高中数学专题 双曲线中的离心率问题(含答案解析)

高中数学专题 双曲线中的离心率问题
限时：120 分钟
满分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2
-y 2
b
=1的左、
右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()
A.
2
B.
6
3
C.22
D.
3
2.若双曲线C :y 2a 2-x 2
b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C
的离心率为()
A.2
B.
23
3
C.
223
D.4
33
3.已知双曲线C ：x 2
a
2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA
+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()
A.
10
3
B.
102
C.
52
D.
233
4.如图，双曲线x 2
a
2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、
右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q
=0，则此双曲线的离心率为()
A.3
B.2
C.22
D.23
5.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，
使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()
A.2,2
B.3,+∞
C.(1,3]
D.1,2
6.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M
⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()
A.
6+3
2
B.
6+3
C.2+2
D.
5+2
7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2
b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C
的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为(
)A.1,5
3
B.
53,2
C.1,2
D.
5
3
,+∞
8.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段
AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()
A.
2
B.
3
C.2
D.3
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2
a
2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是
()
A.3
B.22
C.
14
5
D.
52
10.双曲线x 2
-y 2
a
2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为
()．
A.
324
B.
2
C.
32
D.2
11.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相
切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45
，则C 的离心率可能为()A.
5
3
B.
32
C.
52
D.
133
12.已知F 1、F 2是双曲线x 2
a
2-y 2b 2=1(a >0，
b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足
为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=1
3
F2B，则该双曲线的离心率为().
A.6
2
B.2
C.3
D.5
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.双曲线x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2
2
x，则其离心率是.
14.已知双曲线方程为C:x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线
上，则该双曲线的离心率为.
15.已知双曲线C:x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F c,0
，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两
点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若DE
=2AB
，则双曲线C的离心率是．
16.已知双曲线C:x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直
径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ
≥3AP
，则该双曲线的离心率的取值范围是.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知F1，F2分别为双曲线x2
a2-
y2
b2
=1a>0,b>0
的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当
PF1
2
PF2
取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
18.已知椭圆C1:x2
a21+
y2
b21
=1a1>b1>0
与双曲线C2:
x2
a22
-
y2
b22
=1a2>0,b2>0
，有相同的左、右焦点
F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2
=4PF2
，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.
19.已知双曲线T：x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R>0
．
(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F2,0
，求双曲线方程；
(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2
a2
的值；
(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有
∠AOB=π
2，求离心率e的取值范围．
20.已知点P是双曲线C:x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，
PF1=(2+3)
PF2
，∠F1PF2=60°．
(1)求双曲线的离心率；
(2)设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求R
r．
21.已知双曲线C:x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，
AF2
-AF1
=2b．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且x1x2
=1，求双曲线C的方程．
22.已知双曲线C:x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，
且k AB⋅k OM=3
4
(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0
，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.
高中数学专题 双曲线中的离心率问题答案解析
限时：120 分钟
满分：150 分
一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2
-y 2
b
=1的左、
右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()
A.
2
B.
6
3
C.22
D.
3
【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，
因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =
AF 1
2
-AF 2 2=42-22=23，则c =3，
因此，该双曲线C 的离心率为e =
c
a
= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2
b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C
的离心率为()
A.2
B.
23
3
C.
223
D.4
33
【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±a
b x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为
23，
则圆心0,2 到直线y =±a
b x 的距离为d =22-3 2=1，
由点到直线的距离公式可得d =
21+a
b
2
=1，解得a 2b 2=3，则b 2a
2=1
3，
因此，双曲线C 的离心率为e =
c
a =1+
b a
2
=
1+13=23
3
.故选：B .
3.已知双曲线C ：x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA
+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()
A.
10
3
B.
102
C.
52
D.
233
【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，
因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，
设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，
所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，
在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，
所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，
所以离心率e =c a =10
2
，故选：B
4.如图，双曲线x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐
近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q
=0，则此双曲线的离心率为()
A.3
B.2
C.22
D.23
【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π
3
，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b a
x ，因此有：
b
a
=tan π3⇒b a =3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .
5.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，
使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()
A.2,2
B.3,+∞
C.(1,3]
D.1,2
【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，
因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =c
a
<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，
故∠PF 1F 2<180°
4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，
即
c
2a
>22，即e =c a >2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A
6.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M
⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()
A.
6+3
2
B.
6+3
C.2+2
D.
5+2
【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×1
3
×12=-c 3，
则-c
3
2
a
2+y 2M
b 2=1，解得y M =b 3a
c 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，
b 3a
c 2-9a 2 ⋅-4c 3，b
3a c 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B
7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2
b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C
的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为(
)A.1,5
3
B.
53,2
C.1,2
D.
5
3
,+∞
【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±a
b
x 的距离EF 2 =
bc
a 2+b
2
=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，
所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，
所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <
5
3
.故选：A .
8.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段
AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()
A.
2
B.
3
C.2
D.3
【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，
所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD
2
+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2
=-1
2，
因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π
3
，所以∠BDF 2=
π3
，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，
所以4a 2a 2-3a 2
b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=
c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =
c
a
=2，故选：A
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2
a
2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是
()
A.3
B.22
C.
145
D.52
【解析】∵e 1+e 2 2
=e 2
1
+e 22
+2e 1e 2=a 2+b 2
a 2
+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2
a
×a 2+b 2b
=2+b 2a 2+a 2
b
2+2
a 4+
b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2
+2
a 2
b 2+b 2a 2
+2≥2+2+22+2=8
，
当且仅当b 2a 2=a 2
b
2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .
10.双曲线x 2
-y 2
a
2=1的离心率为e ，
若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．
A.
324
B.
2
C.
32
D.2
【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由
x 2
-y 2
a
2
=1
y -2=k (x -2) 得(a 2
-k 2
)x 2
+4k (k -1)x -4(k -1)2
-a 2
=0，
显然a 2-k 2=0
时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，
由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<4
3
，则c 2=1+a 2<
73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213
，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,
21
3
.故选：AC 11.已知双曲线C :x 2
a
2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相
切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45
，则C 的离心率可能为()A.
5
3
B.
32
C.
52
D.
133
【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，
OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =
c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，
而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=4
5
，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=
35所以NF 2 =
F 2Q
sin ∠F 1NF 2
=
10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a
3
，NF 1 =NQ -QF 1 =
8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3
，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =c
a =
1+b 2
a
2=1+2
3
2
=
133
.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，
因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=3
5
所以NF 2 =
F 2Q
sin ∠F 1NF 2
=
10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a
3
，NF 1 =NQ +QF 1 =
8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3
，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =c
a =
1+b 2
a
2=1+4
3
2
=
53
，故选：AD
12.已知F 1、F 2是双曲线x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足
为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=1
3F 2
B ，则该双曲线的离心率为().
A.
6
2
B.
2
C.
3
D.
5
【解析】当AF 2 =13
F 2B
时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，
双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b
a ，设|AF 2|=bt ,
|OA |=at ，
又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4b
a
=4b ，
代入得tan2α=
2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=6
2
，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，
则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |
=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，
又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2b
a
=2b ，
而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β
1-tan α⋅tan β
=-tan α，
因此
b +2b
1-b ⋅2b
=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =c a =a 2+b 2=3，C 正确.
故选：AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2
2x ，则其离心率是
.
【解析】由题意知
b
a
=22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，
所以e 2
=c 2a 2
=1+b 2a
2=32，故e =6
2(负舍)
14.已知双曲线方程为C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)，
左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.
【解析】如图：设F 关于渐近线y =b
a
x 对称的点A 在渐近线y =-b a x 上，
FA 的中点B 在渐近线y =
b
a
x 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=b
a
=3，所以e =c a =
a 2+
b 2a 2
=
1+b a
2
=1+3=2.
15.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F
c ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两
点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．
【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±b
a x ，
∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由
x =c
x 2a
2
-
y
2
b 2
=1
得
x =c
y =±b 2
a
，则AB =2b 2
a
，
由
x=c
y=±b
a
x
得x=c
y=±bc
a
，则DE =2bc
a，由DE
=2AB
得：
2bc
a
=4b2
a
即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=c
a
=23
3
16.已知双曲线C:x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直
径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ
≥3AP
，则该双曲线的离心率的取值范围是.
【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，
不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=b
a x，
由
y=b
a
x
x2+y2=c2
，得：x=a
y=b
或x=-a
y=-b
，所以Q(a,b),P(-a,-b)，
双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，
所以AQ
=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP
=(-a+a)2+b2=
b，
因为AQ
≥3AP
，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，
所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2
c2
≤3
2，所以e ≤
6
2，又e>1，所以e∈1,
6
2
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知F1，F2分别为双曲线x2
a2-
y2
b2
=1a>0,b>0
的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当
PF1
2
PF2
取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
【解析】双曲线x2
a2
-
y2
b2
=1a>0,b>0
的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，
∴PF1
-PF2
=2a,PF1
=2a+PF2
，∴PF1
2
PF2
=
2a+PF2
2
PF2
=4a2
PF2
+4a+PF2
≥8a，
当且仅当
4a2
PF2
=PF2
，即PF2
=2a时取等号，∴PF1
=2a+PF2
=4a，
∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =c
a
≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 .
.
18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2
a 22-y 2
b 22
=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点
F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.
【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=1
2
，由0<e 1<1，可得
1e 1>1，可得1e 2>12
，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 22
2+e 2=t -2 2t =t +4t
-4，由于函数f t =t +
4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈1
3，1 ，即e 2-e 1的取值范围为1
3，1
.19.已知双曲线T ：x 2
a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．
(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；
(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2
a 2的值；
(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =
π
2
，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，c
a =2，a =1，
b 2=
c 2-a 2=3，
则双曲线方程为x 2
-y 2
3
=1.
(2)如图所示，
因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，
则A
2
2
c,2
2
c
，代入双曲线方程x2
a2
-
y2
b2
=1，可得b2
a2
-a2
b2
=2，
令x=b2
a2
x>0
，则x-
1
x
=2，解得x=1+2，即b2
a2
=2+1.
(3)由题知，作图如下，
因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为m
k2+1
=1，
化简得m2=k2+1，①
又∠AOB=π
2，设A x1
,y1
,B x2,y2
，则k OA⋅k OB=-1，即
y1
x1
⋅
y2
x2
=-1，
则k2x1x2+km x1+x2
+m2
x1x2
=-1，②
联立
y=kx+m
x2
a2
-y2
b2
=1
得b2-a2k2
x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，
则x1+x2=2a2km
b2-a2k2
，x1x2=
-a2m2+b2
b2-a2k2
，③
联立①②③，得k2+1
a2+a2b2-b2
=0，则a2+a2b2-b2=0，
又c2=a2+b2，则c2
a2
=c2-a2+2=b2+2>2，则e=c
a
>2，
即离心率e的取值范围为2,+∞
.
20.已知点P 是双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，
PF 1=(2+
3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．
(1)求双曲线的离心率；
(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求
R
r
．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，
在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12
=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =
2c
sin60°
=6a
32
=22a ，即R =2a ；
因为S △PF 1F 2
=
12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2
⋅
32=32
a 2，又S △PF 1F 2
=
12PF 1+ PF 2 +2c r =1
2
(23a +6a )r ，所以r =
323+6a =2-22a ，所以R r =22
2-2
=2+22．
21.已知双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，
AF 2 -AF 1 =
2b ．
(1)求双曲线C 的离心率；
(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．
【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以c
a
=3，所以双曲线C 的离心率为3．
(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2
a 2-y 22a
2=1．
设A x3,y3
，B x3,-y3
，D x4,y4
．直线AD的方程为y-y3=y3-y4
x3-x4
x-x3
．
令y=0，则x1=-x3y4-x4y3
y3-y4．直线BD的方程为y+y3
=
-y3-y4
x3-x4
x-x3
，
令y=0，则x2=x3y4+x4y3
y3+y4．所以x1
x2
=-
x3y4-x4y3
y3-y4
⋅
x3y4+x4y3
y3+y4
=x23y24-x24y23
y23-y24
．
因为A x3,y3
，D x4,y4
满足方程x2
a2
-
y2
2a2
=1，
所以x23=a2+y23
2，x
2
4
=a2+
y24
2
,所以x1x2
=
x23y24-x24y23
y23-y24
=a2+y232
y24-a2+y242
y23
y23-y24
=a2=1,
所以双曲线C的方程为x2-y2
2
=1．
22.已知双曲线C:x2
a2-
y2
b2
=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，
且k AB⋅k OM=3
4
(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0
，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.
【解析】(1)设A x1,y1
,B x2,y2
，则M
x1+x2
2
,
y1+y2
2
，由题意得
x21
a2
-y21
b2
=1,
x22
a2
-y22
b2
=1,
所以
x21-x22
a2
-
y21-y22 b2=0，
y21-y22
x21-x22
=b2
a2
,
y1-y2
x1-x2
∙
y1+y2
2
x1+x2
2
=b2
a2
,k AB=
y1-y2
x1-x2
,k OM=
y1+y2
2
x1+x2
2
，
∴k AB⋅k OM=b2
a2，即
b2
a2
=3
4，a
2=4
3
b2,c2=a2+b2=7
3
b2,e2=c2
a2
=7
4，∴e=
7
2；
(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23
=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程
y =kx +m x 24-y 23=1 得：3-4k 2 x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，
所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2
-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2
.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB =0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB =x 2-2,y 2 ，
所以NA ⋅NB =x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，
所以NA ⋅NB =k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，
即k 2
+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km 3-4k 2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，
解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，
当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72
，直线l 恒过定点E 14,0 .·15·。