2000S .求200021S S S +++ 的值.
15、如图（1），已知直线m x y +-=21与反比例函数x
k y =的图象在第一象限内交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），分别于x 、y 轴交于C 、D ，AE ⊥x 轴于E.
（1）若OE·CE=12，求k 的值；
（2）如图（2），作BF ⊥y 轴于F ，求证：EF ∥CD ；
（3）在（1）（2）的条件下，5=EF ,52=AB ，P 是x 轴正半轴上一点，且△PAB 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，求P 点的坐标.
（1）（2）
16、已知直线62+-=-k y x 和143+=+k y x ，若它们的交点在第四象限内.
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为非负整数，点A 的坐标为（2，0），点P 在直线62+-=-k y x 上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.
17、A 市、B 市和C 市分别有某种机器10台、10台和8台，现决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为200元和800元，从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为300元和700元，从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为400元和500元.
（1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费w （元）关于x （台）的函数式，并求w 的最大值和最小值；
（2）设从A 市调x 台到D 市，从B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x ，y 表示总运费w （元），并求w 的最大值和最小值.
18、直线13
3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，其中∠BAC=90°.如果第二象限内有一点
P （a ，21），使△ABP 的面积和△ABC 的面积相等，求a 的值.
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19、如图，在直角坐标系中，点1O 的坐标为（1，0），⊙1
O 与x 轴交于原点O 和点A ，又点B 、C 的坐标分别为（-1，0），
（0，b ），且30<<b ，直线l 是过B 、C 点的直线.
（1）当点C 在线段OC 上移动时，过点1O 作l D O 直线⊥1，
交l 于D ，若a S S C
BO BOC
=∆∆1，试求b a 与的函数关系式及a 的取值
范围.
20、某仓储系统有20条输入传送带、20条输出传送带.某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图（a ），每条输出传送带每小时出库的货物流量如图（b ）,而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图（c ），则在0时至2时有多少条输入传送带在工作？在4至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？。